Studium rozpadu plazmatu mikrovlnnou metodou Úvod Plazma je stav hmoty, kdy se v látce vyskytují kromě neutrálních částic též částice nabité: elektrony a ionty. Důležitou charakteristikou plazmatu je pak jejich koncentrace. Pro udržení plazmatu je nutné dodávat energii. Přerušíme-li přívod energie, plazma se začne rozpadat. To se projeví postupným klesáním koncentrace nabitých částic. Tento pokles je způsoben dvěma principiálními procesy: • difúze a následná rekombinace na stěnách • objemová rekombinace difúze Vyjděme z rovnice kontinuity pro koncentraci elektronů dn , — + div$ = 0 ot přičemž platí div$ = -div grad(L>n) = -V2(Dn) (2) kde D je koeficient difúze. Potom ^-V\Dn) = 0 (3) Za předpokladu, že D je konstantní v celém objemu {D ^ f(x, y, z)), hledáme řešení pomocí vlastních funkcí rij operátoru DV2n. Koncentrace je pak rovna n(ř,t)=Y,aJ(t)nJ(r) (4) j Vlastní funkce musí splňovat rovnici V2% + J- = 0 (5) Dtj Dosazením do původní rovnice pak získáme řešení ve tvaru superpozice tzv. difúzních vidů, každému z nichž odpovídá určitá relaxační doba t n(r. j J Omezíme-li se na základní difúzni vid, tj. na ten, který dohasína nejpomaleji, máme n(r, t) = n0(r) exp (^^^ (7) kde A2 = tqD je difúzni délka. Je-li dále výbojka válcového tvaru, s délkou mnohokrát větší než poloměrem, problém je možno zredukovat na jednodimenzionální případ n(x,t) = n0(x)exp (-^t\ (8) V tom případě je radiální profil koncentrace no(x) = konst • Jq ^ —^ (9) a difúzni délka je přímo úměrná poloměru výbojky A«^_ (10) 2.405 v ' kde numerický faktor 2.405 je 1. kořen Besselovy funkce 1. druhu Jo. Objemová rekombinace Počet rekombinujících částic za jednotku času v jednotkovém objemu je úměrný součinu koncentrací kladných iontů a elektronů nr = a ■ rii ■ n (11) Konstanta úměrnosti a se nazývá koeficient rekombinace. V neutrálním plazmatu (rij = n) je potom časová změna koncentrace dn -an2 (12) Určení převládajícího procesu Obecně platí, že rekombinační ztráty se projevují více při vysokém tlaku, difúzni ztráty zas při tlaku nízkém. Rozhodnout, který proces ve skutečnosti převládá, můžeme ze závislosti koncentrace elektronů na čase n = f (t). • difúzni ztráty jsou charakterizovány časovou závislostí n(t) = n0 exp (^^^ (13) tedy závislost ln n = f (t) je přímková; ze směrnice pak lze určit koeficient difúze D. • Časová závislost koncentrace nabitých částic v případě rekombinace se řídí vztahem 1 — + at (14) n(t) n0 tedy závislost ^ = /(i) je přímková; ze směrnice určíme koeficient rekombinace a. Tímto postupem tedy můžeme určit hodnotu koeficientu difúze nebo rekombinace, ale pouze za předpokladu zanedbání druhého z efektů, což může vést k nepřesným výsledkům. Jestliže připustíme, že oba procesy probíhají současně a nezanedbáme ani jeden z nich, získáme diferenciální rovnici popisující časovou závislost koncentrace elektronů, která zahrnuje oba procesy: ^- = -^n(t)-an2(t) (15) Vyřešením této diferenciální rovnice dostáváme: n(í) = c-exp(t/J/A2)-aA2//J (16) Fitováním naměřených dat touto zpřesněnou rovnicí dostaneme hodnoty D, a i konstantu c a zadáním podmínky n(0) = uq pak můžeme spočítat také uq. Rezonátorová metoda stanovení koncentrace elektronů Tato metoda byla poprvé popsána Slaterem r.1946 a spočívá v měření komplexní vysokofrekvenční vodivosti plazmatu. Zaplnění rezonátoru plazmatem způsobí změnu rezonanční frekvence lo a zároveň změnu kvality rezonátoru Q. Výpočet těchto změn v závislosti na zaplnění rezonátoru plazmatem byl proveden poruchovou metodou, která nám dá tento výsledek: 1\ 0_.Aw _ 1 Jv,aE2dV aUJ-2!