Ortogonální operátory na euklidovských prostorech
Nechť n je přirozené Číslo. Nechť' A je ortogonální maťice řádu n, coz znamená, ze A je Cťvercová maťice řádu n nad R ťaková, ze A-AT = E. Nechť : Rn —► Rn je lineární operáťor na vekťorovem prosťoru Rn mající ve sťan-dardní bázi ťohoťo prosťoru maťici A. To znamená, ze pro kazdá vekťor x G Rn, x = (xi,..., xn) je jeho obraz <^(x) G Rn, </?(x) = (yi,..., yn) urcen predpisem
:] = A(:
yri/ \xri
Pak    je ovsem orťogonální operáťor na euklidovskem prosťoru En.
Maťice A je maťicí nad R. Uvazujme vsak dále ťuťo maťici jako maťici nad C. Takťo maťice A urcuje lineární operáťor ^ : Cn —► Cn na vekťorovem prosťoru Cn ťýmz způsobem jako váse, ťzn. ze maťice A vysťupuje jako maťice ťohoťo lineárního operáťoru ve sťandardní bázi prosťoru Cn. Cili pro kazdý vekťor x G Cn je jeho obraz ^(x) G Cn urcen analogickou formulí jako váse. Takze máme ^ = ^|Rn. Pak navíc ^ je uniťární operáťor na uniťárním prosťoru Cn výbavenem sťandardnám skalárnám soucinem.
Nechť' nýná ... jsou vsechna vzájemne ruzná reálná vlasťná cásla maťice A a nechť' a1,..., ak jsou jejich prislusne algebraicke násobnosťi. Ponevadz A je orťogonálná maťice, váme, ze plaťá ..., ^k G { — 1,1}, ťakze nuťne k ^ 2. Predpokládejme nadále, ze —1,1 G }, ťakze k = 2 (jinak bý siťu-
ace býla jesťe jednodussí). K ťomu zvolme indexování ťak, abý býlo ^1 = 1 a ^2 = —1. Nechť' dále v1, z/1,..., z^, z/^ jsou vsechný navzájem ruzne dvojice komplexne sdruzenách vlasťnách cásel maťice A a nechť' ..., jsou jejich práslusne algebraicke násobnosťi. Opeť, ponevadz A je orťogonální maťice, víme, ze plaťí I ^| = = • • • = | Vř| = |žže| = 1. Pro kazde i =1, 2 nechť' Ut C Rn je invari-anťná podprosťor v Rn vsech vlasťnách vektoru maťice A práslusnách reálnemu vlasťnámu cáslu Poťom, znovu ponevadz A je orťogonálná maťice, váme, ze dimenze Ut je rovna at pro kazde i = 1, 2. Jsou ťedý algebraicke násobnosťi vlasťnách cásel ^1,^2 rovný jejich geomeťrickám násobnosťem. Dále nechť' pro kazde j = 1,... je V j C Cn invarianťní podprosťor v Cn vsech vlasťních vek-ťoru maťice A práslusných komplexnámu vlasťnámu cáslu zj a nechť' V j C Cn je invarianťní podprosťor v Cn vsech vlasťních vektoru maťice A príslusnách komplexne sdruzenemu vlasťnámu cáslu zZj. Pak kazdá vekťor ve V j má ťvar u + iv pro jisťe vekťorý u, v G Rn a plaťá V j = {u — iv : u + iv G V j}. Navác, zase z ťoho duvodu, ze A je orťogonálná maťice, váme, ze pro vsechna j = 1,... jsou dimenze podprosťoru V j i V j rovný //j.
