Matematika (a fyzika) schovaná za GPS Michal Bulant Masarykova univerzita Prírodovedecká fakulta Ustav matematiky a statistiky Brno, 30. dubna 2015 Michal Bulant (PřF MU) Matematika (a fyzika) schovaná za GPS Global Positioning system • minimálně 27 satelitů (24 aktivních - jsou po 4 rovnoměrně rozmístěny na 6 orbitálních drahách, 3 záložní), v tuto chvíli 34 aktivních, viz http://www.navcen.uscg.gov/?Do=constellationStatus Global Positioning system • minimálně 27 satelitů (24 aktivních - jsou po 4 rovnoměrně rozmístěny na 6 orbitálních drahách, 3 záložní), v tuto chvíli 34 aktivních, viz http://www.navcen.uscg.gov/?Do=constellationStatus • výška cca 19 300 km na povrchem Země, cca 2 oběhy denně Global Positioning system • minimálně 27 satelitů (24 aktivních - jsou po 4 rovnoměrně rozmístěny na 6 orbitálních drahách, 3 záložní), v tuto chvíli 34 aktivních, viz http://www.navcen.uscg.gov/?Do=constellationStatus • výška cca 19 300 km na povrchem Země, cca 2 oběhy denně • z každého místa na Zemi viditelných 4-12 satelitů Global Positioning system • minimálně 27 satelitů (24 aktivních - jsou po 4 rovnoměrně rozmístěny na 6 orbitálních drahách, 3 záložní), v tuto chvíli 34 aktivních, viz http://www.navcen.uscg.gov/?Do=constellationStatus • výška cca 19 300 km na povrchem Země, cca 2 oběhy denně • z každého místa na Zemi viditelných 4-12 satelitů • od 1. května 2000 zrušeno umělé zkreslování dat (SA - selective availability) Jak to vlastně funguje? 4 □ ► -š -O<\0 Matematika (a fyzika) schovaná za GPS Výpočet pozice - úvod Satelity obíhající (nejde o stacionárni družice) Zemi vysílají zprávy obsahující: • čas vyslání zprávy, • polohu satelitu, • systémovou informaci o stavu a (přibližné) pozici ostatních satelitů. Z těchto informací chce příjemce (GPS přijímač) odvodit informaci o své poloze. Michal Bulant (PřF MU) 4(5> -š -O<\0 Matematika (a fyzika) schovaná za GPS Prijímač na základě polohové a časové informace [x/,y,-, z,-, ry] od alespoň 3(4) satelitu vypočte svoji zdanlivou vzdálenost r, od jednotlivých vysílačů (pseudorange) za předpokladu, že se signál šíří rychlostí světla (odhadněte, jak dlouho letí signál). Prijímač na základě polohové a časové informace [x/,y,-, z,-, ry] od alespoň 3(4) satelitu vypočte svoji zdanlivou vzdálenost r, od jednotlivých vysílačů (pseudorange) za předpokladu, že se signál šíří rychlostí světla (odhadněte, jak dlouho letí signál). Vypočtená vzdálenost od satelitu spolu s jeho polohou při vyslání signálu udává sféru (povrch koule), na níž přijímač leží. Průsečíkem takových dvou sfér je pak kružnice, obsahující daný bod. Výpočet pozice - pokračovaní Průsečíkem třetí sféry s touto kružnicí jsou pak (obvykle) 2 body. Výslednou pozici je pak možné určit jako: • ten z průsečíků, který je blíže povrchu Země (v obvyklém případě GPS přijímače v autě či v ruce) Michal Bulant (PřF MU) 4(5> -š -0<\O Matematika (a fyzika) schovaná za GPS Výpočet pozice - pokračovaní Průsečíkem třetí sféry s touto kružnicí jsou pak (obvykle) 2 body. Výslednou pozici je pak možné určit jako: • ten z průsečíků, který je blíže povrchu Země (v obvyklém případě GPS přijímače v autě či v ruce) • ten z průsečíků, který je blíže čtvrté sféře - v tomto případě je rovněž možné pomocí GPS určit nadmořskou výšku, v níž se přijímač pohybuje. Michal Bulant (PřF MU) Matematika (a fyzika) schovaná za GPS Konečně slíbená matematika