– 1 –
OPERACE S MATICEMI
1. Transformace vektoru
Při operaci Ax = y transformuje matice A vektor x do vektoru y (matice A jako operátor)












=
























4
3
2
1
4
3
2
1
44434241
34333231
24232221
14131211
y
y
y
y
x
x
x
x
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
Matice sama může představovat matici sloupcových vektorů












44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
~
















































44
34
24
14
43
33
23
13
42
32
22
12
41
31
21
11
a
a
a
a
;
a
a
a
a
;
a
a
a
a
;
a
a
a
a
Součin Ax může být také rozepsán jako
=
























4
3
2
1
44434241
34333231
24232221
14131211
x
x
x
x
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa












+












+












+












=
44
34
24
14
4
43
33
23
13
3
42
32
22
12
2
41
31
21
11
1
a
a
a
a
x
a
a
a
a
x
a
a
a
a
x
a
a
a
a
x
Příklad:
Transformační matice: matice vektorů:










−
−=
220
211
101
A









 −−
=
21011
02101
13211
B
zyxvu










=
0
2
2
Au










−
=
2
3
0
Av










−=
2
1
2
Ax









−
=
2
7
2
Ay










−
=
4
3
3
Az
Při součinu AB transformuje matice A každý vektor matice B zvlášť:










−−
−
−
=
42220
37132
32202
AB
AzAyAxAvAu
– 2 –
2. Báze prostoru
Sloupcové vektory jednotkové matice E tvoří bázi vektorového (euklidovského) prostoru R










=
100
010
001
E
kde










=
0
0
1
1e










=
0
1
0
2e










=
1
0
0
3e
Bázi prostoru získáme z vektorů e1, e2, e3 ... ei jako jejich vnější součin ∑=
i
T
iieeE
Transponovaný vektor(matice) je vektor (matice) se zaměněnými sloupci za řádky:
A = BT
kde aij = bji kde ei
T
je transponovaný vektor
T
33
T
22
T
11321 eeeeeeeee ++=
[ ] [ ] [ ]










=










+










+










=










+










+










=






























100
010
001
000
000
000
000
010
000
000
000
001
100
1
0
0
010
0
1
0
001
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
3 obecné sloupcové vektory a1, a2, a3 matice A3x3 tvoří 3-rozměrný objekt (vektorový objekt),
A =










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
kde a1 =










31
21
11
a
a
a
a2 =










32
22
12
a
a
a
a3 =










33
23
13
a
a
a
jehož objem vyjadřuje hodnota determinantu matice A, detA
– 3 –
3. Vnitřní součin (dot product) vektorů
x . y = xT
y = x yT
výsledkem vnitřního součinu je skalár
Příklad: [ ] 321
2
1
11y.x =+=





=
4. Absolutní délka vektoru
Čtverec absolutní délky vektoru x je dán vnitřním součinem xT
a x:
xxx T2
=
Příklad: [ ] 211
1
1
11
1
1
2
=+=





=




 2x =
5. Úhel svírající dvěma vektory
Kosinus úhlu θ mezi vektory x a y je dán vztahem
yyxx
yx
cos TT
T
=θ
Příklad:






=
2
1
x 




−
=
1
1
y
[ ]21xT
= [ ]11yT
−=
xT
x = 1 + 4 = 5 yT
y = 1 + 1 = 2
xT
y = -1 + 2 = 1
10
1
cos =θ
Jestliže vnitřní součin (dot product) vektorů (xT
y, yT
x) je roven nule, pak i cosθθθθ je roven nule a
vektory x, y svírají úhel 90o
. Říkáme, že vektory jsou ortogonální.
6. Ortogonální matice O
Čtvercová matice, složená z ortogonálních vektorů o jednotkové délce.
Determinant detO = ± 1.
– 4 –
Příklad:
Je matice O ortogonální?





 −
=
2/12/1
2/12/1
O det O = 1
Délka sloupcových vektorů
[ ] 1
2
1
2
1
22
1
22
1
2/1
2/1
2/12/1xxx T2
=+=+=





==
[ ] 1
2
1
2
1
22
1
22
1
2/1
2/1
2/12/1yyy T2
=+=+=




−
−==
úhel které vektory svírají
[ ] 0
2
1
2
1
22
1
22
1
2/1
2/1
2/12/1yxT
=+−=+−=




−
=
7. Rotace souřadnic
Transformace Ox (zde je O ve významu operátora) zachovává délku vektoru x, způsobí jen
posunutí koncového bodu v souřadném systému. Taková operace (geometrická transformace) může
být chápána jako rotace.
Příklad:
Ortogonální matice





 −
=
2/12/1
2/12/1
O transformuje např. vektor 





=
0
1
x
do vektoru 





=
2/1
2/1
y
Fyzikální význam této transformace je rotace o 45o
.
x = y délka y = 1
12
= x2
+ x2
x
y






====
0
1
x








====
2/1
2/1
y
x
y
2
1
x =
– 5 –
Obecně, rotace v rovině o úhel θ: 





θθ
θ−θ
=
cossin
sincos
O rotační matice
V trojrozměrném prostoru, rotace kolem osy x, y a z:










θθ
θ−θ=
cossin0
sincos0
001
Ox










θθ−
θθ
=
cos0sin
010
sin0cos
Oy










θθ−
θθ
=
100
0cossin
0sincos
Oz