Cvičení č. 5.: Provedení faktorové analýzy
Příklad: Výsledky desetiboje z olympiády v Aténách 2004 (Příklad je převzat z knihy
Meloun M., Militký J., Hill, M.: Počítačová analýza vícerozměrných dat v příkladech.
Academia Praha 2005)
V datovém souboru Desetiboj.sta jsou uloženy výsledky 39 závodníků - mužů, kteří se v roce
2004 zúčastnili desetiboje na olympiádě v Aténách. Zajímají nás výsledky jednotlivých
disciplín, tj. proměnné v14 – v23. Budeme se snažit najít menší počet společných faktorů,
které vysvětlují variabilitu výsledků závodníků v desetiboji. Přitom budeme uvažovat jenom
závodníky, kteří desetiboj dokončili, tj. v proměnné Dokončil je 1.
Řešení v systému STATISTICA:
Nejprve upravíme datový soubor: ponecháme jen ty případy, kdy v proměnné Dokončil je 1 a
ponecháme jen proměnné v14 – v23. Upravený datový soubor má tedy 14 proměnných a 28
případů.
Sestavení korelační matice:
Statistiky – Vícerozměrné průzkumné techniky – Faktorová analýza - Proměnné v1 – v10 –
OK – OK. Na záložce Popisné statistiky zvolíme Přehled korelací, průměrů, směrodatných
odchylek – Korelace
Korelace (Desetiboj_upraveny.sta)
ChD vynechána případově
N=28
Proměnná Body 100 m Body skok dálka Body koule Body výška Body 400 m Body překážky Body disk Body tyčka Body oštěp Body 1500 m
Body 100 m
Body skok dálka
Body koule
Body výška
Body 400 m
Body překážky
Body disk
Body tyčka
Body oštěp
Body 1500 m
1,00 0,71 0,37 0,31 0,63 0,54 0,24 0,26 0,01 0,06
0,71 1,00 0,20 0,35 0,67 0,54 0,26 0,28 0,10 0,14
0,37 0,20 1,00 0,61 0,21 0,24 0,67 0,03 0,38 -0,13
0,31 0,35 0,61 1,00 0,18 0,33 0,52 -0,05 0,21 0,00
0,63 0,67 0,21 0,18 1,00 0,52 0,16 0,11 0,05 0,54
0,54 0,54 0,24 0,33 0,52 1,00 0,22 0,15 0,08 0,17
0,24 0,26 0,67 0,52 0,16 0,22 1,00 -0,18 0,26 -0,22
0,26 0,28 0,03 -0,05 0,11 0,15 -0,18 1,00 -0,07 -0,19
0,01 0,10 0,38 0,21 0,05 0,08 0,26 -0,07 1,00 0,25
0,06 0,14 -0,13 0,00 0,54 0,17 -0,22 -0,19 0,25 1,00
Některé korelace mezi proměnnými jsou dostatečně vysoké, zřejmě tedy má smysl provádět
faktorovou analýzu. Ověříme to pomocí Bartlettova testu sféricity a poté vypočteme
Gleasonovu – Staelinovu míru redundance.
Provedení Bartlettova testu:
Logaritmus determinantu výběrové korelační matice získáme v systému STATISTICA takto:
Statistiky – Vícerozměrné průzkumné techniky – Hlavní komponenty & klasifikační analýza
– Proměnné v1 až v10 – OK – OK – Popis. statistiky – Korelační matice Inverzní.
Inverzní korelační matice (Desetiboj_upraveny.sta)
Aktivní proměnné
Log(Determinant) korelační matice: -4,9450272
Proměnná Body 100 m Body skok dálka Body koule Body výška Body 400 m Body překážky Body disk Body tyčka Body oštěp Body 1500 m
Body 100 m
Body skok dálka
Body koule
Body výška
Body 400 m
Body překážky
Body disk
Body tyčka
Body oštěp
Body 1500 m
2,88140 -1,23972 -0,92682 0,10609 -1,00731 -0,407553 0,51392 0,032088 0,23872 0,56349
-1,23972 3,55909 1,55223 -1,04009 -1,94474 -0,169294 -0,49625 -0,512693 -0,73880 0,85323
-0,92682 1,55223 3,38735 -1,36637 -1,15064 0,156820 -1,21138 -0,382013 -1,03722 0,81110
0,10609 -1,04009 -1,36637 2,16403 1,11393 -0,310977 -0,31959 0,156377 0,42814 -0,75409
-1,00731 -1,94474 -1,15064 1,11393 4,82175 -0,451652 -0,64970 -0,170380 1,07073 -2,82431
-0,40755 -0,16929 0,15682 -0,31098 -0,45165 1,643324 -0,08547 -0,075124 -0,06954 0,02237
0,51392 -0,49625 -1,21138 -0,31959 -0,64970 -0,085469 2,51275 0,741222 -0,22313 1,00010
0,03209 -0,51269 -0,38201 0,15638 -0,17038 -0,075124 0,74122 1,424669 -0,05487 0,57177
0,23872 -0,73880 -1,03722 0,42814 1,07073 -0,069540 -0,22313 -0,054874 1,65819 -1,09353
0,56349 0,85323 0,81110 -0,75409 -2,82431 0,022374 1,00010 0,571771 -1,09353 3,09704
V záhlaví výstupní tabulky je číslo Rln = -4,9450272.