Pro zjednodušení výpočtů je možné bez újmy na obecnosti zvolit kartézskou soustavu souřadnic tak, že středy sfér (tj. pozice vysílajících satelitů) jsou v rovině xy (tj. z = 0), jeden ze středů dále umístíme v počátku a druhý na ose x. Uvažujme tedy tři sféry se středy v bodech [0, 0, 0], [u, 0, 0], [v, w, 0] a poloměry r\, r2, r% a dostaneme tak pro hledanou pozici [x,y,z] rovnice Michal Bulant (PřF MU) Matematika (a fyzika) schovaná za GPS Konečně slíbená matematika Pro zjednodušení výpočtů je možné bez újmy na obecnosti zvolit kartézskou soustavu souřadnic tak, že středy sfér (tj. pozice vysílajících satelitů) jsou v rovině xy (tj. z = 0), jeden ze středů dále umístíme v počátku a druhý na ose x. Uvažujme tedy tři sféry se středy v bodech [0, 0, 0], [u, 0, 0], [v, w, 0] a poloměry r\, r2, r% a dostaneme tak pro hledanou pozici [x,y,z] rovnice x2+y2+z2 = r2 {x-u)2+y2+z2 = r2 (x - v)2 + (y - w)2 + z2 = rf Michal Bulant (PřF MU) Matematika (a fyzika) schovaná za GPS Konečně slíbená matematika x2+y2+z2 = r2 {x-u)2+y2+z2 = r2 (x - v)2 + (y - w)2 + z2 = rf Konečně slíbená matematika x2+y2+z2 = r2 {x-u)2+y2+z2 = r2 (x - v)2 + (y - w)2 + z2 = rf Odečtením 2. rovnice od první a snadnou úpravou dostaneme X = Uľl ~ ľ2 + "2l Michal Bulant (PřF MU) 4(5> = o^O Matematika (a fyzika) schovaná za GPS Konečně slíbená matematika x2+y2+z2 = r2 {x-u)2+y2+z2 = r2 (x - v)2 + (y - w)2 + z2 = rf Odečtením 2. rovnice od první a snadnou úpravou dostaneme x = jjj(r2 — r| + u2), odkud po dosazení za x do první rovnice dostaneme vztah (r2 - r2 + u2)2 _ 2 2 Michal Bulant (PřF MU) 4(5> -š -O<\0 Matematika (a fyzika) schovaná za GPS Konečně slíbená matematika x2+y2+z2 = r2 {x-u)2+y2+z2 = r2 (x - v)2 + (y - w)2 + z2 = rf Odečtením 2. rovnice od první a snadnou úpravou dostaneme x = jjj(r2 — r| + u2), odkud po dosazení za x do první rovnice dostaneme vztah (r2 - r2 + u2)2 _ 2 2 Podmínkou pro řešitelnost (tj. pro to, že se první dvě sféry vůbec protínají) je 2ur\ > r2 — r| + u2, Michal Bulant (PřF MU) 4(5> = o^O Matematika (a fyzika) schovaná za GPS Konečně slíbená matematika x2+y2+z2 = r2 {x-u)2+y2+z2 = r2 (x - v)2 + (y - w)2 + z2 = rf Odečtením 2. rovnice od první a snadnou úpravou dostaneme x = jjj(r2 — r| + u2), odkud po dosazení za x do první rovnice dostaneme vztah (r2 - r2 + u2)2 _ 2 2 Podmínkou pro řešitelnost (tj. pro to, že se první dvě sféry vůbec protínají) je 2ur\ > r2 — r| + u2, neboli r| > (u — r\)2, či r\ + r2 > u > r\ — r2 (tuto podmínku lze samozřejmě takřka ihned vidět z obrázku). Při splnění odvozené podmínky již vypočteme i souřadnici y pomocí dosazení do třetí rovnice. Souřadnici z pak lze dopočítat např. jako z = ±\jr2 — x2 — y2. lichal Bulant (PřF MU) Matematika (a fyzika) seno' Jak ale počítat prakticky odmocniny? V důsledku je třeba řešit nelineární soustavu rovnic o více neznámých - již jsme ukázali jeden způsob, jakým ji lze převést na postupné řešení rovnic o jedné neznámé. Newton-Raphsonova metoda je iterativní metoda na hledání kořenů reálných funkcí (obecně více proměnných). Michal Bulant (PřF MU) Matematika (a fyzika) schovaná za GPS Jak ale počítat prakticky odmocniny? V důsledku je třeba řešit nelineární soustavu rovnic o více neznámých - již jsme ukázali jeden způsob, jakým ji lze převést na postupné řešení rovnic o jedné neznámé. Newton-Raphsonova metoda je iterativní metoda na hledání kořenů reálných