M2B02: Diferenciální a integrální počet II Petr Zemánek (Masarykova Univerzita, Brno) Diferenciální počet v Rn (21. března 2016) CZ. 1.07/2.3.00/30.0009 Zaměstnáním čerstvých absolventů doktorského studia k vědecké excelenci H*™ O 'XV, £3 § ^^^^fc I f0C^, L_ 1-:-1 MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, OP Vzdělávání ^^ÍJ^sT ■ TOndvCR EVROPSKÁ UNIE MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY pro konkurenceschopnost %APr INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ 7břo práce byla podpořena z projektu „Zaměstnáním čerstvých absolventů doktorského studia k vědecké excelenci" (CZ.1.07/2.3.00/30.0009), který je spoluňnancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Obsah 1 runkce vice proměnných 2 Limita funkce více proměnných 3 Spojitost funkce více proměnných 4 Parciální derivace (prvního řádu) 5 Parciální derivace vyšších řádů 6 Směrová derivace 7 Diferenciál funkce 8 Jen na okraj... (i) Kmenová funkce Derivace složené funkce Taylorova věta Implicitní funkce 9 Lokální extrémy 10 Globální extrémy Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21. března 2016 2/1o, Funkce více proměnných 1 Funkce více proměnných 2 Limita funkce více proměnných 3 Spojitost funkce více proměnných 4 Parciální derivace (prvního řádu) 5 Parciální derivace vyšších řádů Směrová derivace Diferenciál funkce Jen na okraj... (i) Kmenová funkce Derivace složené funkce Taylorova věta Implicitní funkce Lokální extrémy 10 Globální extrémy Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21. března 2016 3/104 Definice 1.4(i) Poznámka Jak je definována funkce f : R —> R? Nechť M C R", n G N a M Ý 0- Zobrazení f : M -> R se nazývá rea/na funkce n reálnych proměnných. Množina M se nazývá definiční obor funkce f a značí se D[f), tj. D(0 := {x G R" : 3z G R taková, že ŕ (x) = z}. Jinými slovy můžeme pomocí funkce f : D[f) —> R zavést relaci na D(f) xR (označme ji jako f), kdy uvažujeme uspořádané dvojice [x, z] G D (f) x R. Tato relace má následující vlastnosti: (i) x G D(f), z G R, (m) pro každé x G D [f) existuje právě jedno číslo z G R takové, že [x, z] G f. Obraz bodu x = [xi,..., x„] G D(ŕ) v zobrazení f (tj. číslo z G R takové, že [x, z] G f) označujeme jako f (x) nebo ŕ(xi,...,x„) (zcela formálně f([xi,... yXn])) a nazývá se hodnota funkce f v bodě x (též funkční hodnota), tedy můžeme stručně psát z = f [x). Oborem hodnot rozumíme množin u H [f) := {z G R : 3x G D[f) takové, že f [x) = z}. Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21. března 2016 4/1o, Značení Pro n = 2 se proměnné obvykle značí jako x,y, tj. píšeme f(x,y). Pro n = 3 se proměnné obvykle značí jako x, y, z, tj. píšeme f(x, y, z). Pro a? > 4 se proměnné obvykle značí pomocí Indexů jako xi,... , xn. Z Definice 1 -4(1) vyplývá, že funkce f je jednoznačně určena udáním definičního oboru D(f) a předpisem, který každému bodu x = [xi,...,xn] G D(f) přiřadí hodnotu f(xi,... ,xn). Pokud je předpis dán vzorcem a není udán definiční obor D[f), pak jej chápeme jako množinu všech bodů x G M", pro než má tento vzorec smysl. Příklad Určeme a načrtněme definiční obory funkcí Definiční obor Kuželosečky a kvadriky {a)f(Xiy) = !L±y. (b)f(x,y) x-y " ln(9-x2 -y2)' 2 2 (c) f(x,y) = arcsin(x +y —2), cl) f(x,y) = X2 + ^ 2)2 _ 1 ) (X2 + y2 _ 6x)_ Petr Zemánek (PřF MU, Brno) K vyšetřování definičních oborů (případně grafickému znázorňování dalších vlastností) funkcí více proměnných si připomeňme analytická vyjádření (v tzv. normálním tvaru) některých důležitých obrazců z M2 (kuže-losečky) a IR (kvadriky). 21. března 20l6 5 / 1 04 zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Kružnice 2.2 2 x + y = r x x2 y2 a2 b2 2 X + 2py 2 y + 2px 2 2 X y = 1 = 1 a2 b2 2 2 n X — C = O kružnice elipsa hyperbola parabola parabola dvojice reálnych různoběžek dvojice reálnych rovnoběžek x2 = 0 dvojnásobná přímka kde pro konstanty platí a, 6, c, r > 0, p ^ 0. Obrázky jsou převzaty z http://goo.gl/qb5YKo. 16 6 / 104 Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21. března 2011 Funkce více proměnných Pro všechny níže vystupující konstanty platí a, 6, c, r > 0, p, q ^ 0. Obrázky jsou převzaty z http://goo.gl/6rrX5p. Kulová plocha: Elipsoid: 2,2,2 2 x +y + z = r 2 2 2 x y z Jednodílný hyperboloid: — + —--- a2 bz cz 2 2 2 x y z --h---1-- a2 b2 c2 Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21. března 2016 7/1o, Funkce více proměnných Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v R Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21. března 2016 g / 10, Funkce více proměnných Kvadriky (iv) Hyperbolický válec: 2 2 a2 b2 Parabolický válec: 222 x y z -w + Vtt + -x =0 b2 2 2 a2 62 b2 x 0 0 2 j2 x — a 0 X 0 2 2 y = 2px nebo x = 2qry dvojnásobný bod dvojnásobná přímka dvojice různoběžných rovin dvojice rovnoběžných rovin dvojnásobná