Otevřeme nový datový soubor o 3 proměnných a 1 případu.
Do Dlouhého jména 1. proměnné napíšeme =-4,9450272 (tj. Rln ), do Dlouhého jména
druhé proměnné napíšeme =(-137/6)*v1 (tj. Rln
6
n6p2112 −+
=χ ) a Dlouhého jména třetí
proměnné napíšeme =VCHi2(0,95;45) (tj. kvantil ( )4595,0
2
χ ).
1
log(det(R))
2
test. stat.
3
kvantil
1 -4,9450272 112,911454 61,6562334
Testová statistika se realizuje v kritickém oboru, hypotézu o úplné nezávislosti sledovaných
10 proměnných tedy zamítáme na hladině významnosti 0,05.
Výpočet Gleasonovy – Staelinovy míry redundance:
K výstupní tabulce, v níž je uložena korelační matice, přidáme novou proměnnou, která bude
obsahovat součty kvadrátů korelačních koeficientů. Do jejího Dlouhého jména napíšeme:
=v1^2+v2^2+v3^2+v4^2+v5^2+v6^2+v7^2+v8^2+v9^2+v10^2
Pomocí Statistiky – Blok sloupců – Součty získáme součet této proměnné. Přidáme další
proměnnou a do jejího Dlouhého jména napíšeme: =sqrt((v1-10)/90)
Korelace (Desetiboj_upraveny.sta)
ChD vynechána případově
N=28
Proměnná
1
NProm
2
NProm
SOUČET případy 1-10 20,2901091 0,33813392
Vidíme, že koeficient Φ = 0,3381 nabývá dostatečně velké hodnoty pro prokázání korelace
v datech.
Vypočteme vlastní čísla výběrové korelační matice, zjistíme procento vysvětleného rozptylu a
nakreslíme sutinový graf.
Na záložce Základní nastavení změníme Max. počet faktorů na 10 a Min. vlastní číslo na 0 –
OK – na záložce Výklad rozptylu zvolíme Vlastní čísla a poté Sutinový graf.
Vl. čísla (Desetiboj_upraveny.sta)
Extrakce: Hlavní komponenty
Hodn.
vl. číslo % celk.
rozptylu
Kumulativ.
vlast. číslo
Kumulativ.
%
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3,559212 35,59212 3,55921 35,5921
1,952914 19,52914 5,51213 55,1213
1,426585 14,26585 6,93871 69,3871
0,905343 9,05343 7,84405 78,4405
0,558752 5,58752 8,40281 84,0281
0,531569 5,31569 8,93438 89,3438
0,432804 4,32804 9,36718 93,6718
0,365741 3,65741 9,73292 97,3292
0,164634 1,64634 9,89756 98,9756
0,102445 1,02445 10,00000 100,0000
Graf vlastních čísel
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Počet vlastních čísel
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
Hodn.
Zkusíme pracovat se čtyřmi faktory., které vysvětlují asi 78 % variability obsažené v datech.
Zlom v sutinovém grafu je sice až u 5 faktorů, ale to už je příliš velký počet.
Spočteme komunality pro první čtyři faktory. Na záložce Základní nastavení zadáme Max.
počet faktorů 4 – OK. Na záložce Zákl. výsledky zvolíme Rotace faktorů Varimax prostý. Na
záložce Výklad rozptylu zvolíme Komunality.
Komunality (Desetiboj_upraveny.sta)
Extrakce: Hlavní komponenty
Rotace: Varimax pr.