funkcí (obecně více proměnných). Newtonova metoda tečen S touto metodou přišel Newton kolem roku 1670 a vysvětlil ji na příkladu rovnice (viz též tato ukázka) x3 - 2x - 5 = 0. Jeden z kořenů je blízko 2, položil tedy x = 2 + p a dosazením do rovnice dostal vztah pro p: Michal Bulant (PřF MU) Matematika (a fyzika) schovaná za GPS Jak ale počítat prakticky odmocniny? V důsledku je třeba řešit nelineární soustavu rovnic o více neznámých - již jsme ukázali jeden způsob, jakým ji lze převést na postupné řešení rovnic o jedné neznámé. Newton-Raphsonova metoda je iterativní metoda na hledání kořenů reálných funkcí (obecně více proměnných). Newtonova metoda tečen S touto metodou přišel Newton kolem roku 1670 a vysvětlil ji na příkladu rovnice (viz též tato ukázka) x3 - 2x - 5 = 0. Jeden z kořenů je blízko 2, položil tedy x = 2 + p a dosazením do rovnice dostal vztah pro p: p3 + 6p2 + lOp - 1 = 0. Michal Bulant (PřF MU) Matematika (a fyzika) schovaná za GPS Jak ale počítat prakticky odmocniny? V důsledku je třeba řešit nelineární soustavu rovnic o více neznámých - již jsme ukázali jeden způsob, jakým ji lze převést na postupné řešení rovnic o jedné neznámé. Newton-Raphsonova metoda je iterativní metoda na hledání kořenů reálných funkcí (obecně více proměnných). Newtonova metoda tečen S touto metodou přišel Newton kolem roku 1670 a vysvětlil ji na příkladu rovnice (viz též tato ukázka) x3 - 2x - 5 = 0. Jeden z kořenů je blízko 2, položil tedy x = 2 + p a dosazením do rovnice dostal vztah pro p: p3 + 6p2 + lOp - 1 = 0. Protože je ale p malé, je možné zanedbat členy p3,6p2, odkud p = To samozřejmě není přesné řešení, jde ale o další zpřesnění, můžeme nyní psát x = 2,1 + q, dostat tak další aproximaci x = 2,0946 atd. lichal Bulant (PřF ľ i/latematika (a fyzika) scho1 Jak ale počítat prakticky odmocniny? Ukažme zde pro ilustraci použití této metody pro odvození elegantního postupu výpočtu druhé odmocniny (tento postup je znám jako Babylónská metoda či jako Heronův vzorec1). 1To samozřejmě neznamená, že Newton měl něco společného s dávnými Babyloňany, jeho metoda je obecnější. lichal Bulant (PřF I □ ► 4 (5? ► 1 -OQ. i/latematika (a fyzika) scho1 Jak ale počítat prakticky odmocniny? Ukažme zde pro ilustraci použití této metody pro odvození elegantního postupu výpočtu druhé odmocniny (tento postup je znám jako Babylónská metoda či jako Heronův vzorec1). O Mějme dánu diferencovatelnou funkci f(x) a aproximaci jejího kořene x0. 1To samozřejmě neznamená, že Newton měl něco společného s dávnými Babyloňany, jeho metoda je obecnější. lichal Bulant (PřF I □ ► 4 (5? ► 1 -OQ. i/latematika (a fyzika) scho1 Jak ale počítat prakticky odmocniny? Ukažme zde pro ilustraci použití této metody pro odvození elegantního postupu výpočtu druhé odmocniny (tento postup je znám jako Babylónská metoda či jako Heronův vzorec1). O Mějme dánu diferencovatelnou funkci f(x) a aproximaci jejího kořene x0. O Postupně počítejme další iterace pomocí vztahu xn+i = x„ — fS?"\. 1To samozřejmě neznamená, že Newton měl něco společného s dávnými Babyloňany, jeho metoda je obecnější. lichal Bulant (PřF I □ ► 4 (5? ► 1 -O^O i/latematika (a fyzika) scho1 Jak ale počítat prakticky odmocniny? Ukažme zde pro ilustraci použití této metody pro odvození elegantního postupu výpočtu druhé odmocniny (tento postup je znám jako Babylónská metoda či jako Heronův vzorec1). O Mějme dánu diferencovatelnou funkci f(x) a aproximaci jejího kořene x0. O Postupně počítejme další iterace pomocí vztahu xn+\ = xn — fS?"