Přednáška VI.
Intervalové odhady
Motivace
Směrodatná odchylka a směrodatná chyba
Centrální limitní věta
Intervaly spolehlivosti
Tomáš Pavlík Biostatistika
Opakování – nestranné a MLE
Jaký je princip nestranných odhadů?
Jaký je princip odhadů metodou MLE?
Jak vypadají nestranný a MLE odhad parametru σ2?
Tomáš Pavlík Biostatistika
Opakování – použití průměru a mediánu
Jmenujte výhody a nevýhody průměru a mediánu jako statistik pro 
odhad střední hodnoty náhodné veličiny.
Jmenujte příklad, kdy průměr je výhodnější než medián, a příklad, 
kdy medián je výhodnější než průměr.
1. Motivace
Tomáš Pavlík Biostatistika
Spolehlivost bodového odhadu
R0 x1 R0 x2 R0 x
Umíme‐li „změřit“ celou 
cílovou populaci, 
nepotřebujeme interval 
spolehlivosti, protože jsme 
schopni odhadnout 
sledovaný parametr přesně 
– v praxi je tato situace 
nereálná.R0 x1 R0 x2
( ) ( )
Celá cílová populaceVýběr číslo 2Výběr číslo 1
Pracujeme‐li s výběrem z cílové populace, je třeba na základě variability 
pozorovaných dat spočítat tzv. interval spolehlivosti pro bodový odhad.
Interval spolehlivosti na 
základě výběru číslo 1.
Tomáš Pavlík Biostatistika
Intervalový odhad
Bodový odhad je prvním krokem ve statistickém popisu dat.
Co nám říká jedno číslo? Studie 1 může publikovat číslo x1, studie 2 
číslo x2. Které je správnější, lepší, přesnější?
Bodový odhad je sám o sobě nedostatečný pro popis parametru 
rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny.
Zajímá nás přesnost (spolehlivost) bodového odhadu.
2. Variabilita pozorování a variabilita 
výběrového průměru
Tomáš Pavlík Biostatistika
Populace a náhodná veličina
Cílová populace – skupina subjektů, o které chceme 
zjistit nějakou informaci.
Realizujeme‐li náhodně výběr z cílové populace, 
dostaneme výběrovou populaci (experimentální 
vzorek). 
Znak X = náhodná veličina X – vlastnost, která nás 
zajímá.
Realizace náhodné veličiny – reálné číslo, 
pozorovaná hodnota na vybraném subjektu.
Náhodný výběr – množina n nezávislých náhodných 
veličin se stejným rozdělením: X1, X2,…, Xn.
Realizace náhodného výběru – reálná čísla, 
hodnoty pozorované na výběrové populaci.
Cílová populace
Vzorek
Základní 
prostor Ω
Jev 
A
ω1
R0 x
Náhodná 
veličina X
Tomáš Pavlík Biostatistika
Pravděpodobnostní chování náhodné veličiny
F(x), f(x) a p(x) – popisují chování náhodné veličiny úplně, ale složitě.
Dvě charakteristiky odráží vlastnosti rozdělení jedním číslem: střední 
hodnota a rozptyl. Odmocnina z rozptylu je směrodatná odchylka.
Platí následující:
Jednotlivé realizace náhodné veličiny vykazují variabilitu (dle SD(X)).
Jakákoliv statistika (např. průměr) je jako transformace náhodných 
veličin také náhodnou veličinou. Má tedy i rozdělení 
pravděpodobnosti.
Jednotlivé realizace statistiky nad různými náhodnými výběry také 
vykazují variabilitu (opět úměrnou SD(X)).
)(),(),( XSDXDXE
Tomáš Pavlík Biostatistika
Co je zajímavé – výběrový průměr
Rozdělení pravděpodobnosti výběrového průměru tím méně variabilní čím 
více pozorování je v průměru zahrnuto. 
Rozdělení pravděpodobnosti výběrového průměru se s rostoucím n
přestává podobat rozdělení původních dat a začíná se podobat rozdělení 
normálnímu.
Proč?
Tomáš Pavlík Biostatistika
Co je zajímavé – výběrový průměr
Rozdělení pravděpodobnosti výběrového průměru tím méně variabilní čím 
více pozorování je v průměru zahrnuto → plyne z vlastnos  rozptylu 
transformované náhodné veličiny.
Rozdělení pravděpodobnosti výběrového průměru se s rostoucím n
přestává podobat rozdělení původních dat a začíná se podobat rozdělení 
normálnímu → plyne z centrální limitní věty.
Tomáš Pavlík Biostatistika
Charakteristiky výběrového průměru
Máme posloupnost X1, …, Xn nezávislých, stejně rozdělených náhodných 
veličin, které mají konečnou střední hodnotu μ a rozptyl σ2.
n
n
n
i in
n
i in
n
i in
i
XDXSD
XDXD
XEXE
XX
NX