rovina Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21. března 2016 1 o / 104 Graf funkce Poznámka Grafem funkce f rozumíme množinu G[f) := |[xi,...,x„, ŕ(xi,...,x„)J G Rn+1 : [xi,...,x„] G D[f)j (tedy hodnotu f(xi,..., xn) chápeme jako n + 1 souřadnici). Pro /i = 2 si lze graf funkce f : IR2 —> IR představit jako rovinu nebo její část zakřivenou v IR3. Ovšem pro n > 2 již tuto možnost názorné představy ztrácíme, a proto graf funkce ztrácí na významu jako prostředek k získání představy o chování funkce n proměnných. Jediný graf funkce tří proměnných, který ještě dokážeme „znázornit", je graf funkce f(x,y, z) = 0 (co je jejím grafem?). Příklad Nechť funkce f : IR2 —> IR je dána předpisem f(xyy) = 1 + y/l — x2 — y2, Načrtněme její graf. Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v 21. března 2016 11/10 Definice 1.12(i) Příklad Pro n = 2, 3 můžeme získat docela dobrou představu o grafu funkce již pomocí vrstevnic. Nechť M C Rn, f : M —> IR je funkce /i proměnných definovaná na množině M a c G 1. Množina /č := {[xi,... ,x„] G M : f(xi,... ,x„) = c} e nazývá vrstevnicí funkce f na úrovni c. 2 2 ► Načrtněme vrstevnice pro funkci f(xyy) = e2x^x +y \ ► Mořští biologové pozorovali, že pokud žraloci zjistí přítomnost krve ve vodě, pak plavou směrem, kde koncentrace roste nejrychleji. Empiricky bylo zjištěno, že koncentrace krve (v 106 jednotek) od počátečního bodu P na hladině je dána vztahem C(x,y) = e >2+2y2)/10i kde x,y je vzdálenost od bodu P v kartézských souřadnicích. Načrtněme vrstevnice. Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21. března 2016 12/10, ► Pomocí vrstevnic a řezů rovinami pxz, pyz zobrazme graf funkce f(x,y) = ^x2+y2. o 2 2 ► Zobrazme v R graf funkce f[x,y) = ^2 + ^2, kde a, b > 0. ► Zobrazme v M3 graf funkce f(x,y) = ^/4 — x2 — y2. Funkce mohou mít i mnohem komplikovanější chování, ačkoli jsou zadány j e d n o d uchý m předpise m. z = e-[x2+y2)/8(sin(x2) + cos(y2)) z = sin(x) + 2 sin(y) Limita funkce více proměnných Funkce více proměnných 2 Limita funkce více proměnných 3 Spojitost funkce více proměnných 4 Parciální derivace (prvního řádu) 5 Parciální derivace vyšších řádů Směrová derivace Diferenciál funkce Jen na okraj... (i) Kmenová funkce Derivace složené funkce Taylorova věta Implicitní funkce Lokální extrémy 10 Globální extrémy Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21. března 2016 18/1o, Limita funkce více proměnných Pojem limity patří k základním stavebním kamenům diferenciálního počtu v IR. S jeho pomocí lze analyzovat chování funkce v ryzím okolí daného bodu. V IR je e-ové okolí bodu xo (srov. ryzí e-ové okolí xo) vlastně Interval |xo — x| < £ (jsou to všechny body vzdálené od bodu xo o méně než e). Jak ale měřit vzdálenost v IR"? Nechť P je neprázdná množina a zobrazení p : P x P —> IR splňuje pro každé x, y G P následující tři axiomy ► p(x, y) = 0 x = y (axiom totožnosti); ► p(x, y) = p(y, x) (axiom symetrie); ► p(x,y) + p(y, z) > p(x, z) (trojúhelníková nerovnost). Dvojice (P, p) se nazývá metricky prostor. Zobrazení p se nazývá metrika a číslo p(x,y) se nazývá vzdálenost bodů x,y v prostoru (P, p). Z těchto axiomů také vyplývá 2 p(x, y) = p(x, y) + p(x, y) = p(x, y) + p(y, x) > p(x, x) = 0, tedy nezápornost čísla p(x,y). Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21. března 2016 10/10, Limita funkce více proměnných ► Dvojice (P, p) se nazývá diskrétní (triviální) metricky prostor, je-li P ^ 0 a zobrazení p : P x P —> IR definované jako p(*>y) 1 pro x ^ y, 0 pro x = y. ► Dvojice (IR", Pe) se nazývá Euki(e)iclovský (metricky) prostor, je-li zobrazení pf : IR" x IR" —> IR definované pro x = [xi,...,xn] G IR" a y = [yi,..., yn] G IR" jako pE(x,y) = y (x/c -y/c): /c=l Toto zobrazení splňuje všechny tři axiomy (důkaz?). Speciálně, je-li n = 2, A = [ai, 32] a 8 = [bi, fo], pak Pe(A B) = W2 + (a2-b2)2 Podobně, je-li a? = 3, A = [ai, a2, as] a 8 = [bi, b2, b3], pak Pe(A B) = y/[ai - bi)2 + (a2 - b2)2 + (a3 - b3)2, (geometrická interpretace?) Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21.března 2016 20 / 104 Limita funkce více proměnných Příklady metrik (ii) Ekvivalence metrik p£, pe a Pmax ► Na IR" můžeme definovat i další metriky. Zejména tzv. součtovou metriku pz(x,y) a tzv. maximální metriku pmax(x,y) jako n Pz(x,y) = \xk -y/cl & 'max /c=l (x,y) = max \xk — yi<\. Kk0 pro n —> oo (limita číselné posloupnosti). Uvažme dvě metriky pi a p2 na množině P Ý 0- Tyto metriky se nazývají ekvivalentní, jestliže pro každou posloupnost {xn\^L\ platí Plv ,_v P2V xn -> x0 xn —> x0. Lze ukázat, že metriky pz, pf a pmax jsou ekvivalentní (tedy existence limity nezávisí na konkrétní volbě metriky). Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21. března 2016 21 / 104 Limita funkce více proměnných Nechť e > 0. Pak e-ové okolí bodu a G M" s metrikou p je množina C>e(a) :={x G Rn : p(x,a) < e} (obvykle budeme index e vynechávat). Ryzím okolím bodu a rozumíme množinu O*(a) := 0[a)\{a}. Jak vypadá č?