\. 1To samozřejmě neznamená, že Newton měl něco společného s dávnými Babyloňany, jeho metoda je obecnější. lichal Bulant (PřF I □ ► 4 (5? ► 1 -O^O i/latematika (a fyzika) scho1 Jak ale počítat prakticky odmocniny? Ukažme zde pro ilustraci použití této metody pro odvození elegantního postupu výpočtu druhé odmocniny (tento postup je znám jako Babylónská metoda či jako Heronův vzorec1). O Mějme dánu diferencovatelnou funkci f(x) a aproximaci jejího kořene x0. O Postupně počítejme další iterace pomocí vztahu xn+i = x„ — fS?"\. T (Xn) Pro výpočet druhé odmocniny z a (tj. hledání kořene funkce f(x) = x2 — a) tak dostáváme iterační postup xn+i = \{xn + ^-). 1To samozřejmě neznamená, že Newton měl něco společného s dávnými Babyloňany, jeho metoda je obecnější. lichal Bulant (PřF I □ ► 4 (5? ► 1 -O^O i/latematika (a fyzika) scho1 Jak ale počítat prakticky odmocniny? Ukažme zde pro ilustraci použití této metody pro odvození elegantního postupu výpočtu druhé odmocniny (tento postup je znám jako Babylónská metoda či jako Heronův vzorec1). O Mějme dánu diferencovatelnou funkci f(x) a aproximaci jejího kořene x0. O Postupně počítejme další iterace pomocí vztahu xn+i = x„ — fS?"\. T (Xn) Pro výpočet druhé odmocniny z a (tj. hledání kořene funkce f(x) = x2 — a) tak dostáváme iterační postup xn+i = \{xn + ^-). Tato metoda se dá analogicky použít při optimalizaci, kde místo kořene hledáme řešení rovnice f'{x) = 0. 1To samozřejmě neznamená, že Newton měl něco společného s dávnými Babyloňany, jeho metoda je obecnější. lichal Bulant (PřF I □ ► 4 (5? ► 1 -O^O i/latematika (a fyzika) scho1 Príklad Vypočtěme Vľ2 s x0 = 3: x1 = 3±4, x2 = 7/2+224/7 = 97/28 « 3,46429, pritom 7l2 « 3,46410. Michal Bulant (PřF MU) Matematika (a fyzika) schovaná za GPS Příklad Vypočtěme Vľ2 s x0 = 3: x1 = 3±4, x2 = 7/2+224/7 = 97/28 « 3,46429, přitom 7l2 « 3,46410. Analýza efektivity Newtonovy metody Pomocí Taylorovy věty lze v nějakém okolí x„ psát f (X) = f(xn) + f'(xn)(x - Xn) + ^VX* - X„)2, kde a je mezi x„ a x. Michal Bulant (PřF MU) Matematika (a fyzika) schovaná za GPS Příklad Vypočtěme 7Í2 s x0 = 3: xx = ^±4, x2 = 7/2+224/7 = 97/28 « 3,46429, přitom 7l2 « 3,46410. Analýza efektivity Newtonovy metody Pomocí Taylorovy věty lze v nějakém okolí x„ psát f (X) = f(xn) + f'(xn)(x - X„) + ^VX* - X„)2, kde a je mezi x„ a x. Protože hledáme x splňující f(x) = 0, lze po vydělení f'(xn) vztah upravit na ^ + fx-x)--^íx-x)2 a tedy x - xn+i 2/r'(x„) (x - x„)2 Michal Bulant (PřF MU) Matematika (a fyzika) schovaná za GPS Newtonova metoda - příklad, kdy nefunguje Efektivnost odmocňování V našem konkrétním případě funkce f(x) = x2 — a tak dostáváme (f>(x) = 2x, f"{x) = 2) X ~ Xn+l 4x„ (x - xný a je tedy vidět, že chyba \x — x„| se pro vhodná x (obvykle) rychle zmenšuje. Michal Bulant (PřF MU) Matematika (a fyzika) schovaná za GPS Newtonova metoda - příklad, kdy nefunguje Efektivnost odmocňování V našem konkrétním případě funkce f(x) = x2 — a tak dostáváme (f>(x) = 2x, f"{x) = 2) X - Xn+1 = --7—(x ~ xn) a je tedy vidět, že chyba \x — x„| se pro vhodná x (obvykle) rychle zmenšuje. Příklad Příkladem funkce, jejíž kořen tato metoda nenajde, ani když začneme sebeblíže, je f(x) = tfx. Zde totiž dostaneme Xn+l = Xn ~ 77 f(Xn) 1/3 f'{Xn) 1 .