Proměnná
Z 1
faktoru
Z 2
faktorů
Z 3
faktorů
Z 4
faktorů
Více
R^2
Body 100 m
Body skok dálka
Body koule
Body výška
Body 400 m
Body překážky
Body disk
Body tyčka
Body oštěp
Body 1500 m
0,607176 0,688337 0,754538 0,765488 0,652946
0,657291 0,701525 0,762419 0,762445 0,719030
0,018782 0,721677 0,728789 0,801075 0,704784
0,069272 0,610093 0,617912 0,628732 0,537900
0,820559 0,820841 0,829374 0,848187 0,792606
0,515887 0,565462 0,570450 0,570688 0,391477
0,010633 0,754881 0,776694 0,777293 0,602030
0,030249 0,045444 0,898216 0,898593 0,298083
0,001017 0,072752 0,074469 0,900852 0,396933
0,226628 0,398965 0,607299 0,890702 0,677111
Vidíme, že např. variabilita proměnné Body na 100 m je ze 76,5 % vysvětlena prvními čtyřmi
faktory.
Nyní získáme odhad matice rotovaných faktorových zátěží: na záložce Zátěže zvolíme
Shrnutí: Faktorové zátěže.
Faktor. zátěže (Varimax pr.) (Desetiboj_upraveny.sta)
Extrakce: Hlavní komponenty
(Označené zatěže jsou >,700000)
Proměnná
Faktor
1
Faktor
2
Faktor
3
Faktor
4
Body 100 m
Body skok dálka
Body koule
Body výška
Body 400 m
Body překážky
Body disk
Body tyčka
Body oštěp
Body 1500 m
Výkl.roz
Prp.celk
0,779215 0,284888 0,257295 -0,104642
0,810735 0,210319 0,246768 0,005051
0,137047 0,838389 0,084332 0,268859
0,263195 0,735405 -0,088424 0,104022
0,905847 -0,016782 -0,092373 0,137160
0,718253 0,222654 0,070625 -0,015438
0,103118 0,862698 -0,147691 0,024477
0,173922 -0,123269 0,923456 0,019420
-0,031883 0,267834 0,041442 0,909056
0,476054 -0,415136 -0,456436 0,532356
2,957493 2,422484 1,240182 1,223894
0,295749 0,242248 0,124018 0,122389
První faktor vysoce koreluje s výsledky krátkých běhů a skoku do dálky. Lze ho označit jako
rychlost. Druhý faktor koreluje s výsledky hodu koulí, disku a skoku do výšky. Je možné ho
interpretovat jako schopnost zkoncentrovat výbušnou energii do jediného okamžiku. Třetí
faktor koreluje s výsledkem skoku o tyči. Vzhledem k vysokému korelačnímu koeficientu ho
lze ztotožnit s touto proměnnou. To samé platí o čtvrtém faktoru, který vysoce koreluje
s výsledkem hodu oštěpem. Proměnné Body oštěp a Body tyčka jsou tedy unikátní a bez
výraznějšího vztahu ke znakům ostatním proměnným.
Faktorovou strukturu můžeme též znázornit graficky v prostoru faktorových zátěží. Vytvoří se
shluky jednotlivých proměnných, přičemž každý shluk reprezentuje takovou skupinu
disciplín, kterou lze vysvětlit působením stejného faktoru.
Na záložce Zátěže zvolíme Graf zátěží, 2D.
Faktor. zátěže, faktor 1 ku faktoru 2
Rotace: Varimax pr.
Extrakce: Hlavní komponenty
-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Faktor 1
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Faktor2
Body 100 m
Body skok dálka
Body koule
Body výška
Body 400 m
Body překážky
Body disk
Body tyčka
Body oštěp
Body 1500 m
Kvalitu získaného faktorového modelu posoudíme též pomocí odhadnuté korelační a
reziduální korelační matice. Na záložce Výklad rozptylu vybereme Reprod./rezid. korelace.
