Príklady na precvičovanie – diferenciály a Taylorova
veta pre funkcie viac premenných
Riešené príklady – I. diferenciál funkcie viac premenných
Príklad 1 (dotyková rovina, normála)
Určte rovnicu dotykovej roviny a normály ku grafu funkcie
f(x, y) = x3
+ 3xy2
− xy + x
v bode [1, 0, ?].
Riešenie:
Potrebujeme zistiť prvý diferenciál funkcie f a jej hodnotu v bode A =
[a1, a2] = [1, 0], nakoľko rovnica dotykovej roviny má tvar (X = [x, y] je
všeobecný bod):
z − f(A) = df(A, X).
Platí f(A) = 2 a:
df(A, X) = f′
x(A) · (x − a1) + f′
y(A) · (y − a2).
Postupne dostávame:
f′
x(A) = (3x2
+ 3y2
− y + 1)A = 4, f′
y(A) = (6xy − x)A = −1,
df(A, X) = 4(x − 1) − (y − 0) = 4x − y − 4.
Pre rovnicu hľadanej dotykovej roviny teda platí:
z − 2 = 4x − y − 4, =⇒ 4x − y − z − 2 = 0.
Jedným z jej normálových vektorov je napr. vektor ¯n = (4, −1, −1) (koeficienty
pri x, y, z). Preto normála ku grafu funkcie f v bode [1, 0, 2] má
rovnicu:
x = 1 + 4t, y = −t, z = 2 − t, t ∈ R.
Príklad 2 (približné výpočty)
Pomocou prvého diferenciálu vhodnej funkcie určte približne
√
1.023 + 1.973.
1
Riešenie:
Ako vhodný kandidát sa nám prirodzene ponúka funkcia f(x, y) =
√
x3 + y3.
Chceme zistiť hodnotu funkcie f v bode X = [x, y] = [1.02, 1.97]. Vieme, že
pre bod A = [a1, a2] „blízky bodu X platí:
f(X) ≈ f(A) + df(A, X).
Za bod A môžeme vziať napr. A = [a1, a2] = [1, 2], nakoľko hodnotu f(A) =√
13 + 23 = 3 vieme presne spočítať. Potrebujeme ešte určiť prvý diferenciál
funkcie f v bode A (vzhľadom na bod X). Platí:
df(A, X) = f′
x(A) · (x − a1) + f′
y(A) · (y − a2),
f′
x(A) =
(
3x2
2
√
x3 + y3
)
A
=
1
2
, f′
y(A) =
(
3y2
2
√
x3 + y3
)
A
= 2.
Potom:
df(A, X) =
1
2
(x − 1) + 2(y − 2),
a pre hodnotu f(x, y) máme odhad:
f(x, y) ≈ 3 +
1
2
(x − 1) + 2(y − 2).
Dosadením x = 1.02 a y = 1.97 dostaneme
√
1.023 + 1.973 = f(1.02, 1.97) ≈
2.95.
Príklad 3 (kmeňová funkcia)
Rozhodnite, či výraz
x
√
x2 + y2
dx +
y
√
x2 + y2
dy
je prvým diferenciálom nejakej funkcie F(x, y). Ak áno, nájdite všetky takéto
funkcie F.
Riešenie:
Chceme teda overiť, či existuje funkcia F(x, y) s vlastnosťou:
dF =
x
√
x2 + y2
dx +
y
√
x2 + y2
dy.
2
Keďže pre diferenciál dF platí:
dF =
∂F
∂x
dx +
∂F
∂y
dy,
dostávame:
x
√
x2 + y2
=
∂F
∂x
,
y
√
x2 + y2
=
∂F
∂y
.
Úloha sa nám teda pretransformovala na nájdenie kmeňovej funkcie F k
dvojici funkcií:
M(x, y) =
x
√
x2 + y2
, N(x, y) =
y
√
x2 + y2
.
Postupujeme štandardne, ako pri riešení exaktných DR:
M′
y = −
xy
√
(x2 + y2)3
, N′
x = −
yx
√
(x2 + y2)3
.
Z rovnosti M′
y = N′
x vyplýva existencia kmeňovej funkcie F k dvojici M, N.
Platí pre ňu:
F(x, y) =
∫
M(x, y) dx =
∫
x
√
x2 + y2
dx =
√
x2 + y2 + C(y).
Neznámu integračnú funkciu C(y) zistíme z rovnosti:
N(x, y) =
∂F
∂y
.
Po dosadení dostaneme (C′
(y) označuje deriváciu C(y) podľa premennej y):
y
√
x2 + y2
=
y
√
x2 + y2
+ C′
(y),
0 = C′
(y) =⇒ C(y) = K, K je konštanta.