-2/3 -2x„ 3X" lichal Bulant (PřF ľ i/latematika (a fyzika) scho1 Zobecnění na případ více proměnných Zobecnění na (např.) k rovnic o k neznámých je relativně přímočaré: Xn+l = X„ - JfÍXhY1 ■ F(xn), kde Jp je Jacobián zobrazení F. Výpočet jeho inverze je ale časově velmi náročná operace, proto se často místo toho využívá • řešení příslušné soustavy lineárních rovnic, • výpočet zobecněné inverze, při více než k rovnicích metoda nej menších čtverců • metoda sdružených gradientů pro řešení příslušné soustavy, • různých tzv. Ávaz/-newtonovských metod, využívajících pouze přibližného Hessiánu (např. BFGS) - viz např. http://demonstrations.wolfram.com/ MinimizingTheRosenbrockFunction/. Michal Bulant (PřF MU) Matematika (a fyzika) schovaná za GPS Fyzika a praxe nám to trochu (no ... dost) zkomplikuje Do ideálního stavu ukázaného dříve se nám ale vloudí více či méně závažné chyby: O Satelity disponují vysoce přesnými atomovými hodinami, to ale naše kapesní GPSka neumí (stála by řádově milióny). Michal Bulant (PřF MU) -š -O<\0 Matematika (a fyzika) schovaná za GPS Fyzika a praxe nám to trochu (no ... dost) zkomplikuje Do ideálního stavu ukázaného dříve se nám ale vloudí více či méně závažné chyby: O Satelity disponují vysoce přesnými atomovými hodinami, to ale naše kapesní GPSka neumí (stála by řádově milióny). O Šíří se signál skutečně rychlostí světla i při průchodu ionosférou? Michal Bulant (PřF MU) 4(5> -š -O<\0 Matematika (a fyzika) schovaná za GPS Fyzika a praxe nám to trochu (no ... dost) zkomplikuje Do ideálního stavu ukázaného dříve se nám ale vloudí více či méně závažné chyby: O Satelity disponují vysoce přesnými atomovými hodinami, to ale naše kapesní GPSka neumí (stála by řádově milióny). O Šíří se signál skutečně rychlostí světla i při průchodu ionosférou? O Signál se odráží od různých terénních překážek, budov apod. Michal Bulant (PřF MU) -š -O<\0 Matematika (a fyzika) schovaná za GPS Fyzika a praxe nám to trochu (no ... dost) zkomplikuje Do ideálního stavu ukázaného dříve se nám ale vloudí více či méně závažné chyby: O Satelity disponují vysoce přesnými atomovými hodinami, to ale naše kapesní GPSka neumí (stála by řádově milióny). O Šíří se signál skutečně rychlostí světla i při průchodu ionosférou? O Signál se odráží od různých terénních překážek, budov apod. 0 Do hry velmi zásadně vstupuje i speciální a obecná teorie relativity. Michal Bulant (PřF MU) 4(5> -š -O<\0 Matematika (a fyzika) schovaná za GPS Fyzika a praxe nám to trochu (no ... dost) zkomplikuje Do ideálního stavu ukázaného dříve se nám ale vloudí více či méně závažné chyby: O Satelity disponují vysoce přesnými atomovými hodinami, to ale naše kapesní GPSka neumí (stála by řádově milióny). O Šíří se signál skutečně rychlostí světla i při průchodu ionosférou? O Signál se odráží od různých terénních překážek, budov apod. 0 Do hry velmi zásadně vstupuje i speciální a obecná teorie relativity. Michal Bulant (PřF MU) 4(5> -š -O<\0 Matematika (a fyzika) schovaná za GPS Fyzika a praxe nám to trochu (no ... dost) zkomplikuje Do ideálního stavu ukázaného dříve se nám ale vloudí více či méně závažné chyby: O Satelity disponují vysoce přesnými atomovými hodinami, to ale naše kapesní GPSka neumí (stála by řádově milióny). O Šíří se signál skutečně rychlostí světla i při průchodu ionosférou? O Signál se odráží od různých terénních překážek, budov apod. 0 Do hry velmi