Fyzikálne aplikácie lineárnych diferenciálnych rovníc
druhého rádu s konštantnými koeficientami
Diferenciálne rovnice sú úzko späté s fyzikou. Samotný vznik a štúdium
pojmu diferenciálna rovnica bol podnietený práve fyzikálnymi dôvodmi. Prakticky
každý fyzikálny zákon klasickej (i relativistickej) fyziky je svojim spôsobom
vyjadrený pomocou nejakej diferenciálnej rovnice. Obzvlášť v mechanike
(ale i v iných častiach fyziky) majú fundamentálny význam práve lineárne
diferenciálne rovnice druhého rádu, a to najmä s konštantnými koeficientami.
Linearita rovníc je podmienená princípom superpozície – v prírode
vypozorované vzájomné skladanie rôznych pohybov a síl. Druhý rád rovníc
je dôsledkom toho, že pôsobiace sily sú úmerné zrýchleniam, ktoré sú práve
druhými časovými deriváciami polohového vektora.
Významnou aplikáciou LDR 2. rádu s konštantnými koeficienatmi je pohyb
harmonického oscilátora – vo svojej podstate a najjednoduchšej forme
ide o kmitajúcu pružinku, na ktorej je zavesené závažie. Ak y označuje výchylku
pružinky z rovnovážnej polohy, tak pri malých výchylkách y je pružná
sila pôsobiaca na závažie určená Hookeovym zákonom:
Fp = −ky,
kde k > 0 je materiálová konštanta, nazýva sa tuhosť pružiny. Znamienko
mínus symbolizuje, že sila je namierená proti výchylke y – sila sa teda snaží
vrátiť závažie späť do rovnovážnej polohy (ako je nám známe z praxe). Celková
sila F pôsobiaca na závažie je podľa Newtonovho zákona rovná:
F = ma,
kde m je hmotnosť závažia a a je zrýchlenie závažia. Zrýchlenie a je určené
druhou deriváciou y′′
výchylky y podľa času t, kým rýchlosť závažia v je zas
prvá derivácia y′
. Pre silu F teda platí:
F = my′′
.
Pri harmonickom kmitaní rozlišujeme viaceré prípady:
1. netlmené kmitanie – na závažie pôsobí iba sila pružnosti Fp:
F = Fp,
1
teda:
my′′
= −ky.
Máme diferenciálnu popisujúcu pohyb závažia v čase (nezávislou premennou
je čas t). Táto rovnica sa zvykne prepísať do takéhoto tvaru:
y′′
+ ω2
y = 0,
kde ω2
= k/m. Veličina ω sa nazýva uhlová frekvencia pohybu. Ďalšie
veličiny súvisiace s harmonickým kmitaním sú:
• T – perióda pohybu, čas jedného kmitu, T = 2π/ω
• f – frekvencia pohybu, počet kmitov za jednotku času, f = 1/T
2. tlmené kmitanie – na závažie okrem sily pružnosti Fp pôsobí aj odporová
prostredia FO, ktorá je zhruba úmerná rýchlosti v závažia:
FO = −bv = −by′
,
kde b ≥ 0 je konštanta, nazýva sa koeficient odporu. Záporne znamienko
znamená, že odpor prostredia je namierený proti pohybu závažia
(brzdí jeho pohyb). Celková sila F pôsobiaca na závažie je:
F = Fp + FO,
teda:
my′′
= −ky − by′
.
Máme diferenciálnu popisujúcu pohyb závažia v čase. Táto rovnica sa
zvykne prepísať do takéhoto tvaru:
y′′
+ 2δy′
+ ωy = 0,
kde 2δ = b/m sa nazýva konštanta tlmenia. Poznamenajme, že pokiaľ
je tlmenie veľké, t.j. δ ≥ ω, tak pohyb nie je periodický. Ak je tlmenie
malé, t.j. δ < ω, tak sa jedná o tlmené kmitanie (amplitúda, t.j.
maximálna hodnota výchylky ymax sa postupne zmenšuje).
3. vynútené kmitanie – na závažie okrem sily pružnosti Fp a odporovej
sily prostredia FO pôsobí aj vonkajšia periodicky sa meniaca sila FV ,
ktorá sa vačšinou uvažuje v tvare:
FV = A sin Ωt,
2
kde A, Ω sú kladné konštanty. Môžeme si to predstaviť tak, že závažiu
periodicky dodávame energiu, ktorú pri pohybe stráca v dôsledku
odporu prostredia. Platí:
F = Fp + FO + FV ,
teda:
my′′
= −ky − by′
+ A sin Ωt.
