5. domácí úloha ze semináře z matematiky II, 13.4. 2016
Z dvojice úloh A a B je druhá obtížnější a je určena těm, pro které je prvá úloha jednoduchá. Stačí, když odevzdáte řešení jedné z nich.
IA. Uvažujme lineární zobrazení ip : U —> V mezi vektorovými prostory U a V. Nechť vektory u1}u2,... ,un tvoří bázi prostoru U. Udejte nutnou a postačující podmínku na zobrazení <p, aby vektory </?(iti), (p(u2), ... ,f(un) generovaly vektorový prostor V. Dokažte, že podmínka je nutná i postačující.
IB. Mějme vektorový prostor U nad IR dimenze n a lineární formy f\, f2,..., fk '■ U —> R, 1 < k < n . Dokažte:
a) dim(P)^=1 ker/j > n — k.
b) Rovnost nastane právě když jsou f\, f2, ■ ■ ■, fk lineárně nezávislé.
1