)()(
)()(
)()(
),(~
2
2
1
1
1
1
1
1
2
Pro odhad, respektive statistiku, se tomuto
výrazu říká směrodatná chyba nebo standardní
chyba („standard error“) a značí se SE.
Tomáš Pavlík Biostatistika
Příklad – výběrový průměr
Základní 
prostor Ω
Jev 
A
ω1
R0 x
Náhodná 
veličina X
R0 x3x1 x2 x5x4
Náhodný 
výběr X1, X2,…, Xn
Výběrový 
průměr X
R0 x
Tomáš Pavlík Biostatistika
Shrnutí
Směrodatná odchylka (SD) není směrodatná chyba popisné statistiky (SE)!
Směrodatná odchylka (SD) je odrazem variability náhodné veličiny ve 
sledované populaci.
Směrodatná chyba (SE) je odrazem přesnosti popisné statistiky jako odhadu 
střední hodnoty náhodné veličiny.
Pozor na rozdíl mezi SD a SE v článcích a knihách – tabulkách a grafech!
Tomáš Pavlík Biostatistika
Příklad – výška člověka
Náhodná veličina bude výška člověka:  , tedy uvažujme 
střední hodnotu 175 cm a směrodatnou odchylku 15 cm. Jak se chovají 
průměry pro náhodné výběry o velikosti n = 10, n = 100 a n = 1000?
Kód v R:
)15,175(~ 2
NX
x <- rep(0, 100) # vytvořím si vektor pro ukládání průměrů
for (i in 1:100) {
pom <- rnorm(10, 175, 15)
x[i] <- mean(pom)} # cyklus pro výpočet výběrových průměrů pro n=10
hist(x, breaks=10, xlim=c(160,190)) # vykreslení histogramu pro výběrové průměry pro n=10
for (i in 1:100) {
pom <- rnorm(100, 175, 15)
x[i] <- mean(pom)} # cyklus pro výpočet výběrových průměrů pro n=100
hist(x, breaks=10, xlim=c(160,190)) # vykreslení histogramu pro výběrové průměry pro n=100
for (i in 1:100) {
pom <- rnorm(1000, 175, 15)
x[i] <- mean(pom)} # cyklus pro výpočet výběrových průměrů pro n=1000
hist(x, breaks=10, xlim=c(160,190)) # vykreslení histogramu pro výběrové průměry pro n=1000
Tomáš Pavlík Biostatistika
Příklad – výška člověka
Výběrové průměry 
ze vzorku n = 10
Výběrové průměry 
ze vzorku n = 100
Výběrové průměry 
ze vzorku n = 1000
Původní pozorování mají rozsah hodnot zhruba od 120 cm do 220 cm. Kde 
se pohybují jednotlivé průměry?
Tomáš Pavlík Biostatistika
Příklad – výška člověka
Výběrové průměry 
ze vzorku n = 10
Výběrové průměry 
ze vzorku n = 100
Výběrové průměry 
ze vzorku n = 1000
),175(~ 10
15
1
2
NX ),175(~ 100
15
2
2
NX ),175(~ 1000
15
3
2
NX
Původní pozorování mají rozsah hodnot zhruba od 120 cm do 220 cm. Kde 
se pohybují jednotlivé průměry?
od 160 cm do 190 cm od 170 cm do 180 cm od 173 cm do 177 cm
3. Centrální limitní věta
Tomáš Pavlík Biostatistika
Připomenutí: standardizace normálního rozdělení
Standardizace je transformace náhodné veličiny s N(μ,σ2) na N(0,1).
Důvod: řada statistických metod byla odvozena pro standardizované normální 
rozdělení, N(0,1). Děláme to tedy opět kvůli lepší možnosti hodnocení dat.
Teoretická standardizace náhodné veličiny:
Praktická standardizace naměřených hodnot:
2