(a) v M2 v metrikách pz, Pe a pmax? Vzhledem k ekvivalentnosti metrik pz, Pe a pmax si pro jednoduchost zvolíme v následujících úvahách maximální metriku pmax (nebude-ll explicitně řečeno jinak), tj. e-ovým okolím bodu a = [ai,...,a„] G M" budeme mít na mysli Oe (a) := {x = [xi,..., xn] G M" : max |x/c — a/d < e}. K/c R má v bodě x* G (M*)" limitu L, kde /_ G M*, jestliže ke každému okolí 0{L) bodu Z. existuje ryzí okolí 0*[x*) bodu x* takové, že pro každý bod x G O* (x*) n D(f) platí f (x) G £>(/.). V takovém, prípade píšeme lim f [x) = L ► L G M = vlastní limita; ► Z. G {±00} = nevlastní limita; ► x* G (R*)n = limitní bod ► Kdyby bod x* nebyl hromadným bodem, existovalo by ryzí okolí takové, že (9*(x*) H D(f) = 0 (=izolovany bod - ten je vždy prvkem dané množiny a současně je hraničním bodem), a definici by vyhovovala každá hodnota L. Proto budeme-U v dalším text hovořit o limitě funkce, bude vždy limitní bod současně bodem hromadným. ► Kromě požadavku, že x* je hromadným bodem, žádná další omezení na bod x* nejsou kladena. Funkce f nemusí být v tomto bodě ani definována, a je-li definována, pak hodnota limity nezávisí na funkční hod notě. Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v 21. března 2016 24 / 104 Takto formulovaná definice funguje zcela univer zálně v R, R2 atd. Uvedeme také analogii tzv. e — ó definice vlastní limity ve vlastním bodě. Definice 1.25(1) Ře| 0 existuje 6 > 0 takové, že pro každý bod [x,y] G č>s (M) n D[f) platí |ŕ(x,y) - L\ < e. V takovém případě píšeme lim f{x,y) = L >>y)—K*o>yo) ► S volbou maximální metriky lze požadavek [x, y] G Č>5(M) n D (f) také zapsat tak, že uvažujme body [x,y] G D(ŕ) \{[xo,yo]} splňující |xo — x| < 6 a |yo — y| < 6. ► Nerovnost \f[xyy) — L\ < e je totéž jako f(x,y) G (/. — £,/. + e). Obrázek převzat z: J. Kuběn, Š. Mayerová, P. Rackova a P. Šarmanová, Diferenciální počet funkcí více proměnných, dostupné z http://goo.gl/ssl60K Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21.března 2016 25 / 104 Limita funkce více proměnných ► Pomocí definice popišme ► Dokažme, že lim f{x,y) = +00. >,y)-Kl,0) :x,y)->(o,o) x2 +y: Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21. března 2016 26 / 10, Limita funkce více proměnných Věta 1.27(1) Příklad Limita funkce více proměnných má podobné vlastnosti jako v IR. Pro jednoduchost jsou tvrzení zformulovaná v IR2 (analogická tvrzení platí ale lve vyšších dimenzích). Důkazy jsou podobná odpovídajícím tvrzením z IR. Nechť f,g:M. —> R jsou funkce dvou proměnných. ► Funkce f má v bodě [xo,yo] nejvýše jednu limitu. (Důkaz?) ► Nechť platí lim f(x,y) = /_i & lim g[x,y) = L2, *>y)—K*o>yo) (*>y)—K*o>yo) kde Z_i, Z-2 G IR. Pak pro každé ci, C2 G IR platí lim [cif(x,y) + C2g(x,y)] = Ci/_i + c2L2, *>y)—K*o>yo) lim [r(x,y)g(x,y)] = UL2. *>y)—K*o>yo) Je-II /_2 Ý 0, pak také lim f(x,y) x,y)^(x0,yo) Éf(x,y) (a) x + y + 1 x2+y2 --, b lim .--. ;x,y)^(i,o) x + y + 3 (x,y)-Ko,o) ^x2 + y2 + 1 - 1 lim Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21. března 2016 27/10 Limita funkce více proměnných Věta 1.28(1) Nechť f,g,h:M. —> R jsou funkce dvou proměnných. ► Nechť lirri(X5y)^(X05y0) f{x,y) = 0 a funkce g je ohraničená v nějakém ryzím okolí bodu [xo,yo] (tj. existuje konstanta K > 0 taková, že platí \g[*,y)\ < K v tomto okolí n D[f)). Potom , I'm f[x,y)g[x,y) = 0. (*>yj—K*o>yoJ ► Nechť /?(x,y) < f(x, y) < g(xyy) v nějakém ryzím okolí bodu [xo,yo_ a současně platí lim h(xyy) = lim g(xyy) = L (*>y)—K*o>yo) (*>y)—K*o>yo) Pak také lim f[xyy) = L >>y)—K*o>yo) ► Má-ll funkce f v bodě [xo,yo] (R*)2 Pl D(r) vlastní limitu, pak existuje ryzí okolí bodu [xo,yo], v němž je funkce f ohraničená. (a) lim (x + y) sin — sin —, (b) lim y sin —. (x,y)^(0,0) X y (x,y)-K0,0) X Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21. března 201 6 28 / 104 Limita funkce více proměnných Limity v pro [/Lm"Lty v nevlastních bodech se obvykle využívá substituce pomocí nevlastních yUj yVj např bodech lim f[xy y) = lim f[l/uyl/v) ;x,y)^(+oo, + oo) u>0,v>0 (i/,v)-KO,0) Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21. března 2016 29/ 10, Limita funkce více proměnných Zásadní rozdíl mezí limitami v IR a v IR" pro n > 2 spočívá v dimenzi okolí limitního bodu. U funkce jedné proměnné jsme se do limitního bodu mohli blížit pouze po přímce (zprava nebo zleva, pokud se rovnají, má funkce limitu), zatímco u funkce dvou a více proměnných se do limitního bodu můžeme dostat v nekonečně mnoha směrech - po přímkách, parabolách, kubických křivkách,... Ovšem existence limity musí být nezávislá na cestě, po které se do limitního bodu blížíme. Pokud se nám tedy podaří najít dvě různé křivky takové, že při přibližování do limitního bodu po