Přednáška III.
Data, jejich popis a vizualizace
Náhodný výběr, cílová a výběrová populace
Typy dat
Vizualizace různých typů dat
Popisné statistiky
Tomáš Pavlík Biostatistika
Opakování – podmíněná pravděpodobnost
Jak můžu vyjádřit podmíněnou pravděpodobnost jevu A za nastoupení jevu B?
A co platí v případě nezávislosti těchto dvou jevů?
Tomáš Pavlík Biostatistika
Opakování – význam podmíněné pravděpodobnosti
Princip podmíněné pravděpodobnosti je v biostatistice velmi častý – máme
systém hypotéz (nejčastěji dvou) o vlastnostech cílové populace a pozorovaná
data.
Na jejich základě pak rozhodujeme o platnosti stanovených hypotéz.
Uveďte příklad.
Tomáš Pavlík Biostatistika
Opakování – diagnostické testy
Co vyjadřují následující charakteristiky?
Senzitivita
Specificita
Prediktivní hodnota pozitivního testu
Prediktivní hodnota negativního testu
1. Jak vznikají data?
Tomáš Pavlík Biostatistika
Jak vznikají data?
Záznamem skutečnosti…
Tomáš Pavlík Biostatistika
Jak vznikají data?
Záznamem skutečnosti…
… kterou chceme dále studovat → smysluplnost?
… více či méně dokonalým → kvalita?
Tomáš Pavlík Biostatistika
Jak vznikají data?
Záznamem skutečnosti…
… kterou chceme dále studovat → smysluplnost?
(krevní tlak, glykémie × počet srdcí, počet domů)
… více či méně dokonalým → kvalita?
(variabilita = informace + chyba)
Tomáš Pavlík Biostatistika
Cílová populace, výběrová populace
Cílová populace – skupina subjektů, o které
chceme zjistit nějakou informaci. Odpovídá
základnímu prostoru Ω.
Experimentální vzorek neboli výběrová
populace – podskupina cílové populace,
kterou pozorujeme, měříme a analyzujeme.
Jakékoliv výsledky chceme zobecnit na celou
cílovou populaci. Výběrová populace musí
svými charakteristikami odpovídat cílové
populaci (reprezentativnost). Toho můžeme
docílit náhodným, ale i záměrným výběrem.
Prostor všech
možností
(dán genofondem)
Cílová populace
Vzorek
Tomáš Pavlík Biostatistika
VÝSLEDKY
Cílová populace
Náhodný výběr dle optimálního plánu
Reprezentativní vzorek
n subjektů
Měření charakteristiky
Hodnocení variability hodnot
ve výběrovém souboru
?
Zobecněnízávěrů
Reprezentativnost
Přesnost
Spolehlivost
?
Popis cílové populace – popis pozorované variability
2. Typy dat a jejich vizualizace
Tomáš Pavlík Biostatistika
Typy dat
Kvalitativní proměnná (kategoriální) – lze ji řadit do kategorií, ale nelze ji
kvantifikovat, resp. nemá smysl přiřadit jednotlivým kategoriím číselné
vyjádření.
Příklady: pohlaví, HIV status, užívání drog, barva vlasů
Kvantitativní proměnná (numerická) – můžeme jí přiřadit číselnou hodnotu.
Rozlišujeme dva typy kvantitativních proměnných:
Spojité: může nabývat jakýchkoliv hodnot v určitém rozmezí.
Příklady: výška, váha, vzdálenost, čas, teplota.
Diskrétní: může nabývat pouze spočetně mnoha hodnot.
Příklady: počet krevních buněk, počet hospitalizací, počet krvácivých
epizod za rok, počet dětí v rodině.
Tomáš Pavlík Biostatistika
Typy dat – příklady
Kvalitativní proměnná Kvantitativní proměnná
Tomáš Pavlík Biostatistika
Kvalitativní data lze dělit dále
Binární data – pouze dvě kategorie typu ano / ne.
Nominální data – více kategorií, které nelze vzájemně seřadit.
Nemá smysl ptát se na relaci větší/menší.
Ordinální data – více kategorií, které lze vzájemně seřadit.
Má smysl ptát se na relaci větší/menší.
