Seminář z matematiky II – jaro 2014 – 1. písemka
Všechna svoje tvrzení zdůvodněte.
1. Dokažte, že množina
{ a + b
√
2 + c
√
3 + d
√
6 | a, b, c, d ∈ Q }
spolu s obvyklými operacemi + a · na R tvoří vektorový prostor nad tělesem
({ a + b
√
2 | a, b ∈ Q }, +, ·). Dokažte, že množina { a
√
3 + b
√
6 | a, b ∈ Q } je jeho
podprostorem, a určete dimenzi tohoto podprostoru.
2. Podmnožina C vektorového prostoru V nad R se nazývá konvexní kužel, jestliže
0 ∈ C a pro každá u, v ∈ C a a, b ∈ R splňující a, b ≥ 0 platí au+bv ∈ C. Dokažte,
že pro libovolnou podmnožinu M ⊆ V je množina
{ a1v1 + · · · + anvn | n ∈ N0, a1, . . . , an ≥ 0, v1, . . . , vn ∈ M }
nejmenší konvexní kužel obsahující množinu M.
3. Pro libovolná reálná čísla m a n definujme zobrazení f : C → C předpisem
f(a + b · i) = m · a + n · b · i .
Rozhodněte, pro která m a n je toto zobrazení lineární, chápeme-li C jako vektorový
prostor nad R (respektive nad C) s obvyklými operacemi.
4. Nechť V = C1
( 0, 1 ) je vektorový prostor všech reálných funkcí se spojitou první
derivací definovaných na intervalu 0, 1 (s obvyklými operacemi). Pro každý z následujících
předpisů rozhodněte, zda definuje skalární součin na V :
(a) f, g =
1
0
(f(x) · g′
(x) + f′
(x) · g(x)) dx,
(b) f, g =
1
0
(f(x) + f′
(x)) · (g(x) + g′
(x)) dx.
5. Nechť V a W jsou vektorové prostory nad tělesem K a f : V → W lineární zobrazení.
Nechť vektory v1, . . . , vn tvoří bázi V . Udejte nutnou a postačující podmínku
na zobrazení f, aby vektory f(v1), . . . , f(vn) tvořily bázi W.
6. Uvažujme vektorový prostor V = C(R) všech spojitých reálných funkcí spolu
s obvyklými operacemi a jeho podprostory U = { f ∈ V | f(1) = 0 } a W tvořený
všemi konstantními funkcemi. Dokažte, že V = U ⊕ W.