Máme diferenciálnu popisujúcu pohyb závažia v čase. Táto rovnica sa
zvykne prepísať do takéhoto tvaru:
y′′
+ 2δy′
+ ωy = (A/m) sin Ωt.
Poznamenajme, že pohyb závažia závisí na vzájomnom vzťahu veličín
ω, Ω, t.j., napr. či vonkajšia sila FV kmitá „vo fáze s pohybom závažia
alebo nie a pod. (Pekne to ilustruje napr. druhý neriešený príklad;
závažie bude postupom času čoraz šialenejšie kmitať, čo v konečnom
dôsledku povedie ku katastrofe. Všimnite si, v akom vzťahu sú v tomto
prípade uhlové frekvencie ω a Ω.)
Vo všetkých troch prípadoch sme dostali LDR 2. rádu s konštantnými koeficientami.
Pri riešení pohybových rovníc vychádzame vždy z nejakých začiatočných
podmienok – závažie v čase t = 0 má nejakú výchylku y0 a nejakú
rýchlosť v0:
y(0) = y0, y′
(0) = v0.
Riešené príklady
Príklad 1
Závažie s m = 0.1 kg kmitá na pružine s k = 20 kg/s2
. Z rovnovážnej polohy
je vypustené s rýchlosťou 0.1 m/s. Určte závislosť výchylky y na čase a čas,
za ktorý sa vráti naspäť do rovnovážnej polohy. Odpor prostredia zanedbajte.
Riešenie:
Ide o netlmené kmitanie, ω =
√
k/m =
√
200 s−2
. Riešime preto začiatočnú
úlohu:
y′′
+ 200y = 0, y(0) = 0, y′
(0) = 0.1.
Všeobecné řiešenie je:
y(t) = C1 sin(
√
200t) + C2 cos(
√
200t).
3
Hľadáme partikulárne riešenie spĺňajúce uvedené začiatočné podmienky. Nájdeme:
C1 = 1/
√
2, C2 = 0. Rovnica pohybu závažia teda je:
y(t) = (1/
√
2) sin(
√
200t).
Čas t0, za ktorý sa závažie vráti späť do rovnovážnej polohy, nájdeme z
podmienky:
y(t0) = 0 =⇒ (1/
√
2) sin(
√
200t0) = 0,
pričom hľadáme najmenšie kladné t0. Zistíme: t0 = π/
√
200.
Príklad 2
Závažie s m = 2 kg kmitá na pružine s k = 128 kg/s2
. Z rovnovážnej polohy
závažie vychýlime o 0.5 m a pustíme rýchlosťou 0.6 m/s. Nájdite závislosť
výchylky y na čase t. Uvažujte odpor prostredia s konštantou tlmenia δ = 10
s−1
.
Riešenie:
Ide o tlmené kmitanie, ω =
√
k/m =
√
64 = 8 s−2
. Začiatočná výchylka (v
čase t = 0) y0 = 0.5 m a začiatočná rýchlosť v0 = 0.6 m/s. Riešime preto
začiatočnú úlohu:
y′′
+ 20y′
+ 64y = 0, y(0) = 0.5, y′
(0) = 0.6.
Všeobecné riešenie je:
y = C1e−4t
+ C2e−16t
.
Pre hľadané partikulárne riešenie zistíme: C1 = 43/60, C2 = −13/60. Preto:
y(t) =
1
60
(43e−4t
− 13e−16t
).
Vidíme, že nejde o periodický pohyb. Začiatočná výchylka bude exponenciálne
klesať, pričom nulová bude pre veľmi veľký čas (presne pre t = ∞;
samozrejme z praxe vieme, že závažie sa zastaví v nejakom reálnom čase; náš
model neodpovedá úplnej realite, nakoľko sme neuvažovali všetky vplyvy prostredia
na pohyb závažia; odpor prostredia v skutočnosti závisí na rýchlosti
(a nielen na nej) omnoho zložitejšie, než sme predpokladali).
4
Príklad 3
Závažie s m = 3 kg je zavesené na pružine s k = 75 kg/s2
. Z rovnovážnej
polohy závažie stiahneme o 0.2 m a pustíme rýchlosťou 0.1 m/s. Nájdite
závislosť výchylky y na čase t. Uvažujte odpor prostredia s konštantou tlmenia
δ = 15 s−1
. Na závažie pôsobí periodicky sa meniaca sila F(t) = 10 cos 5t.
