{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Měření s omezením\n",
    "\n",
    "*ne vždy vede pozorování k objevu*\n",
    "\n",
    "pokud je fyzikálně vymezená oblast (třeba $\\theta>0$), pak část nebo celý konfid. interval (který má obsahovat skutečnou hodnotu s danou pravděpodobností) může ležet mimo tuto oblast.\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### horní mez\n",
    "\n",
    "nejvyšší hodnota signálu , pro který je pravděpodobnost pod-fluktuací menší než daná hladina $\\alpha$\n",
    "\n",
    "Bayesovský přístup :\n",
    "$$1-\\alpha = \\int_{-\\infty}^{\\theta_{up}} p(\\theta|x) d\\theta=\n",
    "\\frac{\\int_{-\\infty}^{\\theta_{up}} p(x|\\theta) \\pi(\\theta) d\\theta}{\\int_{-\\infty}^{\\infty} p(x|\\theta) \\pi(\\theta) d\\theta}$$\n",
    "kde $\\pi(\\theta)$ je nějak zvolená a-priorní hustota pravděpodobnosti  \n",
    "([Jeffreys](http://en.wikipedia.org/wiki/Jeffreys_prior) navrhuje hodnotu $1/\\theta$ pro $\\theta>0$, jinak 0; často se ale bere rovnom. rozdělené $\\pi(\\theta)$).\n",
    "\n",
    "Feldman-Cousinsova definice freq. pásu ([priklad](http://hep.uchicago.edu/~satomis/topwidth/fc.html))\n",
    "\n",
    "naměřená hodnota signálu $n_s$ -> odhad pro střední hodnotu *s* (podobně pro hladinu pozadí $b$)\n",
    "$$P_s(n_s)=\\frac{s^{n_s} e^{-s}}{n_s !} $$\n",
    "\n",
    "nepozorujeme žádnou událost -> $n_s=n_b=0$: $P_s(0)=e^{-s}$ -> naivně $s_{up}=-ln(\\alpha)$\n",
    "pro 5% $s \\lt 2.996$\n",
    "\n",
    "Bayesovský přístup (bez pozadí: $n=n_s$) $$F(s|n)=\\int_0^s \\frac{t^{n} e^{-t}}{n !} dt = 1- e^{-s} \\sum_{m=0}^n {\\frac{s^m}{m !}}$$ **náhodou** vyjde stejně!\n",
    "\n",
    "\n",
    "pokud očekáváme pozadí *b* : součet 2 poissonovských veličin je opět poissonovský\n",
    "\n",
    "$$P(n|s,b)= \\sum_{n_s=0}^n {n \\choose {n_s}} P(n_s|s) P(n-n_s|b) = P_s(n_s)=\\frac{(s + b)^{n} e^{-s-b}}{n !}$$\n",
    "\n",
    "s Bayesovskou konstatní priorní hustotou (v oblasti kladných hodnot)\n",
    "$$1-\\alpha=\\frac{\\int_{-\\infty}^{\\theta_{up}} (s + b)^{n} e^{-s-b} d b} {\\int_{-\\infty}^{\\infty} (s + b)^{n} e^{-s-b} d b} =e^{-s} \\frac{\\sum_{m=0}^n {\\frac{(s_{up}+b)^m}{m !}}}{\\sum_{m=0}^n {\\frac{b^m}{m !}}}$$\n",
    "        "
   ]
  }
 ],
 "metadata": {
  "kernelspec": {
   "display_name": "Python 3",
   "language": "python",
   "name": "python3"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": {
    "name": "ipython",
    "version": 3
   },
   "file_extension": ".py",
   "mimetype": "text/x-python",
   "name": "python",
   "nbconvert_exporter": "python",
   "pygments_lexer": "ipython3",
   "version": "3.4.1"
  },
  "widgets": {
   "state": {},
   "version": "1.1.1"
  }
 },
 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 0
}