Cvičení 12
Galtonův – Watsonův proces větvení
Definice: Nechť jedinec tvořící nultou generaci může dát vznik 0, 1, 2, ... jedincům
(potomkům) první generace. Analogicky každý jedinec z první generace může dát vznik 0, 1,
2, ... jedincům druhé generace atd. Přitom předpokládáme, že
a) počet potomků X náhodně zvoleného jedince má pravděpodobnostní funkci
( )


 =
==
jinak0
0,1,2,...kprop
kXP k
, která nezávisí na zvoleném jedinci ani na generaci, do níž
přísluší;
b) jedinci z dané generace dávají vzniknout svým potomkům vzájemně nezávisle.
Označme Xn počet jedinců n-té generace (speciálně je X0 = 1). Za uvedených předpokladů
posloupnost náhodných veličin { }0n Nn;X ∈ tvoří homogenní markovský řetězec s množinou
stavů J = {0, 1, 2, ...}. Tento řetězec se nazývá Galtonův – Watsonův proces větvení.
Vlastnosti:
1. Matice přechodu má tvar














+
=
KKKK
K
K
K
20
2
110
2
0
210
pp2ppp2p
ppp
001
P , tj. { }*i
jij pp:Jj,i =∈∀ .
2. Pro pravděpodobnostní vytvořující funkci náhodné veličiny Xn+1 platí:



=
=
=+
0pron0
,2,1pron))z(g(g
)z(g
XX
X
n
1n
K
, kde gX(z) je pravděpodobnostní vytvořující funkce
náhodné veličiny X1.
3. Pro střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny Xn platí:
,)X(E n
n µ=
( )





=µσ
≠µ
−µ
−µµσ
=
−
1pron
1pro
1
1
)X(D
2
n1n2
n , kde ( ) ( )1
2
1 XD,XE =σ=µ
4. Pro pravděpodobnost vyhynutí v n-té generaci platí: ( ) )0(gq0XP nXnn ===
5. Pro limitní pravděpodobnost vyhynutí platí:
a) Je-li µ ≤ 1, pak 1qlim n
n
=
∞→
.
b) Je-li µ > 1, pak ξ=
∞→
n
n
qlim , kde ( )1,0∈ξ je nejmenší kladný kořen rovnice z = gX(z).
Příklad: Uvažme G – W proces, v němž 0p,
5
3
p,
5
1
p,
5
1
p k210 ==== , k = 3,4,…
a) Vypočtěte prvky matice přechodu P pro i = 0, 1, 2 a j = 0, 1, 2, 3, 4.
b) Najděte pravděpodobnostní vytvořující funkci počtu jedinců ve 2. generaci.
c) Pomocí pravděpodobnostní vytvořující funkce počtu jedinců ve 2. generaci vypočtěte
pravděpodobnostní funkci.
d) Najděte střední hodnotu a rozptyl počtu jedinců ve 2. generaci.
e) Vypočtěte limitní pravděpodobnost vyhynutí.
Výsledky:
Ad a)
