Pro kazde i = 1, 2 výberme ortonormální bázi (ft1,..., ftQ,t) invarianťního podprosťoru Ut C Rn. Dále pro kazde j = 1,... výberme orťonormálná bázi (gj1,..., gj/j) invarianťnáho podprosťoru V j C Cn. Pak pro kazde p = 1,..., //j má vekťor gjp ťvar gjp = rjp + isjp pro jisťe vekťorý rjp, sjp G Rn. Polozme v ťeťo siťuaci gjp = rjp — isjp. Pak posloupnosť vektoru (gj1,..., gj-^j) ťvorá orťonormálná bázi invarianťnáho podprosťoru V j C Cn. Poťom, opeť vzhledem
1
k tomu, že A je ortogonální matice, lze ukázat, že posloupnost vektorů
(fll) • • • j f1ai > f21) • • • > f2«2 , Sl1) Š11) • • • , g1/?i , gl/?i , • • • , g^1) g^1) • • • , gl/?£ , gl/% )
tvorí ortonormální bázi unitárního prostoru Cn. Navíc pak odtud plyne, že pro každe j = 1,•••,í a každe p = 1, • • •platí ||rjp|| = ||sjP||, vektory rjP a sjP jsou navžajem ortogonalní v prostoru En a vektorová podprostor [rjp, sjp] je invariantním podprostorem ortogonalního operatoru ^ v prostoru En. Ponevadž ||gjP|| = ||gjP|| = 1, snadno se odtud dale odvodí, že ||rjP|| = ||sjP|| = -\/2/2. Jestliže tedy položíme hjp = \/2rjP a kjp = sjp pro vsechna j = 1, ^ ^ ^, £ a p = 1, • • •, fy j, snadno nahledneme, že posloupnost vektoru
, ^ ^ ^ , fla1, f21, ^ ^ ^ , f2a2 , h11, k11, ^ ^ ^ , hl^1, kl^1, ^ ^ ^ , hl1, kl1, ^ ^ ^ , hl/% , kl/3£)
tvorí ortonormalní baži euklidovskeho prostoru En. Ponevadž díle míme = | ^l| = • • • = |vt| = |z/t| = 1, rožepíseme-li tato komplexní Čísla ve tvaru v1 = Gi + íti, Pí = Gi - in, ... , vt = ut + irt, i>i = ut - irt, kde Gi, ti, • • • , ut, rt G R, vidíme, že u2 + r2 = 1, ... , ui2 + rt2 = 1. Existují tedy jednožnačne určene hodnoty • • • ,ůt G (0, 2n) takove, že u1 = costi = sin... , ut = cosůt, rt = sin ůt. Navíc se pak pro každe j = 1, • • •, í a každe p = 1, • • •, //j prímou aplikací unitarního operatoru ^ na jeho vlastní vektor V/2gjP = hjp + ikjp príslusní vlastnímu císlu Vj = Gj + irj = cos ůj + i sin ůj presvedcíme (vžhledem k tomu, že    = ^|R■n), že platí vžtahy
^(hjP) = cos ůj -hjP — sin ůj-kjP, ^(kjP) = sin ůj-hjP + cos ůj•kjP
Ma tedy ortogonalní operator ^ žížení na svuj již víse žmínení invariantní podprostor [hjp, kjp] v ortonormalní bíži (hjp, kjp) tohoto podprostoru matici
cos Ůj   sin Ůj \m '~j >i   > 'i ■ •   ~ >
-sin ůj cos ůj) . To žnamení, že ortogonalní operítor ^ je v rovine generovane vektory hjP, kjP otocením kolem pocatku o uhel ůj ve smyslu od vektoru kjP k vektoru hjP. To platí pro vsechna j = 1, • • •, í a vsechna p = 1, • • •, / j.
Celkem se ukažuje, že ortogonalní operator ^ na euklidovskem prostoru En ma ve víse uvedene ortonormalní baži tohoto prostoru matici tvaru
/ 1 ... \
l
-i
-i
cos ůi  sin ůi — sin ůi cos ůi
cos ůi  sin ůi — sin ůi cos ůi
cos Ů£  sin Ů£ — sin Ů£ cos Ů£
V
(na nevyplneních požicích stojí nuly).
cos Ů£ sin Ů£ — sin Ů£ cos Ů£ ,
2