Príklady na precvičovanie – exaktné DR, integračný
faktor
Riešené príklady
Príklad 1
(y cos x − x sin y)dx +
(
sin x −
x2
2
cos y + tg y
)
dy = 0.
Riešenie:
Overíme exaktnosť rovnice. Príslušné funkcie M(x, y), N(x, y) sú:
M(x, y) = y cos x − x sin y,
N(x, y) = sin x −
x2
2
cos y + tg y.
Vypočítame prvé parciálne derivácie:
∂M
∂y
= cos x − x cos y,
∂N
∂x
= cos x − x cos y.
Príslušné parciálne derivácie sa identicky rovnajú, teda rovnica je exaktná.
Určíme kmeňovú funkciu F(x, y):
F(x, y) =
∫
M(x, y) dx =
∫
(y cos x − x sin y) dx = y sin x −
x2
2
sin y + C(y),
F(x, y) =
∫
N(x, y) dy =
∫ (
sin x −
x2
2
cos y + tg y
)
dy =
= y sin x −
x2
2
sin y − ln | cos y| + D(x).
Porovnaním oboch vyjadrení pre funkciu F(x, y) dostaneme pre neznáme
funkcie C(y), D(x):
C(y) = − ln | cos y|, D(x) = 0.
1
Platí teda:
F(x, y) = y sin x −
x2
2
sin y − ln | cos y|,
a všeobecné riešenie rovnice je:
y sin x −
x2
2
sin y − ln | cos y| = C, C ∈ R.
Príklad 2
4x3
ey
dx + (x4
ey
+ 2y)dy = 0.
Riešenie:
Overíme exaktnosť rovnice. Príslušné funkcie M(x, y), N(x, y) sú:
M(x, y) = 4x3
ey
,
N(x, y) = x4
ey
+ 2y.
Vypočítame prvé parciálne derivácie:
∂M
∂y
= 4x3
ey
,
∂N
∂x
= 4x3
ey
.
Príslušné parciálne derivácie sa identicky rovnajú, preto je rovnica exaktná.
Pre príslušnú kmeňovú funkciu F(x, y) platí:
F(x, y) =
∫
N(x, y) dy =
∫
(x4
ey
+ 2y) dy = x4
ey
+ y2
+ D(x),
kde D(x) je neznáma integračná funkcia iba premennej x. Určíme ju z vlast-
nosti:
∂F(x, y)
∂x
= M(x, y).
Platí:
∂F(x, y)
∂x
=
∂
∂x
(x4
ey
+ y2
+ D(x)) = 4x3
ey
+ D′
(x),
M(x, y) = 4x3
ey
.
2
(∂D(x)/∂x = D′
(x), nakoľko D(x) je funkcia iba jednej premennej x). Po
dosadení dostaneme:
4x3
ey
+ D′
(x) = 4x3
ey
,
D′
(x) = 0,
z čoho napr. máme D(x) = 0. Preto pre kmeňovú funkciu F(x, y) platí:
F(x, y) = x4
ey
+ y2
,
a všeobecné riešenie rovnice v zadaní má tvar:
x4
ey
+ y2
= C, C ∈ R.
Príklad 3
(2y + 4x2
y2
) dx + (x + 2yx3
) dy = 0, y(1) = 1.
Riešenie:
Vyšetríme exaktnosť rovnice. Funkcie M(x, y), N(x, y) sú:
M(x, y) = 2y + 4x2
y2
,
N(x, y) = x + 2yx3
.
Parciálne derivácie sú:
∂M
∂y
= 2 + 8x2
y,
∂N
∂x
= 1 + 6yx2
.
Vidíme, že rovnica nie je exaktná, nakoľko sa uvedené parciálne derivácie
nerovnajú. Pokúsime sa nájsť vhodný integračný faktor R ako funkciu jednej
premennej, R = R(x) alebo R = R(y). Za týmto účelom preskúmajme výraz:
M′
y − N′
x
N
.
Platí:
M′
y − N′
x
N
=
2 + 8x2
y − 1 − 6yx2
x + 2yx3
=
1 + 2yx2
x(1 + 2yx2)
=
1
x
.
3
Vidíme, že ide o výraz obsahujúci iba premennú x, preto integračný faktor
môžeme vybrať v tvare:
R(x) = e
∫ 1
x
dx
= eln x
= x.