=
KKKKKK
K
K
K
25
9
25
6
25
7
25
2
25
1
00
5
3
5
1
5
1
00001
P
Ad b) ( ) 432
X z
125
27
z
125
18
z
125
36
z
125
11
125
33
zg 2
++++=
Ad c) ( )
125
33
0XP 2 == , ( )
125
11
1XP 2 == , ( )
125
36
2XP 2 == , ( )
125
18
3XP 2 == ,
( )
125
27
4XP 2 ==
Ad d) ( ) 96,1
25
49
XE 2 == , ( ) 15,2
625
1344
XD 2 ==
Ad e) Limitní pravděpodobnost vyhynutí je
3
1
.
Praktická aplikace Galtonova – Watsonova procesu větvení v demografii
Výchozí data
Budeme vyšetřovat sled generací ženské populace Československa. Máme k dispozici údaje
z roku 1961, které popisují rozdělení žen ve věkovém intervalu (45 let, 50 let) (tedy na konci
reprodukčního období) podle počtu živě narozených dětí. Žen v tomto věkovém intervalu bylo
450259.
Tabulka 1 - výchozí data
počet
dětí
označení počet žen
0 c0 65387
1 c1 78901
2 c2 136150
3 c3 79878
4 c4 39387
5 c5 19856
6 c6 15365
7 c7 7683
8 c8 3841
9 c9 1921
10 c10 960
11 c11 480
12 c12 240
13 c13 120
14 c14 60
15 c15 30
Stanovení pravděpodobnosti narození dcery, která se dožije reprodukčního věku 25 let
Zajímají nás pouze potomci ženského pohlaví. Je známo, že v r. 1961 byl poměr počtu živě
narozených chlapců k počtu živě narozených dívek 1,055 (tzv. ukazatel maskulinity). Tedy
pravděpodobnost narození dívky je
055,11
1
+
. Dále je známo z úmrtnostních tabulek ČSR pro
rok 1961, že pravděpodobnost dožití 25 let pro ženu je 0,96788. Tedy hodnotu
h = 0,96788 .
055,11
1
+
= 0,470988 lze považovat za pravděpodobnost, že živě narozený
potomek je dcera, která se dožije věku 25 let.
Rozložení počtu žen podle počtu dcer, které se dožijí reprodukčního věku 25 let
Nechť ci je počet žen s i potomky. Z vlastností binomického rozložení plyne, že z počtu ci
připadá (1-h)i
ci na ženy s žádnou 25 letou dcerou, ih(1-h)i-1
ci na ženy s právě jednou 25 letou
dcerou atd.
Tabulka 2 – rozdělení p0, p1, ... žen podle počtu 0, 1, ... 25 letých dcer konstruované na
základě počtů c0, c1, ... žen s 0, 1, ... potomky.
rozdělení žen podle počtu 25 letých dcerpočet potomků počet žen
0 1 2 …
0 c0 c0 0 0 …
1 c1 (1-h)c1 hc1 0 …
2 c2 (1-h)
2
c2 2h(1-h)c2 h
2
c2 …
3 c3 (1-h)
3
c3 3h(1-h)
2
c3 3h
2
(1-h)c3 …
4 c4 (1-h)
4
c4 4h(1-h)
3
c4 6h
2
(1-h)
2
c4 …
. . . . . …
. . . . . …
. . . . . …
suma c p0c p1c p2c
Numerické vyhodnocení
rozdělení žen podle počtu 25 letých dcerpočet potomků počet žen
0 1 2 3 4 …
0 65387 65387 0 0 0 0 …
1 78901 41740 37161 0 0 0 …
2 136150 38102 67846 30202 0 0 …
3 79878 11826 31586 28121 8645 0 …
4 39387 3045 10985 14671 8708 1938 0
. . . . . …
. . . . . …
. . . . . …
suma 450259 161420 153833 85789 31330 11549
,358504,0
450259
161420
p0 == p1 = 0,3416544, p2 = 0,1905325, p3 =0,0695821, …
Střední hodnota µ = p1 + 2p2 + 3p3 + ... = 0,341655 + 2.0,190533 + 3.0,069583 + ... =
1,111166 >1
Matice pravděpodobností přechodu














+
=
LLLL
L
L
L
10
2
110
2
0
210
pp2ppp2p
ppp
001
P . V našem případě tedy dostáváme:
















