Príklady na precvičovanie – kmeňová funkcia viac
premenných
Pojem kmeňovej funkcie úzko súvisí s vyšetrovaním diferenciálnych foriem
tvaru
P1(x1, . . . , xn) dx1 + P2(x1, . . . , xn) dx2 + · · · + Pn(x1, . . . , xn) dxn,
kde Pi(x1, . . . , xn) pre i = 1, . . . , n sú dvakrát spojito diferencovateľné funkcie
a n ∈ N. Riešime problém, kedy takáto forma je prvým diferenciálom
nejakej funkcie F(x1, . . . , xn), t.j.
Pi(x1, . . . , xn) =
∂F(x1, . . . , xn)
∂xi
, ∀ i = 1, . . . , n.
Ak pre funkcie P1, . . . , Pn takáto funkcia F existuje, hovoríme jej kmeňová
funkcia pre n-ticu P1, . . . , Pn. Nutná a postačujúca podmienka existencie
kmeňovej funkcie pre n-ticu P1, . . . , Pn je platnosť rovností:
∂Pi
∂xj
=
∂Pj
∂xi
, ∀ i, j = 1, . . . , n, i ̸= j.
Prípad n = 2 sme prebrali pri riešení exaktných DR. Tam sme hľadali kmeňovú
funkciu pre dvojicu M(x, y) a N(x, y). Podmienka jej existencie mala
tvar:
∂M
∂y
=
∂N
∂x
.
V prípade n = 3 vyšetrujeme, kedy diferenciálny výraz
P(x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz
je prvým diferenciálom nejakej funkcie F(x, y, z). Hľadáme teda kmeňovú
funkcie k trojici P, Q, R. Nutná a postačujúca podmienka na jej existenciu
má tvar:
∂P
∂y
=
∂Q
∂x
,
∂Q
∂z
=
∂R
∂y
,
∂R
∂x
=
∂P
∂z
.
Hľadaná kmeňová funkcie F sa potom zistí integráciou funkcií P, Q a R
podľa premenných x, y a z:
F(x, y, z) =
∫
P(x, y, z) dx =
∫
Q(x, y, z) dy =
∫
R(x, y, z) dz.
1
Nakoľko integrujeme neurčito, v daných integráloch sa objavia neznáme integračné
funkcie, ktoré je potrebné určiť. V nasledujúcich príkladoch ilustrujeme
dve metódy riešenia tohto problému.
Riešené príklady
Príklad 1
Rozhodnite, či výraz
(3x2
− 3yz + 2) dx + (3y2
− 3xz + ln y + 1) dy + (3z2
− 3xy + 1) dz
je prvým diferenciálom nejakej funkcie premenných x, y, z.
Riešenie:
Máme teda rozhodnúť, či pre trojicu funkcií
P(x, y, z) = 3x2
− 3yz + 2, Q(x, y, z) = 3y2
− 3xz + ln y + 1,
R(x, y, z) = 3z2
− 3xy + 1
existuje kmeňová funkcia F(x, y, z). Overíme nutné a postačujúce podmienky:
∂P
∂y
= −3z,
∂Q
∂x
= −3z,
∂Q
∂z
= −3x,
∂R
∂y
= −3x,
∂R
∂x
= −3y,
∂P
∂z
= −3y.
Pre trojicu P, Q, R teda existuje kmeňová funkcia F, t.j. platí:
P =
∂F
∂x
, Q =
∂F
∂y
, R =
∂F
∂z
.
Pokúsime sa teraz nájsť všetky takéto funkcie F. Integráciou postupne do-
staneme:
F =
∫
P dx =
∫
(3x2
− 3yz + 2) dx = x3
− 3yzx + 2x + A(y, z),
F =
∫
Q dy =
∫
(3y2
− 3xz + ln y + 1) dy = y3
− 3xzy + y ln y + B(x, z),
2
F =
∫
R dz =
∫
(3z2
− 3xy + 1) dz = z3
− 3xyz + z + C(x, y).
