62 Integrály v pravděpodobnosti 63 Spočítejte na kalkulačce $(3). Polynom pro výpočet P(x) uspořádejte takto (Homérovo schéma): (((c4x + c3)x + c2)x + ci)x + 1 a postupujte zevnitř ven - začnete c4x a jedničku přičtete až v poslední operaci. 4.6.22. Ukažte, že má-li náhodná veličina X s normálním rozdělením střední hodnotu fi a rozptyl a2, potom náhodná veličina Y = aX + j3 s libovolnými konstantami a a j3 > 0, má normální rozdělení se střední hodnotu a/u + (í a rozptylem a2a2. Srovnejte se cvičením 4.6.6. 4.6.23. Ze vztahů nahoře uvedených vidíme, že pro každé kladné číslo a platí 1 f°° v27t J-oo Derivujeme podle a obě strany rovnosti, násobíme cr3 a máme 1 f°° a2 -== / x2e~£* dx = (T3 . (*) Dosadíme = 1 a dostaneme výsledek, k němuž jsme ve 4.6.18. museli použít integraci per partes. Odvoďte vztahy pro momenty náhodné veličiny s hustotou /0,ff - normálního rozdělení s nulovou střední hodnotu -, tj. spočítejte integrály 1 f = —= I xKe dx. ay'2-K J-oo Řešení. 4.6.19. a) Integrand v definici funkce $ je funkce sudá. Proto integrál přes (-oo,0) je roven interálu přes (0, co), a každý z nich se proto musí rovnat \. b) Vztah bude dokázán, jakmile se zjistí, že $(x) + $(-x) = 1. V integrálu, který dává $(-x), použijeme substituce f = -y, kterou se integrál přes interval (-oo, -x) převede na integrál přes (x, oo). Proto můžeme psát Tím jsme vztah dokázali, d) . 4.6.20. a) P(o < X < b) = P(X 1 zjistíme, že TU2k = 1 • 3 ■ (2*- 1)x}. Jestliže chceme množinu £>(/) graficky zachytit, kreslíme obrazec v rovině. Část patřící do D(f) šrafujeme. Pokud části omezující křivky, které tvoří hranici obrazce, patří (resp. nepatří) do definičního oboru, kreslíme tyto části plnou (resp. přerušovanou) čarou. 5.1.2. Najděte a načrtněte definiční obor a zjistěte, zda funkce je na D(f) omezená shora a zdola: /4_X2~) c) f(x,y)= 1 xJ + xy + y2 lv + 1 „ , 1 a) f(x,y) = ln(?/+ x2 - 1), f(x,y) d) %/aľ - 2 e) f(x, y) g) /(x,i/) = ln(36-4x2-92/2), h) /(*»») j) /(*,v) = V(ar + l)3-ff + 1 v x 2 v/ž/ + 2x2 + 8x Vy - (x + i)3, i) /(x,j/) = v/4^+Vy, k) /(x,y) = Ví+ a/4 - x2 - y2 . Řešení. 5.1.2. a) funkce není omezená na D(f) = {(x,y) G E2 | y > 1 - x2} , b) funkce je omezená zdola a není omezená shora na £>(/) = {(x, y) e E2 | y <4-x2} , c) funkce je omezená zdola a není omezená shora na D(f) = {(x, y) € E2 \ (x, y) jí (0,0)} , d) funkce je omezená zdola a není omezená shora na D(f) = {(x,y) e E2 | x > 2 A y >-1} , e) funkce je omezená zdola a není omezená shora na definičním oboru (jehož zápis je poněkud nepřehledný) D(f) = {(x,y) € E2 { x > 2 A y.> -1} u {(x,y)eE2\x<2- A y < ^1}■■- f) funkce je omezená zdola a není omezená shora na D(f) = {(x, y) 6 E2 | y > 8 - 2(x + 2)2} , 2 2 g) funkce je omezená shora a není omezená zdola na D(f) = {(x,y) G E2 | — + ^- < 1} , h) funkce je omezená zdola a není omezená shora na D(f) = {(x,y) 6 E2 j y > (x + l)3} , i) funkce je omezená zdola a není omezená shora na D(f) = {(x,y) € E2 | - 2 < x < 2 A 0 < y) , j) funkce je omezená zdola a není omezená shora na£>(/) = {(x,y) e E2 | x > -1 A 0 < y < (x + l)3} , k) funkce je omezená zdola a je taky omezená shora na £>(/) = {(x,y) G E2 | x2 + y2 < 4 A x > 0} . 64 Funkce dvou proměnných; základní pojmy v, , „ - f = na nřímce v>- Xi = í, x2 = -ť sledujte pro í z prstencového okolí 5.1.3. Na přímce pi: xi = ť, x2 --1 a na přímce p2- Ji bodu nula hodnoty funkce 2xix2 a ukažte, že limita funkce 9 v bodě (0,0) neexistuje. 5.1.4. Pomocí polárních souřadnic xx = r cos A, x2=rsinA sledujte pro r z pravého okolí nuly hodnoty funkce , , x 4x2x2! ■■2-y, d) /(x,y) = 1-x-y, h) /(x,y) = 4-y2, 1) f(x,y) = y2-x2? h{xx,x2) = 22 a ukažte, že limita funkce /i v bodě (0,0) se rovná nule. 5.1.5. Jak vypadají plochy, které jsou grafy funkcí a) f(x,y) = 2, b) f(x,y) = l-x, c) f(x,y) e) f(x,y) = x2, f) /(x,y) = l-x2, g) f{x,y)=y2-l i) /(x,y)=x2+t/2, j) /(x, y) = -x2 - 9y2, k) /(x, y) = x2 - y 5.1.6. Pro funkci / s definičním oborem D(f) = E2 definujeme funkci p(ť) = /(x0 + řii, yo + bť), kde (x0, yo) je libovolný bod roviny a (a, 6) je libovolný vektor délky jedna, tj. a2 +b2 = 1. Co představuje funkce p ? 5.1.7. Ukažte, že plochy představované grafy následujících funkcí jsou rotačně symetrické vzhledem k ose z; najděte řezy ploch rovinami, které obsahují osu z; jak vypadají množiny {(x,y)eE2 I f(x,y)=c} pro různé hodnoty c, když a) /(x,y) = x2 + y2 -4, b) f(x,y) = y/x*Ty1-2t c) /(x, y) = ln(5 - x2 - y2) ? X2 - t/2 IIÍÍÍIÍP3^ WtĚĚĚKĚSĚĚmmĚĚĚSw y lĚĚĚĚĚĚmm mĚĚř Parciální derivace jednoduchých funkcí a jejich užití 65 Řešení. 5.1.3. Pro t ^ 0 platí y(č,ř) = 1 a 0 platí h(r cos A, r sin A) = r2 sin2 2A. Proto |/i(r cos A,r sin A)| < r2. Odtud vyplývá, že limita funkce h v bodě (0,0) je rovna nule. 5.1.5. k) Plocha je na obrázku. 5.1.6. Graf funkce p je řez plochy z = f(x,y) rovinou, která prochází bodem (xo,yo,/(xo,yo)) a jejíž normála je (ř>, —a, 0). Tato rovina je rovnoběžná s osou z. 5.2. Parciální derivace jednoduchých funkcí a jejich užití 5.2.1. Rozhodněte, zda daná funkce je na svém definičním oboru omezena zdola (resp. shora); spočítejte všechny první a druhé parciální derivace a určete otevřenou množinu O, na které jsou derivace spočítány; potom dosaďte do diferenciálního výrazu: a) b) c) f(x,y) = -l + x-2y- y/Sy , fxxfyy - f2y , f(x,y) = ln(x2 + y2) , fxx + fyy , f (x, y) = Vxsin - , xfx + yfy . 5.2.2. Rozhodněte, zda daná funkce je na E2 omezena zdola (resp. shora); spočítejte všechny první a druhé parciální derivace a potom najděte lokální extrémy: a) f(x,y) =x3 -y2-2xy-x, b) f(x,y) = x2 - 2xy2 + 6y2 + 2x, <0 f(x, y) = xy{G-x-y), d) f{x, y) - 2x3 - xy2 + 5x2 + y2 , e) /(x,y) = x3-2y3-3x + 6y-3, f) /(x,y) =xye 5.2.3. Spočítejte všechny první a druhé parciální derivace dané funkce a určete otevřenou množinu O, na které jsou derivace spočítány; potom najděte všechny lokální extrémy dané funkce na množině O a pokuste se ukázat, že jsou vlastně globálními (absolutními) extrémy: a) /(x,y) = 2x2 + 8x + y2 -2y, b) f(x,y) = 3x2 - 2xy/y + y - 8x + 8, c) /(x, y) = yy/x - y2 - x + 6y, d) /(x, y) = 2x*Jy - 2x2 + 2x - y . 5.2.4. Ujasněte si tvar křivky z = x4 — 2x2 = (x2 -1)2 — 1. Potom si představte plochu z = x4 —2x2 +y2 a popište z názoru všechny její stacionární body. Závěry ověřte výpočtem. 5.2.5. Diferenciál funkce / proměnných x, y v bodě P = (x0,yo), v němž má funkce / spojité obě parciální derivace prvního řádu, je dán výrazem df = ~(x0,2/o)dx + |^(x0,y0)dy. Jestliže chceme taká zachytit bod P a přírůstky hx, hy proměnných x, y, píšeme df(P)(hx,hy) = ^(x0,y0)hx + ^(x0,yo)hy . Diferenciál vyjadřuje lineární (v přírůstcích hx, hy proměnných x, y) přiblížení toho, jak se změní hodnota funkce, když z bodu (xq,|/o) postoupíme do „blízkého" bodu (xo+hx,yo+hy). Přesně řečeno, označíme-li R(xo,yo)(hx,hy) = f(x0 + hx,y0 + hy) - f(xQ,y0) - (^(x0,y0)hx + ^(x0,yQ)hyj , platí lim \R{xo,yo)(hx,hy)\ _ 0 (ha,/lB)-*(0,0) 66 Parciální derivace jednoduchých funkcí a jejich užití Najděte diferenciál funkce / v daném bodě pro a) f(x, y) = 2x + 3y a obecný bod, c) f(x,y) - xy , (x0,y0) = (-1,2), b) f{x,y) = \{x2 + y2) a obecný bod, d) f(x,y) = , (x0,2/o) = (2,-l) • x2 - 2y2 5.2.6. Najděte normálový vektor nP, který svírá s kladným směrem osy z ostrý úhel, a obecnou rovnici tečné roviny v bodě P = (x0, yo, *o) plochy z = f(x, y) pro a) f(x,y) = xy2 , (x0)yo) = (~2,1), b) f(x,y) = x2+y2 , (x0,y0) = (0,0), c) f(x,y) = xex2y , (x0,y0) = (-1,0), d) f(x,y) = xy + 2x - y , (x0,y0) = (1, -2). 