1. domácí úloha ze semináře z matematiky II, 2.3. 2016
Z dvojice úloh A a B je druhá obtížnější a je určena těm, pro které je prvá úloha jednoduchá. Stačí, když odevzdáte řešení jedné z nich.
IA. Mějme prosté lineární zobrazení ip :U —> V a vektory u1}u2,..., G U. Dokažte: Jsou-li vektory u1}u2,... ,Uk lineárně nezávislé v prostoru U, jsou lineárně nezávislé také vektory </?(iti), (p(u2), ... ,f(uk) v prostoru V.
Najděte příklad nenulového lineárního zobrazení ip a vektorů Ui,u2,... ,Uk lineárně nezávislých v U a takových, že </?(iti), (p(u2), ... ,(p(uk) jsou lineárně závislé v prostoru V.
IB. Nechť U a. V jsou vektorové podprostory v prostoru W. Nechť Wi,w2,... ,Wk je báze podprostoru UC\V, nechť wi,..., Wk,ui,...,un je báze podprostoru U a konečně nechť wi,... ,Wk,vi,... ,vm je báze podprostoru V. Dokažte, že wi,... ,Wk,ui,... ,Uk, Vi,..., vm je báze podrostoru U + V.
2A. Z definice spojitosti dokažte: Je-li funkce / : IR —y IR spojitá v bodě a, pak existuje K > 0 a ô0 > 0 tak, že pro všechna x G (a — ô0,a + 50) platí
|/(x)|</f.
2B. Dokažte z definice spojitosti. Je-li funkce / spojitá v bodě a a f {a) ^ 0, pak je v bodě a spojitá i funkce j.
3. Dokažte, že množina kladných reálných čísel je vektorový prostor nad IR, jestliže jako sčítání vektorů bereme násobení kladných čísel a jako násobení skalárem bereme umocnění na reálné číslo. Dokažte, že zobrazení log : IR+ —y IR je lineární zobrazení z tohoto vektorového prostoru do standardního vektorového prostoru IR.
l