– 1 –
APLIKACE MATICOVÉHO POČTU
MINERÁLNÍ MATICE
2-rozměrný systém MgO a SiO2
enstatit en MgSiO3 MgO.SiO2
forsterit fo Mg2SiO4 2 MgO.SiO2
křemen qz SiO2 SiO2
Ve dvourozměrném prostoru nemohou být tři a více vektorů nezávislých!!!
Na tvorbě minerálu se z určité části podílí složka (podíl /frakce/ složky na fázi)
en = 1/2 MgO + 1/2 SiO2
fo = 2/3 MgO + 1/3 SiO2
qz = + 1 SiO2
V dvourozměrném vektorovém prostoru MgO, SiO2 vektory:
en = [1/2 1/2]T
fo = [2/3 1/3]T
qz = [0 1]T
enstatit je vytvořen lineární kombinací fo a qz!
1 en = 3/4 fo + 1/4 qz
2 MgO.SiO2 + SiO2 celkem 4 moly: fo se podílí na 3 molech, qz se podílí na 1 molu
– 2 –
3-rozměrný systém CaO, MgO, SiO2
Enstatit, forsterit, diopsid
en: MgO + SiO2
fo: 2 MgO + SiO2
di: CaO + MgO + 2 SiO2
CaO = di
MgO = en + 2 fo + di
SiO2 = en + fo + 2 di




















=










di
fo
en
211
121
100
SiO
MgO
CaO
2
Projekce vektoru složení na osy podprostoru en, di, fo
– 3 –
PROJEKCE DO PODPROSTORU
matice










=
3231
2221
1211
aa
aa
aa
A
aa 21
vektor složení










=
3
2
1
x
x
x
b
Působení matice A na vektor x odpovídá lineární kombinaci sloupcových vektorů A
y = Ax










+










=















=
32
22
12
2
31
21
11
1
2
1
3231
2221
1211
21
a
a
a
x
a
a
a
x
x
x
aa
aa
aa
y
xaa
Matice A transformuje (promítá) vektor x do sloupcového podprostoru a1, a2.
Rozpětí vektorů a1 a a2 (plocha) tvoří dvojrozměrný podprostor trojrozměrného prostoru R3
Podprostor (plocha) je daná všemi lineárními kombinacemi vektorů a1 a a2!
Pravoúhlá projekce vektoru b z R3 do podprostoru tvořeného vektory a1, a2
Projektor P:
P = A(AT
A)-1
AT
P b = A(AT
A)-1
AT
b asociativní zákon: P b = A[(AT
A)-1
AT
b]
výsledný vektor: y = (AT
A)-1
AT
b (v koordinátách a1, a2)
P b = Ax (v koordinátách x, y, z)
bAAAb T1-T
2
1
)(
a
a
=





=
bAAAAbPb
T1-T
3
2
1
)(
x
x
x
==










=
- -
-
-










=
3
2
1
x
x
x
b
-
-
-
-






=
2
1
a
a
y-
– 4 –
Příklad:
Přepočet složení horniny do normativních minerálů
Složení horniny:










=










=
32,3
38,3
77,0
SiO
MgO
CaO
2
y moly jednotlivých složek
Promítnout do vektorového prostoru en – fo - di
en: MgO + SiO2
fo: 2 MgO + SiO2
di: CaO + MgO + 2 SiO2
CaO = di
MgO = en + 2 fo + di
SiO2 = en + fo + 2 di










=
211
121
100
difoen
A










=
211
120
110
T
A










=
643
453
332
T
AA ( )










−
−
−−
=
−
113
136
3614
1T
AA
( )










−
−−
=
−
001
111
213
T1T
AAA
výsledné minerální složení: ( )










=
−
77,0
83,0
95,0
T1T
yAAA
teoretické složení: ( )