5.2.7. Pro funkci /, která má n nezávisle proměnných a která má v bodě (xi,..., x„) všechy parciální derivace prvního řádu, je gradient V/ v bodě P = (xi,...,x„) definován výrazem V/(xl,...,xn) = (äxT^1'-'-'^ Spočítejte gradient pro a) f(x,y)=x3y2 -y + 1 , P = (1,1), 1 2 (^I~Ít, r„\ —f-(xi,...,XnÝj ■ ' <9x„ b) /(*,»)= e , F =(2,-1), c) f{x,y) = \{x\ + xl + xl) aobecnýbodP, d) /(x,y) = cos((7r-x)(y+l)) , P = (|tt,0) . 5.2.8. Najděte derivaci funkce f(x,y) = 5x2y -"4x - 2y v bodě P = (1,1) ve směru s, který jde z bodu P do bodu Q = (4,5). 5.2.9. Najděte derivaci funkce f(x,y) = x2y v obecném bodě P = (x,y) kružnice se středem v počátku O = (0,0), ve směru s, který je ke kružnici tečný a je v souhlase s kladným směrem oběhu kružnice. 5.2.10. Najděte derivaci funkce /(xi,x2lx3) = \{x\ + x?2 + x|) a) v obecném bodě P = (xi,x2,x3) ve směru s, který jde z bodu P do počátku O = (0,0,0), P^O, b) v obecném bodě P = (xi, x2, x3) ve směru s, tečném ke sféře, která má střed v počátku O = (0,0,0) a prochází bodem P. 5.2.11. Najděte minimum a maximum funkce / na kompaktní množině M, když a) /(x, y) = 2x2 + y2 - 4x - 4y, M = {(x, y) | 0 < x < 2 , 0 < y < 3} , b) /(x,y) = 3x2 - 6xy + 9y2 - 6x - 6y, M = {(x,y) |0(/) = {(x,y) € £2 | (x,y) # (0,0)}, funkce není omezená zdola, ani shora, 2x "'■ ■ 29 *W S*.,) - ^ Čx^ x2 + y2'5y (x2 + y2)2 ' <9x<9y x2 + y2' <9x2 d2 / 2(x2 - w2) fyí = (x2+y2)2' /« + fyy=® na O, c) O = D(f) = {(x,y) e E2 j 0 < x}, funkce není omezená zdola, ani shora, (x2 + y2)2' df (x,y) l . y —r sm — 2x2 x y_ 3 x2 y-,d/i x oy cos-, -r^(x,y) = 4:COS^, j^(x,y) = 4"COs^ - — / sm ,2, ^ ' x' č>x2 v_ 5 x2 y x2 + 4y2 y x dx 2x2 x X5 x x- W '"' xi x 4xi d2f , s y y 1 y d2f -Iv diTyiX'y) = íiSmx - C0Sx' W(X'y) = xTSÍn!' = ^na0- 5.2.2. a) O = £>(/) = £J2 , funkce není omezená zdola, ani shora, /x(x,y) = 3x2 - 2y - 1, fy(x,y) = -2(x + y), fxx(x,y) = 6x, fxy(x,y) = -2, fyy{x,y) = -2, stacionární body jsou ^4 = (-1,1) - lokální maximum a P = (|, -|) - sedlo, b) (!) = D(f) = E2 , funkce není omezená zdola, ani shora, fx(x,y) = 2(x + 1 - y2), fy(x,V) = -4y(x - 3), fxx{x,y) = 2, fxy(x,y) = -4y, /^(x.y) = -4x + 12, stacionární body jsou -4 = (-1,0) - lokální minimum, B = (3,2) - sedlo a C = (3, -2) - sedlo, c) (9 = D(f) = E2 , funkce není omezená zdola, ani shora, fx(x,y) - y(6 - 2x - y), /j,(x,y) = x(6 - x - 2y), fxx(x,y) = -2y, fxy(x,y) = 2(3 - x - y), /TO(x,y) = -2x, stacionární body jsou .4 = (2,2) - lokální maximum a B = (0,0) - sedlo, C = (6,0) - sedlo, D = (0,6) - sedlo, d) O = D(/) = Z?2 , funkce není omezená zdola, ani shora, fx(x,y) = 6x2 - y2 + lOx, /»(«•!/) = -2y(x - 1), fxx(x,y) = 2(6x + 5), /„„(ar.y) = -2y, fyy{x,y) = -2(x - 1), stacionární body jsou A = (0,0) - lokální minimum, B = (1,4) - sedlo, C = (1,-4) - sedlo, £> = (-§,())- sedlo, e) O = £>(/) = £í2 , funkce není omezená zdola, ani shora, fx{x,y) = 3(x2 - 1), fv(x,y) = -6(y2 - 1), fxx(x,y) = 6x, fxy(x, y) = 0, /w(x, y) = -12y, stacionární body jsou .4 = (1,-1) - lokální minimum, B = (-1,1) - lokální maximum, C = (1,1) - sedlo a D = (-1,-1) - sedlo, f) O = = £2 , funkce není omezená zdola, ani shora, fx(x,y) = (x + l)yex~^, y2 y2 /y(x,y) = -x(y2 - l)eX \ fxx(x,y) = (x + 2)yea~ 2 , fxy(x,y) = -(x + l)(y2 - l)e* fyy{x,y) = xy(y2 - 3) e* 2 , stacionární body jsou .4 = (-1,1) - lokální minimum, B = (-1, -1) - lokální maximum a C = (0,0) - sedlo. 5.2.3. a) O = £>(/) = i?2 , funkce není omezená shora, fx(x,y) = 4(x + 2), /j,(x,y) = 2(y - 1), fxx(x,y) = 4, fxy(x,y) = 0, fyy(x,y) = 2, stacionárním bodem je A = (-2,1) - globální (absolutní) minimum, b) O = {(x,y) e E2 | 0 < y} , funkce není omezená shora, /3(x,y) = 2(3x - Vy - 4), Jy[x,y) = -—, fxx(x,y) = 6, fxy(x,y) = ——, fyy(x,y) = —stacionárním bodem je y/y vy 2y2 A = (2,4) - globální (absolutní) minimum, -4 c) 0 = {(x,y) e E2 | 0 < x) , funkce není omezená zdola, fx(x,y) = y /y(x,y) = v/S-2y + 6 _ -y 1 fxx(x,y) - ^-j, fxy{x,y) = 2^=, fyy(x,y) = -2, stacionárním bodem je A = (4,4) - globální (absolutní) maximum, d) 0 = {(x,y) e £2 | 0 < y} , funkce není omezená zdola, fx{x,y) = 2(y^ - 2x + 1), íy(x,y) 1 -4 = (1,1) - globální (absolutní) maximum. - 1, fxx(x,y) = -4, fxy(x,y) = -i^, fyy(x,y) = —5-, stacionárním bodem je sjy 2ya 68 Parciální derivace složených funkcí 5.2.4. Dvě globální minima v bodech A = (-1,0) a B = (1,0), sedlo v bodě C = (0,0). 5.2.5. a) df = 2dx + 3dy, b) df = xdx + j/dy, c) áf = 2dx - dy, d) d/ = -dx - dy . 5.2.6. a)P = (-2,1, -2), nP = (-1,4,1), x - 4y - z + 4 = 0, b) P = (0,0,0), nP = (0,0,1), z = 0, c)P=(-l,0, -1), ňP = (-1, 1,1), x - y - z = 0, d) P = (1, -2,2), ňP = (0,0,1), z = 0. 5.2.7. a) V/(P) = (3,1), b) Y/(P) = (-1,2), c) V/(xi,x2,x3) = (xi,x2,x3), d) V/(P) - (1,-|tt). df d/, , x(x2-V) 5.2.8. ^(P) - 6. 5.2.9. pí,!/) = ^—-g • ds ds V1 +^ 5.2.10. a) ^(xl!x2,x3) = -^/x2+x2+x2, b) ^(x1,x2)x3) = 0. 5.2.11. a) min /(x, y) = /(l, 2) = -6 max /(x, y) = /(0,0) = /(2,0) = 0 , ' (x,y)&M (x,y)eM h) min /(x,2/) = /(2,l) = -9, max /(x,y) = /(0,4) = 120, (x,y)€M (x,y)&M c) min /(a:,y) = /(l,l) = -2, max /(x,y) = /(2,2) = 8. 5.2.12. a) min /(x,y) = /(-l.-l) = -2, . n«« /(*,») =/(-3,0) =/(0.-3) = 5, b) minr f(x,y) = /(l, -3) = -9, max^ /(x,y) = /(-f,-f) = ^ , (x,y)€M C\x^M ^^ = /(1'1) = -7'(Ä /(l'ž/) = /(4'"2) = 20- 5.3. Parciální derivace složených funkcí 5.3.1. Spočítejte všechny první a druhé parciální derivace dané funkce a určete otevřenou množinu O, na které jsou derivace spočítány; zjistěte, zda na množině O jsou funkce omezeny zdola (resp. shora): a) /(x,y) = ln(5-x2-y2), b) 5(x,y) = e?, c) f(x,y) = ln(x2-2x-y), d) f{x,y) = e ' , e) /(x,y) = xyV, f) f(x,y) - eX+&y, g) /(x,y) = In ^-g1)2y, h) /(x,y) = ln(^ + l), i) /(x,y) = arctg j) /(x!2/) = arctg^> k) /(x,y) = -7=L==, 1) /(*,») = ~ 1 n) /(x,2/)^--^_e2xž)! m) /(x.i/) = \/x\ny, 1 o) /(x,|/)=eV^, p) f(x,y)-- V/x2 + 2xy+ 3y2 q) V) 1 yi-x2+y2 5.3.2. Funkce g jedné proměnné má derivaci ve všech bodech intervalu (-oo, oo), A je libovolná konstanta. Ukažte, že funkce u(x,t) = Ae~5t g(3t - 2x) vyhovuje rovnici 2^(x,t) +3^(x,t) = -I0u{x,t) ve všech bodech (x,t) e E2 . c/x dt Parciální derivace složených funkcí 69 5.3.3. Funkce g jedné proměnné má dvě derivace ve všech bodech intervalu (—00,00), A, B, a jsou libovolné konstanty. Ukažte, že funkce u(x, t) = Ag(x — ať) + B g{x + ať) vyhovuje rovnici d2u d2u (x, t) - a2 ^2 (x,t) = 0 ve všech bodech (x, t) e E2 . 