Príklady na precvičovanie – lineárne DR I. rádu,
Bernoulliho DR, zámena premenných
Riešené príklady
Príklad 1
y′
cos x = y sin x.
Riešenie:
Ide o lineárnu diferenciálnu rovnicu I. rádu, homogénnu, a teda separovateľnú.
Vykonáme separáciu premenných, predpokladáme y ̸= 0:
dy
dx
= y
sin x
cos x
,
dy
y
=
sin x
cos x
dx,
∫
dy
y
=
∫
sin x
cos x
dx.
Vykonáme integráciu: ∫
dy
y
= ln |y|,
∫
sin x
cos x
dx = −
∫
(cos x)′
cos x
dx, = − ln | cos x|.
Po dosadení dostaneme:
ln |y| = − ln | cos x| + C∗, C∗ ∈ R,
ln |y| = ln | cos x|−1
+ C∗,
y =
±eC∗
cos x
.
Položiac C := ±eC∗
obdržíme riešenie v tvare:
y =
C
cos x
, C ∈ R − {0}.
Nakoniec funkcia y = 0 je tiež riešením rovnice v zadaní, takže všeobecné
riešenie môžeme zapísať v tvare:
y =
C
cos x
, C ∈ R.
1
Príklad 2
y′
+ y cotg x = sin x, y(π/2) = 1.
Riešenie:
Ide o lineárnu diferenciálnu rovnicu I. rádu, nehomogénnu (s pravou stranou).
Budeme ju riešiť metódou variácie konštánt. Nájdeme najprv všeobecné riešenie
príslušnej homogénnej LDR, teda rovnice:
y′
+ y cotg x = 0.
Je to jednoduchá separovateľná rovnica. Jej všeobecné riešenie má tvar:
yH = C · e−
∫
cotg x dx
= Ce−
∫ cos x
sin x
dx
= Ce− ln | sin x|
= Celn 1
| sin x| =
=
C
sin x
, C ∈ R.
Všeobecné riešenie pôvodnej rovnice s pravou stranou budeme predpokladať
v takomto tvare, avšak C bude znamenať nejakú funkciu premennej x:
y =
C(x)
sin x
.
Dosadením do pôvodnej rovnice zistíme správnu funkciu C(x):
(
C(x)
sin x
)′
+
C(x)
sin x
· cotg x = sin x,
C′
(x)
sin x
−
C(x) cos x
sin2
x
+
C(x) cos x
sin2
x
= sin x,
C′
(x)
sin x
= sin x,
C′
(x) = sin2
x,
C(x) =
∫
sin2
xdx =
∫
1 − cos 2x
2
dx =
x
2
−
sin 2x
4
+ K.
Po dosadení máme všeobecné riešenie:
y =
C(x)
sin x
=
K
sin x
+
x
2 sin x
−
sin 2x
4 sin x
=
K
sin x
+
x
2 sin x
−
cos x
2
, K ∈ R.
2
Chceme nájsť partikulárne riešenie y(π/2) = 1. Dosadením x = π/2 a y = 1
určíme voľnú integračnú konštantu K:
1 =
K
sin(π/2)
+
π/2
2 sin(π/2)
−
cos(π/2)
2
,
1 = K +
π
4
,
K =
4 − π
4
.
Preto hľadaná funkcia, ktorá rieši našu začiatočnú Cauchyho úlohu v zadaní,
má tvar:
y =
4 − π
4 sin x
+
x
2 sin x
−
cos x
2
.
Príklad 3
y′
−
4
3
y =
x + 1
3y2
.
Riešenie:
Ide o Bernoulliho rovnicu, α = −2. Vydelíme celú rovnicu výrazom y−2
:
y2
y′
−
4
3
y3
=
x + 1
3
.
Použijeme substitúciu z = y3
, pričom máme:
z′
= 3y2
y′
=⇒ z′
/3 = y2
y′
.
Po dosadení dostaneme:
z′
3
−
4
3
z =
x + 1
3
,
z′
− 4z = x + 1.
Rovnicu sme previedli na LDR I. rádu s pravou stranou. Riešime ju metódou
variácie konštánt, teda jej všeobecné riešenie budeme predpokladať v tvare:
z = C(x)e
∫
4dx
= C(x)e4x
.
Dosadením zistíme neznámu funkciu C(x):
(
C(x)e4x
)′
− 4C(x)e4x
= x + 1,
3
C′
(x)e4x
+ 4C(x)e4x
− 4C(x)e4x
= x + 1,
C′
(x)e4x
= x + 1,
C′
(x) = (x + 1)e−4x
,
C(x) =
∫
(x + 1)e−4x
dx = −
(x + 1)
4
e−4x
−
1
16
e−4x
+ K.
Všeobecné riešenie lineárnej rovnice má preto tvar:
z = C(x)e4x
= Ke4x
−
x + 1
4
−
1
16
= Ke4x
−
4x + 5
16
.
Teda všeobecné riešenie pôvodnej Bernoulliho rovnice je:
y3
= Ke4x
−
4x + 5
16
, K ∈ R.
Príklad 4
y′
=
4y
x
+ x
√
y.
Riešenie:
Je to Bernoulliho rovnicu s α = 1/2. Postupujeme štandardnym spôsobom.
