Simulace činnosti systému M/M/1/∞/FIFO
Příklad: K novinovému stánku přijde v průměru 30 zákazníků za hodinu. Vstupní proud zákazníků je
Poissonův proces. Obsluha jednoho zákazníka trvá v průměru 1,5 minuty a řídí se exponenciálním
rozložením.
Simulujte činnost tohoto systému hromadné obsluhy pomocí MATLABu pro 30, 300 a 3000 zákazníků a
empirické charakteristiky systému porovnejte s teoretickými.
Charakteristiky stabilizovaného systému:
Stacionární rozložení: 





µ
λ
−





µ
λ
= 1a
j
j
, j = 0, 1, …
Střední hodnota počtu zákazníků v systému: ( )
λ−µ
λ
=NE .
Střední hodnota počtu zákazníků ve frontě: ( )
( )λ−µµ
λ
=
2
QNE .
Střední hodnota počtu obsluhovaných zákazníků: ( )
µ
λ
=S
NE .
Střední hodnota doby strávené v systému: ( )
λ−µ
=
1
WE .
Střední hodnota doby strávené ve frontě: ( )
( )λ−µµ
λ
=QWE .
Střední hodnota doby obsluhy: ( )
µ
=
1
WE S
.
Pravděpodobnost, že zákazník najde volnou linku =
µ
λ
−1 .
Pravděpodobnost, že zákazník bude čekat ve frontě =
µ
λ
.
V našem případě (30 zákazníků za hodinu, obsluha trvá v průměru 1,5 minuty):
Intenzita vstupního proudu zákazníků:
2
1
60
30
==λ zákazníka za 1 minutu
Intenzita obsluhy:
3
2
5,1
1
==µ zákazníka za 1 minutu
Intenzita provozu: 1
4
3
32
21
<==
µ
λ
=ρ , systém se může stabilizovat
( ) 3
2
1
3
2
2
1
NE =
−
=
λ−µ
λ
=
U novinového stánku se průměrně nacházejí 3 zákazníci.
( )
( )
25,2
4
9
2
1
3
2
3
2
4
1
NE
2
Q
==






−
=
λ−µµ
λ
=
Ve frontě čeká v průměru 2,25 zákazníků.
( ) 75,0
4
3
3
2
2
1
NE S ===
µ
λ
=
Průměrně je obsluhováno 0,75 zákazníků.
( ) 6
2
1
3
2
11
WE =
−
=
λ−µ
=
V průměru stráví zákazník u stánku 6 minut.
( )
( )
5,4
2
9
2
1
3
2
3
2
2
1
WE Q
==