5.3.4. Funkce / dvou proměnných xi, x2 má v otevřené množině G C E2 derivace druhého řádu a každá z dvojice funkcí y%, y2 jedné proměnné t má dvě derivace na otevřeném intervalu I. Přitom pro každý bod t € I je (2/1 (í), Ž/2OO) € G. Vyjádřete první a druhou derivaci funkce h(ť) — /(j/i(í),?/2(í)) podle ř; při zápisu výsledků nevypisujte argument t a vnitřní funkce derivací funkce /. Použijte také indexů pro označení derivací, neboť takový zápis je jednodušší. 5.3.5. Funkce g závisí na dvou proměnných (u,v) 6 E2 a má parciální derivace druhého řádu ve všech bodech. Na místa proměnných (u, v) dosadíme funkce, které jsou pojmenovány ve shodě s proměnnými, na jejichž místa budou dosazeny. Tyto funkce jsou u = 3x + 2y&v = x — y. a) Napište výrazy, kterými jsou dány první dvě derivace funkce z(x, y) = g(3x + 2y, x — y). b) Spočítejte hodnoty prvních a druhých derivací funkce z v bodě P = (2,-1), když znáte tyto hodnoty derivací funkce g v bodě Q = (4,3): 9u{Q) = 3, gv(Q) = -2, guu(Q) = 1, guv(Q) = -2, gvv(Q) = 3. 5.3.6. Funkce g má stejné vlastnosti jako v předcházející úloze. Na místa argumentů (u, v) jsou dosazovány funkce u = 3x — y & v = x2 . Napište výrazy, kterými jsou dány první dvě derivace funkce z(x, y) = y) ~ -2a df_ 5 - x2 - y2' dy (x, y) = -2y _ 5 - x2 — y2' ôx2 (x, y) = (5 - x2 - y' 2\2 d2f (x,y) = -4xi/ d2/ -2(5 - x2 + y2) (5-x2-y2)2 ' aidy^'*' (5 - x2 - y2)2 ' 5y2 b) (9 = D{g) = {(x y) e E2 \ y ^ 0} , funkce je omezená zdola nulou, shora není omezená, 2x(2x + 3y2) dx2 dxdy ^(x y) -g{x,y), c) O = D(f) = Ux,y) G E2 \ y < (x - í)2 - 1} , funkce není omezená zdola, ani shora, df, A 2(x - 1) 0/, , -1 d2}(....., _ -2(x2 - 2x + y + 2) Ô3>>^) x2-2x-y,Ôy (x,y) d2f (x,y) 2(1£í(.,„) x2 - 2x - y' <9x2 •^1 (x,y) (x2 - 2x - y)2 (x2 - 2x - y)2'' dxdyK",:" (x2 - 2x - y)2' dy2 d) O = D(f) = {(x,y) e E2 \ x 0} , funkce je omezená zdola hodnotou nula, shora není omezená, dx{X'y)~ x2 2 _i_ i\ df x 2y „ v 92/, , (2x + y2 + l)(y2 +1) > /(x,y), ^(x,y) = -f /(x,y), ^(x,y) = *--f(x,y), 2\ dy x"1 e) q - = {(x,y) S E2 | y # 0} , funkce není omezená zdola, ani shora, |í(x,y) = y2(x + y)e", |^(x,y) = xy(-x + 3y)es, ^(x,y) = y(x + 2y)eä\ ô2/ , , , 2 ,2J č2/, . x(x2-4xy + 6y2)J ^-L-(x,y) = (-x2 + xy + 3y2)e , ^(x,y) =---e , d f . , 2ex+y f) O - D(f) = E2 , funkce je omezená zdola hodnotou -1 a shora hodnotou 1, 7^ (x, y) = + ^2, Ô/ -2e*+" Ô2/. , -2ex+y(ex - e") 92/ , _ 2e'-H'(e* - e") 3^)= (e^ + e^)2'^^'^- (e- + ev)3 • 3x9y^y) ~ (e» + e»)3 ' <92/ -2ex+y(ea; -eg) g) 0 = D(/) = {(x,y) G £2 | x > 0 A x ?U A y > 0} U {(x,y) G £2 | x < 0 A y < 0} , funkce není omezená zdola, ani shora, g^(x^v) x + 1 9/ 1 ô2/, , _ -x2 - 2x +1 x(x-l)' dy[X,V) ~ y' dx2™ ~ x2(x-l)2 ' d2 f d2 f -1 h) £> = £>(/) = {(x,y) € S2 j y > 0} U {(x,y) € E2 | y < -x2} , funkce není omezená zdola, ani —x 92/ 2(-x2 + y) d2 f (x2 + y)2 ' č>xč*y (z, ž/) -2x (x2 + y)2' , a/, , 2x af shora, ^(x,y) = ^(x,y) - 9x2 ^fx W) = "2^+2^ 5y2 ^ ,IJ) y2(x2+y)2' i) C = D(f) = {(x,y) G E2 I y ^ 0} , funkce je omezená zdola hodnotou - \ir a shora hodnotou |7r, 9/ _ y č?/ -x ď2/ _ -2xy g2/ x2 - y2 9x(2;'yj ~ x2 + y2 ' Ôy[X'y) ~ x2+y2' Ôx2^'2/; ~ (x2 + y2)2' Ôx9ylX'y; (x2 + y2)2' d2 f, , 2xy (x2 + y2)2' j) O = D(/) - {(x, y) £ i?2 J xy ^ -1} , funkce je omezená zdola hodnotou ~\-k a shora Qf hodnotou \ir, — (x, y) 1 df 2 ' ôx' 2y 1 + x2' dy (x,y) -1 d2 f q2j ^ dy2[X'y)- (1 + y2)2' 1 + y2' 5x2 (x, y) = -2x d2f (1 + x2)2' dxdy (x, y) - 0, k) O - ľ(/) = {(x,y) G U2 | y > -x3} , funkce je omezená zdola hodnotou nula, shora g f —3x2 omezená není, —(x, y) = dx™ - 2(x3+y)f S -t*2/8**'*)' Sľ^í') = a/( ôy a2/(x,y) = ^3-4^-%2(3;''/) = 4(x^+y)! ~4 ô2/ 2(x3 + y)S 9x2 a — 2 /3(a"> ?/)> 92/ ^x(5x3-4y)^(x,y),^-(x,y) = <3xdy 4(x3 + y)s ä/5(^,ž/), K/5(x,y), 1) 0 = £>(/) = {(x,y) 6 E2 j - y2 < x} , funkce je omezená zdola hodnotou nula, shora , df, , nem omezena, —(x, y) dx (x,y) dx2 ^7^1 = ~\nx,y), ^.(x,y) = dy 4 (x + y2) 2 -x + 2y2 _ 3 /5 d2f í{X>y)> ďxTy{x"j) = (-x + 2y2)/5(x,y), 3y 2(x + y2)í (x + y2) 2 = lyŕ(x,y), = -y f (x, y), (x + y2) 2 m) O = {(x,y) € Z?2 I G< x A K y} U {(x,y) € £2 | x < 0 A 0 < y < 1} , funkce je omezená zdola hodnotou nula, shora není omezená, — (x, v) = —^— = I ln v f'1 (x v) dx o. fZT^T, 2 y J x^^yii df x — {x,y) = -, = — dy 2yv^lííy 2y d2 f x t-x, , d2f . -In2y 2\/xhxy T = -Iln2y r3(x,y), („ a.\_ 1 1 ,-1, x S2/ -x2(1 + 2lny) -x2(l + 21ny) , ^, \ dxQy 4yyOT^ 4y " v dy2" "" 4y2(xlny)l ~ 4y2 n) O = D(f) = {(x,y) G E2 \ x > 0 A y < 0} U {(x,y) e £2 | K 0 A j/> 0} , funkce je 5 ř ve2xy omezena zdola hodnotou 0 a shora není omezená, ~(x, y) — —--r = ye2xy f3(x, y), c/w " ■ ■ * ~ (1 _e2xť)§ ^V3(x,y), g(x,y) = + Ciy" s ž/2(2 + Jxyyxvř{x,y), dj_ ) = xe2x* dy{X,V) ~ (i_e2^)§ ' v-.»y. ôa?3^ (!_e2*»)S d2f , . ((2xy4-l) + (xy-l)e2x")e2a;í' , 0 , „ ■dxTy{x'y) =--(i-JLy)t ^ ((2^ + D + (*y ~ l)e2^)e2-/5(x,y), ^(a!,tf) = ^^^y = x2(2 + e2^)e2xí'/5(x,y), 9y (1 _e2*y)i o) C? = {(x,y) e £J2 I x2 < y} , funkce je omezená zdola hodnotou nula/sKbŕä~néňi^Wéňar "2 eV^5 1 , i* — -----------— =r ™_— 9y a/ —xe\/v-x — (x,y) = x----- = , ~ f(x,y), ~-(x,y) = Vy- x2 dx2 (í/ — x2)f 2y/y-x2 2v"y - x- ff(x,y), (y — x'') 2 92f (x v) _ »(1 ~ V^)e^ _ x(l-yV^2) 5!Z(X)2/) = (y/y - x2 - l)ev^ _ vv^-i dy 4(y-x2)! 4(y - x2) ^zr~f(x, y), 72 Parciální derivace složených funkcí Regresní přímka 73 p) O = D(f) = {(x,y) € E2 | (x,y) ^ (0,0)} , funkce je omezená zdola >ra není oir -(x + 3y) , df, \ -(x + y) , , w3, hodnotou 0 a shora nem omezena, ^(x,y) = ; 9 < n_ < 0 2NŽ = -(x + y)f (x,y), (x2 + 2xy + Sy2)i dy{X,V> (x2 + 2xy + 3y2)i d2f = -(x + 3y)f3(x,y), ox2 (x2 + 2xy 4- 3y2) 2 dxdy (x2 + 2xy + 3y2) 2 9ž/2 (x2 + 2xí/ + 3y2)š q) O = £)(/) = {(x,y) € JS2 I x2 < y2 + 1} , funkce je omezená zdola hodnotou nula, shora df není omezená, -^-(x,y) =-- 3 ox (l-x2+y2)2 02f, A 2x2 + y2 + 1 Qf = xf3(x,y), -j^{x,y) -2/ (1 - x2 + í/2)2 -yf(x,y), <9x2 (1 - x2 +i/2)5 ^"Ž/ (1 - x2 + y-)* Ô2/ (x,i/) = x2 +2y2-l (1 — x2 + y2)§ = (x2+2y2-í)f(x,y). 5.3.4, d/i 9/ , 0/ , ,4 - n -2/'i + 7r_^2./l'==/xi2/í+ /x2 2/2 > dž 0x1 0x2 d2/i S2/ , ,,2 d2f , ,.2 . 92/ „, 5/ , 5/ äx7yi +äxl?;2: dí2 <9xf h" = /xlxl (ž/í)2 + /*s*a (ž/á)2 + 2/*a*2 »i y[ + ví' + /»9 2/2 • 5.3.5. a) zx = 3(/u + zy = 2#u - zxx = 9c/„„ + 6#uí, + gvv, zxy = 6puu - guv - 5,,«, b) zs(P) = 7, ^(P) = 8, zxx(P) = 0, ^(P) = 5, zvy(P) = 15. 5.3.6. a) zx = 3pu + 2xgv, zy - -gu, zxx = 9guu + 12xguv + 4x2gvv + 2gv, zxy = -Bguu - 2xguv, zyv = gUu ■ b) zx(P) = 3, Zy(P) = 1, zxx(P) = 83, zxy(P) = 3, zyy{P) = 1. 5.3.7. d/(-l,2) = 4dx-dy. 5.3.8. a) (1 + 3xyz + x2y2z2)eVZ , b) m! n!, c) 36^~ ^ , (x + y) d) 2(1 - 2xV)cos(x?/2) - 10xy2sin(xy2). R , o * _ 9' r ~xg' r _9" f _ -W + Vä') f _ x(xg" + 2yg') &.rf.y. Jx - — , Jy - , Jxx - ^2 , Jxy - ^3 , Jyy ~ yi 5.3.10. fx = gu + 2xgv , fy = gu + 2ygv , fxx = guu + 4xguv + áx2gvv + 2gv , Jxy ~ + 2(x + y)guv + 4xy5,lt,, /yž, = ^u„ + 4yguv + 4y gvv + 2gv . 