==
−
32,3
38,3
77,0
T1T
yAAAAPy ukazuje rozdíl (chybu) mezi zadaným složením
a projektovaným do podprostoru.
– 5 –
Příklad:
Přepočet chemického složení na minerální fáze
x
M wt % mol Q
60,08 SiO2 65,98 1,0982
101,96 Al2O3 20,22 0,1983
159,69 Fe2O3 3,01 0,0188
56,08 CaO 4,26 0,0760
44,01 CO2 2,03 0,0461
18,02 H2O 4,67 0,2592
suma: 100,17
moly na 100 g
horniny
Matice A:
Q K G C S
SiO2 1,00 2,00 0,00 0,00 3,34
Al2O3 0,00 1,00 0,00 0,00 1,33
Fe2O3 0,00 0,00 0,50 0,00 0,00
CaO 0,00 0,00 0,00 1,00 0,33
CO2 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00
H2O 0,00 2,00 0,50 0,00 1,00
Q Q křemen SiO2
Al2Si2O5(OH)4 K kaolinit Al2O3 + 2 SiO2 + 2 H2O
FeO(OH) G göthit 0,5 Fe2O3 + 0,5 H2O
CaCO3 C kalcit CaO + CO2
Ca0,33Al2,66Si3,34O10(OH)2 S smektit 0,33 CaO + 1,33 Al2O3 + 3,34 SiO2 + H2O
AT
: 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
2,00 1,00 0,00 0,00 0,00 2,00
0,00 0,00 0,50 0,00 0,00 0,50
0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00
3,34 1,33 0,00 0,33 0,00 1,00
AT
A: 1,00 2,00 0,00 0,00 3,34
2,00 9,00 1,00 0,00 10,01
0,00 1,00 0,50 0,00 0,50
0,00 0,00 0,00 2,00 0,33
– 6 –
3,34 10,01 0,50 0,33 14,03
(AT
A)-1
AT
: 1,00 -2,59 -0,30 -0,57 0,57 0,30
0,00 -0,50 -0,75 -0,25 0,25 0,75
0,00 -0,07 1,96 0,18 -0,18 0,04
0,00 -0,18 -0,09 0,45 0,55 0,09
0,00 1,08 0,54 0,32 -0,32 -0,54
Vektor minerálů m
m = (AT
A)-1
AT
x = 0,638 Q
0,073 K
0,037 G
0,046 C
0,094 S
Teoretické složení - projekce do vektoru chem. složení (oxidů):
P = A(AT
A)-1
AT
= 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
0,00 0,93 -0,04 0,18 -0,18 0,04
0,00 -0,04 0,98 0,09 -0,09 0,02
0,00 0,18 0,09 0,55 0,45 -0,09
0,00 -0,18 -0,09 0,45 0,55 0,09
0,00 0,04 0,02 -0,09 0,09 0,98
Px = 1,0982
0,1981
0,0187
0,0765
0,0456
0,2593
(AT
A)-1
: 8,55 2,03 -0,59 0,57 -3,48
2,03 1,51 -1,50 0,25 -1,51
-0,59 -1,50 3,93 -0,18 1,08
0,57 0,25 -0,18 0,55 -0,32
-3,48 -1,51 1,08 -0,32 1,95
– 7 –
Příklad:
Přepočet analýzy na normativní minerály
složení
x
SiO2 42,0
TiO2 0,3
Al2O3 8,0
FeO 6,5
MgO 22,0
CaO 8,0
Na2O 0,5
87,3 hm. %
Složení minerálních fází na které chceme analýzu rozpočítat:
ol cpx gar
A: 41,90 54,60 41,50
0,07 0,13 0,11
0,00 1,90 18,00
7,77 2,22 7,04
48,50 15,80 18,10
0,06 20,60 6,70
0,00 1,44 0,00
98,30 96,69 91,45
AT
: 41,90 0,07 0,00 7,77 48,50 0,06 0,00
54,60 0,13 1,90 2,22 15,80 20,60 1,44
41,50 0,11 18,00 7,04 18,10 6,70 0,00
AT
A: 4168,2 3072,5 2671,8
3072,5 3665,8 2739,7
2671,8 2739,7 2468,3
(AT
A)-1
: 0,0008 -1E-04 -7E-04
-1E-04 0,0016 -0,002
-7E-04 -0,002 0,003
(AT
A)-1
AT
: -0,004 -4E-05 -0,013 0,0009 0,0236 -0,008 -2E-04
0,0143 2E-05 -0,027 -0,009 -0,011 0,0224 0,0023
0,0048 7E-05 0,051 0,012 -0,006 -0,014 -0,002
– 8 –
Vektor minerálů:
(AT
A)-1
AT
x: 0,210 22,849 ol
0,267 = 29,023 cpx
0,442 48,128 gar
suma 0,919 100 %
P = A(AT
A)-1
AT
:
0,8304 0,0021 0,114 0,038 0,1401 0,3262 0,0206
0,0021 7E-06 0,0012 0,0002 -4E-04 0,0008 3E-05
0,114 0,0012 0,868 0,1988 -0,13 -0,209 -0,038
0,038 0,0002 0,1988 0,0711 0,1161 -0,107 -0,013
0,1401 -4E-04 -0,13 0,1161 0,8607 -0,264 -0,016
0,3262 0,0008 -0,209 -0,107 -0,264 0,3664 0,0322
0,0206 3E-05 -0,038 -0,013 -0,016 0,0322 0,0034
Vektor teoretického složení:
Px = 41,74
0,10
8,47
5,34
22,41
8,47
0,38
– 9 –
Příklad:
Regrese dat
Metoda nejmenších čtverců jako ortogonální projekce datového vektoru do sloupcového
vektorového prostoru parametrů (matice A)
regrese: y = a1x + a2
Data:








































=


































2
1
a
a
aAy
110
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
6,10
03,9
60,8
66,7
65,6
63,5
13,5
72,3
99,2
48,2
46,1
projekce do vektoru parametrů a:
a = (AT
A)-1
AT
y
P = A(AT
A)-1
AT
projekce dat y = Py






=
11111111111
109876543210T
A 





=
1155
55385T
AA ( ) 





−
−
=
−
318,005,0
05,0009,01T
AA
– 10 –
( ) 





−−−
−−−−−
=
−
136,0091,0045,0000,0045,0091,0136,0182,0227,0273,0318,0
045,0036,0027,0018,0009,0000,0009,0018,0027,0036,0045,0T1T
AAA
( ) 





==
−
3532,1
8921,0T1T
yAAAa hledané parametry rovnice - výsledná regrese
P = A(AT
A)-1
AT
=
y = P y =
teoretické hodnoty
1,353
2,245
3,137
4,029
4,922
5,814
6,706
7,598
8,490
9,382
10,274
0,3180,2730,2270,1820,1360,0910,0450,000-0,045-0,091-0,136
0,2730,2360,2000,1640,1270,0910,0550,018-0,018-0,055-0,091
0,2270,2000,1730,1450,1180,0910,0640,0360,009-0,018-0,045
0,1820,1640,1450,1270,1090,0910,0730,0550,0360,0180,000
0,1360,1270,1180,1090,1000,0910,0820,0730,0640,0550,045
0,0910,0910,0910,0910,0910,0910,0910,0910,0910,0910,091
0,0450,0550,0640,0730,0820,0910,1000,1090,1180,1270,136
0,0000,0180,0360,0550,0730,0910,1090,1270,1450,1640,182
-0,045-0,0180,0090,0360,0640,0910,1180,1450,1730,2000,227
-0,091-0,055-0,0180,0180,0550,0910,1270,1640,2000,2360,273
-0,136-0,091-0,0450,0000,0450,0910,1360,1820,2270,2730,318