Príklady na precvičovanie – systémy lineárnych DR
prvého rádu
Pod pojmom (homogénny) systém n lineárnych DR prvého rádu rozumieme
n lineárnych DR rovníc prvého rádu tvaru
y′
1 = a11(t) · y1 + a12(t) · y2 + a13(t) · y3 + · · · + a1n(t) · yn,
y′
2 = a21(t) · y1 + a22(t) · y2 + a23(t) · y3 + · · · + a2n(t) · yn,
y′
3 = a31(t) · y1 + a32(t) · y2 + a33(t) · y3 + · · · + a3n(t) · yn,
...
y′
n = an1(t) · y1 + an2(t) · y2 + an3(t) · y3 + · · · + ann(t) · yn,
kde aij(t), i, j = 1, . . . , n, sú dané spojité funkcie nezávislej premennej t
a y1, . . . , yn sú neznáme funkcie premennej t (nezávislú premennú budeme
teraz značiť písmenom t namiesto doterajšieho x). Našou úlohou je nájsť
všetky n-tice funkcií y1, . . . , yn, ktoré riešia danú sústavu rovníc.
Uvedená sústava lineárnych DR úzko súvisí s homogénnou lineárnou DR
n-tého rádu. Platí totiž, že každá lineárna DR n-tého rádu sa dá prepísať na
systém n lineárnych DR prvého rádu. V prípade, ak funkcie aij(t) sú konštanty,
t.j. ak máme systém n lineárnych DR s konštantnými koeficientami,
uvedené pozorovanie platí aj naopak – daný systém sa dá previesť na lineárnu
DR rovnicu n-tého rádu s konštantnými koeficientami. To je základom
tzv. eliminačnej metódy riešenia uvedeného systému. Systém sa prevedie na
LDR n-tého rádu, nájde sa jej všeobecné riešenie, a z neho sa potom spätne
skonštruujú riešenia y1, . . . , yn systému.
V tomto dokumente sa budeme zaoberať iba systémami s konštantnými
koeficientami, a to iba prípadom n = 2. Neznáme funkcie budeme pre jednoduchosť
označovať x = x(t) a y = y(t). Skúmame teda systém tvaru
x′
= ax + by,
y′
= cx + dy,
kde a, b, c, d ∈ R sú konštanty. Na jeho riešenie sa efektívne využívajú dve
metódy – eliminačná metóda, spočívajúca v prevode systému na LDR rovnicu
druhého rádu (ilustrujeme na nasledujúcom príklade), a metóda vlastných
čísiel a vlastných vektorov.
1
Príklad 1
Nájdite všeobecné riešenie systému
x′
= 7x + 6y,
y′
= 2x + 6y.
Riešenie:
Eliminačná metóda spočíva v tom, že z tejto sústavy eliminujeme jednu neznámu
funkciu, napríklad funkciu y. To vykonáme tak, že derivujeme prvú
rovnicu podľa premennej t:
x′′
= 7x′
+ 6y′
.
Následne dosadíme za x′
a y′
ich vyjadrenia pomocou systému v zadaní.
Dostaneme:
x′′
= 7x′
+ 6y′
= 7 · (7x + 6y) + 6 · (2x + 6y) = 61x + 78y.
Pomocou rovníc
x′′
= 61x + 78y, x′
= 7x + 6y
eliminujeme funkciu y. Napríklad z druhej rovnice máme y = 1
6
(x′
− 7x).
Dosadením do prvej dostaneme:
x′′
= 61x + 78 ·
1
6
(x′
− 7x) = 61x + 13 (x′
− 7x) =⇒ x′′
− 13x′
+ 30x = 0.
Dostali sme homogénnu LDR rovnicu druhého rádu s konštanými koeficientami
pre neznámu funkciu x. Štandardnou metódou nájdeme jej všeobecné
riešenie:
x = C1e3t
+ C2e10t
, C1, C2 ∈ R.