- = ^těw <17) kde V je celkový objem rezonátoru, V' objem rezonátoru zaplněný plazmatem, a vodivost plazmatu a E amplituda vf elektrického pole. Elektrická vodivost je obecně komplexní veličina ne2 Iv lo m \lo2+u2 lo2 + v2 (18) (20) K určení koncentrace elektronů n použijeme změnu rezonanční frekvence Aw. Za předpokladu, že srážková frekvence je nižší než kruhová frekvence budícího pole, je imaginární část vodivosti 9 9 ne2 1 v < lo uz < co (Ji =--- (19) m lo Změna rezonanční frekvence (s plazmatem a bez plazmatu) je pak 2Alo _ e2 Jv,n{r)E2{r)dV lo eQinLo2 jyE2{r)áV Válcový rezonátor pracuje obvykle s videm TMoio: Er = 0 = 0 Ez(r) = E0-J0{2A05r/R) kde Eq je amplituda vf elektrického pole v ose rezonátoru o poloměru R a faktor 2.405 je 1. kořen Besselovy funkce 1. druhu Jo- Protože výbojka je pouze v oblasti blízko středu rezonátoru, můžeme E(r, tp, z) nahradit konstantní hodnotou E = 0.8 • Eq, kde 0.8 je vhodně zvolený numerický faktor. Vytkneme-li nyní Eq v čitateli před integrál, dostáváme 2Au = e2 (0.8)2E2 fv, n{r, z, p)dV lo £omLo2E2fvJ2(2A05r/R)dV 1 ' Integrál v čitateli lze vyjádřit jako n(r, z, (p)dV = ňV (22) V kde ň je střední hodnota koncentrace elektronů v prostoru výbojky V'. Proveďme nyní integraci jmenovatele 2tt f R J J02 (2.405-^) dV = j j j J02 (2A05^jrdrdzdtp = 2ivh ■ I(R) (23) V 0 _ä 0 2 kde h je délka výbojky a R I(R)= j Jo(2.405-^)]2rdr = ^{[J0(2.405)]2 + [Ji(2.405)]2} = ^-0.271 (24) o o Potom pro změnu rezonanční frekvence platí 2Aíd(r) 0.64 e2 V'ň(t) 0.271 oj 0.271 £0muj2 V (25) Z tohoto vztahu pak můžeme určit střední koncentraci elektronů n ve výbojové trubici o průměru R' v závislosti na čase t _. . 0.271 V 2Au(t) e0muj2 0.271 R2 A ,, . 8Tv2e0mf n(*) = "77777-777-~--— = -77777- T772 A/W-7^- 0.64 V uj Experimentální uspořádání 0.64 R (26) Obrázek 1: Schéma aparatury použité v tomto praktiku. Vysokofrekvenční energie ze zdroje K s laditelnou frekvencí postupuje přes útlumový člen a přesný vlnoměr V do rezonátoru o poloměru R =40 mm, jehož osou prochází výbojka o poloměru R'=9 mm. Prošlý signál je usměrněn diodou a veden na vstup osciloskopu. Vysoké napětí ze zdroje VN je klíčováno elektronickým pentodovým spínačem M a přes katodový odpor R vedeno na výbojku. Pentoda je řízena generátorem pravoúhlých pulsů GM, odkud je též veden synchronizační signál do osciloskopu. Proud výbojkou je měřen ampérmetrem. Napětí na výbojce je možno sledovat druhým kanálem osciloskopu. Výbojka je čerpána rotační a difúzni vývevou, tlak je měřen Piraniho vakuometrem. Tlak pracovní náplně výbojky (helium) je možné měnit pomocí dávkovače, vytvořeného ze dvou ventilů s malým rezervoárem mezi nimi. Měření Nechť prázdný rezonátor má rezonanční frekvenci f o. Po zapálení výboje se tato zvýší na hodnotu fi- Vypneme-li výboj, plazma se začne rozpadat a rezonanční frekvence postupně klesá až na /g. Tento cyklus se neustále opakuje, proto ho můžeme zachytit osciloskopem. Ten je synchronizován tak, abychom mohli pozorovat dohasínaní plazmatu. Rezonanční frekvence klesá s časem od vypnutí výboje. Pro pevně nastavenou frekvenci /' vf zdroje pak v určitém čase ť dojde k rezonanci, která se projeví zvýšeným přenosem vf energie rezonátorem a tedy vzrůstem procházejícího signálu, což můžeme detekovat na osciloskopu. Frekvenci /' měníme v intervalu (/o;/i). Z oscilogramu určíme ť a z rozdílu A f = f' — fo vypočteme koncentraci elektronů ne(t). Vyneseme tyto závislosti: • 1/n = /(*) • ln n = f (t) a určíme veličiny a, D a rozhodneme, který z procesů (rekombinace/difúze) převládá. Určení koeficientů rekombinace a difúze a hodnoty uq provedeme také pomocí fitování naměřených dat rovnicí (16) a výsledky porovnáme. Měření provedeme pro tři různé hodnoty tlaku (200 Pa, 1000 Pa a 5000 Pa). Obrázek 2: Závislost výbojového proudu, rezonanční frekvence a signálu prošlého rezonátorem na čase.