Tomáš Pavlík Biostatistika
Kvalitativní data – příklady
Binární data
diabetes (ano/ne)
pohlaví (muž/žena)
stav (ženatý/svobodný)
Nominální data
krevní skupiny (A/B/AB/0)
stát EU (Belgie/…/Česká republika/…/Velká Británie)
stav (ženatý/svobodný/rozvedený/vdovec)
Ordinální data
stupeň bolesti (mírná/střední/velká/nesnesitelná)
spotřeba cigaret (nekuřák/ex-kuřák/občasný kuřák/pravidelný kuřák)
stadium maligního onemocnění (I/II/III/IV)
Tomáš Pavlík Biostatistika
Kvantitativní data
Kvantitativní data poskytují větší informaci než data kvalitativní.
Spojitá data poskytují větší informaci než data diskrétní.
Větší informace znamená, že nám stačí méně pozorování na detekci určitého
rozdílu (pokud ten rozdíl samozřejmě existuje).
Kvůli interpretaci je někdy výhodné kvantitativní data agregovat do kategorií
(např. věk) – tímto krokem však ztrácíme část informace. Zpětně nejsme
schopni data rekonstruovat.
Diskrétní data
Spojitá data Kategoriální data
Kategoriální data
Tomáš Pavlík Biostatistika
Kolikrát ?
O kolik ?
Větší, menší ?
Rovná se ?
Typy dat dle škály hodnotInformačníhodnotadat
Poměrová
Intervalová
Ordinální
Nominální
Data Otázky Příklady
Glykémie, váha
Teplota ve °C
PS, kouření
Pohlaví, KS
Tomáš Pavlík Biostatistika
Další typy dat – odvozená data
Pořadí (rank) – místo absolutních hodnot známe někdy pouze jejich pořadí. Jedná se sice
o ztrátu určitého množství informace, nicméně i pořadí lze v biostatistice využít.
Procento (percentage) – sledujeme-li např. zlepšení v určitém parametru, je výhodné
sledovat procentuální zlepšení. Př.: ejekční frakce levé srdeční komory.
Podíl (ratio) – mnoho indexů je odvozeno jako podíl dvou měřených veličin. Př.: BMI.
Míra pravděpodobnosti (rate) – týká se výskytu různých onemocnění, kdy počet nových
pacientů v daném čase (studii) je vztažen na celkový počet zaznamenaných osobo-roků.
Př.: výskyt nádorového onemocnění u pacientů ve studii.
Skóre (score) – jedná se o uměle vytvořené hodnoty charakterizující určitý stav, který
nelze jednoduše měřit jako číselné hodnoty. Př.: indexy kvality života.
Vizuální škála (visual scale) – pacienti často hodnotí svoje obtíže na škále, která má formu
úsečky o délce např. 10 cm. Př.: hodnocení kvality života.
Tomáš Pavlík Biostatistika
Další typy dat – odvozená data
Tomáš Pavlík Biostatistika
Absolutní vs. relativní četnost
Vyjádření výsledků v relativní formě (procento) má často příjemnou
interpretaci, ale může být zavádějící.
Relativní vyjádření účinnosti by mělo být vždy doprovázeno absolutním
vyjádřením účinnosti.
Příklad: Srovnání účinnosti léčiva ve smyslu prevence CMP u kardiaků.
Studie 1: Výskyt CMP ve skupině A je 12 %, ve skupině B je 20 %.
Relativní změna v účinnosti = 40 %; absolutní změna = 8 %.
Studie 2: výskyt CMP ve skupině A je 0,9 %, ve skupině B je 1,5 %.
Relativní změna v účinnosti = 40 %; absolutní změna = 0,6 %.
Výsledkem je rozdílný přínos léčby při stejné relativní účinnosti.
Tomáš Pavlík Biostatistika
Další typy dat – cenzorovaná data
Cenzorovaná data charakterizují experimenty, kde sledujeme čas do výskytu
předem definované události.
V průběhu sledování událost nemusí nastat u všech subjektů. Subjekty však
nelze vinit z toho, že jsme u nich nebyli schopni danou událost pozorovat a už
vůbec je nelze z hodnocení vyloučit.
O čase sledování takového subjektu pak mluvíme jako o cenzorovaném.
Toto označení indikuje, že sledování bylo ukončeno dříve, než u subjektu došlo
k definované události. Nevíme tedy, kdy a jestli vůbec daná událost u subjektu
nastala, víme pouze, že nenastala před ukončením sledování.
Tomáš Pavlík Biostatistika
Další typy dat – cenzorovaná data
Úmrtí
Úmrtí
Ukončení studie
Ztracen ze
sledování
Nepozorované
časy úmrtí
0 t
t1
t2
t3
t4
c3
c4
3. Vizualizace a popis různých
typů dat
Tomáš Pavlík Biostatistika
Reálná data
Tomáš Pavlík Biostatistika
Proč je popis a vizualizace dat třeba?
