Príklady na precvičovanie – izogonálne trajektórie
V niektorých situáciach sa rieši nasledovná úloha. V rovine máme danú
jednoparametrickú sústavu čiar popísanú rovnicou
F(x, y, C) = 0,
kde C je reálny parameter. Rozumieme tomu tak, že každou konkrétnou voľbou
konštanty C dostaneme rovnicu jednej čiary. Podstatné je, aby sa pre
rôzne hodnoty parametra C tieto čiary vzájomne nepretínali. Zväčša ide o
sústavu integrálnych kriviek nejakej diferenciálnej rovnice I. rádu. Našou úlohou
je nájsť krivku, ktorá každú čiaru tejto sústavy pretína podľa nejakého
pravidla. Takejto krivke sa hovorí trajektória danej sústavy. Dôležitým typom
trajektórii sú tzv. izogonálne trajektórie – každú čiaru našej sústavy pretínajú
pod rovnakým uhlom φ ∈ [0, π/2]. Pod uhlom dvoch kriviek sa myslí
uhol ich príslušných dotyčníc zostrojených v ich priesečníku. Ak daný uhol
je pravý, vtedy hovoríme o ortogonálnych trajektóriach.
Treba si uvedomiť, že pre uhol φ ̸= π/2, φ ̸= 0 k danej sústave čiar
existujú vždy dve rôzne sústavy izogonálnych trajektórií pretínajúcich čiary
sústavy pod uhlom φ; sústava ortogonálnych trajektórií (t.j. pre φ = π/2)
existuje vždy len jedna. Premyslite si to. Nakreslite si do roviny priamku.
Koľko priamok zviera s ňou v danom bode uhol s veľkosťou povedzme π/6?
A koľko priamok zviera s ňou v danom bode pravý uhol?
Izogonálne trajektórie (a to najmä ortogonálne trajektórie) majú široké
uplatnenie napríklad vo fyzike, v teórii polí. Napríklad ak máme dané nejaké
rovinné silové pole, tak jeho siločiary predstavujú našu sústavu čiar. Ekvipotenciálne
krivky tohto poľa (množiny bodov s rovnakým potenciálom) sú
potom ortogonálne trajektórie sústavy siločiar.
(To, že je v rovine rozložené nejaké silové pole, si môžeme zhruba predstaviť
takto. Ak do nejakého bodu roviny položíme malinkú loptičku, neostane v
kľude, ale začne sa (zdanlivo sama od seba) pohybovať. To je znak prítomnosti
istého silového pôsobenia v rovine – rovinného silového poľa (dobrý
príklad je magnetické pole). Čiaram, ktoré loptička pri svojom pohybe opisuje,
hovoríme siločiary daného rovinného poľa. Na základe ich rozmiestnenia
a tvaru vieme dané silové pole identifikovať; loptičku natrieme trebárs čiernou
farbou a pri svojom pohybe v rovine bude zanechávať dobre viditeľnú stopu
a my dostaneme pekný obraz silového pôsobenia. Napr. centrálne príťažlivé
silové pole so zdrojom v bode [0, 0] poznáme tak, že loptička sa začne pohybovať
priamočiaro k bodu [0, 0], nech ju umiestnime kdekoľvek do roviny.
1
Stopy, ktoré bude zanechávať, ak budeme meniť jej začiatočnú polohu, budú
priamky prechádzajúce bodom [0, 0]. No a potenciál silového poľa nie je nič
iné, ako energia, ktorú musíme vynaložiť proti pôsobeniu silového poľa, aby
sme našu loptičku udržali v danom bode roviny v kľude. Iste v rôznych bodoch
bude loptička rôzne neposedná a my budeme musieť na jej ukľudnenie
vynaložiť rôznu energiu. Ak si zaznačíme polohy, v ktorých sme vynaložili
vždy rovnakú energiu na skrotenie loptičky, a tieto polohy pospájame, dostaneme
tzv. ekvipotenciálne krivky daného poľa.)