Z neho dopočítame neznámu funkciu y (detailné výpočty vynechávame):
y =
1
6
(x′
− 7x) = −
2
3
C1e3t
+
1
2
C2e10t
.
Všeobecné riešenie systému v zadaní má teda tvar:
x = C1e3t
+ C2e10t
, y = −
2
3
C1e3t
+
1
2
C2e10t
, C1, C2 ∈ R.
2
Pripomeňme, že pod pojmom všeobecné riešenie systému budeme rozumieť
riešenie, z ktorého vieme vhodnou voľbou konštánt zostrojiť akékoľvek iné
riešenie daného systému.
Druhá metóda riešenia systému LDR rovníc s konštantnými koeficientami
je založená na prepise daného systému na vektorový tvar:
(
x
y
)′
=
(
a b
c d
)
·
(
x
y
)
.
Riešenie x(t), y(t) pôvodného systému teda vytvára vektorové riešenie
(x(t)
y(t)
)
tohto vektorového systému. Naopak, pre každú dvojrozmernú vektorovú funkciu
¯η(t) =
(x(t)
y(t)
)
(dvojrozmerný vektor, ktorého zložky sú funkcie premennej
t), spĺňajúcu
¯η′
=
(
a b
c d
)
· ¯η
platí, že dvojica funkcií x(t), y(t) je riešením pôvodného systému. Stačí nám
teda nájsť všeobecné riešenie daného vektorového systému. Podobne ako pri
LDR n-tého rádu toto všeobecné riešenie má tvar
C1 ¯η1 + C2 ¯η2, C1, C2 ∈ R,
kde ¯η1 a ¯η2 sú ľubovoľné dve lineárne nezávislé riešenia vektorového systému.
No a pri určovaní riešení ¯η1 a ¯η2 sa využívajú práve vlastné čísla a vlastné
vektory matice
A =
(
a b
c d
)
.
Metóda je založená na tomto pozorovaní. Ak λ je vlastné číslo matice A a ¯v
je príslušný nenulový vlastný vektor, t.j. A ¯v = λ ¯v, potom vektorová funkcia
¯η(t) = eλt
· ¯v
je lineárne nezávislé riešenie nášho vektorového systému (overenie nie je
ťažké, presvedčte sa o tom dosadením funkcie eλt
·¯v do vektorového systému).
Ďalej platí, že pre rôzne vlastné čísla λ1 a λ2 matice A sú príslušné vektorové
riešenia ¯η1(t) = eλ1t
·¯v1 a ¯η2(t) = eλ2t
·¯v2 lineárne nezávislé. Podobne, ak ¯v a ¯w
sú dva lineárne nezávislé vlastné vektory matice A odpovedajúce rovnakému
vlastnému číslu λ, potom funkcie ¯η = eλt
· ¯v a ¯ζ = eλt
· ¯w sú opäť lineárne
nezávislé vektorové riešenia.
3
Celá hra teda spočíva v hľadaní vlastných čísiel a príslušných lineárne
nezávislých vlastných vektoroch matice A. Nakoľko matica A je typu 2 × 2,
môžu nastať celkovo 4 prípady:
• A má dve rôzne reálne vlastné čísla. Každému vlastnému číslu odpovedá
jeden nenulový vlastný vektor, a teda vieme zostrojiť dve lineárne
nezávislé vektorové riešenia ¯η1(t) a ¯η2(t).
• A má jedno dvojnásobné vlastné číslo, ktorému odpovedajú dva lineárne
nezávislé nenulové vlastné vektory. Opäť vieme zostrojiť dve
lineárne nezávislé vektorové riešenia ¯η1(t) a ¯η2(t).
• A má jedno dvojnásobné vlastné číslo, ktorému však odpovedá len jeden
lineárne nezávislý nenulový vlastný vektor. V tomto prípade vieme
pomocou vlastného vektora zostrojiť iba jedno lineárne nezávislé vektorové
riešenie ¯η1(t). Druhé lineárne nezávislé vektorové riešenie ¯η2(t)
sa nájde pomocou tzv. zovšeobecneného vlastného vektora matice A.