5.3.11. a) Pro derivace platí b) Pro hodnotu f (x,y) márne /<->=gi(É(l)S^<—° Pro každý polynom jde o přesné vyjádření; proto platí vztah P{x,y) = 4 + 3(x - 1) - 5(y + 1) + 2(x - l)2 + (x - + 1) + 3{y + l)2 pro všechny body (x, 3/). Rovnice tečné roviny je z = 4 + 3(x - 1) — 5(y + 1). 5.4. Regresní přímka 5.4.1. Je dáno n dvojic (xi,yi),(x„, y„) reálných čísel. Těmito dvojicemi jsou určeny dva vektory x = (xi,..., xn) a y = (j/i,..., yn). Budeme předpokládat, že ani jeden z vektorů x a y nemá všechny složky stejné. Hledáme takové konstanty a, b, že hodnota funkce n F(a,b) = Y^ÍVk ~ axk - bf fc=i je minimální. Přímka y = ax + b, v níž a, b jsou čísla, pro která funkce F nabývá minima, se nazývá regresní přímka. Rovnice pro stacionární body funkce F na E2 jsou ^2(Vk - axk - b) xk = 0 , ^(t/fc - axk - b) = 0. (1) Jfe=x fc=i Označíme x (resp. y) aritmetické průměry n-tic xi,...,x„ (resp. yi,...,yn); pro ně platí nx k=l fc=l Druhý vztah v (1) je ekvivalentní se vztahem J2k=i Vk~a Y2=i ^k-nb = 0, který užitím aritmetických průměrů přejde do tvaru b = y — ax. Jestliže druhý vztah v (1) násobíme x, dostáváme (2) Y^iVk -axk-b)x = 0. fc=i Když poslední vztah odečteme od prvního vztahu v (1), získáme n Yl(yk ~axk -b)(xk -x) - o. k=l Jestliže sem ze vztahu (2) dosadíme za b, dostaneme ihned n Yl((yk ~y)~ a(xk - x)) (xk - x) = 0 , odkud pro hodnotu a dostaneme konečně relaci a ]C(Xfc ~ x)2 = Yl(yk ~ y"> (x*" x) • (3) k=l k=l Zavedeme ještě dva vektory X = (xi - x,...,xn -x) , Ý = (yi - y,...,y„- y) , s jejichž pomocí lze vztah pro a zapsat ve tvaru _ I -vr|2 _ i? xr (4) kde |X| označuje délku vektoru X v En a X • Ý skalární součin vektorů X, Ý v En. Abychom odtud mohli vypočítat a, je třeba zajistit, aby \X| ^ 0. To je ekvivalentní s tím, že X ^ 0, a tento předpoklad je splněn vzhledem k tomu, že předpokládáme, že v posloupnosti xi,..., xn nejsou všechna čísla stejná. Ze stejného důvodu je také Ý ^ 0, a proto můžeme definovat číslo rxy — TľrTT X)(x* -x) (ž/* - ž/) N ^(xA - x): *=1 74 Regresní přímka které nazveme korelačním koeficientem zadané posloupnosti dvojic (x\,yi),. -., (xn,yn). Poněvadž pro skalární součin dvou nenulových vektorů X, Ý platí X ■ Ý - \X\ \Ý\cos oo Důkaz tohoto tvrzení je poněkud komplikovaný, a proto jej vynecháme. a) S jeho pomocí však vysvětlete, proč hodnoty a, b, které splňují (1), reprezentují bod, v němž funkce F nabývá svého ostrého globálního minima. b) Dovedete si představit hladkou funkci dvou proměnných na E2, která má pouze jediný stacionární bod, který je bodem lokálního minima, přičemž funkce není omezena zdola? 5.4.5. Poznámka. Vektor X může být také definován vztahem X = x -xí, v němž 1 je vektor, jehož všechny složky se rovnají 1. 5.4.6. Funkce u (resp. v) je lineární v proměnné x (resp. y), tj. u = fax 4- qi (resp. v = k2y + 92)- Ke dvojicím (xi,t/i),..., (x„,yn) přiřadíme pomocí zmíněných funkcí hodnoty uj = fax j + qľ (resp. v j = faVj +92)- Odvoďte, jak souvisí korelační koeficient dvojic (ui, vx),..., (un, vn) s korelačním koeficientem dvojic (xi,yi),...,(xn,yn). 5.4.7. Napište systém rovnic analogický k (1) pro koeficienty kvadratické regresní křivky y = ax2+(3x+j. Minimalizuje se funkce n G{a, 0,7) = $>* - axl - pxk - 7)2 • k=l Jak vypadají soustavy rovnic pro koeficienty polynomiální regresní křivky stupně tři a vyššího? Řešení. 5.4.1. a) rxy = 0.8, a = 1.6, b = -4, y = f x - 4, b) rxy = -1, a = -3, 6 = 13, y - -3x + 13, c) rxy = 0, a = 0, b = 3, y = 3. 5.4.3. Pro hodnoty S, b máme vztahy ô (F|2 = X - Ý ,b = x - äy . 5.4.6. Pro střední hodnoty platí u - fax + qY &v- fay + q-i- Dvojný integrái 75 Proto, když píšeme u = (uu...,un), v = (vu... ,vn), je U = Ú - uí = fa (x - xl) = fa X a V = v-vÍ= fa (y-yí) = k2 Ý . Proto rxy = ruv sign(^) sign{fa). 5.4.7. Koeficienty a, fi, 7 musí vyhovovat soustavě lineárních rovnic n n n J2(Vk - ax2 - (3xk - j)x2k = 0 , Y^iVk - a4 ~ - l)xk = 0 , £(?/fc - ax2k ~ pxk - 7) = 0 k=l 5.5. Dvojný integrál 5.5.1. příklad. Na „rozumné" omezené souvislé otevřené množině íl (ohraničené konečným počtem úseček a jednoduchých oblouků) máme integrovat funkci /, která je spojitá na uzávěru množiny O. Ukážeme, co se rozumí hodnotou dvojného integrálu, pro který se používá označení // f {x, y) áx áy. Množinu íl promítneme na osu x; dostaneme interval (a, b), jak je znázorněno na obrázku. Pro každé číslo x € (a, b) označíme Q.x množinu těch y, pro které je (x, y) G U. (To je kolmý průmět na osu y průniku množiny O a přímky rovnoběžné s osou y, která je vedena bodem x.) Na obrázku je množina Qx tvořena intervalem (d(x), h{x)). To je nejjednodušší případ, neboť tato množina může být složitější, než je interval. (Kdyby šlo o rovnoběžky s osou x, obrázek nám poskytuje příklad, v němž společná část takové rovnoběžky a množiny O může být tvořena dvěma intervaly.) Obrázek však předkládá velmi jednoduchý případ (a jinými se zabývat nebudeme), v němž pro každé x € (a, b) je množina Qx intervalem. Každému takovému x přiřadíme hodnotu / f(x,y)dy. Tím je definována funkce proměnné x na intervalu (a, 6). Její integrací vzhledem k x dostaneme hodnotu dvojného integrálu. Platí tedy j J /(x, y) dxáy = ( j /(x,2/)dy)dx. n fžg; Při opačném pořadí proměnných je J J f(x,y)dxdy = J*(J f(x,y)dx)dy, kde c a d jsou krajní body intervalu na ose y, který je kolmým prometeni -množiny fí na astry: Hodnota integrálu je výsledkem limitního procesu, který popíšeme, abychom získali představu, čemu hodnota integrálu odpovídá. Vezmeme dvě kladná (malá) čísla Ax a Ay. Soustava přímek x = jAx, j £ Z, (rovnoběžných s osou y) spolu se soustavou přímek y = kAy, k E Z, (rovnoběžných s osou x) rozdělí rovinu na obdélníky Oj,k = {(x,y) £ E2 I jAx < x < (i + 1)AX A kAy• \I{Ax,Ay) - I\ < e. A toto číslo I je výše popsaný integrál. Například pro oblast íl tvaru půlkruhu poloměru r, tj. fi = {(x,y) € E2 | x2+2/2 0}, a funkci /(x, y) = y postupně dostáváme: JI ydxáy^l^ ydy)dx^^lji ■ y=\/r'2—x2 . y=0 áx (r2-x2)dx=§r3. II yáxáy = j*(l * * y dx) dy = 2 jf ys/^-y2dy =-j[(r2 - y2f 3' • O Je však možné postupovat i takto: f\/r2-y -\fr2-y íi 5.5.2. Pro G = {{x,y) \ a < x < b,c < y < d} zapisujeme 1 = JIf(x,y)dxäy = I (jf f(x,y)äyyx = I /(x,y)dx)dy = g = f{x,y)dydx= / / /(aj,y)dxdy = Ja J c J c Ja = T dar ľf(x,y)dy = ľ dy í f(x,y)dx. Ja J c J c Ja Pokud lze funkci / zapsat ve tvaru f(x,y) = fi(x)f2(y), pro integrál platí 1 = lji(x)dx iy2{y)áy. 5.5.3. Najděte hodnoty integrálů a nakreslete oblasti, přes které se integruje: »1 .x rl rx ŕl ŕX i-l ex h= dx xy2 dy - / / xy2 dy dx , J2 = / dx / xydy = / / xydydx. Í0 ./a;2 -/O Jx2 Jo Jx4 Jo Jx4 5.5.4. Spočítejte (x - y)2 dx di/, kde G' je obdélník {(x,y) | 0 < x < a, 0 < y < b} . G 5.5.5. Spočítejte objem tělesa omezeného plochami a) X = 0, y = 0, 2x i [y -2, z-Q, z-x, b) X = Q, y = 0, x + y — l, z — 0, z — x2 + y2 c) v2-- = 0, z = x, d) y = (x + l)3, y = 0, x = 1, z = 0, z = x, e) X — 0, x 4- j/2 = 4 , z = 0, z = 1 + y2, f) y —— »cj ^ — ttľ —~ 2íc j ž2 — Oj —* g) X = 0, y = 0, z = 0, 3x 4- 12y + 4z = 12, h) x = 4, y = 0,2/ = sfx, z - 0, z = y, i) X = 4, ž/ = 0, y = -y/x, z = 0, z = x, j) x = 3, y = 0, 3y = x, z = 0, z = xy. ftešení. 