V prvom integrále sme integrovali podľa premennej x, takže neznáma integračná
funkcia A(y, z) je vo všeobecnosti funkciou premenných y, z. Podobne
v druhom integrále sme integrovali podľa premennej y, preto neznáma integračná
funkcia B(x, z) je funkciou premenných x, z. Nakoniec poslednú integráciu
sme vykonali podľa premennej z, teda vznikla nám neznáma integračná
funkcia C(x, y) premenných x, y. Vzájomným porovnaním získaných výrazov
pre funkciu F zistíme neznáme funkcie A, B, C. Postupne máme:
• 1. a 2. integrál:
x3
− 3yzx + 2x + A(y, z) = y3
− 3xzy + y ln y + B(x, z),
A(y, z) − y3
− y ln y
tu sú iba premenné y,z
= B(x, z) − x3
− 2x
tu sú iba premenné x,z
.
Aby posledná rovnosť platila identicky, na ľavej strane nesmie byť premenná
y, kým na pravej strane sa zas nesmie vyskytovať premenná x.
Máme teda:
A(y, z) − y3
− y ln y = D(z) = B(x, z) − x3
− 2x
⇓
A(y, z) = y3
+ y ln y + D(z), B(x, z) = x3
+ 2x + D(z),
pre nejakú funkciu D(z) jednej premennej z.
• 2. a 3. integrál:
y3
− 3xzy + y ln y + B(x, z) = z3
− 3xyz + z + C(x, y),
B(x, z) − z3
− z
tu sú iba premenné x,z
= C(x, y) − y3
− y ln y
tu sú iba premenné x,y
.
Aby posledná rovnosť platila identicky, na ľavej strane nesmie byť premenná
z, kým na pravej strane sa zas nesmie vyskytovať premenná y.
Z toho dostávame:
B(x, z) − z3
− z = E(x) = C(x, y) − y3
− y ln y
⇓
B(x, z) = z3
+ z + E(x), C(x, y) = y3
+ y ln y + E(x),
pre nejakú funkciu E(x) jednej premennej x.
3
• 3. a 1. integrál:
z3
− 3xyz + z + C(x, y) = x3
− 3yzx + 2x + A(y, z),
C(x, y) − x3
− 2x
tu sú iba premenné x,y
= A(y, z) − z3
− z
tu sú iba premenné y,z
.
Aby posledná rovnosť platila identicky, na ľavej strane nesmie byť premenná
x, kým na pravej strane sa zas nesmie vyskytovať premenná z.
Z toho dostávame:
C(x, y) − x3
− 2x = G(y) = A(y, z) − z3
− z
⇓
C(x, y) = x3
+ 2x + G(y), A(y, z) = z3
+ z + G(y),
pre nejakú funkciu G(y) jednej premennej y.
Pre každú z neznámych funkcií A, B, C sme teda získali dve vyjadrenia, v
ktorých už však figurujú funkcie D, E, G závislé iba na jednej premennej. V
prípade funkcie A(y, z) platí:
A(y, z) = y3
+ y ln y + D(z) = z3
+ z + G(y)
⇓
D(z) − z3
− z
tu je iba premenná z
= G(y) − y3
− y ln y
tu je iba premenná y
⇓
D(z) = z3
+ z + K, G(y) = y3
+ y ln y + K,
kde K je konštanta. Podobne v prípade funkcie B(x, z) máme:
B(x, z) = x3
+ 2x + D(z) = z3
+ z + E(x)
Využitím práve získaného vyjadrenia D(z) = z3
+ z + K ihneď pre funkciu
E(x) dostávame:
E(x) = x3
+ 2x + K.
Pomocou odvodených výrazov pre funkcie D, E, G spätne dostaneme tvar
funkcií A, B, C:
A(y, z) = y3
+ y ln y + D(z) = y3
+ y ln y + z3
+ z + K,
4
B(x, z) = x3
+ 2x + D(z) = x3
+ 2x + z3
+ z + K,
C(x, y) = x3
+ 2x + G(y) = x3
+ 2x + y3
+ y ln y + K.