Vydelíme celú rovnicu výrazom
√
y
y′
√
y
=
4
√
y
x
+ x
a následne použijeme substitúciu z =
√
y. Samozrejme, predpokladáme, že
y ̸= 0. Dostaneme:
z′
=
y′
2
√
y
=⇒ 2z′
=
y′
√
y
.
Po dosadení máme:
2z′
=
4z
x
+ x,
z′
−
2z
x
=
x
2
.
Získali sme na LDR I. rádu s pravou stranou, ktorú vyriešime metódou variácie
konštánt. Jej všeobecné riešenie budeme predpokladať v tvare:
z = C(x)e
∫ 2
x
dx
= C(x)e2 ln |x|
= C(x)eln x2
= C(x)x2
.
4
Dosadením zistíme neznámu funkciu C(x):
(
C(x)x2
)′
− 2C(x)x =
x
2
,
C′
(x)x2
+ 2C(x)x − 2C(x)x =
x
2
,
C′
(x)x2
=
x
2
,
C′
(x) =
1
2x
,
C(x) =
∫
1
2x
dx =
1
2
ln |x| + K = ln
√
|x| + K.
Všeobecné riešenie lineárnej rovnice má preto tvar:
z = C(x)x2
= (ln
√
|x| + K)x2
,
z čoho pre riešenie pôvodnej Bernoulliho rovnice máme:
√
y = (ln
√
|x| + K)x2
,
y = (ln
√
|x| + K)2
x4
.
Ošetríme ešte prípad y = 0. Ľahko overíme, že táto funkcia tiež rieši rovnicu
v zadaní. Preto množina všetkých riešení má tvar:
y = 0, y = (ln
√
|x| + K)2
x4
, K ∈ R.
Nasledujúci príklad je riešený metódou zámeny premenných. Vzájomná
zámena premenných je trik, pri ktorom premennú x považujeme za závislú
(t.j. za funkciu premennej y, x = x(y)) a premennú y za nezávislú premennú.
To samozrejme vyžaduje, aby k funkcii y = y(x) existovala inverzná funkcia,
t.j. aby y(x) bola prostá. Potom y′
(x) ̸= 0 a integrálnu krivku hľadáme v
tvare x = x(y). Využívame pri tom fakt:
dx
dy
=
1
dy
dx
=
1
y′
.
Prakticky sa to robí väčšinou tak, že vyjadríme y′
, prepíšeme ju pomocou
diferenciálov a následne celú rovnicu prevrátime hore nohami.
5
Príklad 5
(x + y2
)y′
− y = 0.
Riešenie:
Vidíme, že rovnica nie je ani separovateľná, ani homogénna, ani LDR I. rádu
a dokonca ani Bernoulliho :-/. No a práve teraz nás zachráni metóda zámeny
premenných :-). Najprv si všimnime, že funkcia y = 0 je riešením rovnice.
Predpokladajme teraz, že y ̸= 0. Potom výraz x + y2
je nutne nenulový
(prečo?) a môžeme vyjadriť deriváciu y′
:
y′
=
y
x + y2
.
Z poslednej rovnosti a z relácie y ̸= 0 vyplýva, že i y′
̸= 0, a preto môžeme
smelo použiť zámenu premenných. Platí:
dy
dx
=
y
x + y2
, /otočíme hore nohami
dx
dy
=
x + y2
y
,
x′
=
x
y
+ y.
To je však LDR I. rádu vzhľadom na neznámu funkciu x = x(y), ktorú
už vieme riešiť. Nasadíme štandardný aparát. Všeobecnej riešenie príslušnej
homogénnej LDR je:
xH(y) = Ce
∫ 1
y
dy
= Celn |y|
= Cy.
Podľa metódy variácie konštánt budeme preto všeobecnej riešenie nehomogénnej
rovnice predpokladať v tvare:
x = C(y)y.
Neznámu funkciu C(y) zistíme dosadením do rovnice (symbol ′
značí derivovanie
podľa y):
(C(y)y)′
= C(y) + y,
C′
(y)y + C(y) = C(y) + y,
6
C′
(y)y = y,
C′
(y) = 1,
C(y) = y + K, K ∈ R.
Preto x(y) = y2
+ Ky a množina všetkých riešení rovnice v zadaní má tvar:
y = 0, x = y2
+ Ky, K ∈ R.
Neriešené príklady
1. y′
− y tg x = y4
cos x.
2. y′
− 9x2
y + 3(x5
− x2
) 3
√
y2 = 0.
3. y′
− xy
2(x2−1)
= x
2y
, y(0) = 1.
4. y′
√
y
+ 4
√
y x = 2xe−x2
.
5. xy′
− 2y = x3
cos x.
6. (1 + x2
)y′
− 2xy = (1 + x2
)2
.
7. xy′
+ 2y = 2x cos 2x + 2 sin 2x, y(π) = 1.
8. (x − 2xy − y2
)y′
+ y2
= 0.
9. (2x + y − 4 ln y)y′
− y = 0.
10. (2x2
y ln y − x)y′
− y = 0.
Návod:
V 8., 9. a 10. použitím vzájomnej zámeny premenných preveďte rovnice na
LDR I. rádu, resp. na Bernoulliho DR. Oprávnenosť použitia tohto triku si
riadne zdôvodnite. Nezabudnite na ”patologické” riešenia (ak také existujú).
7