zásadně vstupuje i speciální a obecná teorie relativity. Sekunda je podle soustavy SI definována jako doba trvání 9192631 770 period záření, odpovídající přechodu mezi dvěma hladinami velmi jemné struktury základního stavu atomu 133 Cs. [Wiki] □ ► 4 (5? ► 4 lichal Bulant (PřF ľ i/latematika (a fyzika) scho1 Zdroje chyb GPS Error Source Typical or Maximum Error Ionosphere 10 Meters Troposphere 1 Meter Satellite Clock Synchronization 1 Meter Electronic Noise 2 Meters Multipath Error 0.5 Meters Satellite Position (Ephemeris) 1 Meter Intentional Degradation 0 Meters Net RMS error 10 Meters Typical Geometric Error (GDOP) 4 Final RMS error (Net x GDOP) 40 meters Actual Typical Error 10 meters Zdroj: http://www.pdhcenter.com/courses/1116/1116content.htm Michal Bulant (PřF MU) Matematika (a fyzika) schovaná za GPS Jak se vyrovnat s chybami - hodiny v přijímači S nepřesností levných hodin v GPS přijímači se vyrovnáme poměrně snadno - k tomu nám slouží právě čtvrtý (a případně další) satelit, který jsme dosud ve výpočtech nepoužili. V praxi tak dostáváme čtyři nebo více rovnic o čtyřech neznámých (x,y,z, error). Na obrázku je pro zjednodušení ukázán 2D případ, kde hodiny v přijímači jsou zpožděny o 0,5 s. Michal Bulant (PřF MU) Matematika (a fyzika) schovaná za GPS Jak se vyrovnat s chybami - hodiny v přijímači Pokud je vidět více než čtyři satelity, máme tzv. přeurčený systém rovnic a do hry vstupuje možnost vybrat si z několika možností tu nejlepší -v takovém případě se poloha aproximuje pomocí metody nej menších čtverců. Metoda slouží k rekonstrukci funkce f z hodnot fo,..., fn naměřených v uzlových bodech an,..., a„ . Tuto rekonstrukci hledáme vzhledem k danému modelu - dané posloupnosti funkcí (obecně více proměnných) go{x),gm{x),... - ve tvaru m j=0 Cílem je při tom minimalizovat součet čtverců n J2ifi ~ ym{3i))2- Aproximace metodou nejmenších čtverců Michal Bulant (PřF MU) 4(5> -š -0<\O Matematika (a fyzika) schovaná za GPS Ukažme si použití této metody v nejjednodušším případě, kdy máme dáno n bodů ([xi, yi],..., [x„, yn\) a hledáme přímku, která nejlépe vystihuje rozložení těchto bodů. Michal Bulant (PřF MU) 4(5> -š -O<\0 Matematika (a fyzika) schovaná za GPS Ukažme si použití této metody v nejjednodušším případě, kdy máme dáno n bodů ([xi,yi],..., [x„,y„]) a hledáme přímku, která nejlépe vystihuje rozložení těchto bodů. Hledáme tedy funkci tvaru f(x) = a ■ x + b s neznámými a, b G R tak, aby hodnota X>(*/)-y/)2 byla minimální. Ukažme si použití této metody v nejjednodušším případě, kdy máme dáno n bodů ([xi, yi],..., [x„, yn\) a hledáme přímku, která nejlépe vystihuje rozložení těchto bodů. Hledáme tedy funkci tvaru f(x) = a • x + b s neznámými a, b G M tak, aby hodnota X>(*/)-y/)2 byla minimální. S využitím diferenciálního počtu lze snadno odvodit následující tvrzení. Věta Mezi přímkami tvaru f[x) = a • x + b má nejmenší součet čtverců vzdáleností funkčních hodnot v bodech x\,..., x„ od hodnot y funkce splňující a ^ x; + b ■ n = ^ y; Michal Bulant (PřF MU) Matematika (a fyzika) schovaná za GPS Metoda nejmenších čtverců - příklad Příklad Metodou nejmenších čtverců určete regresní přímku odpovídající naměřeným datům: X i 2 3 4 y 1,5 1,6 2,1 3,0 Metoda nejmenších čtverců - příklad Příklad Metodou nejmenších čtverců určete regresní přímku odpovídající naměřeným datům: X i 2 3 4 y 1,5 1,6 2,1 3,0 Řešení Data je vhodné