X
U
2
s
xx
u i
i


Tomáš Pavlík Biostatistika
Centrální limitní věta
Klíčová věta umožňující sestrojení intervalových odhadů.
Máme posloupnost X1, …, Xn nezávislých, stejně rozdělených 
náhodných veličin, které mají konečnou střední hodnotu μ a rozptyl 
σ2. 
Pak platí, že pro má suma Xi přibližně normální 
rozdělení pravděpodobnosti. 
n  i iX
Tomáš Pavlík Biostatistika
Centrální limitní věta
Máme posloupnost X1, …, Xn nezávislých, stejně rozdělených 
náhodných veličin, které mají konečnou střední hodnotu μ a rozptyl 
σ2. Pak platí, že pro má výběrový průměr
přibližně normální rozdělení se střední hodnotou μ a rozptylem 
σ2/n. 
Tedy  má přibližně standardizované normální 
rozdělení pravděpodobnosti:
 



x
u
n
X
n
duexn 2/
2
1
/
2
)(lim 

n  i in XX 1
)//()( nX 
Tomáš Pavlík Biostatistika
CLV – zjednodušená interpretace
Pokud je rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny normální, pak je i 
rozdělení průměru pozorovaných hodnot normální (a to i pro n = 1).
Pokud rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny není normální, pak je 
rozdělení průměru pozorovaných hodnot přibližně normální, když n je 
dostatečně velké (              ).
„Dostatečně velké“ znamená > 30 pro rozdělení podobná normálnímu 
a > 100 pro rozdělení nepodobná normálnímu.
n
Tomáš Pavlík Biostatistika
Co je super…
Centrální limitní věta funguje i když rozdělení původní náhodné veličiny 
není normální rozdělení pravděpodobnosti. A dokonce i když není spojité!
Tomáš Pavlík Biostatistika
Příklad – binomické rozdělení
Chceme sledovat s jakou přesností lze 
odhadnout podíl hypertoniků v 
dospělé populaci ČR.
Předpokládejme, že skutečný podíl 
dospělých s hypertenzí je 0,2.
Náhodná veličina X: osoba trpí / netrpí 
hypertenzí.
Pravděpodobnostní funkce X
(alternativní rozdělení)
NeAno
Hypertenze
Tomáš Pavlík Biostatistika
Příklad – binomické rozdělení
Náhodná veličina S bude součet Xi, i = 1, …, n.
Náhodná veličina Y bude definována jako S/n.
Jak se chová Y pro náhodné výběry o velikosti n = 10, n = 100 a n = 1000?
pnSEYE
npSE


/)()(
)(
nppnSDYD
pnpSD
/))1((/)()(
)1()(
2


Tomáš Pavlík Biostatistika
Příklad – binomické rozdělení
p = 0,2 p = 0,2 p = 0,2
1000 realizací veličiny
Y při n = 10
1000 realizací veličiny
Y při n = 100
1000 realizací veličiny
Y při n = 1000
Tomáš Pavlík Biostatistika
Co když ale n nejde do nekonečna?
Není‐li velikost vzorku n dostatečně 
velká, nelze rozdělení výběrových 
průměrů považovat za normální.
Aproximace Studentovým t rozdělením 
(viz přednáška o jednotlivých rozdělení 
pravděpodobnosti: Lze ho chápat jako 
aproximaci normálního rozdělení pro 
malé vzorky, pro velké velikosti 
souborů konverguje k normálnímu 
rozdělení).
4. Intervalové odhady
Tomáš Pavlík Biostatistika
Co je super … pokračování
Centrální limitní věta mi říká, že rozdělení pravděpodobnosti výběrového 
průměru můžu při dostatečném n aproximovat normálním rozdělením.
Když provedu standardizaci, tak dokonce standardizovaným normálním 
rozdělením.
)1,0(~)(lim /
2/
2
1
/
2
Nduex n
Xx
u
n
X
n
nn



 



 
Tomáš Pavlík Biostatistika
Interval spolehlivosti
Princip vytvoření intervalového odhadu pro výběrový průměr, respektive 
konstrukce intervalu spolehlivosti pro výběrový průměr, je shodný s 
teoretickým pozadím pravidla ± 3σ.
68,3 % všech hodnot
95,6 % všech hodnot
99,7 % všech hodnot
Tomáš Pavlík Biostatistika
Připomenutí – kvantilová funkce
Inverzní funkce k distribuční funkci, výsledkem není pravděpodobnost, ale číslo 
na reálné ose, které odpovídá určité pravděpodobnosti.
Distribuční funkce
Kvantilová funkce
)()( xXPxF 
)())(( 11
pFxXPFxp


Spojitá náhodná 
veličina
P
x
Tomáš Pavlík Biostatistika
Kvantily standardizovaného normální rozdělení
Oblast, kde se náhodná veličina se 
standardizovaným normálním 
rozdělením realizuje s 
pravděpodobností 1 – α lze vyjádřit 
pomocí následujícího vztahu:

   11)()()( 222/)1,0(2/1)1,0(2/12/ zFzFzZzP NN
1 ‐ α α / 2α / 2
90 %
95 %
99 %
Tomáš Pavlík Biostatistika
Kvantily standardizovaného normální rozdělení
z0,025 = ‐1,96
z0,050 = ‐1,64
1,96 = z0,975
1,64 = z0,950
z0,005 = ‐2,58 2,58 = z0,995
1 ‐ α α / 2α / 2
90 %
95 %
99 %
Pravděpodobnosti
Kvantily
Tomáš Pavlík Biostatistika
100(1–α)% interval spolehlivosti pro μ
Máme náhodný výběr X1, X2, …, Xn z normálního rozdělení.
Budeme předpokládat, že σ známe!
Z předchozího snímku víme, že platí:
Když si rozepíšeme a upravíme výraz na levé straně, dostaneme:
100(1–α)% IS pro μ má tvar:

   11)()()( 222/)1,0(2/1)1,0(2/12/ zFzFzZzP NN
),(~ 2
NXi
)()()(1 2/1/2/12/12/12/12/ 

 

  zzPzZzPzZzP n
X
)()( 2/12/12/12/1 







   zXzXPzXzP nnnn
);(),( 2/12/1 



  zXzXHD nn
Tomáš Pavlík Biostatistika
100(1–α)% interval spolehlivosti pro μ
Co ten vzorec znamená?
Tedy zjednodušeně:
);(),( 2/12/1 



  zXzXHD nn
nn
n
XSE
NX




2
2
)(
),(~
)(IS)%1(100 2/1 XSEzX  
Tomáš Pavlík Biostatistika
Interpretace intervalu spolehlivosti
Poloha neznámého parametru je 
konstantní (jsme‐li frekventisti)!
95% interval spolehlivosti má následující 
interpretaci:
Pokud bychom opakovaně vybírali skupiny 
subjektů o stejné velikosti (n) a počítali 
výběrový průměr s 95% IS, pak 95 % těchto 
intervalů spolehlivosti neznámý parametr 
obsahuje a 5 % ho neobsahuje. Tedy 95% 
IS obsahuje neznámý parametr s rizikem α.
R0
μ
x1
( )
d1 h1
x2
( )
d2 h2
x3
( )
d3 h3
………
x100
( )
d100 h100
x99
( )
d99 h99
cca 95 % 
cca 5 % 
x
( )
d h
x
( )
d h
Tomáš Pavlík Biostatistika
Co když neznáme σ?
V předchozím případě jsme předpokládali, že známe přesnou hodnotu 
rozptylu / směrodatné odchylky. To je v praxi nereálné!
Musíme použít jinou statistiku s jiným rozdělením pravděpodobnosti.
Čím bychom mohli nahradit σ?
K čemu to povede?
Tomáš Pavlík Biostatistika
Co když neznáme σ?
Musíme použít jinou testovou statistiku s jiným rozdělením 
pravděpodobnosti.
Čím bychom mohli nahradit σ? 
Logické je použít výběrovou směrodatnou odchylku s.
Náhrada ale není úplně jednoduchá – není to dosazení s za σ.
K čemu to bude?
Pomocí s2 vytvoříme statistiku s chí‐kvadrát rozdělením (χ2) – tu pak 
použijeme pro vytvoření statistiky se Studentovým t rozdělením (viz 
přednáška o jednotlivých rozděleních pravděpodobnosti):
)(~
/
)(~),1,0(~ 2
ktT
kQ
X
TkQNX 




n
i
i xx
n
s
1
22
)(
1
1
Tomáš Pavlík Biostatistika
Co když neznáme σ?
Lze ukázat, že statistika 
Použijeme ještě standardizovanou normální veličinu
A obě dohromady použijeme pro vytvoření T statistiky:
Z toho plyne tvar 100(1–α)% intervalu spolehlivosti pro μ v případě, že 
neznáme hodnotu σ:
)1(~
/)1/()1(
/)(
)1/( 22







 ntT
ns
X
nsn
Xn
nK
Z
T nn 


)1,0(~
/
N
n
X
Z n



)1(~
1 22
2


 ns
n
K 

))1();1((),( 2/12/1   ntXntXHD n
s
n
s

Tomáš Pavlík Biostatistika
Příklad – konstrukce intervalu spolehlivosti
Chceme sestrojit 95% IS pro odhad střední hodnoty systolického tlaku 
studentů vysokých škol. 
98,1)1(
Hgmm4,1100/14
Hgmm0,14
Hgmm4,123
100
2/1 




 nt
SE
SDs
X
n
n

))1();1((),(IS%95 2/12/1   ntXntXHD n
s
n
s

naměřené hodnoty 
z tabulek
))99(4,123);99(4,123(),(IS%95 2/05,01100
0,14
2/05,01100
0,14
  ttHD
)2,126;6,120(),(IS%95  HD
Tomáš Pavlík Biostatistika
Šířka intervalu spolehlivosti
Co ovlivňuje šířku intervalu spolehlivosti?
1. Velikost vzorku – s rostoucí velikostí vzorku je IS užší (máme více informace a 
odhad je přesnější), zároveň se kvantily t rozdělení blíží kvantilům 
standardizovaného normálního rozdělení.
2. Variabilita náhodné veličiny
3. Spolehlivost, kterou požadujeme
))1();1((),(proIS)%1(100 2/12/1   ntXntXHD n
s
n
s

Tomáš Pavlík Biostatistika
Šířka intervalu spolehlivosti
Co ovlivňuje šířku intervalu spolehlivosti?
1. Velikost vzorku
2. Variabilita náhodné veličiny – čím náhodná veličina vykazuje větší variabilitu, 
tím je IS pro odhad střední hodnoty širší, tedy odhad je méně přesný.
3. Spolehlivost, kterou požadujeme
))1();1((),(proIS)%1(100 2/12/1   ntXntXHD n
s
n
s