=
LLLLL
L
L
L
L
206734,0199067,0131733,0046077,0
180085,0253342,0244969,0128525,0
069583,0190533,0341655,0358504,0
0001
P .
Pravděpodobnostní rozložení počtu 25 letých dcer v n-té generaci
Pro vektor absolutních pravděpodobností platí zákon evoluce: p(n) = p(0).Pn
.
V následující tabulce jsou uvedeny složky vektoru p(n) pro n = 0, 1, ..., 10
Tabulka 3 – pravděpodobnostní rozložení pi(n) počtu i 25 letých dcer v n-té generaci
n
i
0 1 2 3 4 5 6 7 ...
0 1,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 ...
1 0,358504 0,341655 0,190533 0,065830 0,025651 0,009428 0,003191 0,001013 ...
2 0,509170 0,174495 0,131214 0,078222 0,046294 0,026754 0,015134 0,008447 ...
3 0,593159 0,105974 0,090446 0,064523 0,045799 0,031962 0,022014 0,015040 ...
4 0,646756 0,071021 0,065064 0,051054 0,039920 0,030799 0,023537 0,017881 ...
5 0,683843 0,050729 0,048627 0,040485 0,033619 0,027604 0,022493 0,018246 ...
6 0,710930 0,037884 0,037477 0,032484 0,028103 0,024071 0,020485 0,017367 ...
7 0,731494 0,029234 0,029590 0,026409 0,023533 0,020781 0,018246 0,015970 ...
8 0,747563 0,023131 0,023824 0,021736 0,019805 0,017894 0,016085 0,014416 .
9 0,760402 0,018665 0,019489 0,180087 0,016768 0,015422 0,014117 0,012887 .
10 0,770845 0,015300 0,016151 0,015194 0,014281 0,013322 0,012371 0,011460
. . . . . . . . . .
V prvním sloupci jsou pravděpodobnosti vyhynutí (v ženské linii). Je vidět, že v 10. generaci
je pravděpodobnost vyhynutí p0(10) = 0,770845 hodně vysoká. Naproti tomu
pravděpodobnosti libovolného nenulového počtu dcer jsou velice malé (např. pro jednu dceru
p1(10) = 0,015300 a s rostoucím počtem generací se stále snižují.
Vytvořující funkce počtu 25 letých dcer v n-té generaci
∑
∞
=
=
0k
k
nkX zp)z(g n
Tabulka 4 – hodnoty vytvořující funkce gn(z) počtu 25 letých dcer v n-té generaci
z g1(z) g2(z) g3(z) g4(z) g5(z)
0,0 0,358504 0,509170 0,593159 0,646756 0,683843
0,1 0,394647 0,528015 0,604730 0,654564 0,689446
0,2 0,435057 0,550027 0,618573 0,664047 0,696322
0,3 0,480260 0,575893 0,635302 0,675717 0,704892
0,4 0,530872 0,606507 0,655773 0,690318 0,715785
0,5 0,587619 0,643056 0,681205 0,708964 0,729979
0,6 0,651360 0,687140 0,713398 0,733401 0,749073
0,7 0,723115 0,740967 0,755101 0,766513 0,775872
0,8 0,804109 0,807566 0,810729 0,813400 0,815726
0,9 0,895811 0,891733 0,887770 0,883881 0,880022
1,0 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000
Průběhy vytvořujících funkcí
Pravděpodobnost vyhynutí
Limitní hodnotu pravděpodobnosti vyhynutí lze získat jako nejmenší kladný kořen rovnice
z=g(z), kde g(z) = g1(z) = p0 + p1z + p2z2
+ ...
V našem případě řešíme rovnici z = 0,358504 + 0,341655z + 0,190533z2
+ 0,069583z3
+ ...
Výsledek: 834043,0=ξ .
Je zajímavé posoudit rychlost konvergence posloupnosti qn pravděpodobnosti vyhynutí
potomků v ženské linii v jednotlivých generacích k příslušné limitní hodnotě 834043,0=ξ viz
1. sloupec v tabulce 3.
Pro zajímavost ještě uvedeme limitní hodnoty pravděpodobnosti vyhynutí potomků v ženské
linii pro různé země (údaje jsou z roku 1960).
země ξ
Peru 0,2620
Japonsko 0,3242
Mexiko 0,4066
Maďarsko 0,7130
USA 0,8209