seřadit v tabulce podle schématu: X y xy X2 1 1,5 1,5 1 2 1,6 3,2 4 3 2,1 6,3 9 4 3 12 16 10 8,2 23 30 Michal Bulant (PřF MU) Matematika (a fyzika) schovaná za GPS Metoda nejmenších čtverců - příklad Příklad Metodou nejmenších čtverců určete regresní přímku odpovídající naměřeným datům: X i 2 3 4 y 1,5 1,6 2,1 3,0 Řešení Data je vhodné seřadit v tabulce podle schématu: X y xy X2 1 1,5 1,5 1 2 1,6 3,2 4 3 2,1 6,3 9 4 3 12 16 10 8,2 23 30 Odtud 30a + 10b = 23,10a + 4b = 8,2, a tedy a = 0,5, b = 0,8. Jak se vyrovnat s chybami - teorie relativity GPS ukazuje jeden z nej praktičtějších důsledků teorie relativity - pokud bychom ji nevzali v potaz, bude metoda GPS prakticky nepoužitelná. Michal Bulant (PřF MU) Matematika (a fyzika) schovaná za GPS Jak se vyrovnat s chybami - teorie relativity GPS ukazuje jeden z nejpraktičtějších důsledků teorie relativity - pokud bychom ji nevzali v potaz, bude metoda GPS prakticky nepoužitelná. Atomové hodiny pracují s přesností na nanosekundy (ns = 10~9 s), abychom byli schopni zaručit přesnost zjištění pozice na cca 10 m, je třeba umět určit přesnost času vysílače s přesností cca 30 ns. Přitom se satelity vzhledem k Zemi pohybují rychlostí cca 14 000 km/h. Michal Bulant (PřF MU) Matematika (a fyzika) schovaná za GPS Jak se vyrovnat s chybami - teorie relativity GPS ukazuje jeden z nej praktičtějších důsledků teorie relativity - pokud bychom ji nevzali v potaz, bude metoda GPS prakticky nepoužitelná. Atomové hodiny pracují s přesností na nanosekundy (ns = 10~9 s), abychom byli schopni zaručit přesnost zjištění pozice na cca 10 m, je třeba umět určit přesnost času vysílače s přesností cca 30 ns. Přitom se satelity vzhledem k Zemi pohybují rychlostí cca 14 000 km/h. • Do hry tak vstupuje speciální teorie relativity, neboť přijímač a vysílač jsou vůči sobě v pohybu, dochází ke zpomalení hodin vysílače oproti pozorovateli (dilatace času) o ~ 2-(34io5)2 ~ 10 10> tj- as' o 7,7/xs/den. Michal Bulant (PřF MU) -š -O<\0 Matematika (a fyzika) schovaná za GPS Jak se vyrovnat s chybami - teorie relativity GPS ukazuje jeden z nej praktičtějších důsledků teorie relativity - pokud bychom ji nevzali v potaz, bude metoda GPS prakticky nepoužitelná. Atomové hodiny pracují s přesností na nanosekundy (ns = 10~9 s), abychom byli schopni zaručit přesnost zjištění pozice na cca 10 m, je třeba umět určit přesnost času vysílače s přesností cca 30 ns. Přitom se satelity vzhledem k Zemi pohybují rychlostí cca 14 000 km/h. • Do hry tak vstupuje speciální teorie relativity, neboť přijímač a vysílač jsou vůči sobě v pohybu, dochází ke zpomalení hodin vysílače oproti pozorovateli (dilatace času) o ~ 2-(34io5)2 ~ 10 10> tj- as' o 7,7/xs/den. • Další ještě významnější efekt představuje obecná teorie relativity, která implikuje, že hodiny poblíž masivního objektu (Země) jdou pomaleji než hodiny vzdálenější (díky většímu zakřivení prostoročasu). Z povrchu Země vidíme tedy satelitní hodiny jdoucí rychleji než tytéž hodiny umístěné na Zemi o cca 45/xs za den. lichal Bulant (PřF MU) Matematika (a fyzika) seno' Jak se vyrovnat s chybami - teorie relativity a Nezapočítáním teorie relativity bychom tak dostali chybu v řádu 38/xs za den, což v důsledku znamená cca 10km chybu v určení pozice. Michal Bulant (PřF MU) Matematika (a fyzika) schovaná za GPS Jak se vyrovnat s chybami - teorie relativity a Nezapočítáním teorie