• A má dvojicu nereálnych komplexne združených vlastných čísiel. Odpovedajúce
vlastné vektory majú komplexné súradnice. Pomocou ich
reálnych a imaginárnych častí sa zostroja dve lineárne nezávislé vektorové
riešenia ¯η1(t) a ¯η2(t). Kľúčová je pri tom Eulerova indetita:
∀ φ ∈ R : ei·φ
= cos φ + i · sin φ.
Každý prípad teraz preberieme na konkrétnych príkladoch.
Príklad 2
Nájdite všeobecné riešenie systému
x′
= x + y,
y′
= 8x − y.
Riešenie:
Systém prepíšeme do vektorového zápisu:
(
x
y
)′
=
(
1 1
8 −1
)
·
(
x
y
)
.
4
Príslušná matica A systému má tvar:
A =
(
1 1
8 −1
)
.
Nájdeme vlastné čísla matica A. Platí (po úprave):
det(A − λ · I) =
1 − λ 1
8 −1 − λ
= 0 =⇒ λ2
− 9 = 0.
Charakteristický polynóm matice A má teda dva rôzne reálne korene λ1 = 3
a λ2 = −3. Ku každému vlastnému číslu nájdeme príslušný nenulový vlastný
vektor. Pripomeňme, že k vlastnému číslo λ matice A sa príslušný vlastný
vektor ¯v nájde ako riešenie homogénnej lineárnej sústavy:
A ¯v = λ¯v ⇐⇒ (A − λ · I)¯v = 0.
V našom prípade postupne dostávame:
• vlastné číslo λ1 = 3 – vlastný vektor ¯v = (v1, v2)T
nájdeme riešením
sústavy:
(
1 − λ1 1
8 −1 − λ1
)
·
(
v1
v2
)
= 0 ⇐⇒
(
−2 1
8 −4
)
·
(
v1
v2
)
= 0.
Sústava má len jedno lineárne nezávislé riešenie, napríklad ¯v = (1, 2)T
.
Príslušné lineárne nezávislé vektorové riešenie ¯η1 má potom tvar:
¯η1 = eλ1t
· ¯v = e3t
(
1
2
)
.
• vlastné číslo λ1 = −3 – vlastný vektor ¯w = (w1, w2)T
nájdeme riešením
sústavy:
(
1 − λ2 1
8 −1 − λ2
)
·
(
w1
w2
)
= 0 ⇐⇒
(
4 1
8 2
)
·
(
w1
w2
)
= 0.
Sústava má opäť len jedno lineárne nezávislé riešenie, napríklad ¯w =
(1, −4)T
. Príslušné lineárne nezávislé vektorové riešenie ¯η2 má potom
tvar:
¯η2 = eλ2t
· ¯w = e−3t
(
1
−4
)
.
5
Všeobecné vektorové riešenie systému v zadaní má teda tvar:
(
x
y
)
= C1 ¯η1 + C2 ¯η2 = C1 e3t
(
1
2
)
+ C2 e−3t
(
1
−4
)
=
(
C1 e3t
+ C2 e−3t
2C1 e3t − 4C2 e−3t
)
.
Odtiaľto pre neznáme funkcie x, y potom máme:
x = C1 e3t
+ C2 e−3t
, y = 2C1 e3t
− 4C2 e−3t
, C1, C2 ∈ R.
Príklad 3
Nájdite všeobecné riešenie systému
x′
= 2x,
y′
= 2y.
Riešenie:
Prepíšeme systém do vektorového tvaru:
(
x
y
)′
=
(
2 0
0 2
)
·
(
x
y
)
.
Matica systému je:
A =
(
2 0
0 2
)
.