Vynásobením pôvodnej rovnice týmto integračným faktorom dostaneme už
exaktnú rovnicu (ako sa možno ľahko presvedčiť):
(2yx + 4x3
y2
) dx + (x2
+ 2yx4
) dy = 0.
Príslušná kmeňová funkcie je:
F(x, y) =
∫
(2yx + 4x3
y2
) dx = yx2
+ x4
y2
+ C(y),
F(x, y) =
∫
(x2
+ 2yx4
) dy = yx2
+ y2
x4
+ D(x).
Pre funkcie C(y), D(x) teda platí: C(y) = 0 = D(x). Kmeňová funkcia má
teda tvar:
F(x, y) = yx2
+ x4
y2
.
Všeobecné riešenie je:
yx2
+ x4
y2
= C, C ∈ R.
Chceme nájsť partikulárne riešenie so začiatočnou podmienkou y(1) = 1.
Dosadením x = 1 a y = 1 pre konštantu C dostaneme:
1 + 1 = C =⇒ C = 2.
Hľadaná integrálna krivka je:
yx2
+ x4
y2
= 2.
Príklad 4 (pomocou integračného faktora)
y′
+ y cos x = sin 2x.
4
Riešenie
Rovnicu už máme prepísanú vo vhodnom tvare (na pravej strane nie je y),
funkcia f(x) = − cos x. Integračný faktor má preto tvar:
e+
∫
cos x dx
= esin x
.
Po vynásobení rovnice týmto faktorom dostaneme:
y′
esin x
+ esin x
y cos x = esin x
sin 2x,
(
y esin x
)′
= esin x
sin 2x,
y esin x
=
∫
esin x
sin 2x dx.
Neurčitý integrál vypočítame pomocou vhodnej substitúcie v kombinácii s
integráciou po častiach:
∫
esin x
sin 2x dx =
∫
esin x
2 sin x cos x dx = 2
∫
esin x
sin x · cos x dx =
=
t = sin x
dt = cos x dx
= 2
∫
tet
dt =
u = t, v′
= et
u′
= 1, v = et =
= 2tet
− 2
∫
et
dt = 2(t − 1)et
+ C = 2(sin x − 1)esin x
+ C.
Platí teda:
y esin x
= 2(sin x − 1)esin x
+ C,
y = 2(sin x − 1) + Ce− sin x
, C ∈ R.
Získali sme všeobecné riešenie danej rovnice.
Metóda integračného faktora pre riešenie LDR I. rádu je pomerne rýchla,
v porovnaní s metódou variácie konštánt. Je dobré obratne ovládať obidve
metódy.
Neriešené príklady
1. x√
x2−y2
dx −
(
y√
x2−y2
+ 1
)
dy = 0.
2.
(
3x2
y2
+ y
x
)
dx − (2x3
y + ln x) dy = 0.
5
3. y dx =
(
y√
1+y2
− x
)
dy, y(
√
2) = 1.
4. 2xy dx + (y2
− 3x2
) dy = 0.
5. (3x2
y + y3
) dx − (2x3
+ 5y) dy = 0.
6. y′
+ 2xy = xe−x2
sin x (pomocou integračného faktora).
Zaujímavé, ťažšie príklady
1. (x2
y3
+ y) dx + (x3
y2
− x) dy = 0.
2. (3x3
− 3x2
y + 1) dx − dy = 0.
3. x dx + (x2
+ y2
+ y) dy = 0.
Návod:
1. Overte, že výraz:
N′
x − M′
y
xM − yN
je funkciou iba premennej xy. Potom použite integračný faktor tvaru:
R = R(xy) = e
∫ N′
x−M′
y
xM−yN ,
pričom naznačenú integráciu vykonajte podľa premennej xy.
2. Overte, že výraz:
M′
y − N′
x
M + N
je funkciou iba premennej x−y. Potom použite integračný faktor tvaru:
R = R(x − y) = e
∫ M′
y−N′
x
M+N ,
pričom naznačenú integráciu vykonajte podľa premennej x − y.
6
3. Overte, že výraz:
N′
x − M′
y
2yM − 2xN
je funkciou iba premennej x2
+ y2
. Potom použite integračný faktor
tvaru:
R = R(x2
+ y2
) = e
∫ N′
x−M′
y
2yM−2xN ,
pričom naznačenú integráciu vykonajte podľa premennej x2
+ y2
.
Poznámka:
M′
y =
∂M(x, y)
∂y
, N′
x =
∂N(x, y)
∂x
.
7