Chceme zpřehlednit pozorovaná data – ve vhodných grafech.
Chceme zachytit případné odlehlé a extrémní body nebo nečekané, nelogické
hodnoty.
Chceme popsat naměřené hodnoty.
Chceme vypočítat vhodné sumární statistiky, které budou pozorovaná data dále
zastupovat při prezentaci, srovnáních apod. Chceme pozorovanou informaci
„uložit“ v zástupných statistikách, použití všech pozorovaných dat je
nepraktické až nemožné.
Tomáš Pavlík Biostatistika
Jaké jsou výstupy popisné analýzy?
Obecně neformální, jde o shrnutí pozorovaného a ne o formální testování.
Vztahují se pouze na pozorovaná data (respektive na experimentální vzorek).
Mohou sloužit jako podklad pro stanovení hypotéz.
Tomáš Pavlík Biostatistika
Co chceme u dat popsat?
Kvalitativní data – četnosti (absolutní i relativní) jednotlivých kategorií.
Kvantitativní data – těžiště a rozsah pozorovaných hodnot.
Tomáš Pavlík Biostatistika
Popis „těžiště“ – míry polohy
Mějme pozorované hodnoty:
Seřaďme je podle velikosti:
Minimum a maximum – nejmenší a největší
pozorovaná hodnota nám dávají obraz o tom, kde
se na ose x pohybujeme.
Průměr – charakterizuje hodnotu, kolem které
kolísají ostatní pozorované hodnoty. Je to fyzikální
obraz těžiště stejně hmotných bodů ose x.
Medián – je to prostřední pozorovaná hodnota.
Dělí pozorované hodnoty na dvě půlky, půlka
hodnot je menší a půlka hodnot je větší než
medián.
∑=
=
n
i
ix
n
x
1
1
nxxx ,...,, 21
)()2()1( ... nxxx ≤≤≤
)(max
)1(min
nxx
xx
=
=
( )
)(~
~
)12/()2/(2
1
2/)1(
+
+
+=
=
nn
n
xxx
xx pro n liché
pro n sudé
Tomáš Pavlík Biostatistika
Výpočet mediánu
Příklad 1: N = 8
(n + 1) / 2 pozice je „mezi“ 4. a 5. prvkem po seřazení – uděláme průměr
Data = 6 1 7 4 3 2 7 8
Seřazená data = 1 2 3 4 6 7 7 8
Medián = (4 + 6) / 2 = 5
Příklad 2: N = 9
(n + 1) / 2 pozice znamená 5. pozice po seřazení
Data = 3,0 4,2 1,1 2,5 2,2 3,8 5,6 2,7 1,7
Seřazená data = 1,1 1,7 2,2 2,5 2,7 3,0 3,8 4,2 5,6
Medián = 2,7
Tomáš Pavlík Biostatistika
Průměr vs. medián
Máme-li symetrická data, je výsledek výpočtu průměru i mediánu podobný.
Vše je OK.
Systolický tlak u mužů
Tlak (mmHg)
Početmužů
Průměr = 149,9 mmHg
Medián = 150,0 mmHg
Tomáš Pavlík Biostatistika
Průměr vs. medián
Nemáme-li symetrická data, je výsledek výpočtu průměru i mediánu rozdílný.
Není to OK. Výpočet průměru je v tuto chvíli nevhodný!
Příklad 1: známkování ve škole
Student A: 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5
Průměr = 1,35 Medián = 1,00
Student B: 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2
Průměr = 1,13 Medián = 1,00
Příklad 2: plat v ČR v roce 2003
Medián xPrůměr
Medián: 12 400
Průměr: 18 697 Kč
Tomáš Pavlík Biostatistika
Pojem kvantil
Ve statistice je kvantil definován pomocí kvantilové funkce, což je inverzní
funkce k distribuční funkci – budeme se jí věnovat příště.
Laicky lze kvantil definovat jako číslo na reálné ose, které rozděluje pozorovaná
data na dvě části: p% kvantil rozděluje data na p % hodnot a (100-p) % hodnot.
( )kp xx =100/
)( )1()(2
1
100/ ++= kkp xxx pro np/100 celočíselné, pak k = np/100;
pro np/100 neceločíselné, pak k =  100/np
Tomáš Pavlík Biostatistika
Kvantil - příklad
Máme soubor 20 osob, u nichž měříme výšku. Chceme zjistit 80% kvantil
souboru pozorovaných dat.