5.5.3. Jx = i, J2 = ^. 5.5.4. ia6(2o2 - 3ab + 2Í>2). 5.5.5. a) ± , b) § , c) § , d) f , e)f,i)2l,g)2,h)4,i)f,i) f. LINEÁRNÍ ALGEBRA 6.1. Gaussova eliminace, vektory a matice 6.1.1. Gaussovou eliminací spočítejte řešení soustav lineárních rovnic, řešení zapište ve vektorovém tvaru a udělejte zkoušku: a) 3xi - 2x2 - x3 = 1, b) 2x - y + z = 4, c) 3t/i + 2y2 + y3 = 5, 2x, 4- x2 + 2x3 = 0, x + y - z = -1, 2yx + 3y2 + y3 = 1, 4xi - x2 - 2x3 6, 2x 4- 3y - z = 2, 2yi + ž/2 4- 32/3 = 11, d) 3xj - 2x2 4- 2x3 =3, e) 2xL 4- 4x2 - 4x3 = 2, *") 2xi - x2 4- 2x3 = 3, 2xj 4- 3x2 - 3x3 = 2, 5xi 4- 18x2 - 14x3 = 9, xi - x2 4- x3 = 1, 3xi - 15x2 4- 15x3 = 3, 3xi - 2x2 - 2x3 = -1, g) xi 4- 2x2 + 3x3 =5, 2xi - x2 4- x3 4- x4 = 4, xi 4- 2x2 4- x3 4- 2x4 = -1, xi 4- 3x2 4- 3x3 - x4 = 5, h) 3xi 4- 5x2 4- 4x3 - 3x4 = 0, Xi 4- 2x2 - 3x3 4- 3x4 = 0, xi + 4x2 - 5x3 4- 3x4 = 0, 3xi 4- 5x2 4- 2x3 - x4 = 0, !) 2xi 4- x2 4- x3 4- x4 4- x5 = 1, J) 2xt - 3x2 4- 6x3 - 6x4 4- 4x5 = -5, xi 4- 2x2 4- x3 4- x4 4- x5 = 0, xi 4- 2x2 + 3x3 4- 4x4 4- 2x5 = 1. xi 4- x2 4- 2x3 4- x4 4- x5 = -1, 6.1.2. Najděte všechny vektory z E5 kolmé na vektory a) «! = (1,2,1,2,1), a2 = (3,1,4,1,1), b) = (1, -1,1, -1,1), 52 = (-3,3, -3,3, -3), c) aj = (3, -1,7,0,-1), o2 = (3, -2,5, -3,1), S3 = (1,-1,1, -2,1). 6.1.3. Najděte hodnotu parametru £ tak, aby poslední z uvedených vektorů byl lineární kombinací předcházejících, když a) ff= (1,2,3), i/=(1,1,2), 2,1), b) 3= (5,2, -3), b = (2,3, -4), c = (4, -5,0 , c) ä = (1, -1,2,1), 6 = (2,1, -1, -1), c = (4, -1,3,1), d= (1, -4, 5). 6.1.4. Vyšetříme, zda vektory S= (1,2,2,0), ?= (1,2,1,-3), c = (2,3,4,-3), d= (1,3,-1,-6) jsou lineárně závislé. Tak tomu bude v případě, že existují koeficienty íi,i2,ŕ3,ŕ4 takové, že t1ä + t2b + t3c + tAd = 6 (*) a přitom se mezi nimi najde aspoň jeden nenulový. Eozepíšeme-li .vztah .(*.) po složkách,-dostaneme homogenní soustavu lineárních rovnic pro koeficienty íi,í2,ť3,í4. a) Řešením této soustavy rovnic ověřte, že takové netriviální řešení je ti = 0, t2 = -3, t3 = 1, U = 1. To ukazuje, že 36 - c - d = 6, a proto vektory jsou lineárně závislé. b) Ukažte, že pokud se rozhodneme vyjádřit vektor o jako lineární kombinaci vektorů b, c a d, tj. hledat čísla u, v a w tak, aby platilo ub 4- vc + wd = a, nebude mít soustava nehomogenních lineárních rovnic pro koeficienty u, v, w řešení. Tento výpočet problém lineární závislosti vektorů nevyřeší. Postup, který v každém případě dává odpověď, je ten, který vychází ze vztahu (*) a který vede k homogenní soustavě lineárních rovnic pro koeficienty íi,ř2.ť3,Í4 lineární kombinace zadaných vektorů. 6.1.5. Rozhodnete, zda uvedené vektory tvoří skupinu vektorů lineárně závislých; pokud ano, vyjádřete jeden z vektorů jako lineární kombinaci ostatních (a ověřte, že odvozený vztah zadané vektory opravdu splňují), když a) a = (1,2, -3,1), b = (-2,1,-1,2), c = (4,2, -3,5), d= (-4,3, -4,-1), b) a = (2, -2,2,1), b= (1,-1,1,1), c = (1,2,0,2), d = (2,1,1,2), c) o = (3,5,-2,4), b = (5,2,1,3), c= (1,1,3,-2), d= (-1,2,-2,1), d) a = (2,1, -1,2), b = (1,-1,1, -1), c = (3, -1,1,1), <ľ= (2,-1,1, -2). 6.1.6. Ukažte, že vektory o, b, c, <ľv každé z těchto skupin jsou lineárně závislé, ať vektory «i, u2, "3, u4 bereme jakkoliv, třeba z prostoru Rn pro libovolné přirozené n: a) o = 2«i - 3(7-2 4- 2?73 4- 5u4, 6 = ut 4- it3, c = ů2 + ua, d = u4, h) o = 2«i 4- 3íí2 4- 4u3 4- 5íIí, b = 3iíi + 2u2 + u3, c = u2 + u,\, d = u\ 4- u3 • 6.1.7. Najděte hodnost matice b) c) 6.1.8. Čtvercovou matici y nazýváme antisymetrickou, když platí y — -yt. a) Ukažte, že pro libovolnou čtvercovou matici a je matice x = a + at matice symetrická a matice y = a - ä1' je matice antisymetrická. b) Ukažte, že každá čtvercová matice a je součtem matice symetrické a antisymetrické. c) Ukažte, že diagonální elementy antisymetrické matice jsou rovny nule. d) Rozložte tyto dvě matice na součet matice symetrické a antisymetrické: (l 1 1\ /9 -1 2' A-í = 1 2 1 , a2 = 3 8-5 \1 -1 0/ \ 6 13 7. 6.1.9. Označíme F zobrazení, které vektoru a = (ai,a2,a3) přiřazuje antisymetrickou matici typu (3,3) PředPisem / 0 -a3 a2 F(a) =03 0 -«1 \ -a2 ai 0, Gemu je roven součin F (a) b matice F (a) a vektoru b £ E3, když vektor b chápeme jako vektor sloupcový, tj. považujeme ho za matici typu (3,1)? 6.1.10. Procvičte si násobení matic tím, že ověříte správnost vztahů / 2 2 -V 3 4 2 -12 3 2 3 4/ 5 -30 43' 25 14 -22 15 -3 13. 6 2 12 -7 -15 10 9 2 = (-3) 6.1.11. Čtvercová matice b má v prvním řádku a na diagonále jedničky, ostatní elementy jsou rovny nule. Popište výsledek ba násobení matice b a matice a slovy. Matice A je libovolná matice, pro kterou je násobení definováno. Jaký je výsledek násobení ca, když c má na diagonále jedničky a jediný další nenulový prvek je 1 na místě (j, k), k ^ p Jak vypadá matice D, pro níž D A je matice, kterou dostaneme z A vzájemnou výměnou řádků i a p Jakým maticovým násobením manipulujeme se sloupci matice AI 6.1.12. Jsou dána čísla Ai = -1, A2 = 2, A3 = 1 a šest vektorů zapsaných jako matice typu (3,1): Vi= I 1 | ,W\= f -í 1 ,V'2= | 2 | ,W2= ( 1 | ,V3= (-Í\,W3= (I 1 -1 1 a) Spočítejte matice Fi, P2 a P3 definované takto: Px = Vj W'[, P2 = V2W'2r, Ps = V3W£. b) Spočítejte matice Pi + P2 + P3, P?, P$, P* a PjPk pro j,k-1,2,3, j # k. c) Spočítejte matici A, která je dána předpisem A = A1P1 4- A2P2 4- A3 P3. d) Ověřte, že AVj = XjVj a WjA = \jW[ pro každé j = 1,2,3. e) Spočítejte VjWk a WfVk pro j,k = 1,2,3. 6.1.13. Jestliže vektory x G En zapisujeme jako sloupcové vektory, tj. matice typu (n, 1), lze skalární součin vektorů x&y zapsat pomocí násobení matic x-y-xTy. Pro matici M a vektory fi, f2 spočítejte matici Q, když ^ q=FuR+ff«&. ^ n - (2) .* = (*),*=(;») a vektory /l, ^ jsou dva kolmé vektory s délkou 1, tj. fj fj = (1) pro j = 1,2 a /1T£ = (0). 6.1.14. Spočítejte Äxté mocniny těchto matic: a) A /0 a 0 0' 0 0 a 0 0 0 0 a Vo 0 0 0. b) •1 1 0 0\ 0 110 0 0 11 ,0001/ m) q) 6.2. Determinanty, inverzní matice 6.2.1. Spočítejte determinanty a) «0 i) 6.2.2. Spočítejte determinanty a) 2004 2006 2005 2004 \ a 6 2005 2007 s b) 2010 2009 ) c) -6 a j 3 -2 -1 4 2 -2 5 4 2 5 -4 1 ) f) 1 -1 4 , S) -6 0 -5 7 2 3 -2 0 3 6 3 4 3 5 2 6 a 2 1 x ž/ 6 3 . _ 9 , j) 1 2 3 k) 1 x2 y2 -4 -2 6 a 6 4 1 x3 1 ŕ 3 2 - 2 3 1 2 5 3 o 2 2 -2 -! 