Ihneď vidíme, že matica A má dvojnásobné vlastné číslo λ = 2. K nemu
odpovedajúce vlastné vektory nájdeme ako riešenia homogénnej sústavy
(A − λ · I)¯v = 0 =⇒
(
0 0
0 0
)
¯v = 0.
Táto sústava má dve lineárne nezávislé riešenia, napríklad ¯v = (1, 0)T
a
¯w = (0, 1)T
. Vieme teda zostrojiť dve lineárne nezávislé vektorové riešenia ¯η
a ¯ζ daného systému:
¯η = eλt
· ¯v = e2t
(
1
0
)
, ¯ζ = eλt
· ¯w = e2t
(
0
1
)
.
6
Preto všeobecné riešenie vektorového systému môžeme zapísať v tvare:
(
x
y
)
= C1 ¯η + C2
¯ζ = C1 e2t
(
1
0
)
+ C2 e2t
(
0
1
)
=
(
C1 e2t
C2 e2t
)
.
Z tohto vyjadrenia dostávame všeobecné riešenie systému v zadaní:
x = C1 e2t
, y = C2 e2t
, C1, C2 ∈ R.
Príklad 4
Nájdite všeobecné riešenie systému
x′
= −4x − y,
y′
= x − 2y.
Riešenie:
Matica daného systému má tvar:
A =
(
−4 −1
1 −2
)
.
Pozrieme sa na jej vlastné čísla. Platí:
−4 − λ −1
1 −2 − λ
= 0 =⇒ (λ + 3)2
= 0.
Matica A má teda opäť jedno dvojnásobné vlastné číslo λ = −3. V tomto
prípade však k nemu existuje len jeden lineárne nezávislý vlastný vektor.
Vyplýva to z toho, že matica
(
−4 − λ −1
1 −2 − λ
)
=
(
−1 −1
1 1
)
má hodnosť 1, a teda jej jadro má dimenziu rovnú 2−1 = 1 (vlastné vektory
matice A prislúchajúce vlastnému číslu λ sú prvky jadra matice (A − λ I)).
Onen jeden lineárne nezávislý vlastný vektor je napríklad ¯v = (1, −1)T
. Pomocou
¯v vieme skonštruovať jedno lineárne nezávislé vektorové riešenie ¯η:
¯η = eλt
· ¯v = e−3t
(
1
−1
)
.
7
Potrebujeme nájsť ešte jedno vektorové riešenie ¯ζ systému v zadaní tak, aby
¯η a ¯ζ boli lineárne nezávislé. Riešenie ¯ζ môžeme uvažovať v tvare
¯ζ = eλt
(t · ¯v + ¯w) = e−3t
(
t
(
1
−1
)
+ ¯w
)
,
kde vektor ¯w je ľubovoľné riešenie nehomogénnej sústavy
(
−1 −1
1 1
)
· ¯w =
(
1
−1
)
.
Vektor ¯w sa nazýva zovšeobecnený vlastný vektor matice A. Riešením tejto
sústavy dostaneme napríklad ¯w = (0, −1)T
. Vektorové riešenie ¯ζ má potom
tvar:
¯ζ = e−3t
(
t
(
1
−1
)
+
(
0
−1
))
= e−3t
(
t
−t − 1
)
.
Všeobecné riešenie vektorového systému má teda tvar:
(
x
y
)
= C1 ¯η + C2
¯ζ = C1 e−3t
(
1
−1
)
+ C2 e−3t
(
t
−t − 1
)
=
=
(
e−3t
[C1 + C2t]
−e−3t[C1 + C2(t + 1)]
)
.
Pre všeobecné riešenie systému v zadaní potom platí:
x = e−3t
[C1 + C2t], y = −e−3t
[C1 + C2(t + 1)], C1, C2 ∈ R.
Príklad 5
Nájdite všeobecné riešenie systému
x′
= x + 3y,
y′
= −3x + y.
Riešenie:
Postupujeme podobne ako v predchádzajúcich príkladoch. Príslušná matica
systému je:
A =
(
1 3
−3 1
)
.