těchto křivkách dostaneme různé (částečné) limity (ty bude obvykle mnohem jednodušší určit), tak samotná limita nemůže existovat. Petr Zemánek (PřF MU, Brno) z EMAN E KPfCÜMATH .MU Ni .cz M2B02: Diferenciální počet v 21. března 2016 30 / 104 Obvykle se za tyto křivky volí přímky y = k(x—xo)+yo (typicky y = kx). S jejich pomocí lze ukázat neexistenci limity (pokud výraz závisí na k). Příklad 2 2 r x y hm —--. (x,y)^(0,0) x4 +y4 Ovšem to, že výsledná limita nezávisí na k pro libovolnou přímku, ještě neznamená, že daná limita existuje (museli bychom vyšetřit všechny možné křivky). Příklad , 3x2y lim —--. (x,y)->(0,0) x4 +y2 Petr Zemánek (PŘF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21. března 2016 31 / 104 Limita funkce více proměnných Definice 1.32(i) Věta 1.32(i) Nechť f : IR —> IR je funkce dvou proměnných. Pak limita ve smyslu Definice 1.24(1) nebo Definice 1.25(1) se nazývá dvojná. Limitní proces také můžeme aplikovat postupně. Nechť f : IR2 —> IR je funkce dvou proměnných. Pak limity Lyx = lim ( lim f(x, y)) & Z_xy = lim ( lim f(x, y)) x^xq y—>y0 e nazývají dvojnásobné (též postupné). Jaký je vztah mezi Lxy, Lyx a L := lim(x5y)^(xo5yo) f(x,y)? (a) Nechť existují limity Lxy a /_yx takové, že Lxy nemusí existovat. Lyx. Pak limita L (b) Nechť existuje limita L Pak Z_xy a Lyx nemusí existovat. (c) Exlstují-ll limity Lxy, Lyx a L, pak Lxy = /_yx = L. (d) Nechť existují limity Z-xy a /_yx takové, že Lxy ^ /_yx. Pak limita neexistuje. Poslední část předchozí věty nám dává nutnou podmínku pro existenci limity L. Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v 21.března 2016 32 / 104 Limita funkce více proměnných (a) im 5x2 - 3y: x,y)-Ko,o) x2 + 2y2 ' (c) lim (x,y)-KO,0) V ( xsm —h y sin — y x lim [x,y)^(0,0) im xsin - +y x + y xy x,y)-Ko,o) x2 + 2y2' Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21. března 2016 33 / 10, Limita funkce více proměnných Ovšem výpočet konkrétní limity v R" může být značně obtížný (zejména když nemáme ani 1'Hospltalovo pravidlo). Velmi účinným nástrojem v IR2 je tzv. transformace do polárních souřadnic x = xo + p cos (p y = yo + p sin (p, kde [xo,yo] je limitní bod, p G [0, oo) popisuje vzdálenost bodu [x, y] od pevného bodu [xo,yo] a (p G [0, 2tt) je úhel, který svírá polopřímka z bodu [xo,yo] procházející bodem [x,y] s kladnou částí osy x. y yo y i -' i i i i Je-li Z. E R a existuje-ll nezáporná funkce g(p) taková, že lim g(p)=0 & \f[xo + pcos(p,y0 + psin (p) — Z_| < g(p) pro každé p z nějakého ryzího okolí 0 a každé (p G [0, 2tt), pak platí lim f(x,y) = L [x>y)—>{*o>yo) Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21.března 2016 34 / 104 Limita funkce více proměnných Poznámka Zejména pokud po transformaci do polárních souřadnic platí , I'm ^ f(*,y) = lim My)—K*o>yo) p— kde limp^0+g-(p) = 0 a funkce h((p) je ohraničená pro (p G [0, 27t), pak lim f{x,y) = 0. (*>y)—K*o>yo) Pomocí transformace clo polárních souřadnic převedeme výpočet limity funkce dvou proměnných na výpočet limity limp^0+ g[p), k čemuž již můžeme využít i 1'Hospitalovo pravidlo. Poznámka (a) 3 i 3 i- * +y lim —--, >,y)->(0,0) x2 +y2 x2 + (y-l)2y lim x2y [x,y)^(0,0) x2 +y2' (C) IÍm 2 , f 1^2 ' (x,y)-Ko,i) x2 + (y- l)2 hm (x +y J . :x,y)-K0,0) Podobně lze postupovat i v IR3, kde se využívá transformace clo sférických souřadnic x = xo + pcos (p s\nd y = yo + psin (p sind, z = zo + pcos£. Petr Zemánek (PŘF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21. března 2016 35/10 Spojitost funkce více proměnných Funkce více proměnných 2 Limita funkce více proměnných 3 Spojitost funkce více proměnných 4 Parciální derivace (prvního řádu) 5 Parciální derivace vyšších řádů Směrová derivace Diferenciál funkce Jen na okraj... (i) Kmenová funkce Derivace složené funkce Taylorova věta Implicitní funkce Lokální extrémy 10 Globální extrémy Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21. března 2016 36 / 10, Definice 1.37(i) Poznámka Příklad Poznámka Řekneme, že funkce f : IR" —> IR je spojitá v bodě x* G IR", jestliže platí jedno z následujících tvrzení (a) bod x* je hromadným bodem definičního oboru D[f), existuje v tomto bodě vlastní limita a platí lim f{x) = f(x*); x—>x (b) bod x* je Izolovaným bodem definičního oboru D[f). ► Z části (A) vyplývá, že f musí být definována v bodě x*, musí mít v tomto bodě limitu a tato čísla si musí být rovna. ► Část (B) zahrnuje body, v nichž nelze limitu počítat. Určeme body nespojitostl funkcí 2x — 5y (a) f(x,y) x2 + y2 - 1 b) f(x,y) sin(x2y + xy2) cos(x — y) Nechť funkce f : IR" —> IR je spojitá v hromadném bodě x* G D[f) C IR". Pak existuje okolí 0[x*), ve kterém je funkce f ohraničená (tj. existuje číslo K > 0 takové, že Vx G O [x*) Pl D(f) platí |f(x)| < AC). Je-li navíc f(x*) 0, pak existuje okolí 0[x*), ve kterém funkce f nemění znaménko. Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v 21.března 2016 37 / 104 Spojitost funkce více proměnných Je-li funkce f : IR2 —> IR spojitá v bodě [xo,yo], pak jsou spojité i funkce jedné proměnné g(x) = f(x,yo) a /?(y) = f(xo,y). Tedy spojitá funkce dvou proměnných je zároveň spojitou funkcí v proměnné x při konstantním y a také spojitou funkcí v proměnné y při konstantním x (analogické tvrzení platí i pro funkce více proměnných). Opačné tvrzení ale neplatí. Rozhodněme o spojitosti funkce 0 xy ^ 0, 1 xy = 0. ^ 1 0 x 7 Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v 21 . brezna 201 6 38 / 104 Spojitost funkce více proměnných Rozhodněme o spojitosti funkcí pro [x,y] Ý [0,0], pro [x,y] = [0,0]; pro [x,y] Ý [0,0], pro [x,y] = [0,0]. Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21. března 2016 39 / 10, Spojitost funkce více proměnných Věta 1.40(1) Nechť jsou funkce f, g : IR" —> IR spojité v bodě x* G IR". Pak jsou v bodě ;pojité také funkce f db g, fg, a je-li g"(x*) ^ 0, pak i funkce f/g. Nyní se podíváme blíže na některé vlastnosti spojitých funkci dvou proměnných (analogická tvrzení platí i pro funkce více proměnných). Věta 1.40(11) Nechť g, h : IR2 —> IR jsou spojité v bodě [xo,yoL Položme uq = g"(xo,yo), vq = /?(xo,yo) a nechť funkce f je spojitá v bodě [l/o, vo]. Pak Je v bodě [xo,yo] také spojitá složená funkce F(x,y) = f(g-(x,y),/?(x, y)). Definice 1.40(1) Ře|y)—K*o>yo) Limitní vztah z předchozí definice chápeme takto: ke každému e > 0 existuje 6 > 0 takové, že pro každé (x,y) G Os([xo,yo]) H M platí |f(x, y) — f{xo,yo)\ < £, viz Definici 1.25(1). Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21. března 2016 40 / 10, Spojitost funkce více proměnných Definice 1.41 (i) Veta 1.41 (i) Z teorie funkcí jedné proměnné známe (Weierstrassova věta): Je-li funkce f : R —> R spojitá na uzavřeném Intervalu (jednostranná spojitost v krajních bodech Intervalu), pak funkce f je na tomto Intervalu ohraničená a nabývá zde své největší i nejmenší hodnoty. Co bude analogií uzavřeného Intervalu? Metrický prostor (P, p) se nazývá kompaktní, jestliže z každé posloupnosti jeho bodů lze vybrat konvergentní podposloupnost. Množina A C P se nazývá kompaktní, jestliže množina A spolu s metrikou p je kompaktní metrický prostor. Je-li P = R", pak množina A C P je kompaktní právě tehdy, když je uzavřená a ohraničená. Nechť funkce f : R —> R je spojitá na kompaktní množině M C Rz. Pak funkce f je na množině M ohraničená a nabývá zde své největší i nejmenší hodnoty (tj. existují čísla /c, K G R taková, že k < K a k < f [x, y) < K pro každé [x, y] G M) Důkaz? ■ Rozhodněme, zda funkce x2+y2 Příklad M : x +y < 1. Petr Zemánek (PŘF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21. března 2016 41 / 104 0 pro [x,y] ^ [0,0], pro [x,y] = [0,0], Spojitost funkce více proměnných Definice 1.42(i) Věta 1.42(i) Z teorie funkcí jedné proměnné známe (Bolzanova věta): Je-li funkce f spojitá na uzavřeném intervalu [a, b] (jednostranná spojitost v krajních bodech intervalu), pak funkce f nabývá všech hodnot mezi svojí největší a nejmenší hodnotou (tj. pro libovolné body xi,X2 G [a, b] a číslo c ležící mezi f{x\) a f{x2] existuje X3 G [a, b] takové, že f (X3) = c). Metrický prostor (P, p) se nazývá souvislý, jestliže P nelze vyjádřit jako sjednocení dvou neprázdných disjunktních podmnožin P, které jsou uzavřené v P. Množina A C P se nazývá souvislá, jestliže metrický prostor (>4, p) je souvislý (tedy A nelze vyjádřit jako sjednocení dvou neprázdných disjunktních podmnožin A, které jsou uzavřené v A). Otevřená mno-ina A C IR" je souvislá právě tehdy, když každé dva body z A lze spojit lomenou čarou, která leží celá v A Nechť funkce f : IR2 —> IR je spojitá na otevřené souvislé množině M C IR2. Nechť pro body A, B e M platí f(>4) ^ f(B). Pak ke každému číslu c ležícímu mezi hodnotami f [A) a existuje bod C G M takový, že f(C) = c. Zejména pro f(v4) < 0 existuje C takové, že f[C) = 0. Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v 21. března 2016 42 / 104 Parciální derivace (prvního řádu) Funkce více proměnných 2 Limita funkce více proměnných 3 Spojitost funkce více proměnných 4 Parciální derivace (prvního řádu) 5 Parciální derivace vyšších řádů Směrová derivace Diferenciál funkce Jen na okraj... (i) Kmenová funkce Derivace složené funkce Taylorova věta Implicitní funkce Lokální extrémy 10 Globální extrémy Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21. března 2016 43 / 10, Derivace funkce f : R —> R v bodě xo je definována jako rff , ■■ f[x)-f[Xo) f [xo) := lim -. x^xq X — Xq Geometrický význam: číslo f'{xo) je směrnicí tečny ke grafu funkce f v bodě [xo, f[xo)], tj. tgcp = f (x0). Parciální derivace (prvního řádu) Pro funkce více proměnných se ovšem k uvažovanému bodu můžeme blížit z nekonečně mnoha směrů. Je zcela přirozené nejdříve uvažovat