relativity bychom tak dostali chybu v řádu 38/xs za den, což v důsledku znamená cca 10km chybu v určení pozice. • Tato chyba je opravena umělým zpomalením atomových hodin umístěných v satelitech oproti hodinám na Zemi (10,22999999543 MHz oproti 10,23 MHz). Michal Bulant (PřF MU) Matematika (a fyzika) schovaná za GPS Diferenciální GPS Jedno z mnoha možných vylepšení je založeno na myšlence, že relativně blízké přijímače podléhají analogických atmosférickým chybám. Díky pevným stanicím - např. world DGPS database, Michal Bulant (PřF MU) Matematika (a fyzika) schovaná za GPS Diferenciální GPS Jedno z mnoha možných vylepšení je založeno na myšlence, že relativně blízké přijímače podléhají analogických atmosférickým chybám. Díky pevným stanicím - např. world DGPS database, U.S. Coast Guard NavCen, Michal Bulant (PřF MU) Matematika (a fyzika) schovaná za GPS Diferenciální GPS Jedno z mnoha možných vylepšení je založeno na myšlence, že relativně blízké přijímače podléhají analogických atmosférickým chybám. Díky pevným stanicím - např. world DGPS database, U.S. Coast Guard NavCen. CZEPOS (VUT/TUBO) Michal Bulant (PřF MU) Matematika (a fyzika) schovaná za GPS Diferenciální GPS Jedno z mnoha možných vylepšení je založeno na myšlence, že relativně blízké přijímače podléhají analogických atmosférickým chybám. Díky pevným stanicím - např. world DGPS database, U.S. Coast Guard NavCen. CZEPOS (VUT/TUBO)- u nichž je s vysokou přesností známa poloha a které vysílají rozdíl mezi touto polohou a polohou vypočtenou na základě informací ze satelitů, je možné u špicových DGPS přístrojů dosáhnout přesnosti v řádu centimetrů. Michal Bulant (PřF MU) Matematika (a fyzika) schovaná za GPS Příklad na závěr Příklad V tabulce jsou uvedena skutečná data z několika satelitů - geocentrické souřadnice jsou uvedeny v metrech, čas přenosu signálu v nanosekundách. Vaším úkolem je s využitím vhodného SW (např OpenOffice Calc, vhodný programovací jazyk, apod.) určit: O geocentrické souřadnice místa pozorovatele, O popsat skutečné místo na Zemi, kde se pozorovatel nacházel (?!). Michal Bulant (PřF MU) Matematika (a fyzika) schovaná za GPS Příklad na závěr Příklad V tabulce jsou uvedena skutečná data z několika satelitů - geocentrické souřadnice jsou uvedeny v metrech, čas přenosu signálu v nanosekundách. Vaším úkolem je s využitím vhodného SW (např OpenOffice Calc, vhodný programovací jazyk, apod.) určit: O geocentrické souřadnice místa pozorovatele, O popsat skutečné místo na Zemi, kde se pozorovatel nacházel (?!). C. sat. x [m] y M z [m] dt [ns] 1 14177553.47 -18814768.09 12243866.38 70446329.64 2 15097199.81 -4636088.67 21326706.55 75142197.81 3 23460342.33 -9433518.58 8174941.25 78968497.2 4 -8206488.95 -18217989.14 17605231.99 69887173.01 5 1399988.07 -17563734.90 19705591.18 67231182.38 6 6995655.48 -23537808.26 -9927906.48 80796265.09 Michal Bulant (PřF MU) Matematika (a fyzika) schovaná za GPS Použitá literatura • Wikipedia, The Free Encyclopedia, www.wikipedia.org. • Neil Ashby, Relativity and the Global Positioning System. Physics Today, May 2002. Michal Bulant (PřF MU) Matematika (a fyzika) schovaná za GPS Použitá literatura • Wikipedia, The Free Encyclopedia, www.wikipedia.org. • Neil Ashby, Relativity and the Global Positioning System. Physics Today, May 2002. Děkuji za pozornost! Michal Bulant (PřF MU) Matematika (a fyzika) schovaná za GPS