mmzm rozděleni
September 29, 2016
1   Table of Contents
Typová rozdělení Diskrétní Binomické Poissonovo Spojité
rovnoměrné rozdělení exponenciální rozdělení Breit-Wigner (Cauchy Lorentz) beta rozdělení (pro interval 0<x<l) gama rozdělení (pro interval x>0) X2
rozdělení
Studentovo t-rozdělení (Gosset 1908) Fischer-Snedecorovo rozdělení
In  [1]:  %matplotlib inline
from scipy import stats
from matplotlib import pyplot as pi
import numpy as np
2   Typová rozdělení
2.1 Diskrétní 2.1.1 Binomické
výsledky opakovaných pokusů s náhodným jevem, který má 2 možné výsledky
n\
*n{r)= ■      f(l-Pr-r (1)
p\(n — py.
střední hodnota : np disperze : np(l - p) asymetrie : ———
. l-6p(l-p)
excess.     ns
np(l-p)
1
2.1.2 Poissonovo
Mr) = V6"" <2) r!
střední hodnota : ju disperze : ju asymetrie : 1/s/Jl excess :
limitně pro ju —>■ oo se blíží iV(/x, y/^Z) 2.2 Spojité
2.2.1   rovnoměrné rozdělení
f (x) = 1/(6 - a) ... x e< a, 6 >
střední hodnota : (a + 6)/2 disperze : (a - 6)2/12 asymetrie : 0 excess : —1.2
2.2.2 exponenciální rozdělení
/(x) = exp(— /i
střední hodnota : ju disperze : ju2 asymetrie : 2 excess:6
charakter, funkce 1/(1 — fijuí)
2.2.3 Breit-Wigner (Cauchy, Lorentz)
f (x) = -_-_
7T 1 + (x — /i)2
střední hodnota : nedef. () disperze : oo
charakter, funkce exp-1*1
generovaní: tan-7r(r — 1/2) pro r s rovnom, rozdělením v (0,1)
In   [4]:  x=np.r_[0.01:3:0.02]
pl.plot(x,l/np.pi/(l+(x-1.2)**2))
pl.plot(x,0.5/np.pi/(0.25+(x-1.2)**2))
pl.grid()
2
2,2,4   beta rozdělení (pro interval 0<x<l)
\l-x)
r(m + n)       ! _!
r(m)r(n)
střední hodnota : m jim + n)
(lisDerze • _Tnn_
* ' (m+n)2(m+n+l)
asymetrie : 2(n-mWm+n+1
excess • 3(m+"+1)[2(m+ra)2+mra(m+"~6)] _ 3
mn(m+n+2) (m+n+3)
2.2.5 gama rozdělení (pro interval x>0)
f(x) = ——x^expi-x/íi)
r(i/)
střední hodnota : v j [i disperze : v/ asymetrie : 2/y/v excess : 6/v
generování (pro [i = 1): vezmeme n+1 NP rl s rovnom, rozdělením v (0,1) a spočteme x
-innn+1n
2.2.6 x2 rozdělení
rozdělení součtu čtverců n NP s normálním rozdělením N(0,1)
3
xnl2-1 exp (-x/'2) Ín{x) ~ 2r(n/2)
střední hodnota : n disperze : 2n asymetrie : excess : 12/n
charakter, funkce (1 - 26í)_n/2
limitně pro n —> oo se blíží iV(n, 2n)
2.2.7   Studentovo t-rozdělení (Gosset 1908)
rozdělení podílu nezávislých NP s normálním a x2 rozdělením
V-n.7iT(n/2) \
,      ( ,     mW2r((m + n)/2)   fa_2)/ .
střední hodnota : 0 disperze : n/{n — 2) asymetrie : 0
excess : 6/(n — 4) pro n>4
generování: dvě NP ri,r2 s rovnom, rozdělením v (0,1) , pokud ri < 0.5, t = l/(4ri — 1), v = r2/t2, jinak í = 4ri — 3,v = r2- Hodnotu x = t akceptujeme, pokud v < 1 — |í|/2 nebo u < (1 +í2/n)-(™+1)/2
2.2.8   Fischer-Snedecorovo rozdělení
má podíl dvou náhodných proměnných s rozděleními x2(n)/n a x2(m)/m
m \-(m+n)/2
n      r(m/2)r(n/2)" V" ~n'
střední hodnota : m jim — 2)
j. 2ra2(m+ra-2) dlSPerZe : m(n-2)Hn-A)
pro m=l se redukuje na t-rozdělení
1/2 log F má pro velká m,n přibližně rozdělení N((l/f2 - l//i)/2, (l//2 + l//i)/2), kde /i m—l,/2 = n—1
In   [11]:  x=np.r_[0.01:3:0.02] n,m=10,10
pl.plot(x,stats.f(m,n).pdf(x)) pl plot(x,stats.f(m,n).pdf(1/x)) pl grid()
stats.f(m,n).ppf([0.025,0.975]) Out[ll]:   array([  0.26904923, 3.71679186])
4
In   [12] :   1./O.269
Out[12]: 3.717472118959108
5