situaci, kdy se clo daného bodu budeme přibližovat ve směru rovnoběžném s některou ze souřadných os (pro nezávisle proměnné). V takovém případě hovoříme o parciální (částečné) derivaci. V případě pohybu clo daného bodu ve směru daném vektorem u hovoříme o směrové derivaci. Definice 1.45(1) Nechf funkce f : R2 —> R je definována v bodě [x0,y0] a nějakém jeho okolí. Položme (p(x) := f(x,yo). M á-li funkce (p(x) derivaci v bodě xo, nazýváme ji parciální derivací funkce f podle proměnné x v bodě [xo,yo] označujeme ji jako /x(xo,yo) nebo /x(xo,yo) nebo §£(xo,yo)- Tedy r f ^ ■■ (p(x)-(p(xo) ,. f(x,y0) - f(x0,yo) /x(x0,yoJ = lim - = lim -. x^x0 X — Xo x^xq X — Xo Podobně, má-li funkce ip(y) := f(xo,y) derivaci v bodě yo, nazýváme ji parciální derivací funkce f podle proměnné y v bodě [xo,yo] a označujeme ji jako /ý(x0,yo) nebo fý{x0,y0) nebo f^(x0,yo). Pro nás budou důležité především vlastní derivace, proto budeme slovem „derivace" vždy mít na mysli „vlastní derivaci". Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21. března 2016 45 / 10, Více proměnných Poznámka Parciální derivace pro funkce n proměnných se definují zcela analogicky. Pro f (xi,..., xn) a vhodný bod [xí,..., x*] definujeme df (Xi ,..., xn J := hm dxi kde / G {1,..., n}. x;—>x. t [Xi,..., X/_i, x,-, X/_|_i,..., xn ) r ^Xi,..., xn ) x i - x * Při výpočtu parciální derivace podle nějaké proměnné tedy postupujeme tak, že všechny ostatní proměnné považujeme za konstanty. Proto lze předpoklady Definice 1.45(1) oslabit: Pro parciální derivaci podle x postačuje, aby společně s bodem [xo,yo] náležely do definičního oboru i body ve tvaru [x,yo] pro x blízká xo, tj. nějaká malá úsečka se středem v [xo,yo], která je rovnoběžná s osou x. Toto bude splněno např. ve chvíli, kdy bod [xo,yo] Je vnitřním bodem definičního oboru funkce f. Podobné požadavky postačují pro parciální derivaci vzhledem k y. Má-U funkce f : R2 -> R parciální derivace ve všech bodech nějaké množiny B C D[f), jsou tyto derivace funkcemi proměnných x,y. Tyto funkce značíme jako fx{x,y) a /ý(x,y), příp. ^(x,y) nebo |^(x,y) nebo fý[xyy) nebo f£(x,y). Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v 21 . brezna 201 6 46 / 104 Parciální derivace (prvního řádu) Věta 1.47(1) Protože se vlastně jedná o derivování funkce jedné proměnné, nemusíme se učit žádná nová pravidla pro derivování. Nechť funkce fyg : Rn -> R mají parciální derivace podle proměnné x,-, kde / G {1,..., n], na otevřené množině M. Pak jejich součet, rozdíl, součin a podíl (pokud g(x) ^ 0) má na M také parciální derivaci podle x,, přičemž pro všechna x G M platí 9 x j [f[x)±g{x\ df_ 9 x i (x)± 9 x i [f{x)g{x) f (x) ^(x))g(x) + f(x)(^(x))) df d x: dxi \g{x) (x))*(x)-f(x)(f*(x)) Príklad Vypočtěme parciální derivace pro funkce y (a) f (x, y) = arctgS (b) f [x, y) = x\ x > 0, x (c) f [x, y) = (x'+y2)3/2 v bodě [1,1], (d) f(x,y) =xln(x'-/), (e) f(xi,... ,xn) x2 + --- + x2 ex'+-+x" Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v 21.března 2016 47 / 104 Jaký je geometrický význam parciální derivace? z = /(*, y) X — Xq Průnikem roviny n : y = yo a plochy dané jako graf funkce f(x,y) je křivka y, která je grafem funkce (p(x). Pak parciální derivace /x(xo,yo) udává směrnici tečny ti k této křivce v bodě Mo = [*o,yo, ŕ(xo,yo)], ^ tg a = íf(xo,yo). Analogicky parciální derivace ^(xo,yo) určuje směrnici tečny t2 vedené bodem Mo ke křivce, která vznikne průnikem roviny x = xo a grafem funkce f[x,y), tj. tg (3 = fy(xo,yo). z = /(*, y) y = yo f Obrázek převzat z: J. Kuběn, Š. Mayerová, P. Rackova a P. Šarmanová, Diferenciální počet funkcí více proměnných, dostupné z http://goo.gl/ssl60K. "\ —> Obrázek převzat z: Z. Došlá, R. Plch a P. Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných, dostupné z http://goo.gl/x9eRgT. —> (xq, yo, 0) Parciální derivace (prvního řádu) Z teorie funkci jedné proměnné známe (Lagrangeova věta =věta o střední hod notě): Je-li funkce f spojitá na uzavřeném intervalu [a, b] (jednostranná spojitost v krajních bodech intervalu) a má-U v každém bodě x £ (a, b) vlastní nebo nevlastní derivaci f'[x), pak existuje c G (a, b) takové, že f, f{b)-f{a) f{b)-f{a) = f\c){b-á). b — a Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21. března 201 6 49/104 Věta 1.50(1) Poznámka I Nechť funkce f : R2 -> R má parciální derivace fx[xyy) a /ý(x, y) v libovolném bodě obdélníku M C R2 (tedy jeho strany jsou rovnoběžné se souřadnými osami) a nechť [xo,yo], [xi,yi] G M. Pak existují reálná čísla £, G (min{x0,xi}, max{x0,xi}) a r| G (min{y0, yi}, max{y0, yi}) taková, f(*i,yi) - f(xo,yo) = fxi^yi) (xi -x0) + /ý(x0,r|) (yi -yo). Důkaz? ■ Body [£,,yi] a [xo,r|] leží na sousedních stranách obdélníku určeného body [xo,yo], [xi,yi]. Při nepatrně odlišném postupu důkazu dostaneme velmi podobné tvrzení r(xi,yi) - f(x0,yo) = £f(£,i,yo) (xi -x0) + fy{x1,V[1) (yi - yo), kde body [£,i,yo] a leží na zbývajících stranách obdélníku. n ti m yoL. Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz xo £,1 £, *1 M2B02: Diferenciální počet v Rn 21.března 2016 50 / 104 Parciální derivace (prvního řádu) Pro funkci n proměnných lze Lagrangeovu větu zformulovat takto: Nechť pro funkci f : R" —> R existují parciální derivace (prvního řádu) Dodle všech proměnných na n-rozměrném kvádru M : [ai,bi] x ••• x _a„, bn], kde a,- < b\ pro / G {1,..., n}, a nechť x = [xi,..., xn], y = [yi,...,yn] G M. Pak existují reálná čísla £,,- G (minjx,-,y-}, max{x,,y-}) pro / G {1,..., n} taková, že n df f[y) ~ f[x) = Y- ^' _X'Í = ^l(Zl) (yi +----1" fxn{zn) {yn-Xn)y i = l dX/ kde z,- = [yi,..., y,-i, £,/, x/+i,..., xn] pro / G {1,..., n} jsou vnitřní body hrany kvádru M, tedy úseček, jejichž koncové body mají souřadnice ^ y—i ^ y ^ -xv+i) • • • ^ -x^j • Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21. března 20l6 51 / 10, Parciální derivace (prvního řádu) Poznámka Z teorie funkcí jedné proměnné známe: Má-li funkce f : R —> R v bodě xo vlastní derivaci, pak je v tomto bodě spojitá. Opačné tvrzení již neplatí (např. f[x) = |x|). Požadavek existence „vlastní" derivace je důležitý, neboť při existenci pouze nevlastní derivace tvrzení nemusí platit (např. f(x) = \/x vs. f(x) = sgn(x) pro x0 = 0). Ovšem pro parciální derivace funkce více proměnných podobné tvrzení již neplatí. Na sld. 38 jsme ukázali, že funkce f(x,y) = 0 xy ^ 0, 1 xy = 0. není spojitá v bodě [0,0]. Ovšem platí /x(0, 0) = 0 a fy(0,0) = 0 (proč?). Toto je ale zcela přirozené, neboť parciální derivace nám dávají Informace pouze o chování dané funkce ve směrech rovnoběžných se souřadnými osami, přičemž v jiných směrech může být chování i „velmi divoké". Pomocí Lagrangeovy věty ovšem můžeme odvodit postačující podmínku pro spojitost. Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21. března 2016 52/10 Důsledek 1.53(1) Důsledek 1.53(11) Má-li funkce f : M2 -> R ohi 'aničené parciální derivace na otevřené množme K CM2, je funkce f na množině K spojitá. Důkaz? ■ Všimněme si, že tvrzení Důsledku 1.53(1) není v rozporu s nespojitostí f u n kce 'O xy^O, 1 xy = 0. f(x,y) Pomocná funkce (jedné proměnné) (p(x) = f(x, yo), kde yo ^ 0 nemá totiž vlastní derivaci v bodě x = 0, protože je zde nespojitá, tj. /x(0,yo) = q/(x) pro yo ^ 0 neexistuje. Podobně je tomu pro fy(xo,0), kde xo ^ 0. Na ose y tudíž neexistuje vlastní fx s výjimkou počátku a na ose x neexistuje vlastní fy s výjimkou počátku. V bodech, kde fxafy existuje, je samozřejmě nulová, tj. ohraničená. Avšak nejsme schopni nalézt okolí počátku (tedy otevřenou množinu), v jehož každém bodě by fx a fy existovaly. Nejsou tedy splněny požadavky Důsledku 1.53(1). i Důkaz? Petr Zemánek (PřF MU, Brno) Má-li funkce f : M2 -> R parciální derivace v okolí bodu [xo,yo], které jsou v tomto bodě spojité, pak existuje okolí (9(xo,yo), na němž je funkce f(x,y) spojitá. zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v 21.března 2016 53 / 104 Parciální derivace (prvního řádu) Důsledek 1.54(i) Důsledek 1.54(11) Definice 1.54(1) Z teorie funkcí jedné proměnné známe: Nechť funkce f, g : IR —> IR mají vlastní derivace v každém bodě otevřeného Intervalu (a, b). Jestliže pro všechna x G (a, 6) platí f'[x) = g"'(x), pak se funkce f,g liší o konstantu, tj. existuje číslo c E IR takové, že f{x) = g-(x) + c. Zejména jestliže f'(x) = 0 na (a, 6), je f na (a, 6) konstantní. Nechť funkce f : IR2 —> IR má na otevřené souvislé množině M C D[f) všechny parciální derivace nulové. Pak je funkce f na množině M konstantní. Důkaz? ■ Nechť funkce f, g : IR2 —> IR mají na otevřené souvislé množině M C D[f) Pl D(g") totožné všechny parciální derivace. Pak existuje konstanta c G IR taková, že na množině M platí f(x,y) = #(x, y) + c Důkaz? ■ Nechť f : IR" —> IR a nechť v bodě x* G D{f) existují všechny parciální derivace prvního řádu. Pak vektor gradf(x*) := (fXl(x*),..., fx„[x*)) se nazývá gradientem funkce f v bodě x* T Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v 21.března 2016 54 / 104 Parciální derivace vyšších řádů Funkce více proměnných 2 Limita funkce více proměnných 3 Spojitost funkce více proměnných 4 Parciální derivace (prvního řádu) 5 Parciální derivace vyšších řádů Směrová derivace Diferenciál funkce Jen na okraj... (i) Kmenová funkce Derivace složené funkce Taylorova věta Implicitní funkce Lokální extrémy 10 Globální extrémy Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21. března 2016 55 / 10, Parciální derivace vyšších řádů Definice 1.56(i) Poznámka Podobně jako pro funkce jedné proměnné můžeme uvažovat i „derivace derivací" (nyní ovšem máme různé permutace). Jak jsme již diskutovali (viz sld. 46), pokud existuje fx ve všech bodech nějaké množiny M, pak dostáváme na M novou funkci