Problém – integračný faktor Bernoulliho rovnice
Metóda integračného faktora je univerzálna a hlboká metóda riešenia diferenciálnych
rovníc prvého rádu, v ktorých je vyjadrená derivácia y′
, t.j.
rovníc tvaru
y′
= f(x, y).
(pozri napr. skripta M. Rába, str. 36–38; sú tam uvedené príklady integračných
faktorov niekoľkých typov rovníc spolu s významnou Kamkeho vetou,
ktorá zaručuje existenciu integračného faktora). Napríklad pre LDR I. rádu
y′
+ f(x)y = g(x)
sme zistili, že za jej integračný faktor je možné vziať funkciu
R(x) = e
∫
f(x) dx
.
V tomto prípade to funguje tak, že celá rovnica sa vynásobí funkciou R(x)
y′
· e
∫
f(x) dx
+ f(x)y · e
∫
f(x) dx
= g(x)e
∫
f(x) dx
,
pričom ľava strana poslednej rovnice je úplná derivácia podľa premennej x
y′
· e
∫
f(x) dx
+ f(x)y · e
∫
f(x) dx
=
(
y · e
∫
f(x) dx
)′
.
Toto pozorovanie nám umožnilo danú rovnicu vyriešiť. Niečo podobné platí
i v prípade Bernoulliho rovnice
y′
+ f(x)y = g(x)yα
, α ̸= 0, 1.
Jej integračným faktorom budeme rozumieť nenulovú funkciu R(x, y) s nasledovnou
vlastnosťou. Vynásobíme Bernoulliho rovnicu funkciou R(x, y)
y′
· R(x, y) + f(x)y · R(x, y) = g(x)yα
· R(x, y)
a požadujeme:
P1 pravá strana g(x)yα
· R(x, y) je funkciou iba premennej x,
P2 ľavá strana y′
· R(x, y) + f(x)y · R(x, y) sa dá napísať ako úplná derivácia
podľa premennej x výrazu A(x)B(y) pre nejaké diferencovateľné
funkcie A(x) a B(y), t.j. platí
y′
· R(x, y) + f(x)y · R(x, y) = (A(x)B(y))′
. (1)
1
Podmienka P2 sa myslí v tomto zmysle. Ak do rovnosti (1) dosadíme akúkoľvek
prípustnú funkciu y = y(x) premennej x, musíme dostať identickú
rovnosť. Pod pojmom prípustná sa myslí, že hodnoty y = y(x) patria do
definičného oboru funkcie R(x, y) a existuje vlastná derivácia y′
(x) podľa
premennej x. Napríklad
y′
· x2
+ y · 2x = (y · x2
)′
.
Do tejto rovnice môžeme dosadiť akúkoľvek diferencovateľnú funkciu y =
y(x) a dostaneme identickú rovnosť; ďalej platí A(x) = x2
a B(y) = y.
V nasledujúcom sa zameriame na preskúmanie množiny všetkých integračných
faktorov R(x, y) Bernoulliho rovnice.
Problém 1
Ukážte, že funkcia R(x, y) tvaru:
R(x, y) =
1
yα
· e(1−α)·
∫
f(x) dx
je integračný faktor Bernoulliho rovnice.
Návod:
Overte, že funkcia R(x, y) daného tvaru spĺňa vyššie uvedené podmienky P1
a P2 integračného faktora Bernoulliho rovnice. Určte i funkcie A(x) a B(y)
v podmienke P2.
Problém 2
Dokážte, že každý integračný faktor R(x, y) (v zmysle vyššie uvedenej
definície) má tvar:
R(x, y) = C ·
1
yα
· e(1−α)·
∫
f(x) dx
,
kde C je ľubovoľná nenulová reálna konštanta. Ďalej ukážte, že potom pre
funkcie A(x) a B(y) platí:
A(x) = K · e(1−α)·
∫
f(x) dx
, B(y) = L · y1−α
,
kde K, L sú konštanty spĺňajúce pre dané C:
KL =
C
1 − α
.
2
Návod:
1. Ukážte, že z podmienky P1 vyplýva R(x, y) = y−α
· h(x), kde h(x) je
nenulová funkcia iba premennej x.
2. Pomocou podmienky P2 ukážte, že funkcia h(x) spĺňa rovnosť:
(y1−α
)′
·
h(x)
1 − α
+ y1−α
· f(x)h(x) = (A(x)B(y))′
. (2)
3. Nech y0 je ľubovoľné reálne číslo také, že mocnina y1−α
0 je definovaná.
Voľbou konštantnej funkcie y = y0 v rovnosti (2) ukážte, že pre každé
prípustné x platí:
y1−α
0 · f(x)h(x) = B(y0) · A′
(x).
Z tohto usúďte, že pre funkcie B(y) a A′
(x) musí platiť
B(y) = L · y1−α
, A′
(x) =
1
L
· f(x)h(x), (3)
kde L je nenulová konštanta.
4. Dosadením výrazov v (3) do rovnosti (2), následným rozderivovaním a
úpravou odvoďte, že platí rovnosť
(y1−α
)′
[
A(x) · L −
h(x)
1 − α
]
= 0
pre každú prípustnú funkciu y = y(x). Z toho potom voľbou funkcie
y = x
1
1−α ukážte rovnosť:
A(x) · L =
h(x)
1 − α
. (4)
5. Kombináciou druhej rovnice v (3) a rovnice v (4) odvoďte, že platí:
h′
(x) = (1 − α) · f(x)h(x). (5)
Vyriešte túto diferenciálnu rovnicu a ukážte, že h(x) = C·e(1−α)·
∫
f(x) dx
,
kde C je nenulová reálna konštanta.
6. Ukážte tvar integračného faktora R(x, y) v zadaní problému a pomocou
vyjadrenia v (4), tvaru funkcie h(x) získaného v kroku 5. a voľbou
K := C
L(1−α)
overte i tvar funkcie A(x).
3