R
Výška v cm
170 cm 200 cm 230 cm110 cm 140 cm
Průměr těchto dvou
4 / 20 = 20 % hodnot
n = 20
16 / 20 = 80 % hodnot
= 80% kvantil
Tomáš Pavlík Biostatistika
Významné kvantily
Minimum = 0% kvantil
Dolní kvartil = 25% kvantil
Medián = 50% kvantil
Horní kvartil = 75% kvantil
Maximum = 100% kvantil
Medián je významná charakteristika vypovídající o „těžišti“ pozorovaných
hodnot. Není to ale jenom popisná charakteristika, na mediánu (a kvantilech
obecně) je založeno mnoho neparametrických statistických metod.
Tomáš Pavlík Biostatistika
Popis „rozsahu“ – míry variability
Nejjednodušší charakteristikou variability pozorovaných dat je rozsah hodnot
(rozpětí) = maximum – minimum. Je snadno ovlivnitelný netypickými
(odlehlými) hodnotami.
Kvantilové rozpětí je definováno p% kvantilem a (100-p)% kvantilem a je méně
ovlivněno odlehlými hodnotami. Speciálním případem je kvartilové rozpětí,
které pokrývá 50 % pozorovaných hodnot.
Výběrový rozptyl – průměrný čtverec odchylky od průměru. Velmi ovlivnitelný
odlehlými hodnotami.
Výběrová směrodatná odchylka – odmocnina z rozptylu. Výhodou směrodatné
odchylky je, že má stejné jednotky jako pozorovaná data.
∑ ∑= =






−
−
=−
−
=
n
i
n
i
iix xnx
n
xx
n
s
1 1
2222
1
1
)(
1
1
Tomáš Pavlík Biostatistika
Popis „rozsahu“ – míry variability
Příklad čtverců odchylek od průměru pro n = 3.
Rozptyl je možno značně ovlivnit odlehlými pozorováními.
∑=
−
−
=
n
i
ix xx
n
s
1
22
)(
1
1
0,269 0,547 0,638 0,733
x1 x x2 x3
4. Kvalitativní data
Tomáš Pavlík Biostatistika
Vizualizace a popis nominálních dat
Proměnná n %
Kategorie 1 10 5.0
Kategorie 2 40 20.0
Kategorie 3 130 65.0
Kategorie 4 20 10.0
Celkem 200 100.0 65.0%
10.0% 5.0%
20.0%
10
40
130
20
0
30
60
90
120
150
1 2 3 4
N
Vizualizace sloupcovým / koláčovým grafem – absolutní i relativní četnost.
Sumarizace procentuálním výskytem kategorií v tzv. frekvenční tabulce.
Smysluplná agregace kategorií zjednodušuje interpretaci i validitu výsledků.
K popisu může sloužit i tzv. modus – nejčetnější pozorovaná hodnota.
Frekvenční tabulka Sloupcový graf Koláčový graf
Tomáš Pavlík Biostatistika
Vizualizace a popis ordinálních dat
Proměnná n %
Kategorie 1 10 5.0
Kategorie 2 40 20.0
Kategorie 3 130 65.0
Kategorie 4 20 10.0
Celkem 200 100.0 65.0%
10.0% 5.0%
20.0%
10
40
130
20
0
30
60
90
120
150
1 2 3 4
N
Frekvenční tabulka Sloupcový graf Koláčový graf
Vizualizace sloupcovým / koláčovým grafem – absolutní i relativní četnost.
Sumarizace procentuálním výskytem kategorií v tzv. frekvenční tabulce.
Smysluplná agregace kategorií zjednodušuje interpretaci i validitu výsledků.
K popisu může sloužit i tzv. modus, případně medián (pouze dává-li to smysl).
Tomáš Pavlík Biostatistika
Co je na tom obrázku zavádějící?
Tomáš Pavlík Biostatistika
Co je na tom obrázku zavádějící?
Ve chvíli, kdy obě skupiny mají různý
počet pacientů, je srovnání absolutních
čísel nekorektní.
5. Kvantitativní data
Tomáš Pavlík Biostatistika
Frekvenční tabulka pro kvantitativní data
1,21
1,48
1,56
0,31
1,21
1,33
0,33
0,21
1,32
1,11
.
.
.