3 , n) 5 3 4 4 j 0) 7 4 3 3 5 3 5 6 5 5 8 3 3 8 5 6 a a a a b c 1 a 6 a b b r) a2 b2 c2 J s) O 1 c 5 a b c a3 b3 c3 6 c 1 d) h) 1) p) t) x i i x > 4 3 5 6 -7 -2 a b 2 2a 2 3 6 a 5 1 1 1 -6 2 2 3 3 5 i 3 6 6 2 0 a —a 0 -b -c -2 3 10 a 0 0 0 1 2 5 7 2 -1 2 3 9 8 7 2 0 P 0 0 , b) -5 5 5 16 . c) 1 0 2 1 , d) 6 3 6 5 0 0 0 ô -3 5 2 7 5 3 0 1 4 7 4 9 0 0 7 0 2 1 4 3 7 2 4 -5 6 5 6 7 80 Determinanty, inverzní matice 1 o b 1 c a d b 0 1 1 1 a b 0 1 e) a b 1 c c 1 1 1 , f) a a c c d b b d g) 1 1 0 a a 0 b c h) b 0 a 1 1 b 0 a 1 1 1 1 c a b d 1 b c 0 1 0 a b 6.2.3. Hodnotu determinantu nepočítejte; vhodnými úpravami převeďte jeden determinant na druhý: X2X3 Xi x\ 1 x\ r3 xl XIX3 X2 x\ — 1 x\ X2 X\Xi X3 x\ 1 A X3 6.2.4. Spočítejte determinanty a) x-y-z 2x 2x 2y y - z - x 2y 2z 2z z-x-y b) 1+a 1 1 1 1 1 + 6 1 1 1 1 1+c 1 1 1 1 1+d 6.2.5. Ukažte, že pro determinant, který je složený ze tří vektorů x = (xux2,x3), a - (ai,o2,a3), b = (bi,b2,b3), platí Xl X2 X3 x-(axb). Xl X2 X3 Ol «2 03 61 62 b3 6.2.6. Pro dané matice spočítejte matice inverzní: a) j 0 2 -1 I , b) ( 4 1 -6 1 , c) -2 -4 2 d) 10 0 1' 01-10 o 1 .-1 o 1 o o 1, 6.2.7. Určete takové hodnoty parametrů, aby matice byla regulární, a potom spočítejte inverzní matici: a) a b —b a —b b) B c) 6.2.8. Matice A, B jsou dány vztahy 0 -1 -ľ A= i -1 -2 -1 1 1 1 B = s parametry u,v,w. Lze tyto parametry volit tak, aby matice B byla inverzní k matici A? 6.2.9. Tyto soustavy řešte Gaussovou eliminací, Cramerovým pravidlem a také pomocí inverzní matice k matici soustavy: a) 2xy + 2x2 - xz = -1, b) 2xi + 3x2 + X3 = 1, c) -Xl + x2 - 2x3 = 0, Xl + 2x2 + X3 = -1, Xl - 2x2 + 4x3 = 1» Xl + x2 - x3 = 4, 3xi - 2x2 + 4x3 - 5, -5xi + 7x2 - 8x3 = 2, 5xi - 6x2 + 7x3 = -3. 6.2.10. Najděte matici X, která splňuje rovnici 1 -2 -1 1 a) AX + 2B = 2X + C , když A b) XA + 2C = 2X + B , když A = 1 -3 J5 = 1 -1 0 -1 -1 1 . c = 3 1\ 1 3y' 1 -2 -2 1 Vlastní vektory 6.2.11. Matice G má navzájem kolmé sloupce, matice H řádky. Využijte toho a bez počítání napište inverzní matice (násobte matici a matici k ní transponovanou v takovém pořadí, že výsledek je matice diagonální): a) b) H ■ 6.2.12. Matice A je dána jako součin matic A — V D V"1, v němž matice V a D jsou dány. a) Zjednodušte fc-tou mocninu matice A, tj. matici Ak, k přirozené číslo. b) Najděte vyjádření mocniny ^4* v případě, že D je diagonální matice s elementy Ai...., An na diagonále, kterou označujeme diag(Ai,..., A„). 6.3. Vlastní vektory 6.3.1. Poznámka. Pokud vektor v vydáváme za pravý vlastní vektor matice A řádu n, který přísluší vlastnímu číslu A, vždy se přesvědčíme, že platí Av = \v. Součinem Av rozumíme součin matice A a sloupcového vektoru v, který ztotožňujeme s maticí typu (n, 1). Samozřejmě, je-li vektor v vlastním vektorem matice A, je také jeho každý nenulový násobek vlastním vektorem matice A, speciálně vektor opačný — v. 6.3.2. Najděte vlastní čísla a pravé vlastní vektory matic (poslední úloha ukazuje, že matice s reálnými prvky nemusí mít vlastní čísla reálná): *) [i -2J> b> [I -5> c> [-9 -8J' d> 6.3.3. Vlastní čísla symetrických matic s reálnými prvky jsou čísla reálná. Dokažte to pro matici a b b c v níž parametry a, b, c jsou reálná čísla. 6.3.4. Najděte vlastní čísla (jedno z nich je nulové) a příslušné pravé vlastní vektory matic: a) b) d) 7 -9' -4 3 -1 0. 6.3.5. Najděte hodnotu parametru t tak, že nula je vlastním číslem dané matice; potom spočítejte i ostatní vlastní čísla a ke každému určete příslušný pravý vlastní vektor: f-1 -1 1\ /-3 -2 -5\ / 1 -4 2\ / 4 2 -10' a) j -5 * 1 , b) 1 0 1 , c) 2 í -2 , d) -2 0 4 \-7 -5 3/ \ ř 2 4/ \21 36 -6/ \ 1 1 t, 6.3.6. Všechna vlastní čísla matic v tomto cvičení jsou nenulová. Dojdete-li při jejich hledání k polynomu třetího stupně, budete muset jedno vlastní číslo uhodnout. To půjde lehko, neboť všechna jsou celá čísla blízká nule. Najděte vlastní čísla a příslušné pravé vlastní vektory matic: a) b) c) d) -3 1 -1 1 -3 -1 82 Vlastní vektory Vlastní vektory 83 6.3.7. Pro matici A řádu n je det(XI-A) polynom stupně n. Proto musí mít každá matice tolik vlastních čísel, kolik je její řád. Některá vlastní čísla mohou být vícenásobná. Jaké jsou vlastní vektory a příslušná vlastní čísla a) matice jednotkové řádu n, b) matice nulové řádu n? 6.3.8. Dosud jsme se kromě matice jednotkové a nulové setkávali pouze s maticemi, jejichž vlastní čísla byla navzájem různá. Platí toto důležité tvrzení: Jestliže čtvercová matice má n navzájem různých vlastních čísel Ai,..., An, pak příslušné vlastní vektory vi,...,vn jsou lineárně nezávislé. V případě, kdy se několik vlastních čísel shoduje, může být situace komplikovaná a nemůžeme ji rozebírat. Jaká jsou vlastní čísla a kolik příslušných vlastních vektorů najdeme pro matice 5 0 0\ 0 2 1, 0 0 2/ a) b) 6.3.9. Jaký význam mají vlastní čísla a příslušné vlastní vektory, uvidíme v tomto posledním cvičení. Je dána matice / 8 3 6' A = 1-2 -3 -2 \^_8 -2 -6, Spočítejte vlastní čísla Xj a příslušné pravé vlastní vektory v j pro j = 1,2,3. Sestavte matici V tak, že její j-tý sloupec bude tvořit sloupcový pravý vlastní vektor Vj. Poněvadž vlastní čísla jsou různá, matice V je regulární, a proto můžete spočítat matici V-1. Konečně sestavíme diagonální matici diag(Ai, A2, A3), v níž na místě je vlastní číslo Xj. Spočítejte matici B = Fdiag(Ai,A2, A3) Poněvadž se při správném výpočtu ukáže, že tato matice B se rovná matici A, dostáváme pro matici A vyjádření ve tvaru A = ydiag(A1,A2,A3)V-1. To je podle cvičení 6.2.12 výhodný tvar pro počítání mocnin matice A. To by ovšem nebyla velká výhra, protože vyjádřit matici v tomto tvaru je pracné; tento tvar je důležitý proto, že ukazuje najednou charakter všech mocnin Ak matice A pro libovolné k = 1,2,3, — esem. 6.1.1. a) (xi,x2,x3) = (1,2,-2), b) (x,y,z) = (1,1,3), c) (2/1,2/2,2/3) = (2,-2,3), d) řešení může být zapsáno například ve tvaru {x\, x2, x3) = (1,0,0) + (0,1,1) t, kde t je parametr, e) např. (x1}x2,x3) = (1,1,1) + (2,1,2) ř, f) např. (xi,x2,x3) = (2,1,0) + (1,0,-l)ř, g) (xi,x2,x3,x4) = (1,-1,2,-1), h) např. {xi,x2,x3,x4) = (-2,1,1,1) i, i) např. (xi,x2,x3,X4,x5) = (1,0,-1,0,0) + (1,1,1, -4,0)s + (1,1,1,0, -4) ť, s,í parametry, j) např. (xi,x2, x3, x4, x5) = (-1,1,0,0,0) + (3,0, -1,0,0) r + (0,2,0, -1,0) s + (2,0,0,0, -1) t, r, s, t parametry. 6.1.2. a) najdeme tři lineárně nezávislé vektory, jejichž lineární kombinací se dá každý kolmý vektor vyjádřit, např. (1,2,0,0, —5), (0,1,0, -1,0), (7, —1, -5,0,0); proto libovolný kolmý vektor x splňuje (xi,X2,x3,X4,x5) = ti (1,2,0,0, -5) +Í2 (0,1,0,-1,0) + t3 (7,-1,-5,0,0), tj jsou parametry, b) najdeme čtyři lineárně nezávislé vektory, jejichž lineární kombinací se dá každý kolmý vektor vyjádřit, např. (1,1,0,0,0), (1,0,-1,0,0), (1,0,0,1,0), (1,0,0,0,-1), c) najdeme tři lineárně nezávislé vektory, jejichž lineární kombinací se dá každý kolmý vektor vyjádřit, např. (1,2,0,0,1), (1,3,0, -1,0), (3,2, -1,0,0); (zadané tři vektory splňují 01 = 2a2 - 3a3, a jsou proto lineárně závislé). 6.1.3. a) Pro £ = -1 platí w = 3u - 4v, b) pro £ = 6 platí c = 2o - 36, c) taková hodnota £ neexistuje. 6.1.5. a) Ano, 2a + b-Č-d = 0, b) ano, a-b+c—d = 0, c) ne, d) ano, a + 3b-Č-d = 0. 