Reprodukované korelace (Desetiboj_upraveny.sta)
Extrakce: Hlavní komponenty
Proměnná Body 100 m Body skok dálka Body koule Body výška Body 400 m Body překážky Body disk Body tyčka Body oštěp Body 1500 m
Body 100 m
Body skok dálka
Body koule
Body výška
Body 400 m
Body překážky
Body disk
Body tyčka
Body oštěp
Body 1500 m
0,77 0,75 0,34 0,38 0,66 0,64 0,29 0,34 -0,03 0,08
0,75 0,76 0,31 0,35 0,71 0,65 0,23 0,34 0,05 0,19
0,34 0,31 0,80 0,67 0,14 0,29 0,73 0,00 0,47 -0,18
0,38 0,35 0,67 0,63 0,25 0,34 0,68 -0,12 0,28 -0,08
0,66 0,71 0,14 0,25 0,85 0,64 0,10 0,08 0,09 0,55
0,64 0,65 0,29 0,34 0,64 0,57 0,26 0,16 0,03 0,21
0,29 0,23 0,73 0,68 0,10 0,26 0,78 -0,22 0,24 -0,23
0,34 0,34 0,00 -0,12 0,08 0,16 -0,22 0,90 0,02 -0,28
-0,03 0,05 0,47 0,28 0,09 0,03 0,24 0,02 0,90 0,34
0,08 0,19 -0,18 -0,08 0,55 0,21 -0,23 -0,28 0,34 0,89
Reziduální korelace (Desetiboj_upraveny.sta)
Extrakce: Hlavní komponenty
(Označená rezidua jsou > ,100000)
Proměnná Body 100 m Body skok dálka Body koule Body výška Body 400 m Body překážky Body disk Body tyčka Body oštěp Body 1500 m
Body 100 m
Body skok dálka
Body koule
Body výška
Body 400 m
Body překážky
Body disk
Body tyčka
Body oštěp
Body 1500 m
0,23 -0,05 0,03 -0,07 -0,03 -0,10 -0,05 -0,08 0,05 -0,02
-0,05 0,24 -0,11 0,00 -0,04 -0,11 0,03 -0,06 0,06 -0,05
0,03 -0,11 0,20 -0,06 0,07 -0,04 -0,06 0,02 -0,08 0,04
-0,07 0,00 -0,06 0,37 -0,07 -0,02 -0,16 0,07 -0,07 0,09
-0,03 -0,04 0,07 -0,07 0,15 -0,12 0,06 0,04 -0,04 -0,01
-0,10 -0,11 -0,04 -0,02 -0,12 0,43 -0,03 -0,01 0,05 -0,04
-0,05 0,03 -0,06 -0,16 0,06 -0,03 0,22 0,04 0,01 0,01
-0,08 -0,06 0,02 0,07 0,04 -0,01 0,04 0,10 -0,08 0,09
0,05 0,06 -0,08 -0,07 -0,04 0,05 0,01 -0,08 0,10 -0,09
-0,02 -0,05 0,04 0,09 -0,01 -0,04 0,01 0,09 -0,09 0,11
K datovému souboru přidáme proměnnou Body celkem. Do jejího Dlouhého jména napíšeme
=sum(v1:v10)
Nyní uložíme faktorová skóre. Na záložce Skóre vybereme Uložit faktorová skóre. Uložíme
je společně s proměnnou Body celkem. Faktor 1 pak přejmenujeme na rychlost, faktor 2 na
výbušnost, faktor 3 na tyčka a faktor 4 na oštěp. Závodníky ještě seřadíme podle dosaženého
počtu bodů.
Faktor. skóre pro 4
1
Body celkem
2
rychlost
3
výbušnost
4
tyčka
5
oštěp
Casarsa Paolo
Uldal Hans Olav
Korkízoglou Pródromos
Karlivans Janis
Lorenzo Santiago
Turi Indrek
Gómez David
Terek Paul
Parkhomenko Alexandr
Drews Stefan
Qi Haifeng
Smirnov Vitaliy
Ojaniemi Jaakko
Averyanov Nikolay
Smith Maurice
Barras Romain
Schönbeck Florian
Pogorelov Aleksandr
Schwarzl Roland
Bernard Claston
Nool Erki
Hernu Laurent
Zsivóczky Attila
Warners Chiel
Macey Dean
Karpov Dmitriy
Clay Bryan
Šebrle Roman
7404 -2,72916 1,15765 -0,53227 -0,50841
7495 -1,27386 -0,82299 -0,44448 0,04313
7573 -1,34222 1,11152 0,86851 -2,22034
7583 -0,70899 -0,64998 -0,98991 -1,05812
7592 -0,36827 -1,86765 -1,05755 0,47114
7708 -0,97085 -0,33088 0,61418 -0,34882
7865 0,27301 -1,00958 -0,95076 0,55930
7893 -0,69327 0,21509 1,54865 -1,18183
7918 -1,54632 0,37369 0,44675 1,66907
7926 1,09819 -1,69251 0,43011 -1,20874
7934 -0,13300 -0,42508 -0,85979 0,21414
7993 0,17004 -1,02645 -0,49304 0,77931
8006 0,34403 -0,45223 0,05056 0,13424
8021 0,79884 -0,82238 0,27567 -0,62499
8023 0,05262 0,67125 -1,74580 0,15250
8067 -0,28532 -0,19668 -0,64335 1,38976
8077 -0,16632 -0,22737 1,06005 0,40362
8084 -0,21135 0,72048 0,85437 -1,07971
8102 0,39334 -0,81860 0,92735 -0,16115
8225 0,91525 0,71572 -1,11867 -1,02351
8235 0,35064 -1,04533 2,19641 0,82584
8237 0,57642 -0,20285 -0,51829 0,29890
8287 -0,24175 0,70955 -0,37434 1,14955
8343 1,54313 -0,23780 0,48710 -0,84026
8414 0,54618 1,27155 -1,56035 0,17603
8725 1,95784 1,72416 -0,76334 -1,07247
8820 0,98805 1,45495 1,14749 1,14111
8893 0,66309 1,70275 1,14475 1,92073
Nyní sestrojíme spojnicový graf faktorových skóre.
