Cvičení 9.: Pokročilé metody v jednoduché lineární regresi
Příklad 1.: Máme k dispozici údaje o výšce (proměnná X) a hmotnosti (proměnná Y) 10
mužů a 10 žen. Údaje jsou uloženy v souboru hmotnost_vyska.sta. Předpokládáme, že
závislost hmotnosti na výšce lze pro muže i ženy modelovat pomocí regresní přímky. Na
hladině významnosti 0,05 testujte následující hypotézy:
a) rozptyly náhodných odchylek v 1. a 2. modelu jsou shodné;
b) regresní přímky jsou totožné;
c) regresní přímky mají shodné směrnice.
Řešení v systému STATISTICA:
Otevřeme datový soubor hmotnost_vyska.sta.
Znázorníme data s proloženými regresními přímkami.
Grafy – Bodové grafy – Proměnné x,y – OK – Kategorizovaný – Kategorie X – Zapnuto –
Změnit proměnnou – id – OK – Rozložení Přes sebe – OK.
Bodový graf z y proti x; kategorizovaný id
Tabulka26 4v*20c
id: muz y = 2,5432+0,5701*x
id: zena y = -1,0885+0,3746*x
x
y
id: muz
id: zena130 140 150 160 170 180 190 200 210 220
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
Z obrázku je vidět, že úseky se budu lišit a směrnice zřejmě také.
Ad a) Provedeme test hypotézy o shodě rozptylů náhodných odchylek v daných dvou
modelech.
Statistiky – Vícenásobná regrese – Select cases – Zapnout filtr – zadáme id = 1 – OK –
Proměnné y, x – OK – OK – Detailní výsledky – ANOVA.
Analogicky pro 2. model zadáme id = 0.
Analýza rozptylu (hmotnost_vyska.sta)
Zhrnout podmínku: id=1
Efekt
Součet
čtverců
sv Průměr
čtverců
F p-hodn.
Regres.
Rezid.
Celk.
271,9827 1 271,9827 359,8123 0,000000
6,0472 8 0,7559
278,0299
Analýza rozptylu (hmotnost_vyska.sta)
Zhrnout podmínku: id=0
Efekt
Součet
čtverců
sv Průměr
čtverců
F p-hodn.
Regres.
Rezid.
Celk.
800,2528 1 800,2528 669,9265 0,000000
9,5563 8 1,1945
809,8092
Vypočteme testovou statistiku 6328,0
8
5563,9
8
0472,6
2n
S
2n
S
T
*
*
E
E
0 ==
−
−= .
Kritický obor:
( ) ( ) ) ( ) ( ) )
)∞∪=
=∞∪=∞−−∪−−= α−α
;4333,42256,0;0
,8,8F8,8F,0,2n,2nF2n,2nF,0W 975,0025,0
*
2/1
*
2/
Testová statistika nepatří do kritického oboru, hypotézu o homogenitě rozptylů nezamítáme
na hladině významnosti 0,05.
Ad b) Testujeme hypotézu o totožnosti dvou regresních přímek.
Testová statistika má tvar
( )
( ) ( )4nnSS
2SSS
T **
EE
*
EEEE
0
*
−++
−−
= . Reziduální součty čtverců SE a SE
*
již
známe, SE = 6,0472 a SE
*
= 9,5563. Stanovíme reziduální součet čtverců SEE
*
ve sdruženém
modelu.
Statistiky – Vícenásobná regrese – OK – Proměnné – Závislá y, Nezávislé x – OK – OK –
Detailní výsledky – ANOVA.
Analýza rozptylu (hmotnost_vyska.sta)
Efekt
Součet
čtverců
sv Průměr
čtverců
F p-hodn.
Regres.
Rezid.
Celk.
7931,19 1 7931,194 31,59286 0,000025
4518,79 18 251,044
12449,98
( )
( )
8084,2308
165563,90472,6
25563,90472,679,4518
T0 =
+
−−
=
Kritický obor:
( ) ) ( ) ) )∞=∞=∞−+= α− ;6337,3,16,2F,4nn,2FW 95,0
*
1
Testová statistika patří do kritického oboru, hypotézu o totožnosti regresních přímek
zamítáme na hladině významnosti 0,05.
Ad c) Provedeme test rovnoběžnosti dvou regresních přímek.
