Príklady na precvičovanie – výsledky neriešených
príkladov
Separovateľné a homogénne DR
1. cotg
(y−x
2
)
= x + C, y = x + 2kπ, k ∈ Z.
2. y3
+ 3x2
− 3x = C.
3. y = 1
C e− x2
2 −x
−1
, y = 0.
4. y = 1.
5.
√
4x + 2y + 1 − ln(2 +
√
4x + 2y + 1)2
= x + C.
6. y = x tg(ln |x| + C).
7. y
x
arctg y
x
= ln
√
x2 + y2.
8. (y + x − 1)5
(y − x + 1)2
= C.
9. (y − x − 2)4
= C(5y + x + 2), 5y + x + 2 = 0.
10. tg y
4
= Ce−2 sin x
2 , y = (4k + 2)π.
Lineárne DR I. rádu, Bernoulliho DR, zámena premenných
1. y = 1
cos x 3√
C−3 tg x
, y = 0.
2. y =
(
C ex3
+ x3
3
)3
, y = 0.
3. y =
√
1 − (1 −
√
1 − x2)2.
4. y = e−2x2
(
x3
2
+ C
)2
, y = 0.
5. y = x2
(sin x + C).
6. y = (1 + x2
)(x + C).
7. y = π2
x2 + sin 2x.
1
8. x = y2
(
Ce
1
y + 1
)
, y = 0.
9. x = Cy2
− y + 2y ln y + 1.
10. y(C − ln2
y) = 1
x
.
Exaktné DR, integračný faktor
1.
√
x2 − y2 − y = C.
2. x3
y2
+ y ln |x| = C.
3. y = 1√
x2−1
.
4. x2
y3 − 1
y
= C, integračný faktor R = 1
y4 .
5. x3
y2 + x + 5
y
= C, integračný faktor R = 1
y3 .
6. y = C e−x2
+ e−x2
(sin x − x cos x), integračný faktor R = ex2
.
Zaujímavé, ťažšie príklady
1. x2y2
2
+ ln x
y
= C, integračný faktor R = 1
xy
.
2. − ln |x − y| − x3
= C, integračný faktor R = 1
x−y
.
3. y + 1
2
ln(x2
+ y2
) = C, integračný faktor R = 1
x2+y2 .
DR nerozriešené vzhľadom na deriváciu
1. y = Cx√
|x|
(
C√
|x|
+ 2
)
, y = −x.
2. y = ln
(
1 − 1
(1−C ex)2
)
, C ̸= 0, y = 0.
3. y = C(x − C)2
, y = 4
27
x3
.
4. x = 1√
1+p2
+ 1
2
ln
(√
1+p2−1
√
1+p2+1
)
+ C, y = p√
1+p2
, p ∈ R, y = 0.
5. y = Cx − 4C2
, y = x2
16
.
2
6. x = y(y+2)
8
(
C
√
y(y + 2) − y − 1
)2
, y = 0.
LDR n-tého rádu s konštantnými koeficientami, Eulerova DR
1. y = C1e−x
+ C2x e−x
+ C3x2
e−x
+ C4e2x
+ C5x e2x
.
2. y = C1e2x
+ C2e5x
+ 2x2
+ 1.
3. y = C1e−x
+ C2x e−x
+ C3x2
e−x
+ e−x
cos x.
4. y = 3
2
e−x
+ 1
2
e−x
2 cos
(√
3
2
x
)
+ 5
√
3
6
e− x
2 sin
(√
3
2
x
)
+ x − 2.
5. y = C1e3x
+ C2x e3x
+ 1
x
.
6. y = C1ex
cos x + C2ex
sin x + 1
2
x2
+ x + 1
2
+ 1
6
sin 2x − 1
3
cos 2x.
7. y = C1(x + 2) + C2
1
(x+2)3 .
8. y = C1x + C2x2
+ 12 ln x−7
144
x5
.
9. y = C1 + C2 ln x + C3x3
.
10. y = C1 cos[ln(1+x)]+C2 sin[ln(1+x)]+(1+x)2
5
−x−ln(1+x) cos[ln(1+x)].
3