6-1-6. a) a = 2b - 3c + 8d, b)a + b = 5(c + ď). 6.1.7. a) Pro d^0 je hodnost 4, pro d = 0 je 3, b) hodnost je 3, c) hodnost je 3. 6.1.8. a) XT = (A + AT)T = AT + (Ar)r = AT + A = A + AT = X , YT = (A- AT)T = AT- (AT)T = AT - A = -(A - AT) = -Y. b) Matice X = A + Ar je symetrická a matice Y = ,4. - AT je antisymetrická. Přitom A = ~{X + Y). á) Ax = , A2 = 6.1.9. F(a) b = a x b, kde vektorový součin a x b chápeme jako sloupcový vektor, tj. matici typu (3,1). 6.1.11. První řádek matice BA je součtem všech řádků matice A, pro j > 1 je j-tý řádek matice BA roven j-tému řádku matice A. V případě matice C A je její j-tý řádek součtem řádku j-tého a /fc-tého matice .4, ostatní řádky matice C A se shodují s příslušnými řádky matice A. \0 1 -1j -Pi, Pi ~ P3 = P3, pro j ž k jsou matice PjPk nulové. e) Pro každé j je VfWj = WjVj = (1). To je matice typu (1,1), tedy skalár. Pro j ^ k je VfWk = W]'Vk = (0). 6.1.13. Vzhledem k předpokladům na vektory ft a f2 platí, že složky 0i, /32 vektoru f2 se dají vyjádřit pomocí složek au a2 vektoru fi takto: {Pi,/32) = n(a2,-«i), kde k = ±1, proto q = (a + d). 6.1.14. a) A2 = 0 0 a2 0 N 0 0 0 a2 0 0 0 0 0 0 0 0) , Ak je nulová matice pro k > 3, b) Bk 0 0 Vo (?) 1 o o (í) (2) 1 (í) o 1 J -13, i) 0, j) 3a2 - 3b2-8a + 10b, 4b, m) f, n) o) l,p) 6.2.1. a) -2, b) 5, c) a2 + b2, d) x2 4-1, e) -64, f) -30, g) -63, h) k) xy(x - l)(y - l)(y - x), 1) a2 + 3b2 - Wab + 10a q) a(a -b)(b-c), r) -abc(a -b)(a- c)(b - c), s) 2o&c - a2 - b2 - c2 + 1, t) 0. 6.2.2. a) -afaô, b) 60, c) 146, d) 16, e) 2(a6c - ob.- ac - bc + o + b + c - 1), f) 0, g) a2 + b2 + c2 - 2ab - 2ac - 26c, h) (1 - (o + 6)2) (1 + (a - b)2) = -(a4 + b4 - 2a2b2 + 4ab - 1). 6.2.3. Násobte j-tý řádek Xj a převrácenou hodnotu x j napište před determinant pro každé j = 1,2,3. Potom se zaměřte na první sloupec. 6.2.4. a) (x + y + z)3, b) abcd + abc + abd + acd + bcd. 6.2.6. a) /-6 3 -1\ / -21 -47 0 -3 -14 -33 /l 0 0 -1\ d) M 0 -1 1 O' 6-27- a> Pro a2 + b2 -abŕ 0, tj. pro (a, 6) # (0,0), je \1 00 1/ = a2 + b2 — ab a —b b ^ b) pro a^OjeB 1 — ~z a -1 -a 1 a2 -o -a a2 +1 84 Vlastní vektory 85 c) pro a ^ -2 je C 1 a + 2 a -a 2 1 a + 1 — 1 | . 6.2.8. Pro hodnoty u — l,v = —1, w = 1 jsou -1 1 1 matice inverzní. Při řešení je nejlepší vyjít ze vztahu BA = I. 6.2.9. a) {x1,x2,xz) = (-1,1,1), b) (xi,x2,x3) = (3,-1,-2), c) {xux2,x3) = (-3,5,6). 6.2.10. a) X -5 -2 y b) Ar = 9 -10 /81 0 0\ 6.2.11. a) Pro součin GTG platí GTG =10 9 0 . Proto první řádek transponované matice V 0 0 36 / í 27 27 27 dělíme 81, druhý 9 a třetí 36. Inverzní matice má tedy tvar G~l = I -§ | § \ i i j_ X 9 9 18 /9 0 0\ b) Pro součin H//7 platí HHT = I 0 36 OJ. Proto první sloupec transponované matice V0 0 81/ i—l I J_ / 9 9 27 dělíme 9, druhý 36 a třetí 81. Inverzní matice má tedy tvar H~l = | ^ \ i i __2_ V 9 9 27 6.2.12. a) Ak = VDk V"1. b) Ak = Vrdiag(Af, ...,A*) V"1. 6.3.2. a) Ax = 1, V! = (3,1), A2 = -1, t& = (1,1), b) AL = 1, tfi = (1,1), A2 = -3, v2 = (1,3), c) Ax = 1, vi = (1,-1), A2 = -2, «2 = (2, -3), d) Ai = i, tft = (1, -i), A2 = -i, v2 = (1, i). 6.3.4. a) A, = 0, tJi = (1,1,1), A2 = 1, v2 = (0,1,1), A3 = -1, v3 = (1,1,0), b) Ai = 0, V! = (1,1,0), A2 = 1, v2 = (2,-1, -1), A3 = -1, v3 = (1,-1, -1), c) Ai = 0, * = (0,1,1), A2 = 1, v2 = (1,2,3), A3 = -2, i73 = (1,3,3), d) Ai = 0, i7, = (1,1,1), A2 = 1, v2 = (2,1,1), A3 = -3, v3 = (1,-2, -1). 6.3.5. a) t = -3, Ai = 0, 5i = (1, -2,-1), A2 = 1, tfc = (1,-1,1), A3 = -2, iT3 = (0,1,1), b) t = 2, Ai = 0, = (1,1,-1), A2 = 2,v2 = (1,0,-1), A3 = -1, v3 = (1,-1,0), c) t = 7, Ai = 0, rľi = (2, -2, -5), A2 = 3, v2 = (3, -2,-1), A3 = -1, v3 = (1,-1, -3), d) í = -3, Ax = 0, tjľi = (2,1,1), A2 = 2, v2 = (1, -1,0), A3 = -1, v3 = (2,0,1). 6.3.6. a) Ax = -1, ?! = (2,0,1), A2 = 1, v2 = (2,1,2), A3 = 2, v3 = (1,1,1), b) Ai = -2, v, = (2,1,1), A2 = -1, v2 = (1,1,0), A3 = 1, v3 = (1,1,1), c) Ai = -1, vr = (1,0,1), A2 = 1, v2 = (1,1,1), A3 = 2, w3 = (0,2,1), d) A, = -2, i/x = (1,1,0), A2 = -1, v2 = (1,1,1), A3 = 2,v3 = (1,0,1). 6.3.7. a) Ai = ... = Xn = 1, každý nenulový vektor je vlastním vektorem, b) Ai = ... = A„ = 0, každý nenulový vektor je vlastním vektorem. 6.3.8. a) Ai = 5 s vlastním vektorem v\ = (1,0,0); pro zbývající dvojnásobné vlastní číslo A2 = A3 = 2 se najde pouze jeden vlastní vektor v2 — v3 = (0,1,0), b) pro trojnásobné vlastní číslo Ai = A2 = A3 = 2 je k dispozici pouze jeden vlastní vektor v\ = v2 = v3 = (1,0,0). 6.3.9. Vlastní čísla jsou Ax = 2, A2 = -1, A3 = -2. Matice V, diag(Ai, A2, A3) a V-1 mají tvar 1 1 0\ (2 0 0\ / 3 1 2' V=| 0 1 -2 , diag(A1,A2,A3) = 0 -1 0 , V~l = j -2 -1 -2 -1-2 1 / \0 0-2/ 1-1-1-1 GEOGRAFICKÉ APLIKACE 7.1. Sférické souřadnice a vzdálenost bodů na kulové ploše 7.1.1. V E3 je dána kartézská (pravotočivá) souřadná soustava s počátkem O a osami xi,x2,x3. Bod X je obecný bod z E3 se souřadnicemi (xi,x2,x3). Kolmý průmět bodu X do roviny obsahující osy xx a x2 označíme XP, souřadnice tohoto bodu jsou (xi,x2,Q). Úhly

, který svírají vektory OŘ a UÔ. Úhel leží v intervalu (0, ir) a jeho kosinus splňuje vztah oěoc (4) cosw : 10 \ôč\ 86 Sférické souřadnice a vzdálenost bodů na kulové ploše_ Dosadíme za vektory jejich vyjádření ze (3) a po snadné úpravě získáme cos o; = sin ipB sin (pc+cos *C \ Obr. 2. 7.1.4. Povšimněte si, že výraz na pravé straně vztahu (5) se záměnou bodů B a C - tedy vzájemnou výměnou úhlu y>B s úhlem ipc a AB s Xc - nemění. 7.1.5. Poznámka. Jakmile B f C a O není středem úsečky BC, je body BCO určena rovina r. Průnik roviny r a sféry aR je kružnice poloměru R, která se nazýváhlavní kružnicí. Body B a, C rozdělí tuto hlavní kružnici na dva oblouky. Kratší oblouk označíme BC. Jeho délka je rovna Rw, pokud úhel w je vyjádřen v radiánech (v obloukové úhlové míře). 7.1.6. V jakém intervalu se pohybují veličiny ipB + . |AB - Ac| sin ; cos

0. 7.1.6. {-7r,7r), (-tt.tt) a (O.tt). 7.1.7. (-27r,27r) a (0,27r). 7.1.8. XB - Xc = -§7r, |Ab - Ac| = |tt, cos o; = 0, cj = Itt . 7.1.9. Poněvadž cosw = cos(AB - Ac) = cos|AB - Ac| = cos(2tt - |AB - Ac|), dostáváme odsud vztahy pro u, které závisí na velikosti |AB - Xc\- Pro |AB - Xc\ < n je u> — |AB — Xc\, pro |AB - Ac| > n je w = 2?r - |AB - Ac|. 