K datovému souboru přidáme novou proměnnou id*x, která vznikne jako součin proměnných
id a x.
Statistiky – Vícenásobná regrese – OK – Proměnné – Závislá y, Nezávislé x, id id*x – OK –
OK – Výpočet: výsledky regrese..
Výsledky regrese se závislou proměnnou : y (hmotnost_vyska.sta)
R= ,99937316 R2= ,99874670 Upravené R2= ,99851171
F(3,16)=4250,1 p<0,0000 Směrod. chyba odhadu : ,98753
N=20
b* Sm.chyba
z b*
b Sm.chyba
z b
t(16) p-hodn.
Abs.člen
x
id
id*x
2,54316 3,663263 0,69423 0,497493
0,420912 0,014694 0,57013 0,019903 28,64589 0,000000
-0,072778 0,103452 -3,63161 5,162228 -0,70350 0,491857
-0,637639 0,097802 -0,19552 0,029989 -6,51968 0,000007
Testovou statistiku najdeme na řádku id*y, ve sloupci t(16): t0 = -6,5197. Odpovídající phodnota
je velmi blízká 0, tedy na hladině významnosti 0,05 zamítáme hypotézu, že směrnice
daných dvou regresních přímek jsou totožné.
Příklad 2.: Na podzim byla uskladněna zimní jablka. Po čase bylo vždy odebráno několik
kusů a u každého byla posuzována chuť, tvrdost, kvalita slupky a celkový vzhled jablka.
Vyšší počet bodů odpovídá lepší kvalitě ovoce. Doba, která uplynula od uskladnění, je
nezávisle proměnná veličina X, počet bodů závisle proměnná veličina Y.
X Y
0 5 6 4 5
2 9 7 8
4 9 8 10 10 8
6 8 5 7 4 6
8 3 1 2
Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že regresní přímka je vhodný model závislosti
Y na X.
Řešení v systému STATISTICA:
Načteme datový soubor zimni_jablka.sta se dvěma proměnnými X a Y a 20 případy.
Data znázorníme graficky:
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
X
0
2
4
6
8
10
12
Y
Je zřejmé, že přímka nebude vhodným regresním modelem.
Test adekvátnosti modelu provedeme pomocí Obecných regresních modelů:
Statistiky – Pokročilé lineární/nelineární modely – Obecné regresní modely – Jednorozměrná
regrese - OK – na záložce Možnosti zaškrtneme Kvalita proložení – OK – Závislá Y, Spoj.
nezáv. prom. X – OK – Více výsledků – Celkové R – ve stromové struktuře vlevo vybereme
Test kvality modelu.
Test of Lack of Fit (zimni_jablka.sta)
Dependnt
Variable
SS
Residual
df
Residual
MS
Residual
SS
Pure Err
df
Pure Err
MS
Pure Err
SS Lack
of Fit
df Lack
of Fit
MS Lack
of Fit
F p
Y 114,3056 18 6,350309 20,00000 15 1,333333 94,30556 3 31,43519 23,57639 0,000006
Hodnota testové statistiky je 23,576 a odpovídající p-hodnota je blízká 0. Na hladině
významnosti 0,05 tedy zamítáme hypotézu, že přímka je vhodným modelem k popisu
závislosti kvality jablek na době skladování.
Použijeme-li model 2
210 xxy β+β+β= , nemůžeme na hladině významnosti 0,05 zamítnout
hypotézu, že tento model je adekvátní, neboť odpovídající p-hodnota je 0,4619:
Test of Lack of Fit (zimni_jablka.sta)
Dependnt
Variable
SS
Residual
df
Residual
MS
Residual
SS
Pure Err
df
Pure Err
MS
Pure Err
SS Lack
of Fit
df Lack
of Fit
MS Lack
of Fit
F p
Y 22,16943 17 1,304084 20,00000 15 1,333333 2,169434 2 1,084717 0,813538 0,461919
Odhadnuté parametry:
Regression Summary for Dependent Variable: Y (zimni_jablka.sta)
R= ,90909975 R2= ,82646235 Adjusted R2= ,80604616
F(2,17)=40,481 p<,00000 Std.Error of estimate: 1,1420
N=20
b* Std.Err.
of b*
b Std.Err.
of b
t(17) p-value
Intercept
X
Xkv
5,038438 0,542163 9,29322 0,000000
2,32875 0,331422 2,193419 0,312162 7,02653 0,000002
-2,78576 0,331422 -0,325953 0,038779 -8,40547 0,000000
Výsledný model má tvar: y = 5,0384 + 2,1934x – 0,3260x2
.
