V tomto prípade je kľúčová trojuholníková nerovnosť
|z| − |z∗
| ≤ |z − z∗
| pre každé z, z∗
∈ C.
Táto nerovnosť sa najjednoduchšie dokáže geometricky pomocou „skutočnej
trojuholníkovej nerovnosti aplikovanej na rovinný trojuholník s vrcholmi v
bodoch 0, z a z∗
. Nech {zn} je postupnosť v C s limitou z0 ∈ C. To je
ekvivalentné s tým, že |zn − z0| → 0 pre n → ∞. Pre funkciu F(z) = |z|
potom s využitím uvedenej trojuholníkovej nerovnosti platí
0 ≤ |F(zn) − F(z0)| = |zn| − |z0| ≤ |zn − z0| → 0 pre n → ∞.
Ekvivalentne, limn→∞ F(zn) = F(z0), a teda funkcia F(z) je spojitá v bode
z0 :).
Alternatívny, ale prakticky podobný prístup je založený na vyjadrení
zn = an + ibn, z0 = a0 + ib0, an, bn, a0, b0 ∈ R, n ∈ N.
Ak uvažujeme vektory ¯vn := (an, bn)T
a ¯v0 := (a0, b0)T
a euklidovskú normu
∥vn∥ :=
√
a2
n + b2
n a ∥v0∥ :=
√
a2
0 + b2
0, potom zase na základe trojuholníkovej
nerovnosti
0 ≤ ∥vn∥ − ∥v0∥ ≤ ∥vn − v0∥
(vyplývajúcej opäť z geometrických argumentov) máme
0 ≤
√
a2
n + b2
n −
√
a2
0 + b2
0 ≤
√
(an − a0)2 + (bn − b0)2.
Z nej následne vyplýva, že ak an → a0 a bn → b0 pre n → ∞, potom
√
a2
n + b2
n →
√
a2
0 + b2
0 :).
Najelementárnejší mi príde takýto postup:
0 ≤
√
a2
n + b2
n −
√
a2
0 + b2
0 =
(
√
a2
n + b2
n −
√
a2
0 + b2
0
)
·
√
a2
n + b2
n +
√
a2
0 + b2
0
√
a2
n + b2
n +
√
a2
0 + b2
0
=
(a2
n + b2
n) − (a2
0 + b2
0)
√
a2
n + b2
n +
√
a2
0 + b2
0
=
(a2
n − a2
0) + (b2
n − b2
0)
√
a2
n + b2
n +
√
a2
0 + b2
0
1
=
|(an − a0)(an + a0) + (bn − b0)(bn + b0)|
√
a2
n + b2
n +
√
a2
0 + b2
0
≤
|an − a0| · |an + a0| + |bn − b0| · |bn + b0|
√
a2
n + b2
n +
√
a2
0 + b2
0
≤ |an − a0| ·
|an| + |a0|
√
a2
n + b2
n +
√
a2
0 + b2
0
≤1
+|bn − b0| ·
|bn| + |b0|
√
a2
n + b2
n +
√
a2
0 + b2
0
≤1
≤ |an − a0| + |bn − b0|.
Platí teda nerovnosť
0 ≤
√
a2
n + b2
n −
√
a2
0 + b2
0 ≤ |an − a0| + |bn − b0| :).
2