Izogonálne trajektórie danej sústavy čiar získame nasledovným spôsobom:
• z rovnice F(x, y, C) = 0 vyjadríme parameter C, čím dostaneme rov-
nicu:
C = G(x, y).
• zistíme prvé parciálne derivácie funkcie G(x, y) podľa premenných x, y
∂G(x, y)
∂x
,
∂G(x, y)
∂y
.
• v prípade, ak uhol φ ̸= π/2, izogonálne trajektórie sú všeobecným
riešením nasledovných diferenciálnych rovníc:
(
∂G
∂y
+
∂G
∂x
tg φ
)
y′
=
∂G
∂y
tg φ −
∂G
∂x
,
resp. (
∂G
∂y
−
∂G
∂x
tg φ
)
y′
= −
∂G
∂y
tg φ −
∂G
∂x
.
(pripomeňme, že v tomto prípade existujú dve sústavy izogonálnych
trajektórií)
• ak φ = π/2, potom ortogonálne trajektórie sú všeobecným riešením
nasledovnej diferenciálnej rovnice:
∂G
∂y
−
∂G
∂x
y′
= 0.
2
Riešené príklady
Príklad 1
Nájdime izogonálne trajektórie sústavy čiar:
x2
+ y2
= 2Cx, φ =
π
4
.
Riešenie:
Vyjadríme parameter C:
C =
x2
+ y2
2x
=⇒ G(x, y) =
x2
+ y2
2x
.
Spočítame parciálne derivácie:
∂G
∂x
=
1
2
−
y2
2x2
,
∂G
∂y
=
y
x
.
Zostavíme diferenciálne rovnice izogonálnych trajektórií (tg π/4 = 1):
(
y
x
+
y2
2x2
−
1
2
)
=
(
y
x
−
y2
2x2
+
1
2
)
y′
,
resp.
−
(
y
x
+
y2
2x2
+
1
2
)
=
(
y
x
+
y2
2x2
−
1
2
)
y′
.
Stačí už len vyriešiť tieto rovnice. Ľahko sa presvedčíme, že obe rovnice sú
homogénne (ak vyjadríme y′
). Všeobecné riešenie prvej má tvar:
y − x = C(x2
+ y2
), C ∈ R.
Všeobecné riešenie druhej rovnice je:
y + x = C(x2
+ y2
), C ∈ R.
Pre uhol φ = π/4 existujú preto dve sústavy izogonálnych trajektórií:
y − x = C(x2
+ y2
), C ∈ R,
3
y + x = C(x2
+ y2
), C ∈ R.
Príklad 2
Nájdime ortogonálne trajektórie sústavy čiar:
x2
4
+
y2
9
= C.
Riešenie:
Vidíme, že parameter C máme už priamo vyjadrený, takže funkcia G(x, y)
je:
G(x, y) =
x2
4
+
y2
9
.
Parciálne derivácie sú:
∂G
∂x
=
x
2
,
∂G
∂y
=
2y
9
.
Zostavíme rovnicu ortogonálnych trajektórií (bude len jedna):
2y
9
−
x
2
y′
= 0.
Ide o jednoduchú separovateľnú rovnicu. Jej všeobecné riešenie je:
y = Cx4/9
, C ∈ R.
To je zároveň sústava ortogonálnych trajektórií (pokúste sa nakresliť sústavu
čiar v zadaní, a potom do toho istého obrázka aj príslušné ortogonálne tra-
jektórie).
Neriešené príklady
Spočítajte si príklady zo zbierky P. Hasila a P. Zemánka, výsledky sú
tam aj graficky znázornené. V príkladoch je nájdená vždy len jedna sústava
(v prípade φ ̸= π/2) izogonálnych trakjektórií, konkrétne pre rovnicu:
(
∂G
∂y
+
∂G
∂x
tg φ
)
y′
=
∂G
∂y
tg φ −
∂G
∂x
.
4
Pri niektoých príkladoch si skúste zrátať aj druhú sústavu trajektórií, t.j.
pomocou rovnice:
(
∂G
∂y
−
∂G
∂x
tg φ
)
y′
= −
∂G
∂y
tg φ −
∂G
∂x
.
5