– 1 – MATICE Tabulka čísel                 ij3i2i1i j3333231 j2232221 j1131211 a.aaa ..... a.aaa a.aaa a.aaa aij jsou prvky matice kde i – řádek matice a j - sloupec matice Příklad: A =           −− − − 331 410 422 a22 = 1, a23 = - 4 VEKTOR Sloupcová matice – vektor                 1i 31 21 11 a . a a a INTERPRETACE: prvky vektoru – souřadnice koncového bodu v i-rozměrném prostoru Vektor       = 2 1 a Vektor je volně pohyblivý a může být libovolně posunutý do středu souřadného systému. Zachována je přitom délak a směr vektoru! – 2 – Násobení matic A B = C A B ≠ B A násobení „zleva“ a „zprava“ Počet sloupců levé matice musí odpovídat počtu řádků pravé matice Výsledek násobení – nová matice - s počtem řádků jako má levá matice - s počtem sloupců jako má pravá matice Výpočet prvku c11 = a11b11 + a12b21 + a13b31 + a14b41 obecně: ∑= ij 1ij111 bac ŘEŠENÍ VEKTOROVÉ ROVNICE Jak řešit vektorovou rovnici A x = y ??? Je třeba převést matici A na pravou stranu rovnice! Definujme „inverzní matici“ A-1 k matici A aby platilo A-1 A = E kde E je tzv. jednotková matice:             1...00 ............ 0...10 0...01 (všechny prvky jsou nulové kromě jedniček v hlavní diagonále) vlastnosti inverzní matice: A-1 A = A A-1 = E Vynásobením vektorové rovnice „zleva“ A-1 A x = A-1 y dostáváme řešení E x = A-1 y resp. x =A-1 y – 3 – Výpočet inverzní matice Jestliže           = 333231 232221 131211 aaa aaa aaa A , pak inverzní matice T 333231 232221 131211 1 AAA AAA AAA A 1           =− A kde A je determinant matice (číslo „charakterizující“ matici), Aij je „doplněk“ prvku aij, 3332 23222ji 11 aa aa )1(A =+ −= T v „exponentu“ matice znamená transpozici, tj. záměna sloupců za řádky (přeskupení prvků kolem hlavní diagonály jako osy symetrie). Výpočet determinantu matice A „Rozvoj“ matice podle libovolného řádku nebo sloupce Rozvoj A podle 1. řádku: 3231 2221 13 4ji 3331 2321 12 3ji 3332 2322 11 2ji aa aa a)1( aa aa a)1( aa aa a)1(A =+=+=+ −+−+−= determinanty v horním výrazu – subdeterminanty matice A 32233322 3332 2322 aaaa aa aa −= pak )aaaa(a)aaaa(a)aaaa(aA 312232211331233321123223332211 −+−−−= Příklad: Vypočítat determinant matice A (rozvoj podle 3. řádku) 217)125(8)158(7 56 21 8 45 32 7 807 456 321 A −=−+−−= − − + − =− − = Výpočet determinantu MS EXCEL • Prvky matice do sešitu • Kurzor do buňky kde má být výsledek • Zvolení funkce det (determinant) • Definice maticového pole – 4 – • Enter – výsledek Příklad: Vypočítat inverzní matici k matici A           − − = 302 543 210 A A-1 = ? 15)80(2)109(1 02 43 2 32 53 .10A −=+−−−= − −−= Pokud |A| = 0, pak A není „regulérní“ a neexistuje A-1 Doplňky: Výpočet inverzní matice k matici           − − = 302 543 210 A                 −− −−=                 −− −− =           −−− − − −=− 5 1 15 2 15 8 15 6 15 4 15 1 5 1 5 1 15 12 5 1 15 6 5 1 15 2 15 4 5 1 15 8 15 1 15 12 363 243 8112 15 1 A T T 1 MS EXCEL: • prvky matice do sešitu • definice výsledného maticového pole (musíme znát rozměr výsledné matice) • volba funkce „INVERZE“ • definice invertované matice • Shift+Ctrl+Enter výpočet 12 30 54 .)1(A 2 11 −= − −= 1 32 53 .)1(A 3 12 =−= 8 02 43 .)1(A 4 13 = − −= 3 30 21 .)1(A 3 21 −= − −= 4 32 20 .)1(A 4 22 = − −= 2 02 10 .)1(A 5 23 =−= 3 54 21 .)1(A 4 31 −= − − −= 6 53 20 .)1(A 5 32 −= − −= 3 43 10 .)1(A 6 33 −= − −= – 5 – Příklad: Řešte systém 4 lineárních rovnic o 4 neznámých Maticový zápis:            − =                         − −− − 4 1 8 2 x x x x 1221 1111 1112 1121 4 3 2 1 Vektorový zápis: A x = y Symbolické řešení: x = A-1 y             −− −− −− − =− 1110 6666,03333,03333,03333,0 13333,113333,0 6667,013333,00 A 1            −             −− −− −− − = 4 1 8 2 1110 6666,03333,03333,03333,0 13333,113333,0 6667,013333,00 x             =             = 3 1 2 1 x x x x 4 3 2 1 x Vektory se rovnají, pokud se rovnají jejich prvky! Pak tedy: x1 = 1, x2 = 2, x3 = 1, x4 = 3 2x2xx2x 4321 −=−−+ 8xxxx2 4321 =+++ 1xxxx 4321 =+−− 4xx2x2x 4321 =−++ R2: R3: R4: R1: