mmzm_np
September 29, 2016
1   Náhodná proměnná
• obor hodnot = všechny možné případy
• konečný/spočetný (diskrétní)
(rozlišovat NP versus hodnota NP)
v případě spojitých náhod, proměnných (obor reálných čísel) zavádíme hustotu pravděpodobnosti
.. , P(x < £ < x + dx)
J[x) = limdx^0---
dx
• je nenulová, ale může být >1
• lze rozšířit i na diskrétní proměnné (KO:jak?)
příklad kvantové mechaniky : spektrum energií může být zčásti diskrétní, zčásti spojité výhodné popsání distribuční funkcí F(x) = P(£ < x) - neklesající, od 0 do 1
1.0.1   funkce (= transformace) NP
• přenos z intervalů původní proměnné do nové proměnné
• je-li transformace y = h{x) vzájemně jednoznačná
pro hustotu g(y) v nové proměnné
a(y) = f(x)^ = J^L= W-^))
h-1 je inverzní k h
1.0.2   v případě více proměnných (náhodný vektor)
F(xi,X2, ...Xn) = P(t,l < XI /\ & < X2 /\ ..-in < Xn)
souvisí s hustotou NP analogicky s 1-D případem některé proměnné lze "odintegrovat" (tzv. marginalizace)
zbude-li jediná proměnná, jde o marginální rozdělení (projekce do daného směru)
FiAxí) = ^(zi,oo, ...,oo)
1
fixování jedné komponenty (či více) vytváří fez rozdělovači funkce (podmíněné rozdělení) (nutno ji normovat pomocí marginálního rozdělení)
, / ,t \ f(xi,X2, ...,XnQ) Jp{X1,X2, ... U = Xq) = -—-r-
hn(XnO)
• nezávislost komponent
Fs=(x1,x2) = Fil(x1)Fi=2(x2)
2   Vlastnosti náhodných proměnných
2.0.3 charakteristiky
očekávaná hodnota funkce g náhodné proměnné
f(x)dx
E(g) = / g(X)f(X)dX J Q
střední hodnota (matem, očekávání = expektance) E(£) event. pracujeme s očekávanou hodnotou z funkce NP - např.
/oo  r ŕoo x- xf(x)dx -oo L        J— oo
disperze - a2 - jeden z centrálních momentů
• algebraické    = E{^k)
• centrální ^ = E{{^ — vi)k)
asymetrie ("skewness", 3. řád) - 71 = -7= exces (a.k.a. "špičatost", 4. řád) - 72 = ^ — 3
korekce zavedena, aby pro normální rozdělení 71 = 72 = 0
2.0.4   momenty funkcí více proměnných
analogická definice střední hodnoty (či střední hodnoty funkce) dostáváme nyní i smíšené momenty:
• smíšený druhý centrální moment (kovariace, korelační moment)
odtud korelační koeficient
pro nezávislé vektory nulový, max. 1 pro plně korelované ("úměrné")
2
• !! existují závislé NP, které mají nulový korel. koeficient: nekorelovanost je slabší vlastnost než nezávislost
korelační moment lze zavést u n-rozměrného náh. vektoru pro lib. dvojici komponent z marginálního rozdělení (odintegrováním zbylých složek)
Díj = -D(£l? £j) - matice (kovarianční, disperzní) je symetrická, na diagonále disperze komponent
Matice je singulární, pokud existuje lineární kombinace složek, která je nulová (jedna komponenta je lineární kombinací jiných). Jinak lze zavést inv. matici -D-1, a kromě korelační matice pl3 =       i3) = i),, x !)„!),,
spočítat i globální korelační koeficient pro danou komponentu, určující její maximální míru korelace s libovolnou lin. kombinací zbylých složek: platí
Pl = y/1 - l/^DaD-^i)
2.0.5   Charakteristická funkce
X(t) = E{é^)
Áxt
přičtení konstanty A znamená vynásobení exp(iAt), faktor a změní výsledek Xa^(t) = X^(at)
X^+g(t) = Xs(t)Xg(t)
pro normální rozdělení X(t) = J elxte(x-mý'-/2a2_ eimt-t2a2/2
2.0.6   Generující funkce
M(t) = E(
xt
fi=(x)dx
rozvojem exponenciály získáme souvislost s momenty (necentrálními)
M(í) = E
1 + £i +       + ...
n=0
odkud lze vyjádřit
v bodě í = 0
, dnM(t) dtn
li,
2.1   lineární kombinace NP
• střední hodnota E(G) = OiEfc)
• disperze
A (důkaz)
3
pro nekorelované proměnné druhý člen odpadá • rozdělení
hustota pravděp. h(y) nové NP:
1. vynásobení konstantou a: h(y) = f(y/a)/\a\
2. součet y = xi + X2
dle distribuční funkce
pro nezávislé proměnné: f(xi, X2) = fi{x\)f2{x2) při zavedení proměnné t se substitucí x\ =
F{y) =        dt       f2(x2)f1(t-x2)dx2 = f(t)dt,
kde/(i) = / fi(t — x)f2(x)dx)e (Fourierova) konvoluce hustot; analogicky pro součin nezávislých proměnných y = x\ * X2 dostáváme hustotu pravděpodobnosti jako (Mellinovu) konvoluci
t — X2
4