.
n = 100
i-tý interval di ni ni / n %
<0 – 0,4) 0,4 20 0,2 20
<0,4 – 0,8) 0,4 10 0,1 10
<0,8 – 1,2) 0,4 40 0,4 40
<1,2 – 1,4) 0,2 20 0,2 20
<1,4 – 1,6) 0,2 10 0,1 10
Celkem 1,6 100 1 100
Primární data Frekvenční tabulka
di – šířka intervalu
ni – absolutní četnost v daném intervalu
ni / n – relativní četnost v daném intervalu
Tomáš Pavlík Biostatistika
Histogram
Histogram je grafický nástroj pro vizualizaci kvantitativních dat (poměrových,
intervalových, spojitých i diskrétních).
Každá oblast histogramu odráží absolutní nebo relativní četnost na jednotku
sledované proměnné na ose x.
Histogram není sloupcový graf!
Histogram pro relativní četnost:
Histogram pro absolutní četnost:
i
i
d
nn
if
/
)( =
i
i
d
n
if =)(
Tomáš Pavlík Biostatistika
Sumarizace kvantitativních dat histogramem
Pozorovaná data: 1,21; 1,48; 1,56; 0,31; 1,21; 1,33; 0,33; 0,21; 1,32 … … n
Setřídění dat podle velikosti
Vytvoření intervalů na ose x
Výpočet relativních nebo absolutních četností f(i)
Vykreslení histogramu
Tomáš Pavlík Biostatistika
Histogram – příklad
50
25
100 100
50
0
20
40
60
80
100
120
n
0 0,4 0,8 1,2 1,4 1,6
0.50
0.25
1.00 1.00
0.50
0
1
n
0 0,4 0,8 1,2 1,4 1,6
Histogram pro relativní četnostHistogram pro absolutní četnost
Tomáš Pavlík Biostatistika
Histogram – příklad
0.50
0.25
1.00 1.00
0.50
0
1
n
0 0,4 0,8 1,2 1,4 1,6
Histogram pro relativní četnost
Jaký obsah má plocha histogramu
pro relativní četnost?
A proč?
Tomáš Pavlík Biostatistika
Histogram – příklad
0.50
0.25
1.00 1.00
0.50
0
1
n
0 0,4 0,8 1,2 1,4 1,6
Histogram pro relativní četnost
Jaký obsah má plocha histogramu
pro relativní četnost?
A proč?
Histogram lze použít pro odhad
hustoty pravděpodobnosti. Je to
tedy grafická vizualizace rozložení
pravděpodobnosti kvantitativních
(zejména spojitých) dat.
∑∑ ==
i i
i
i d
nn
if 1
/
)(
Tomáš Pavlík Biostatistika
Který histogram je správný a proč?
Chceme pomocí histogramu vykreslit počty zraněných při automobilových
haváriích na předměstí Londýna v roce 1985. Data máme zadána jako počty v
daných věkových kategoriích.
Tomáš Pavlík Biostatistika
Histogram ve skutečnosti
Histogram je ve skutečnosti zřídka vyjadřován pomocí výrazů:
Daleko častěji se jedná o prosté absolutní nebo relativní počty pozorování v
daném intervalu (výhodné kvůli snadné čitelnosti a interpretaci):
Důležité však je, aby intervaly měly stejnou šířku, aby výsledky byly
srovnatelné!
i
i
d
nn
if
/
)( =
i
i
d
n
if =)(
nnif i /)( = inif =)(
Tomáš Pavlík Biostatistika
3 intervaly 5 intervalů
Počet intervalů určuje kvalitu výstupu
2
6 6
3
7
3 2 1 1
9
0
4
8
12
16
20
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
4.0 4.5
8.0
2.5
1.0
0
4
8
12
16
20
1 - 2 3 - 4 5 - 6 7 - 8 9 - 10
7.0
9.5
3.5
0
4
8
12
16
20
1 - 3 4 - 6 7 - 10
10 intervalů
Počtem zvolených intervalů v histogramu rozhodujeme o tom, jak bude
vypadat. Při malém počtu můžeme přehlédnout důležité prvky v datech, při
velkém zase může být informace roztříštěná.
ni /di ni /di ni /di
Tomáš Pavlík Biostatistika
Krabicový graf – box plot
Minimum = 0% kvantil
Maximum = 100% kvantil
Horní kvartil = 75% kvantil
Medián = 50% kvantil
Dolní kvartil = 25% kvantil
Tomáš Pavlík Biostatistika
Co je extrémní (odlehlá) hodnota?
Jednoduše řečeno se jedná o netypické pozorování, které nezapadá do
pravděpodobnostního chování souboru dat.