Riešenie:
Ide o vynútené kmitanie, ω =
√
k/m =
√
25 = 5 s−2
. Začiatočná výchylka
(v čase t = 0) y0 = −0.2 m a začiatočná rýchlosť v0 = 0.1 m/s (nakoľko je
závažie zavesené, tak smer „hore bude kladný a smer „dole bude záporný;
závažie je stiahnuté smerom dole o 0.2 m, preto záporné znamienko; naproti
tomu rýchlosť 0.1 m/s bude namierená smerom „hore , k rovnovážnej polohe,
preto má kladné znamienko). Riešime začiatočnú úlohu:
y′′
+ 30y′
+ 25y = 10 cos 5t, y(0) = −0.2, y′
(0) = 0.1.
Všeobecné riešenie je:
y = C1e(−15+10
√
2)t
+ C2e(−15−10
√
2)t
+
1
45
sin 5t.
Pre hľadané partikulárne riešenie máme: C1 ≈ −0.20654, C2 = 0.00646, teda:
y(t) = −0.20654e(−15+10
√
2)t
+ 0.00646e(−15−10
√
2)t
+
1
45
sin 5t.
V tomto prípade zo začiatku (t.j. pre nie veľký čas) pôjde o neharmonické
kmitanie, v dôsledku exponenciálnych členov. Avšak pre veľké časy exponenciálne
členy budú veľmi malé (čísla −15±10
√
2 sú obe záporné) a dominantná
bude harmonická časť 1
45
sin 5t; po dostatočne dlhej dobe bude teda závažie
kmitať takmer harmonicky s priebehom 1
45
sin 5t.
Neriešené príklady
1. Zavesené závažie s m = 0.5 kg natiahne pružinu o 0.05 m. Z rovnovážnej
polohy závažie stlačíme o 0.02 m nahor a pustíme rýchlosťou 0.6
m/s. Nájdite závislosť výchylky y na čase t. Odpor prostredia neuva-
žujte.
[y(t) = 3
√
2
100
sin(10
√
2t) + 2
100
cos(10
√
2t)]
5
2. Zavesené závažie s m = 3 kg natiahne pružinu o 0.4 m. Z rovnovážnej
polohy závažie stiahneme o 0.2 m nadol a pustíme rýchlosťou 0.1 m/s.
Nájdite závislosť výchylky y na čase t, ak na závažie pôsobí periodicky
sa meniaca sila F(t) = 10 cos 5t. Odpor prostredia neuvažujte.
(y(t) = 1
50
sin(5t) − 1
5
cos(5t) + 1
3
t sin(5t), nastáva rezonancia, výchylka
bude neobmedzene rásť pre t → ∞)
3. Zavesené závažie s m = 3.6 kg natiahne pružinu o 5/32 cm. Z rovnovážnej
polohy závažie stlačíme o 1/128 m nahor a voľne pustíme.
Nájdite závislosť výchylky y na čase t, ak na závažie pôsobí periodicky
sa meniaca sila F(t) = 3.6 sin 8t. Odpor prostredia neuvažujte. Určte
prvé štyri kladné časy, kedy má závažie nulovú rýchlosť.
[y(t) = 1
128
(sin(8t) + cos(8t) − 8t cos(8t)) , t1 = 1/8, t2 = π/8, t3 =
π/4, t4 = 3π/8]
Poznámka
• Tuhosť pružiny k zistíme pomocou Hookeovho zákona:
(veľkosť pružnej sily) = −k · (predĺženie pružiny).
Zavesené závažie natiahne pružinu a zostane v pokoji. V tomto okamihu
na závažie pôsobia dve sily. Prvá z nich je tiažová sila Fg spôsobená
príťažlivosťou a pohybom Zeme; namierená smerom dole a platí pre
ňu Fg = mg, kde m je hmotnosť závažia a konštanta g ≈ 10 m/s2
sa
nazýva tiažové zrýchlenie. Druhá sila pôsobiaca na závažie je pružná
sila strunky Fp. Tá je namierená smerom hore (proti výchylke). Keďže
závažie je po ustálení v pokoji, musia byť tieto dve sily v rovnováhe,
teda FG + Fp = 0. Pre tuhosť k potom platí:
k =
+Fg
(predĺženie pružiny)
=
mg
(predĺženie pružiny)
.
6