Grafy – 2D Grafy – Spojnicové grafy (Proměnné) – Proměnné rychlost – oštěp – OK,
zapneme Vícenásobný – OK
Spojnicový graf z více proměnných
Tabulka23 5v*28c
rychlost
výbušnost
tyčka
oštěp
CasarsaPaolo
UldalHansOlav
KorkízoglouPródromos
KarlivansJanis
LorenzoSantiago
TuriIndrek
GómezDavid
TerekPaul
ParkhomenkoAlexandr
DrewsStefan
QiHaifeng
SmirnovVitaliy
OjaniemiJaakko
AveryanovNikolay
SmithMaurice
BarrasRomain
SchönbeckFlorian
PogorelovAleksandr
SchwarzlRoland
BernardClaston
NoolErki
HernuLaurent
ZsivóczkyAttila
WarnersChiel
MaceyDean
KarpovDmitriy
ClayBryan
ŠebrleRoman
-3
-2
-1
0
1
2
3
Na první pohled zde nedominuje žádný z faktorů. Znamená to, že k vítězství je potřeba souhra
všech. Co se týká jednotlivých závodníků, vidíme např., že Roman Šebrle má jedny
z nejlepších skóre u všech faktorů, proto také vyhrál na těchto OH.
Podívejme se ještě, jak se změní výsledky, když změníme metodu extrakce faktorů a metodu
rotace. Na záložce Detaily zvolíme Centroidovou metodu a na záložce Základní výsledky
vybereme Varimax normalizovaný.
Vlastní čísla a procento vysvětleného rozptylu:
Vl. čísla (Desetiboj_upraveny.sta)
Extrakce: Hlavní faktory (Centroid)
Hodn.
vl. číslo % celk.
rozptylu
Kumulativ.
vlast. číslo
Kumulativ.
%
1
2
3
4
3,186417 31,86417 3,186417 31,86417
1,646201 16,46201 4,832618 48,32618
1,261125 12,61125 6,093743 60,93743
0,412872 4,12872 6,506616 65,06616
Poněkud pokleslo procento vysvětleného rozptylu, z 78 % na 65 %.
Faktorové zátěže:
Faktor. zátěže (Varimax normaliz. ) (Desetiboj_upraveny.sta)
Extrakce: Hlavní faktory (Centroid)
(Označené zatěže jsou >,700000)
Proměnná
Faktor
1
Faktor
2
Faktor
3
Faktor
4
Body 100 m
Body skok dálka
Body koule
Body výška
Body 400 m
Body překážky
Body disk
Body tyčka
Body oštěp
Body 1500 m
Výkl.roz
Prp.celk
0,801931 0,169119 0,081081 0,189384
0,816232 0,159124 -0,039806 0,129519
0,145893 0,944284 0,026339 0,095966
0,322112 0,590217 0,107111 -0,103545
0,807053 0,037249 -0,356080 0,021918
0,636636 0,175576 -0,049498 0,030171
0,193462 0,704059 0,192066 -0,262833
0,218152 -0,096104 0,149190 0,664741
-0,008349 0,418982 -0,238998 0,011212
0,201183 -0,076158 -0,993030 -0,201507
2,616572 2,012445 1,251943 0,625656
0,261657 0,201244 0,125194 0,062566
Na rozdíl od metody hlavních komponent koreluje třetí faktor s proměnnou Body 1500 m, lze
ho tedy interpretovat jako vytrvalost.