Definujeme ji jako hodnotu, která leží několikanásobek (3, 5, 7) směrodatné
odchylky , respektive kvartilového rozpětí, od průměru, respektive mediánu.
Definice je ale vágní, závisí na naší znalosti dané problematiky, které hodnoty
jsou či nejsou možné!
Tomáš Pavlík Biostatistika
Vliv odlehlé hodnoty na popisné statistiky
6.3
7.6
6.3
9.1
4.2
5.8
5.65
6.3
8.6
6
6.2
6.7
4.6
6.25
6.3
4.04
6.3
9.1
6.3
5.2
6.4
5.75
Cílem je určit průměrnou hladinu cholesterolu vybrané populace mužů
(hodnoty v mmol/l)
6.3
7.6
6.3
9.1
4.2
5.8
5.65
6.3
8.6
6
6.2
6.7
4.6
6.25
6.3
4.04
6.3
9.1
6.3
5.2
64
5.75
Správnádata
Nesprávnádata
Průměrná hodnota
Směrodatná odchylka
6,32
1,34
Průměrná hodnota
Směrodatná odchylka
?
?
Která charakteristika se zvýší výrazněji?
Průměr nebo směrodatná odchylka?
Tomáš Pavlík Biostatistika
Vliv odlehlé hodnoty na popisné statistiky
6.3
7.6
6.3
9.1
4.2
5.8
5.65
6.3
8.6
6
6.2
6.7
4.6
6.25
6.3
4.04
6.3
9.1
6.3
5.2
6.4
5.75
Cílem je určit průměrnou hladinu cholesterolu vybrané populace mužů
(hodnoty v mmol/l)
6.3
7.6
6.3
9.1
4.2
5.8
5.65
6.3
8.6
6
6.2
6.7
4.6
6.25
6.3
4.04
6.3
9.1
6.3
5.2
64
5.75
Správnádata
Nesprávnádata
Průměrná hodnota
Směrodatná odchylka
6,32
1,34
Průměrná hodnota
Směrodatná odchylka
8,94
12,37
Tomáš Pavlík Biostatistika
Identifikace odlehlých hodnot
Na menších souborech stačí vizualizace.
Na větších datových souborech nelze bez vizualizace a popisných statistik.
Grafická identifikace: pomocí histogramu a box plotu.
Identifikace pomocí popisných statistik: srovnání mediánu a průměru.
Tomáš Pavlík Biostatistika
Identifikace odlehlých hodnot – příklad
6.3
7.6
6.3
9.1
4.2
5.8
5.65
6.3
8.6
6
6.2
6.7
4.6
6.25
6.3
4.04
6.3
9.1
6.3
5.2
6.4
5.75
6.3
7.6
6.3
9.1
4.2
5.8
5.65
6.3
8.6
6
6.2
6.7
4.6
6.25
6.3
4.04
6.3
9.1
6.3
5.2
64
5.75
Správnádata
Nesprávnádata
Histogram Histogram
Box plot Box plot
Tomáš Pavlík Biostatistika
Identifikace odlehlých hodnot – příklad
6.3
7.6
6.3
9.1
4.2
5.8
5.65
6.3
8.6
6
6.2
6.7
4.6
6.25
6.3
4.04
6.3
9.1
6.3
5.2
6.4
5.75
Cílem je určit průměrnou hladinu cholesterolu vybrané populace mužů
(hodnoty v mmol/l)
6.3
7.6
6.3
9.1
4.2
5.8
5.65
6.3
8.6
6
6.2
6.7
4.6
6.25
6.3
4.04
6.3
9.1
6.3
5.2
64
5.75
Správnádata
Nesprávnádata
Průměrná hodnota
Směrodatná odchylka
6,32
1,34
Průměrná hodnota
Směrodatná odchylka
8,94
12,37
Medián
6,30
Medián
6,30
Tomáš Pavlík Biostatistika
Reklama na příští týden…
Středem zájmu statistiky a biostatistiky je tzv. náhodná veličina.
Základní
prostor Ω
Jev A ω1
R0R0 x1P(A)
Náhodná veličina XPravděpodobnost P
Tomáš Pavlík Biostatistika
Poděkování…
Rozvoj studijního oboru „Matematická biologie“ PřF MU
Brno je finančně podporován prostředky projektu ESF č.
CZ.1.07/2.2.00/07.0318 „Víceoborová inovace studia
Matematické biologie“ a státním rozpočtem České republiky