7.1.10. a) w = ]^B - yc|, neboť potom cosw = cos(y)B - y>c) = cos \ipB - B - (pc\ < n, b) o> = tt - |v?B + B + ye| < w. jeulerův sférický trojúhelník, kosinová věta fbo stranu a pro úhel 87 7.1.11. Použije se vztahu cos o; = 1 - 2 sin2 f a vztahu cos(AB - Xc) = 1 - 2 sin2 Acos(AB - \c), kterou dostaneme, když v (5) budeme místo ipB a (pc psát 0 prostě proto, že bychom v případě Ac < 0 označení bodů B a C vzájemně vyměnili. Je zřejmé, že při popsaném umístění bodů A, B, C platí pro kartézské souřadnice vektorů oé a 0(5 tyto relace xf ■ jRsinčB x? - n (8) xf = R sin 6c cos Ac , xf = RcosôB, X3=rc0sóc. Úhel w, který svírají vektory 0~Ě a OÔ (a který je v terminologii sférické trigonometrie považován za stranu a Euierova sférického trojúhelníku), splňuje (vzorec (4)) UÉ-UÔ cos o; \ôé\\0~ô\ Ukažte, že po výměně o; za a a po dosazení z (8) dostaneme vztah cos a = cos Sb cos Jc+sin SB sin 5c cos Ac. (9) 88 eulerův sférický trojúhelník, kosinová věta pro stranu a pro úhel 89 7.2.6. Na obrázku 3 a obrázku 2 doplněném o označení úhlů, vidíme, že oblouku AB, který představuje stranu c, přísluší úhel Ôb a oblouku AC, který je stranou b, přísluší úhel Sc. Úhel a u vrcholu A je za našich předpokladů na umístění bodu B roven úhlu Xc- Je to úhel svíraný rovinami, na kterých leží strany bac. Nyní můžeme zapsat vztah (9) pomocí veličin a, b, c a a popisujících Eulerův sférický trojúhelník ABC. Odvoďte, že platí cosa = cosĎcosc + sin b sin c cos a. (10) Tento vztah se nazývá kosinová věta pro stranu a Eulerova sférického trojúhelníku. Vztah (10) jsme odvodili pro případ, kdy sférický trojúhelník je umístěn jako na obrázku 3, kde bod A byl posazen do severního pólu. Samotný vztah (10) však už nenese žádné stopy po souřadném systému, který jsme použili k jeho odvození. Platí tedy i v obecné situaci, kdy bod A už nemusí být situován do severního pólu, ale je - stejně jako celý sférický trojúhelník - umístěn na sféře libovolně. Obr. 3. Obr. 4. Obecným umístěním míníme případ, který může vypadat jako na obrázku 4. Tam jsou body a úhly trojúhelníku ABC označeny tak, jak jsme zvyklí z rovinné geometrie. 7.2.7. Cyklickou záměnou ve formuli (10) napište tvar kosinové věty sférické trigonometrie pro strany b a c. 7.2.8. Polární zobrazení Eulerova sférického trojúhelníku. Eulerův sférický trojúhelník je dán svými vrcholy. Budeme nyní definovat zobrazení, které danému trojúhelníku ABC přiřadí jiný trojúhelník ÄBČ, o kterém se mluví jako o polárním trojúhelníku. Strana c trojúhelníku ABC - kratší z oblouků hlavní kružnice s koncovými body A, B - leží v rovině rc, která prochází středem sféry. Rovina rc rozdělí prostor na dva poloprostory. Označíme T~ ten z poloprostorů, který neobsahuje bod C. Polopřímka vycházející kolmo k rovině tc ze středu sféry do poloprostoru T~ protne sféru v bodě, který označíme C. Podobně, když vyjdeme ze strany b (resp. a), definujeme body B (resp. Ä). Tím je trojúhelníku ABC přiřazen trojúhelník ÄBÔ. Jeho strany jsou označovány ä, b, č a úhly ä, 0, 7. 7.2.9. Eulerův sférický trojúhelník ABC umístíme „osvědčeným" způsobem tak, že bod A bude v severním pólu. Rozmyslete si, že vrcholy B, C trojúhelníku ABC leží na rovníku a bod A leží na „jižní" polosféře. Ukažte, že pro stranu ä trojúhelníku ABC platí ä — n — a. Závěr této úvahy platí obecně: strany polárního trojúhelníku ABC splňují 7t — a, b = 7t-0, 7t — 7 . (11) 7.2.10. Stejně jako jsme vytvořili polární trojúhleník ke sférickému trojúhelníku ABC, můžeme pokračovat a přiřadit polární trojúhelník ke trojúhelníku ÄBČ. Ten je určen vrcholy Ä, Ě a Č. Jeho stranv označme ô, b, č a úhly ä, 0, 7. Podle (11), pouze s jednou vlnkou navíc, dostáváme a = 7t — a. ■ ir — 0, č — n — y. (12) 7.2.11. Uvažujme opět o situaci, kdy bod A je v severním pólu. Viděli jsme v 7.2.9, že body B a Č trojúhelníku ÄBČ (tedy strana ä tohoto trojúhelníku) leží na rovníku. A poněvadž bod.4 leží na „jižní" polosféře, lehko nahlédneme, že bod i musí být totožný s bodem A. Tento závěr platí pro všechny strany trojúhelníku ÄBČ, nejen pro stranu Ô. Proto je sférický trojúhelník ÄÉÔ, který je polárním trojúhelníkem k ABC, vlastně původním trojúhelníkem ABC. Tím vztahy (12) mezi elementy trojúhelníku a trojúhelníku k němu polárního získávají tuto podobu: a = n - á, b = n - 0, c = 7r - 7. Nyní napíšeme kosinovou větu pro polární trojúhelník ÄBČ cosä — cos b cos č + sin b sin č cos ä a použijeme vztahů (11) a prvního vztahu ve (13) k náhradě vlnkovaných veličin. Ukažte, že se tím předcházející formule změní na cosa = - cos/Jcos7 + sin j3 sin 7 cos a. (14) Tento vztah se nazývá kosinová věta pro úhel a. Napište další dva vztahy, které se dostanou ze (14) cyklickou záměnou. 7.2.12. Najděte velikosti všech stran a úhlů těchto Eulerových sférických trojúhelníků: a) b = 120°, c = 60°, a = 30° , b) a = 20°, b — 30°, c = 40° , c) a = 50°, p = 100°, 7 = 110°, d) a = 70o,/? = 50°,7 = 80o. Řešení. 7.2.7. Kosinová věta pro strany b a c má tvar: cos b = cos a cos c + sin a sin c cos 0, cos c = cos a cos b + sin a sin b cos 7. 7.2.11. Při odvozování vztahu (14) použijeme identit cos(?r - x) = - cos x a sin(7r - x) = sinx. Kosinová věta pro zbývající dva úhly 0 a 7 má tvar: cos 0 — - cos a cos 7 + sin a sin 7 cos b, cos 7 = - cos acos0 + sin.a.sin../3-GOs-c.............................................................................. 7.2.12. a) 0 = 151°48'48", 7 = 28°11'12", a = 66°27'7", b) a = 30°43'31", 0 = 48°19'27", 7 = 106°12'54", c) a = 57°37'31", b = 116°42'56", c = 121°32'3", á)a = 53°2'8", b = 40°38'39", c = 56°51'48". 90 Mercatorovo zobrazení, loxodroma 7.3. Mercatorovo zobrazení, loxodroma 7.3.1. Začneme jednoduchým zobrazením sféry or do roviny. Jestliže sí nevšímáme pólů, je každému bodu na sféře jednoznačně přiřazena dvojice

). Osy y, A umístíme tak, že tvoří levotočivou souřadnou soustavu - na rozdíl od obvyklého systému os x, y, které v tomto pořadí tvoří soustavu pravotočivou. Obraz rovníku (bodů s (p = 0) je v našem zobrazení rovnoběžný s osou A. Jaké vlastnosti musí mít, funkce aby obraz rovníku padl na osu A a aby se dvojice bodů na sféře symetricky umístěných vzhledem k rovníku zobrazila do takových bodů v rovině, které jsou symetricky umístěny vzhledem k ose A? 7.3.2. Teď odpovíme na otázku, jaké vlastnosti musí mít funkce aby popsané zobrazení bylo konformní. Z bodu P, který odpovídá (ip, A), vyrazíme na sféře pod azimutem a do bodu P', jehož souřadnice (ip',X') jsou „blízké" souřadnicím (ip, A). To zachytíme zápisem ip' = ip + A', A') je bod se souřadnicemi (y', A'). Označíme-li Ay = y'-y, můžeme pro azimut a' směru určeného v rovině body (y, A) a (y1, A') psát AA Ay Mají-li se při zobrazení zachovávat úhly, musí platit a = vztahů (15) a (17) dostaneme AA . AA (17) a'. To znamená tg a = tg a'. Srovnáním cosy> Atp Ay ' Krátíme AA a upravíme na tvar Ay A

blíže k nule. Proto necháme Atp konvergovat k nule, čímž poslední přibližný vztah přejde na přesnou relaci dy áip 1 cosy? Z úlohy 4.2.6 víme, že v(), A) nazveme Mercatorovo zobrazení. Toto zobrazení - jak jsme viděli - zachovává úhly. Dokažte, že q je lichá funkce na intervalu (-§7r, |7r), a spočítejte lim^i^ q(ip), limip_ 7.3.3. Rovnice loxodromy. Loxodroma - křivka, která protíná poledníky stále pod stejným úhlem -se Mercatorovým zobrazením zobrazí na přímku v rovině (y, A), která svírá s osou y úhel a. Proto rovnice obrazu loxodromy v souřadnicích (y, A), která prochází bodem (yo, A0), má rovnici A - A0 = (y - y0) tga. Dosazením zjistíme, že v geografických souřadnicích (+ |vr) - lntg(|^0 + |tt)) tga, kde (po a yo jsou svázány vztahem yo = q(i,Ai) a (tp2,h), když