Nakoniec pre kmeňovú funkciu získame finálny výraz:
F(x, y, z) = x3
−3yzx+2x+A(y, z) = x3
−3yzx+2x+y3
+y ln y+z3
+z+K
⇓
F(x, y, z) = x3
+ y3
+ z3
− 3xyz + 2x + y ln y + z + K, K ∈ R.
Toto sú zároveň všetky kmeňové funkcie F, ktoré odpovedajú trojici funkcií
P, Q, R.
Príklad 2
Rozhodnite, či výraz
yz
1 + x2y2z2
dx +
xz
1 + x2y2z2
dy +
xy
1 + x2y2z2
dz
je prvým diferenciálom nejakej funkcie premenných x, y, z.
Riešenie:
Máme teda zistiť, či existuje kmeňová funkcia F k trojici funkcií P, Q, R
tvaru:
P(x, y, z) =
yz
1 + x2y2z2
, Q(x, y, z) =
xz
1 + x2y2z2
, R(x, y, z) =
xy
1 + x2y2z2
.
Overíme parciálne derivácie funkcií P, Q, R:
∂P
∂y
=
z(1 − x2
y2
z2
)
(1 + x2y2z2)2
,
∂Q
∂x
=
z(1 − x2
y2
z2
)
(1 + x2y2z2)2
,
∂Q
∂z
=
x(1 − x2
y2
z2
)
(1 + x2y2z2)2
,
∂R
∂y
=
x(1 − x2
y2
z2
)
(1 + x2y2z2)2
,
∂R
∂x
=
y(1 − x2
y2
z2
)
(1 + x2y2z2)2
,
∂P
∂z
=
y(1 − x2
y2
z2
)
(1 + x2y2z2)2
.
Kmeňová funkcia F teda existuje a platí:
P =
∂F
∂x
, Q =
∂F
∂y
, R =
∂F
∂z
.
5
Funkciu F teraz určíme iným spôsobom, než v predchádzajúcom príklade.
Vykonáme iba jednu integráciu, napríklad podľa premennej x:
F =
∫
P dx =
∫
yz
1 + x2y2z2
dx = arctg(xyz) + A(y, z).
Neznámu integračnú funkciu A(y, z) stanovíme tak, že získaný výraz pre funkciu
F parciálne derivujeme podľa premenných y a z a výsledky porovnáme
s funkciami Q a R. Postupne platí:
Q =
∂F
∂y
,
xz
1 + x2y2z2
=
xz
1 + x2y2z2
+ A′
y =⇒ A′
y = 0.
R =
∂F
∂z
,
xy
1 + x2y2z2
=
xy
1 + x2y2z2
+ A′
z =⇒ A′
z = 0.
Riešime teraz nasledovný problém. Pre funkcie M(y, z) = 0, N(y, z) = 0
máme nájsť funkciu A(y, z) tak, aby platilo:
M = A′
y, N = A′
z.
Inými slovami, máme nájsť kmeňovú funkciu A pre dvojicu M, N. V tomto
prípade je to veľmi jednoduché, nakoľko ihneď vidíme, že A(y, z) = K, kde
K je reálna konštanta. Preto hľadaná kmeňová funkcia F má tvar:
F(x, y, z) = arctg(xyz) + K, K ∈ R.
Toto sú zároveň všetky kmeňové funkcie F pre trojicu danú P, Q, R.
Práve prezentovaná metóda hľadania kmeňovej funkcie pre trojicu daných
funkcií je založená na tom, že integráciou daný problém prevedieme na
úlohu nájsť kmeňovú funkciu pre dvojicu istých funkcií. Poznamenajme, že
tento postup funguje i pri určovaní kmeňových funkcií pre 4 a viac funkcií.
Napríklad ak máme nájsť kmeňovú funkciu pre štvoricu funkcií, jednou integráciou
tento problém zredukujeme na úlohu nájsť kmeňovú funkciu pre
trojicu istých funkcií, atď.
Na druhej strane v metóde, ukázanej v riešení prvého príkladu, vykonáme
všetky integrácie a následne porovnávame získané vyjadrenia kmeňovej funkcie
F. Tento postup je možné opäť uplatniť i vo vyšších dimenziách.
6