Teda všetky funkcie F, ktoré majú výraz v zadaní za svoj prvý diferenciál,
sú tvaru:
F(x, y) =
√
x2 + y2 + K, K ∈ R.
Poznamenajme, že kmeňovú funkciu F nájdeme i tak, že vypočítame obidva
integrály
∫
M dx a
∫
N dy; dostaneme potom dve integračné funkcie C(y) a
D(x), ktoré určíme vzájomným porovnaním pravých strán (tak, ako sme to
robili na cvičeniach :)).
3
Riešené príklady – Taylorova veta pre funkcie viac premenných
Podobne ako v teórii funkcií jednej reálnej premennej, tak aj pri funkciách
viac premenných platí analógia Taylorovej vety. Ak f je funkcia m premenných
a bod A ∈ D(f) je taký, že na istom okolí O(A) bodu A je funkcia f
(n + 1)-krát diferencovateľná, potom pre každý bod X ∈ O(A) sa hodnota
f(X) dá vyjadriť v tvare:
f(X) = Tn(A, X) + Rn(X),
kde Tn je n-tý Taylorov polynóm funkcie f so stredom v bode A. Má tvar:
Tn(A, X) = f(A) +
1
1!
df(A, X) +
1
2!
d2
f(A, X) + · · · +
1
n!
dn
f(A, X),
kde dk
f(A, X) je k-tý diferenciál funkcie f v bode A, k = 1, . . . , n. Funkcia
Rn(X) sa nazýva zvyšok Taylorovho polynómu a zvyčajne sa zapisuje v tvare:
Rn(X) =
1
(n + 1)!
dn+1
f(A + θ(X − A), X + θ(X − A)), θ ∈ (0, 1).
Funkcia Rn(X) (až na faktor 1/(n+1)!) je teda (n+1)-tý diferenciál funkcie
f v bode A + θ(X − A), teda v nejakom (bližšie neurčenom) bode vo vnútri
úsečky spájajúcej body A, X. Význam zvyšku Rn(X) je v tom, že číslo
|Rn(X)| udáva chybu, ktorej sa dopúšťame, keď hodnotu funkcie f v bode
X aproximujeme hodnotou Taylorovho polynómu Tn(A, X) v bode X.
Diferenciál k-tého rádu funkcie f sa definuje nasledovným formálnym
zápisom (X = [x1, x2, . . . , xm], A = [a1, a2, . . . , am]):
dk
f(A, X) =
( m∑
i=1
(xi − ai)
∂
∂xi
)k
f(A).
Tomuto zápisu je treba rozumieť nasledovne. Uvedený súčet formálne umocníme,
pričom namiesto mocnín symbolu ∂/∂xi uvažujeme parciálnu deriváciu
f príslušného rádu v bode A a mocniny výrazov xi − ai sú klasické mocniny;
ilustrujeme to na príklade. Ak máme funkciu dvoch premenných f(x, y) a
X = [x, y], A = [a1, a2], potom napríklad:
d2
f(A, X) =
(
(x − a1)
∂
∂x
+ (y − a2)
∂
∂y
)2
f(A) =
4
=
∂2
f(A)
∂x2
(x − a1)2
+ 2 ·
∂2
f(A)
∂x∂y
(x − a1)(y − a2) +
∂2
f(A)
∂y2
(y − a2)2
.
Chceme určiť tretí diferenciál. Vieme, že platí vzorček:
(a + b)3
= a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
.
Preto:
d2
f(A, X) =
(
(x − a1)
∂
∂x
+ (y − a2)
∂
∂y
)3
f(A) =
=
∂3
f(A)
∂x3
(x − a1)3
+ 3 ·
∂2
f(A)
∂x2∂y
(x − a1)2
(y − a2)+
+3 ·
∂2
f(A)
∂x∂y2
(x − a1)(y − a2)2
+
∂3
f(A)
∂y3
(y − a2)3
.
Ďalej chceme určit druhý diferenciál z funkcie troch premenných f(x, y, z).
Platí:
(a + b + c)2
= a2
+ b2
+ c2
+ 2ab + 2ac + 2bc.
Takže:
d3
f(A, X) =
(
(x − a1)
∂
∂x
+ (y − a2)
∂
∂y
+ (z − a3)
∂
∂z
)2
f(A) =
=
∂2
f(A)
∂x2
(x − a1)2
+
∂2
f(A)
∂y2
(x − a2)2
+
∂2
f(A)
∂z2
(z − a3)2
+
+2·
∂2
f(A)
∂x∂y
(x−a1)(y−a2)+2·
∂2
f(A)
∂x∂z
(x−a1)(z−a3)+2·
∂2
f(A)
∂y∂z
(y−a2)(z−a3).
