Domácí úkol z 23. dubna 2015
Nechť těleso F je lokálně kompaktní vzhledem k netriviální normě | • |. Nechť V je konečně rozměrný vektorový prostor nad F, na kterém jsou dány normy || • ||i a || • ||2 (obě vzhledem k normě | • |). Na semináři jsme definovali, že tyto normy jsou ekvivalentní, právě když existují reálná čísla c\ > 0, c2 > 0 taková, že pro každé x £ V platí
IMIi < ci • ||x||2,       ||x||2 < c2 • ||x||i.
Dokažte, že je tato podmínka splněna, právě když pro každou posloupnost prvků V platí, že je Cauchyovská vůči || • ||i, právě když je Cauchyovská vůči
[Můžete se zamyslet také nad tím, zda to platí i v případě, kdy | • | je triviální norma.]