– – 1 – G5301 MATEMATICKÁ GEOLOGIE Rozsah 2/1. 3 kr. Ukončení: kz. Anotace Přednáška má přesvědčit studenty o užitečnosti matematických metod v geologii. Již tradičně se řada geologů matematice programově vyhýbá. Cílem kurzu je demonstrovat jednoduchost, eleganci a krásu matematických postupů při řešení geologických problémů. Kromě "filosofických úvah" je náplní kurzu sumarizace a upevnění znalostí funkcí, inverzních metod, lineární algebry, diferenciálního počtu, integrálního počtu a diferenciálních rovnic. Na geologických příkladech jsou demonstrovány základy vektorové analýzy a numerických metod. Většina aplikací je procvičována v programu MS Excel. Osnova – Matematika v geologických vědách: Historie a současnost, role matematiky, kvantitativní vědy. – Funkce: Konstanty, symboly, proměnné. Funkce jediné proměnné. Závisle a nezávisle proměnná. Explicitní a implicitní funkce. Elementární funkce: Lineární závislost, rovnice přímky, mocninné funkce, exponenciální funkce, logaritmické funkce. Inverzní funkce. Funkce více proměnných. Chybová funkce. – Inverzní metody: Regrese experimentálních dat zvolenou funkcí (volba řádu polynomu). Spojnice trendu MS Excel. Metoda nejmenších čtverců, hledání minima - funkce Řešitel, MS Excel. Vícenásobná regrese. – Lineární algebra: Matice. Základní operace s maticemi, násobení matic. Jednotková matice, determinant, inverze matic. Speciální matice: trojúhelníková, symetrická, diagonální. Transpozice matic. Systém homogenních lineárních rovnice. Výpočet rovnovážného pH v karbonátovém systému. Výpočet stacionárních stavů v dynamickém systému. – Vektory, vektorové prostory: Minerální složení jako vektor. Složení horniny ve vektorovém prostoru. Transformace souřadnic. Určení minerálního složení granitoidní horniny. – Diferenciální počet: Limita, definice derivace. Tangens úhlu a směrnice tečny. Derivace základních funkcí. Přehled derivací. Diferenciál funkce. Fyzikální význam (rychlosti procesů, – – 2 – přírůstky, úbytky, gradienty). Výpočet rychlosti rozpouštění minerálu. Geometrický význam (lokální extrémy, inflexní bod). – Parciální derivace: Derivace funkce více proměnných. Totální diferenciál. Totální diferenciál Gibbsovy funkce. – Integrální počet: Integrál. Vlastnosti neurčitého integrálu (počáteční podmínky, integrační konstanta). Určitý integrál (meze). Geometrický a fyzikální význam. Plocha pod křivkou, délka křivky, objem a povrch rotačních těles. – Diferenciální rovnice: Separovatelné rovnice. Lineární diferenciální rovnice prvního řádu. Homogenní lineární rovnice. Řešení dynamického modelu rozpouštění horniny. – Numerické metody: Algoritmy, iterační metody. Řešení nelineární rovnice. Newtonova metoda. Řešení karbonátového systému. Řešení nelineárních diferenciálních rovnic a jejich systémů. Eulerova metoda. Řešení nelineárního dynamického systému. ÚVOD Jaká byla Vaše motivace při zapsání přednášky? – Máte rádi matematiku – Máte naopak s matematikou neustálé problémy a tento stav by jste konečně rádi „prolomili“ – Je vám jedno co si zapíšete, hlavně potřebujete získat kredity Místo matematiky v přírodních vědách Jedině matematika nám umožňuje „kvantitativní pohled na svět“, kvantitativní popis reality a předpovědi budoucnosti (vývoj systémů). Bez matematiky je možné realitu kolem nás jen konstatovat (popisovat a klasifikovat). To bylo předmětem vědy v 18. a částečně 19. století. Dnes je věda bez matematiky nemyslitelná! Citát: „V každé vědě je pouze tolik „skutečné“ vědy, kolik je v ní matematiky“! • Samotné studium matematiky je spojeno s motivačním problémem. V historii byla matematika vždy úzce spojena s některým vědním oborem, především s fyzikou. Všichni velcí matematici byli zároveň vynikajícími fyziky. K řešení fyzikálních problémů potřebovali matematiku. • Při „nedobrovolném“ studiu matematiky ve školách, se na motivaci studentů zapomíná. To se pak projevuje častou řečnickou otázkou studenta: „k čemu mě to bude?“ – – 3 – • Matematiku začneme studovat (amatérsky) v momentě, kdy ji potřebujeme k řešení daného problému! Bohužel, složitý symbolický jazyk matematiky je pro většinu prostých smrtelníků nepřístupný. Takže i v případech, kdy nechybí motivace a kdy člověk cítí potřebu sám proniknout do některých matematických postupů, je to velmi obtížné. • Dnes se matematika vyvíjí jako vědní obor úplně samostatně: bez užší souvislosti s interpretacemi a možnými aplikacemi. Matematikové to však vidí jinak: „pro toho, kdo zvládl matematiku, nejsou již ostatní vědní obory problém“. Že to není pravda dokazují sami právě tím, že Vás nedokázali motivovat vhodnými aplikacemi v daném oboru. • V geologii vypadá stav následovně: 5 let se studuje obor, další 3-4 roky postgraduál a pak po zbytek života (45 let?) se amatérsky studuje matematika. – – 4 – Literatura Mustoe, L.R. - Barry, M.D.J. Foundation Mathematics. : Wiley., 1998. 668 s. ISBN 0-471-97092-1. Albaréde, Francis. Introduction to geochemical modeling. 1st pub. Cambridge: Cambridge University Press, 1995. 543 s. ISBN 0-521-45451-4. Mustoe, L.R. - Barry, M.D.J. Mathematics in Engineering and Science. : Wiley, 1998. 768 s. ISBN 0-471-97093-X. Atkinson, Kendall E. An Introduction to Numerical Analysis. : Wiley., 1989. 712 s. ISBN 0-471- 62489-6. info