V prípade, ak chceme určiť diferenciál funkcie na nejakej množine, t.j. bod A
uvažujeme ľubovoľne, prírastky xi − ai označujeme dxi (diferenciály nezávislých
premenných xi). Potom diferenciál z funkcie f bude funkciou 2m premenných
– jednak premenných xi, a jednak premenných dxi, i = 1, 2, . . . , m.
Napríklad ak máme funkciu dvoch premenných f(x, y), potom:
df(x, y, dx, dy) =
∂f
∂x
dx +
∂f
∂y
dy,
d2
f(x, y, dx, dy) =
∂2
f
∂x2
(dx)2
+ 2 ·
∂2
f
∂x∂y
dydx +
∂2
f
∂y2
(dy)2
.
5
Príklad 4
Určte d3
f(A, X), ak A = [1, 2] a
f(x, y) = x4
y2
+ 3xy3
+ 2x3
+ 3y2
.
Riešenie:
Keďže sa jedná o tretí diferenciál, potrebujeme vypočítať všetky tretie parciálne
derivácie funkcie f v bode A. Platí (medzivýpočty vynechávame):
f′′′
xxx(A) = (24xy2
+ 12)A = 108,
f′′′
xxy(A) = (24x2
y)A = 48,
f′′′
xyy(A) = (8x3
+ 18y)A = 44,
f′′′
yyy(A) = (18x)A = 18.
Potom:
d3
f(A, X) = f′′′
xxx(A)(x − 1)3
+ 3f′′′
xxy(A)(x − 1)2
(y − 2)+
+3f′′′
xyy(A)(x − 1)(y − 2)2
+ f′′′
yyy(A)(y − 2)3
.
Po dosadení:
d3
f(A, X) = 108(x−1)3
+144(x−1)2
(y−2)+132(x−1)(y−2)2
+18(y−2)3
.
Príklad 5
Určte d2
f vo všeobecnom bode, pričom:
f(x, y) = y sin x + x cos y.
Riešenie:
Potrebujeme zistiť druhé parciálne derivácie funkcie f:
f′′
xx = −y sin x, f′′
xy = cos x − sin y, f′′
yy = −x cos y.
6
Teda:
d2
f = f′′
xx(dx)2
+ 2f′′
xydxdy + f′′
yy(dy)2
.
Po dosadení máme:
d2
f = −(y sin x) · (dx)2
+ 2(cos x − sin y) · dxdy − (x cos y) · (dy)2
.
Príklad 6
Nájdite T3(x, y) so stredom v bode A = [1, 1] pre funkciu f(x, y) = xy
. Pomocou
tohto výsledku potom určte približne 1.11.02
.
Riešenie:
Vieme, že T3(x, y) má tvar:
T3(x, y) = f(A) + df(A) +
1
2
d2
f(A) +
1
6
d3
f(A).
Platí f(A) = 1. Ďalej potrebujeme určiť prvý, druhý a tretí diferenciál funkcie
f v bode A = [1, 1]. Postupne vypočítame parciálne derivácie potrebných
rádov:
f′
x = (yxy−1
)A = 1, f′
y = (xy
ln x)A = 0,
f′′
xx = (y(y − 1)xy−2
)A = 0, f′′
xy = (xy−1
+ yxy−1
ln x)A = 1,
f′′
yy = (xy
ln2
x)A = 0,
f′′′
xxx = (y(y − 1)(y − 2)xy−3
)A = 0,
f′′
xxy = ((2y − 1)xy−2
+ y(y − 1)xy−2
ln x)A = 1,
f′′′
xyy = (yxy−1
ln2
x + 2xy−1
ln x)A = 0, f′′′
yyy = (xy
ln3
x)A = 0.
Jednotlivé diferenciály budú:
df(A) = x − 1,
d2
f(A) = 2(x − 1)(y − 1),
d3
f(A) = 3(x − 1)2
(y − 1).
Taylorov polynóm T3(x, y) má potom tvar:
T3(x, y) = 1 + (x − 1) + (x − 1)(y − 1) +
(x − 1)2
(y − 1)
2
.
7
Zároveň tento polynóm aproximuje výraz xy
pre (x, y) z malého okolia bodu
[1, 1]:
xy
≈ x + (x − 1)(y − 1) +
(x − 1)2
(y − 1)
2
, (x, y) ∈ O([1, 1]).
Máme približne zistiť hodnotu 1.11.02
. Po dosadení x = 1.1 a y = 1.2 dosta-
neme:
1.11.2
≈ 1.1 + 0.1 · 0.02 +
0.12
· 0.02
2
= 1.1 + 0.002 + 0.0001 = 1.1021.
8