4. domácí úloha ze semináře z matematiky II, 30.3. 2016
Z dvojice úloh A a B je druhá obtížnější a je určena těm, pro které je prvá úloha jednoduchá. Stačí, když odevzdáte řešení jedné z nich.
IA. Uvažujme spojitou funkci / : [a, b] —> IR, která má derivaci ve všech bodech otevřeného intervalu (a, b). Potom existuje bod xQ G (a, b) takový, že
o — a
Dokažte pomocí věty o nulové derivaci, kterou jsme dokázali na šestém cvičení.
IB. Nechť funkce / má derivaci na intervalu I. Nechť pro a,b £ I platí f (a) < f'(b). Potom /' nabývá všech hodnot z intervalu [/'(a),/'(&)]. Dokažte.
l