6. domácí úloha ze semináře z matematiky II, 20.4. 2016
Z dvojice úloh A a B je druhá obtížnější a je určena těm, pro které je prvá úloha jednoduchá. Stačí, když odevzdáte řešení jedné z nich.
1 A. Na základě toho, že každá posloupnost čísel v intervalu [0,1] obsahuje konvergentní podposloupnost, dokažte: Jsou-li Ij otevřené intervaly a
oo
[0,1] C (J Ij,
pak existuje n G N takové, že
n
[o, i] c U Ij.
Návod: Předpokládejme, že takové n neexistuje. Zvolme posloupnost
n
xn e [o,i]\|J/r
Její podposloupnost xrik konverguje k nějakému x G [0,1]. Odtud a z předpokladů odvoďte spor.
1B. Mějme metrický podprostor M s vlastností, že z každého otevřeného pokrytí prostoru M lze vybrat konečné podpokrytí. Dokažte, že pak z každé posloupnosti bodů z M lze vybrat konvergentní podposloupnost.
l