−
=
λ−µµ
λ
=
Zákazník čeká ve frontě v průměru 4,5 minuty.
( ) 5,1
2
3
3
2
11
WE S
===
µ
=
Zákazník je obsluhován v průměru 1,5 minuty.
Pravděpodobnost, že zákazník nebude čekat ve frontě:
4
1
4
3
11a0 =−=
µ
λ
−=
Pravděpodobnostní rozložení počtu zákazníků v systému:
počet zákazníků pravděpodobnost kumulovaná pravděpodobnost
0 0,250 0,250
1 0,188 0,438
2 0,141 0,578
3 0,105 0,684
4 0,079 0,763
5 0,059 0,822
6 0,044 0,867
7 0,033 0,900
8 0,025 0,925
9 0,019 0,944
10 0,014 0,958
Grafické znázornění pravděpodobnosti a kumulované pravděpodobnosti počtu zákazníků
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
počet zákazníků
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
0,22
0,24
0,26
pravděpodobnost
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
počet zákazníků
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
kumulovanápravděpodobnost
Výsledky simulace pro 30 zákazníků
Vysvětlivky:
IMP … intervaly mezi příchody zákazníků
DO … doby obsluhy zákazníků
OPZ … okamžiky příchodů zákazníků
ZO … začátky obsluhy zákazníků
KO … konce obsluhy zákazníků
CZ … čekání zákazníků na obsluhu
NLO … nevyužití linky obsluhy
IMP DO OPZ ZO KO CZ NLO
4,4764 1,311 4,4764 4,4764 5,7874 0 4,4764
0,0777 4,504 4,554 5,7874 10,29141,23330
10,74860,153515,302615,302615,45610 5,0112
0,51 0,085215,812615,812615,89780 0,3565
0,4035 1,067416,216116,216117,28350 0,3183
0,2815 1,072316,497717,283518,35580,78590
4,9435 1,628321,441221,441223,06950 3,0854
1,8337 0,158 23,274823,274823,43280 0,2054
2,6951 1,494425,97 25,97 27,46440 2,5372
0,4461 3,294626,416127,464430,759 1,04830
1,6814 0,372228,097530,759 31,13122,66150
1,6814 0,3722 28,097530,759 31,13122,6615 0
0,1872 1,4134 28,284731,131232,54472,8466 0
3,4092 2,1301 31,693932,544734,67480,8508 0
2,6651 1,3598 34,359 34,674836,03460,3158 0
3,8546 3,508 38,213638,213641,72160 2,179
3,9892 3,0377 42,202842,202845,24050 0,4812
0,2802 0,0895 42,482945,240545,33012,7576 0
1,0905 0,0673 43,573445,330145,39731,7567 0
1,1962 0,8295 44,769645,397346,22690,6278 0
3,8627 4,2256 48,632348,632352,85790 2,4054
0,3179 2,1737 48,950252,857955,03163,9077 0
0,9495 1,5613 49,899655,031656,59285,1319 0
2,0942 0,2955 51,993856,592856,88834,599 0
1,334 6,2597 53,327856,888363,14813,5605 0
1,8236 4,719 55,151463,148167,86717,9967 0
5,1549 2,6669 60,306367,867170,53397,5607 0
2,8549 0,6482 63,161270,533971,18217,3727 0
4,186 0,4685 67,347271,182171,65073,8349 0
3,3866 0,6514 70,733871,650772,30210,9168 0
2,8546 1,1947 73,588573,588574,78320 1,2864
Průměr=2,45Průměr=1,75x x x Průměr=1,99Součet=22,34
Ověření, že vstupní proud zákazníků je Poissonův proces:
Nejprve na hladině významnosti 0,05 otestujeme hypotézu, že intervaly mezi příchody zákazníků se řídí
exponenciálním rozložením. Použijme jednoduchý (Darlingův) test exponenciálního rozložení. Testová
statistika
( )
2
2
M
S1n
K
−
= nabývá hodnoty 23,794, odpovídající p-hodnota je 0,522, tedy na asymptotické
hladině významnosti 0,05 hypotézu o exponenciálním rozložení nezamítáme.
Ověření, že doba obsluhy se řídí exponenciálním rozložením:
Dále budeme testovat hypotézu, že doby obsluhy zákazníků se řídí exponenciálním rozložením. V tomto
případě K = 24,6565, p = 0,6081, tudíž na asymptotické hladině významnosti 0,05 nelze zamítnout hypotézu,
že doby obsluhy zákazníků mají exponenciální rozložení.
Rozbor simulovaných výsledků:
Celková doba simulace průchodu 30 zákazníků tímto systémem hromadné obsluhy je 74,78 min. Je to doba,
kdy 30. zákazník odchází od novinového stánku.
Zákazník stráví v průměru 1,99 min ve frontě, v průměru je obsluhován 1,75 min, u novinového stánku tedy
stráví průměrně 3,74 min.
Z celkové doby simulace 74,78 min byl stánek nevyužit v 22,34 min, tedy odhad pravděpodobnosti, že
obslužná linka bude pracovat, tzn., že v systému je aspoň jeden zákazník, je 1 - 22,34/74,78 = 0,7.
Z celkového počtu 30 zákazníků muselo 19 zákazníků čekat na obsluhu, 11 bylo obslouženo ihned. Z toho
lze odvodit odhad pravděpodobnosti, že zákazník bude čekat, jako 19/30 = 0,63, což je odhad intenzity
provozu.
Pro stanovení průměrného počtu zákazníků v systému, ve frontě a u obsluhy musíme určit počty zákazníků
v jednotlivých časových úsecích.
Lze zjistit, že po dobu 22,34 min je systém prázdný. Právě jeden zákazník byl v systému po dobu 19,56 min,
právě dva 11 min, právě tři 16,88 min a právě čtyři po dobu 5 min. Vezmeme-li v úvahu délku sledovaného
období 74,78 min, pak odhady pravděpodobností, že v systému je 0, 1, 2, 3, 4 zákazníci, jsou 0,2988
0,2615 0,1471 0,2258 0,0669.
Výsledky pro opakované simulace:
Simulaci provedeme znovu pro n = 300 a posléze pro n = 3000 zákazníků.
Hodnota charakteristikyCharakteristika
n=30 n=300 n=3000 n=∞
Průměrná doba mezi příchody zákazníků 2,45 1,97 2,04 2
Průměrná doba strávená v systému 3,74 5,13 5,47 6
Průměrná doba čekání 1,99 3,61 3,96 4,5
Průměrná doba obsluhy 1,75 1,53 1,51 1,5
Průměrný počet zákazníků v systému 1,5004 2,47 2,68 3
Průměrný počet zákazníků ve frontě 0,7992 1,74 1,99 2,25
Průměrný počet obsluhovaných zákazníků 0,7012 0,73 0,74 0,75
Využití systému 0,70 0,72 0,73 0,75
Rovněž do tabulky zaznamenáme odhady pravděpodobností počtu zákazníků od 0 do 10:
odhad pravděpodobnosti
počet zákazníků
n=30 n=300 n=3000 n=∞
0 0,2988 0,2663 0,2927 0,2500
1 0,2615 0,2148 0,2156 0,1875
2 0,1471 0,1508 0,1464 0,1406
3 0,2258 0,1005 0,1080 0,1055
4 0,0669 0,0847 0,0779 0,0791
5 0,0000 0,0450 0,0495 0,0593
6 0,0000 0,0499 0,0342 0,0445
7 0,0000 0,0356 0,0255 0,0334
8 0,0000 0,0111 0,0158 0,0250
9 0,0000 0,0114 0,0124 0,0188
10 0,0000 0,0085 0,0087 0,0141