Cvičení 13 – příklady na opakování
Příklad 1.: Webový server obslouží během tří hodin průměrně 2250 klientů. Za předpokladu,
že počet obsloužených klientů se řídí Poissonovým rozložením, vypočtěte pravděpodobnost,
že tento server obslouží během 7 minut více než 100 klientů.
Výsledek: Hledaná pravděpodobnost je 0,0846.
Příklad 2.: Sledujeme dobu mytí auta v myčce. Máme k dispozici tyto napozorované doby (v
min): 10 8 7 8 14 45 13 20 8 8 9 11 15 36 7 4 6 15
a) Na hladině významnosti 0,05 testujte Darlingovým testem hypotézu, že doba mytí auta se
řídí exponenciálním rozložením.
b) Najděte bodový odhad parametru λ a sestrojte 95% interval spolehlivosti pro λ.
c) Vypočtěte pravděpodobnost, že doba mytí auta bude trvat nejvýše 10 min.
d) Stanovte takovou dobu, během níž bude mytí skončeno s pravděpodobností aspoň 0,9.
Výsledek:
Ad a) H0 nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
Ad b) 0738,0ˆ =λ , 1116,00437,0 ≤λ≤ s pravděpodobností aspoň 0,95
Ad c) Pravděpodobnost, že mytí auta bude trvat nejvýše 10 min, je 0,5218.
Ad d) Během 31 minut a 12 sekund bude mytí auta skončeno s pravděpodobností 0,9.
Příklad 3.: Do stabilizovaného systému M/M/n/FIFO přichází v průměru 40 zákazníků za 1 h
a zákazník je v průměru obsloužen za 4 minuty. Náklady na pobyt zákazníka v systému po
dobu 1 h činí 100 Kč a náklady na provoz jedné linky obsluhy po dobu 1 h jsou 110 Kč.
Najděte optimální počet linek obsluhy, hodnotu kriteriální funkce pro tento optimální počet a
také procento využití systému.
Výsledek: Optimální počet linek je 4, C(4) = 222,35. Pro n = 4 je využití systému 66,7 %.
Příklad 4.: V dílně pracují 3 opraváři. Do dílny přichází v průměru 24 zákazníků za 1 h a
doba opravy je v průměru 5 min. Předpokládáme, ž vstupní proud zákazníků je Poissonův
proces a doba opravy se řídí exponenciálním rozložením. Může se systém stabilizovat? Pokud
ano, řešte následující úlohy:
a) Kolik % přicházejících zákazníků bude muset čekat na opravu?
b) Jaký je průměrný počet volných opravářů?
c) Jaká je průměrná doba čekání na opravu?
Výsledek:
Ad a) 44,4 % přicházejících zákazníků bude muset čekat na opravu.
Ad b) V průměru je volný 1 opravář.
Ad c) Zákazník čeká na opravu průměrně 2 min a 13 s.
Příklad 5.: Do půjčovny aut, která vlastní 5 vozidel, přijde za den průměrně 3,8 zákazníků,
kteří si chtějí půjčit auto. Pokud není volné auto, zákazník je odmítnut. Průměrná doba
půjčení auta je 1,6 dne.
a) Na kolik % je půjčovna využívána?
b) Jaká je pravděpodobnost, že zákazník bude odmítnut?
c) Jaká je pravděpodobnost, že v půjčovně nebude žádný zákazník?
Výsledek:
Ad a) Půjčovna je využita na 77,7 %.
Ad b) Pravděpodobnost, že přicházející zákazník bude odmítnut, je 0,3659.
Ad c) Pravděpodobnost, že v půjčovně nebude žádný zákazník, je 0,0053.