Příklad 3.: Jsou známy údaje o počtu obyvatel USA v letech 1815 až 1975 (v miliónech
osob):
181518251835184518551865187518851895190519151925 1935 1945 19551965 1975
8,3 11 14,7 19,7 26,7 35,2 44,4 55,9 68,9 83,2 98,8 114,2127,1140,1164 190,9214,3
Předpokládáme, že růst populace se řídí exponenciální regresní funkcí x10
ey β+β
= , kde y je
počet jedinců a x je čas, x = 1815, 1825, …, 1975.
Odhadněte parametry exponenciální regresní funkce. Znázorněte data s proloženou regresní
funkcí. Pomocí D-W statistiky testujte hypotézu, že mezi rezidui neexistuje pozitivní
autokorelace.
Návod: Data jsou uložena v souboru populace_USA.sta. V datovému souboru přidáme novou
proměnnou LnY, do jejíhož Dlouhého jména napíšeme Log(Y). Provedeme regresní analýzu
se závisle proměnnou LnY a nezávisle proměnnou X.
Výsledky regrese se závislou proměnnou : lny (populace_USA.sta)
R= ,98522411 R2= ,97066655 Upravené R2= ,96871099
F(1,15)=496,36 p<,00000 Směrod. chyba odhadu : ,18230
N=17
b* Sm.chyba
z b*
b Sm.chyba
z b
t(15) p-hodn.
Abs.člen
X
-34,0828 1,710803 -19,9221 0,000000
0,985224 0,044222 0,0201 0,000902 22,2792 0,000000
Výsledný model má tedy tvar: y = e-34,0828+0,201.x
Dílčí t-testy vedou k zamítnutí hypotéz o nevýznamnosti regresních parametrů β0, β1, obě phodnoty
jsou blízké 0. Testová statistika celkového F-testu nabývá hodnotu 496,36,
odpovídající p-hodnota je také velmi blízká 0. Exponenciální model vysvětluje variabilitu
počtu osob v USA v letech 1815 – 1975 z 97%.
Grafické znázornění dat s proloženou regresní funkcí:
1800 1820 1840 1860 1880 1900 1920 1940 1960 1980 2000
X
-50
0
50
100
150
200
250
300
D-W statistika nabývá hodnoty 0,1532. Kritické hodnoty pro α = 0,05, n = 15, p = 2 jsou: dL =
0,95, dU = 1,54. Testová statistika je menší než dL, tedy jsme na hladině významnosti 0,05
prokázali existenci pozitivní autokorelace reziduí.
Nepovinný úkol: Postupem popsaným v přednášce odstraňte problém autokorelovaných
reziduí.
Příklad k samostatnému řešení: Ředitel státní správy nebyl spokojen s prací jistého
oddělení. Nařídil proto, aby po dobu půl roku nejméně jednou měsíčně byla práce pracovníků
tohoto oddělení kontrolována a hodnocena. Po půl roce obdržel výsledky hodnocení a chtěl
vědět, zda se práce zlepšila. V tabulce jsou uvedeny průměrné hodnoty bodového hodnocení
(škála 1 až 10, 1 nejlepší, 10 nejhorší) za příslušné měsíce:
body 8,0 7,8 7,3 6,4 6,0 5,6
měsíc leden leden leden únor únor únor
body 5,4 4,8 5,7 5,0 4,8 4,7
měsíc březen březen březen duben květen červen
Proveďte test adekvátnosti přímkového modelu [p = 0,043] a kvadratického modelu [p = 0,6].
Pomocí kvadratického modelu najděte 95% empirický interval spolehlivosti pro predikci
bodového hodnocení pro měsíc červen a pomocí statistického softwaru nakreslete graf 95%
pásu spolehlivosti. [predikce = 4,896, dolní mez = 4,128, horní mez = 5,664]
Bodový graf z Y proti X
statni_sprava.sta 3v*12c
Y = 9,3461-1,9704*x+0,2048*x^2; 0,95 Int.spol.
0 1 2 3 4 5 6 7
X
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
8,5
Y