8
Stanovíme vlastné čísla matice A. Platí:
1 − λ 3
−3 1 − λ
= 0 =⇒ (λ − 1)2
+ 9 = 0 =⇒ λ = 1 ± 3i.
Jedná sa teda o prípad, keď matica A má za vlastné čísla dvojicu nereálnych
komplexne združených čísiel, konkrétne λ = 1 + 3i a ¯λ = 1 − 3i. Vlastnému
číslu λ = 1 + 3i odpovedá jeden lineárne nezávislý komplexný vlastný vektor
¯v, ktorý dostaneme riešením homogénnej sústavy:
(
1 − λ 3
−3 1 − λ
)
¯v = 0 =⇒
(
−3i 3
−3 −3i
)
¯v = 0.
Máme napríklad ¯v = (1, i)T
. Pomocou vektora ¯v vieme zostaviť komplexné
vektorové riešenie daného systému v tvare:
eλt
¯v = e(1+3i)t
(
1
i
)
=
(
e(1+3i)t
e(1+3i)t · i
)
.
Posledný vektor má komplexné súradnice. Určíme jeho reálnu a imaginárnu
časť. Pomocou Eulerovej identity máme:
e(1+3i)t
= et+3ti
= et
· ei·3t
= et
(cos 3t + i · sin 3t).
Dosadením do vyjadrenia pre získané komplexné vektorové riešenie, následným
roznásobením a rozdelením na reálnu a imaginárnu časť dostaneme:
(
e(1+3i)t
e(1+3i)t · i
)
=
(
et
(cos 3t + i · sin 3t)
et(cos 3t + i · sin 3t) · i
)
=
(
et
cos 3t + i · et
sin 3t
−et sin 3t + i · et cos 3t
)
=
=
(
et
cos 3t
−et sin 3t
)
+ i ·
(
et
sin 3t
et cos 3t
)
.
Reálna aj imaginárna časť posledného výrazu sú dve reálne lineárne nezávislé
vektorové riešenia systému v zadaní, t.j.
¯η1 =
(
et
cos 3t
−et sin 3t
)
, ¯η2 =
(
et
sin 3t
et cos 3t
)
.
Preto všeobecné vektorové riešenie daného systému má tvar:
(
x
y
)
= C1 ¯η1 + C2 ¯η2 = C1
(
et
cos 3t
−et sin 3t
)
+ C2
(
et
sin 3t
et cos 3t
)
=
9
=
(
C1et
cos 3t + C2et
sin 3t
−C1et sin 3t + C2et cos 3t
)
.
Pre neznáme funkcie x, y potom dostaneme:
x = C1et
cos 3t + C2et
sin 3t, y = −C1et
sin 3t + C2et
cos 3t, C1, C2 ∈ R.
Neriešené príklady
1. Systém z Príkladu 1 vyriešte metódou vlastných čísiel a vlastných vek-
torov.
2. x′
= 4x − 3y, y′
= 5x − 4y.
[x = C1et
+ 3C2e−t
, y = C1et
+ 5C2e−t
, C1, C2 ∈ R]
3. x′
= x + y, y′
= −5x − y.
[x = C1 cos 2t + C2 sin 2t, y = −C1(cos 2t + 2 sin 2t) + C2(2 cos 2t −
sin 2t), C1, C2 ∈ R]
4. x′
= −5x − 2y, y′
= x − 7y.
[x = C1e−6t
(cos t − sin t) + C2e−6t
(cos t + sin t), y = C1e−6t
cos t +
C2e−6t
sin t, C1, C2 ∈ R]
5. x′
= −3x − y, y′
= x − y.
[x = e−2t
(C1 + C2t), y = −e−2t
(C1 + C2 + C2t), C1, C2 ∈ R]
6. x′
= −4x, y′
= −4y.
[x = C1e−4t
, y = C2e−4t
, C1, C2 ∈ R]
10