M2510 Matematická analýza 2
Domácí úkol č. 11, 5. 5. 2015
1. Určete délku grafu funkce f (řetězovky) zadané předpisem
f(x) =
ex
+ e−x
2
(= cosh x) , x ∈ −1; 1 .
2. Stanovte objem tělesa vzniklého rotací podgrafu jednoho oblouku prosté cykloidy
f :
x = a (t − sin t) ,
y = a (1 − cos t) ,
t ∈ R, a > 0.
kolem osy x.
Poznámka. V = Ô
t2
t1
y2
(t) | ˙x(t)| dt.
3. Ze znalosti vztahu pro výpočet obsahu útvaru ohraničeného elipsou (viz DÚ č. 10)
odvoďte vzorec pro výpočet objemu (obecného) elipsoidu, tedy tělesa, jež lze popsat
nerovnicí
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
≤ 1, a, b, c > 0.
4. Odvoďte vzorec pro výpočet obsahu pláště rotačního kužele výšky v > 0 s poloměrem
podstavy r > 0.
Poznámka. Spl = 2Ô
b
a
f(x) 1 + f′(x)2 dx.