Tomáš Pavlík Biostatistika
Šířka intervalu spolehlivosti
Co ovlivňuje šířku intervalu spolehlivosti?
1. Velikost vzorku
2. Variabilita náhodné veličiny 
3. Spolehlivost, kterou požadujeme – chceme‐li mít větší jistotu, že náš IS 
pokrývá neznámou střední hodnotu, IS musí být samozřejmě širší, stačí‐li nám 
menší spolehlivost, bude užší. Standardně se používá 95% IS (ale také 90% 
anebo 99%)
))1();1((),(proIS)%1(100 2/12/1   ntXntXHD n
s
n
s

Tomáš Pavlík Biostatistika
Poznámka 1
Lze vytvořit i IS pro odhad parametru σ, který je založen na již zmíněné 
statistice K.
Lze vytvořit i IS pro odhad podílu dvou parametrů σ1 a σ2 (pomocí F statistiky). 
Ten lze použít pro hodnocení homogenity rozptylů dvou výběrů, která je jedním 
z předpokladů v testování hypotéz.
)1(~
1 22
2


 ns
n
K 

Tomáš Pavlík Biostatistika
Poznámka 2
Velmi důležitý je i IS pro odhad střední hodnoty rozdílu dvou náhodných veličin.
Známe‐li σ1 a σ2, provedeme standardizaci a pak odvodíme 100(1‐α)% IS:
Neznáme‐li σ1 a σ2, použijeme statistiky K1 a K2, abychom se zbavili σ1 a σ2, 
výsledná statistika má opět Studentovo t rozdělení.
),(~ 2
11 NX
),(~ 2
22 NY
),(~ 2
2
2
1
2
1
21 nnNYX 
 
),(~ 1
2
1
1 nNX 

),(~ 2
2
2
2 nNY 

)(1 2
2
2
!
2
1
2
2
2
!
2
1
2/1212/1 nnnn zYXzYXP



   
))()((1 2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2/1212/1 n
s
n
s
n
s
n
s
tYXtYXP    
Tomáš Pavlík Biostatistika
Příklad
Radiofrekvenční ablace tkáně slinivky břišní u prasat. Sledujeme vliv typu 
chlazení okolních struktur (A – žádné, B – průplach vodou) na největší rozměr 
nekrózy. Zajímá nás rozdíl v efektu obou typů chlazení a jeho 95% IS.
Dosadíme do vzorce s použitím příslušného t kvantilu:
17
18


B
A
n
n
mm8,21
mm1,25


B
A
x
x
mm58,017/4,2
mm19,018/8,0


B
A
SE
SE
03,2)(975,0 t
))()((1
2222
2/12/1 B
B
A
A
B
B
A
A
n
s
n
s
BABAn
s
n
s
BA txxtxxP    
4,2
8,0


BB
AA
sSD
sSD
))(3,3)(3,3( 17
4,2
18
8,0
975,017
4,2
18
8,0
975,0
2222
  ttP BA
)5,41,2(  BAP 
Tomáš Pavlík Biostatistika
Poznámka 3
Interval spolehlivosti počítá pouze s variabilitou danou náhodným výběrem, 
nepočítá se zdroji systematického zkreslení.
Příklady:
Měření krevního tlaku může být systematicky zkresleno starým měřidlem 
(„technical bias“).
Měření krevního tlaku může být systematicky zkresleno tím, že se do studie 
přihlásí pouze určitá skupina osob („selection bias“).
Tomáš Pavlík Biostatistika
Poděkování…
Rozvoj studijního oboru „Matematická biologie“ PřF MU 
Brno je finančně podporován prostředky projektu ESF č. 
CZ.1.07/2.2.00/07.0318 „Víceoborová inovace studia 
Matematické biologie“ a státním rozpočtem České republiky