Binomické¶
výsledky opakovaných pokusů s náhodným jevem, který má 2 možné výsledky
\begin{equation} \pi_n(r)= \frac{n!}{p! (n-p)!} p^r (1-p)^{n-r} \end{equation}střední hodnota : $np$
disperze : $np(1-p)$
asymetrie : $\frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}}$
excess : $\frac{1-6p(1-p)}{np(1-p)}$
Poissonovo¶
\begin{equation} \pi_n(r)= \frac{1}{r!} \mu^r \mathrm{e}^{-\mu} \label{eq:pois} \end{equation}střední hodnota : $\mu$
disperze : $\mu$
asymetrie : $1/\sqrt{\mu}$
excess : $1/\mu$
limitně pro $\mu \to \infty$ se blíží $N(\mu,\sqrt{\mu})$
Spojité¶
pomoci rovnice $\ref{eq:pois}$
rovnoměrné rozdělení¶
$$ f(x)=1/(b-a)\ \ldots\ x \in < a,b >$$střední hodnota : $(a+b)/2$
disperze : $(a-b)^2/12$
asymetrie : 0
excess : $-1.2$
exponenciální rozdělení¶
$$ f(x)=\exp(\frac{-x}{\mu})/\mu $$střední hodnota : $\mu$
disperze : $\mu^2$
asymetrie : 2
excess : 6
charakter. funkce $1/(1-\i\mu t)$
Breit-Wigner (Cauchy, Lorentz)¶
$$ f(x)=\frac{1}{\pi} \frac{1}{1+(x-\mu)^2} $$střední hodnota : nedef. ()
disperze : $\infty$
charakter. funkce $\exp^{-|t|}$
generování: $\tan \pi(r-1/2)$ pro r s rovnom. rozdělením v (0,1)
beta rozdělení (pro interval 0<x<1)¶
$$ f(x)=\frac{\Gamma(m+n)}{\Gamma(m)\Gamma(n)} x^{m-1} (1-x)^{n-1} $$střední hodnota : $m/(m+n)$
disperze : $\frac{mn}{(m+n)^2 (m+n+1)}$
asymetrie : $\frac{2(n-m)\sqrt{m+n+1}}{\sqrt{mn} (m+n+2)}$
excess : $\frac{3(m+n+1)[2(m+n)^2+mn(m+n-6)]}{mn (m+n+2)(m+n+3)}-3$
gama rozdělení (pro interval x>0)¶
$$ f(x)=\frac{\mu^\nu}{\Gamma(\nu)} x^{\nu-1} \exp(-x/\mu) $$střední hodnota : $\nu/\mu$
disperze : $\nu/\mu^2$
asymetrie : $2/\sqrt{\nu}$
excess : $6/\nu$
generování (pro $\mu=1$): vezmeme n+1 NP $r_i$ s rovnom. rozdělením v (0,1) a spočteme $x=- \ln \prod^{n+1}{r_i}$
$\chi^2$ rozdělení¶
rozdělení součtu čtverců $n$ NP s normálním rozdělením N(0,1)
$$ f_n(x) = \frac{x^{n/2-1} \exp{(-x/2)}}{2\Gamma(n/2)} $$střední hodnota : $n$
disperze : $2n$
asymetrie : $\sqrt{8/n}$
excess : $12/n$
charakter. funkce $(1-2 \i t)^{-n/2}$
limitně pro $n \to \infty$ se blíží $N(n,2n)$
Studentovo t-rozdělení (Gosset 1908)¶
rozdělení podílu nezávislých NP s normálním a $\chi^2_n$ rozdělením
$$ f_n(x) = \frac{\Gamma((n+1)/2)}{\sqrt{n\pi}\Gamma(n/2)} \left(1+\frac{t^2}{n}\right)^{-(n+1)/2}$$střední hodnota : 0
disperze : $n/(n-2)$
asymetrie : 0
excess : $6/(n-4)$ pro n>4
generování: dvě NP $r_1, r_2$ s rovnom. rozdělením v (0,1) , pokud $r_1<0.5$, $t=1/(4r_1-1)$, $v=r_2/t^2$, jinak $t=4r_1-3$,$v=r_2$. Hodnotu $x=t$ akceptujeme, pokud $v<1-|t|/2$ nebo $v<(1+t^2/n)^{-(n+1)/2}$
Fischer-Snedecorovo rozdělení¶
má podíl dvou náhodných proměnných s rozděleními $\chi^2(n)/n$ a $\chi^2(m)/m$
$$ f_{(n,m)}(x) = \frac{m}{n}^{m/2} \frac{\Gamma((m+n)/2)}{\Gamma(m/2) \Gamma(n/2)} x^{(n-2)/2} \left(1-\frac{m}{n} x\right)^{-(m+n)/2} $$střední hodnota : $m/(m-2)$
disperze : $\frac{2n^2(m+n-2)}{m(n-2)^2(n-4)}$
pro m=1 se redukuje na t-rozdělení
$1/2 \log F$ má pro velká m,n přibližně rozdělení $N((1/f_2- 1/f_1)/2, (1/f_2+1/f_1)/2)$, kde $f_1=m-1, f_2=n-1$
%matplotlib inline
from scipy import stats
from matplotlib import pyplot as pl
import numpy as np
x=np.r_[0.01:3:0.02]
n,m=10,10
pl.plot(x,stats.f(m,n).pdf(x))
pl.plot(x,stats.f(m,n).pdf(1/x))
pl.grid()
stats.f(m,n).ppf([0.025,0.975])
1./0.269