Seminář z matematiky II – jaro 2014 – 2. písemka
1. Z definice limity dokažte, že lim
x→1+
x−1√
x2−1
= 0.
2. Z definice limity dokažte, že lim
x→∞
sin(x) neexistuje.
3. Z definice limity dokažte, že funkce f(x) = 1√
x2+1
je spojitá v bodě 0.
4. Z definice stejnoměrné spojitosti dokažte, že funkce f(x) = 1
x
není stejnoměrně
spojitá na intervalu (0, 1).
5. Nechť funkce f, g: R → R jsou spojité na intervalu 0, 1 a splňují f(0) < g(0)
a f(1) > g(1). Z definice limity dokažte, že potom existuje x ∈ (0, 1) takové, že
f(x) = g(x).
6. Nechť funkce f : R → R je neklesající na R. Z definice limity dokažte, že potom
lim
x→a+
f(x) existuje pro každé a ∈ R.