Řešení systémů lin. rovnic - přímé metody
Opakování
• Gaussova eliminační metoda
• LR rozklad
• Výběr vedoucího prvku (pivota) Věta
Nechť všechny hlavní minory matice A E M.n jsou různé od nuly, tj.
3ll Ý 0,
det/\ t^O.
3ll 3i2 321 322
Pak matici A lze rozložit na součin dolní a horní trojúhelníkové matice.
Poznámka
Rozklad je jednoznačný, pokud v jedné matici předepíšeme diagonální prvky, zpravidla jedničky.
Jiří Zelinka        Numerické metody 11. přednáška, 28. dubna 2015 2/8
Důsledky
• Nechť matice A je ryze řádkově diagonálně dominantní. Pak GEM lze provést bez výměny řádků a sloupců.
• Nechť matice A je pozitivně definitní. Pak GEM lze provést bez výměny řádků a sloupců.
Konec opakování
Jiří Zelinka        Numerické metody 11. přednáška, 28. dubna 2015 3/8
Choleského rozklad
Veta
Nechť matice A je symetrická a její všechny hlavní minory matice A e Mn jsou různé od nuly, tj.
aii ŕ o,
3ll 3i2 321 322
det/\ t^O.
Pak existuje taková horní trojúhelníková matice T E M.n, že A = TTT.
Jiří Zelinka        Numerické metody 11. přednáška, 28. dubna 2015 4/8
Prvky matice T = (ŕ,y):
• ŕn = yäll,      ŕi; = f7>   j = 2,..., n,
• í// = ^/a» - E ŕ//>   / = 2,..., n
• t« = Fr(a'7 - E t/«tff),      j > i      fy = 0,      j < i
1=1
Příklad
<n>-«flP> -š -O^O-
Jin Zelinka        Numerické metody 11. přednáška, 28. dubna 2015 5/8
C routová metoda
Rozklad třídiagonální matice
/ 3n    3i2 0 321    322 323
0
0
V o
3n_in 0     3nn-l 3nn
Jiří Zelinka        Numerické metody 11. přednáška, 28. dubna 2015 6/8
A = LU
L =
( hi O '21    '22 o
O     I32 I33
0 \
o
V    O      •••       O      /„,„_!     /„„ /
3ll = Al
/ 1    012 O
1/ =
V o
/ = 2,3
3/',/'-l = h,i-l,
3;; = h,i-iUi-ij + /;;, / = 2, 3 aiJ+l = liiuij+li
1 ^>
,3,
i = 1,2,
"23
n n
n-1.
0 \ o
Un-l,n 1
Jiří Zelinka
Numerické metody 11. přednáška, 28. dubna 2015 7/8
Veta
Nechť A E M.n je třídiagonální matice s vlastnostmi:
/ = 2,3,..., n - 1,
		+i ŕ o,		/
|aii	>	a12 j		
la»l	> |,			/
13nn	>	|3n,n—11 •		
2,...,u
^  1 /4 - řádkově diagon. dominantní
Pak matice A je regulární a hodnoty //,-, / = 1,..., n, vypočtené ze uvedených vztahů jsou různé od nuly.
Důsledek
Jsou-li splněny předpoklady věty, lze matici A rozložit na součin dolní a horní trojúhelníkové matice v uvedeném tvaru.
Příklad
Jiří Zelinka        Numerické metody 11. přednáška, 28. dubna 2015 8/8