fx[xyy), jejíž definiční obor je D(fx), přičemž obecně platí D(f) ^ D(fx) (např. f[x) = \Jx + sin xy). Pro tuto funkci můžeme také uvažovat parciální derivace. Nechť f : R2 -> R a [x0,y0] e D[f). Existuje-li parciální derivace funkce íc(x,y) podle proměnné x v bodě [xo,yo], nazýváme ji parciální derivací druhého řádu podle proměnné x funkce f v bodě [xo,yo] a značíme jako ícx(xo,yo) nebo f^-(xo,yo). Existuje-li parciální derivace funkce fx[xyy) podle proměnné y v bodě [xo,yo], nazýváme ji smíšenou parciální derivací druhého řádu funkce f v bodě [xo,yo] a značíme jako /xy(xo,yo) nebo dxdy (*o,yo) ► Parciální derivace druhého řádu /ýx(xo,yo) a /ýy(xo,yo) jsou definovány zcela analogicky. ► Parciální derivace /77-tého řádu (m > 3) definujeme jako parciální derivace derivací [m — l)-ho řádu. Kolik má funkce f : R" —> R derivací /77-tého řádu? Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21. března 201 6 56 / 104 Příklad Vypočtěme parciální derivace druhého řádu pro funkce (viz sld. 47) Příklad Příklad Věta 1.57(i) y (a) f[x,y) = arctg-, (b) f[x,y) =x\ x> 0. x Ukažme, že funkce i/(x,y,z) u zz 0. ^/x2+y2+z2 splňuje rovnost uxx + i/yy + Záleží u smíšených parciálních derivací na pořadí derivování? Vypočtěme smíšené parciální derivace druhého řádu v bodě [0,0] pro fu nkcl = fxy^ [*,y]^[0,0], \0 [x,y] = [0,0]. Nechť pro funkci f : IR2 —> IR existují v nějakém okolí 0(xo>yo) bodu [xo,yo] £ smíšené parciální derivace druhého řádu /xy(x, y) a /yx(x,y), které jsou spojité v bodě [xo,yoL Pak platí fxy(x0,yo) = ^x(x0,yo) (tedy smíšené parciální derivace druhého řádu jsou zaměnitelné) Důkaz? Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21.března 2016 57 / 104 Parciální derivace vyšších řádů Věta 1.58(1) Poznámka Tedy spojitost smíšených parciálních derivací fxy a fyx postačuje pro jejich rovnost. K tomu je ovšem potřeba spočítat fxy a fyx - jenže z toho už bezprostředně poznáme jejich (ne-)rovnost. Tedy použití Věty 1.57(1) není příliš efektivní, naštěstí máme užitečnější tvrzení. Nechť v nějaké okolí (9(xo, yo) bodu [xo,yo] £ D{f) pro funkci f : R2 -> R platí: ► existují parciální derivace prvního řádu fx[xyy) a fy[xyy), ► existuje smíšená parciální derivace druhého řádu fxy{x,y) (s případnou výjimkou samotného bodu [xo,yo]), ► existuje lim fxy(x,y) = K. (*>y)—K*o>yo) Pak obě smíšené parciální derivace druhého řádu /xy(xo,yo) a fyx{xo,yo) existují a platí ícy(x0,yo) = K = fyx(x0,y0). Důkaz? Petr Zemánek (PřF MU, Brno) Poslední předpoklad je splněn zejména ve chvíli, je-li smíšená parciální derivace druhého řádu fxy{x,y) spojitá v bodě [xo,yo]. Pak Věta 1.58(1) ukazuje, že z existence a spojitosti jedné smíšené parciální derivace druhého řádu již plyne existence druhé a jejich rovnost. zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v 21 . brezna 201 6 58 / 104 Parciální derivace vyšších řádů Podobné tvrzení i pro smíšené parciální derivace vyšších řádů. Pro nás bude postačující následující formulace tohoto tvrzení. Nechť funkce f : IR2 —> IR má na otevřené množině M spojité všechny parciální derivace až do řádu m, kde m G N a m > 2. Pak hodnoty všech smíšených parciálních derivací funkce f až do řádu m nezávisí na pořadí derivování, ale pouze na tom, kolikrát se derivovalo podle proměnné x a kolikrát podle proměnné y. Důkaz? ■ Analogická tvrzení platí i pro funkce f : IR" —> IR. Kolik nejvýše může mít funkce f : IR" —> IR různých parciálních derivací /77-tého řádu při splnění požadavků Věty 1.59(1)? Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21. března 2016 59 / 10, Směrová derivace Funkce více proměnných 2 Limita funkce více proměnných 3 Spojitost funkce více proměnných 4 Parciální derivace (prvního řádu) 5 Parciální derivace vyšších řádů 6 Směrová derivace Diferenciál funkce Jen na okraj... (i) Kmenová funkce Derivace složené funkce Taylorova věta Implicitní funkce Lokální extrémy 10 Globální extrémy Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21. března 201 6 60 / 104 Parciální derivace funkce f : IR" —> IR v bodě x* G D(f) C IR" je vlastně obyčejná derivace, kterou získáme zúžením definičního oboru funkce f na přímku jdoucí bodem x* a rovnoběžnou s /-tou souřadnou osou. Nyní provedeme podobné zúžení, ovšem přímka bude mít směr vektoru u = (tfi, ^2)T £ V2 \{0}, kde V2 je množina vektorů v IR2. Tedy místo funkce f : IR2 —> IR budeme vyšetřovat funkci (p(í) = f(xo + íi/i,yo + tí/2). Definice 1.61 (i) Nechť f : R" ^ R, x* je vnitřní bod D(f) a u e Yn \ {0}. Položme (p(ŕ) := f(x* + ŕí). Má-li funkce (p(r) derivaci pro ŕ = 0, nazýváme ji směrovou derivací funkce f v bodě x* (nebo derivací funkce f ve směru vektoru ú) a značíme jako fc(x*) nebo §4(x*), tj. IR platí (x*) = fXj[x*). Zejména tedy pro f : IR2 —> IR dostáváme rovnosti /j10|T (xo, yo) = £c(*o,yo) a ^(o,i)T(Xo^o) = fy(x0,y0). ► Jestliže fc(x*) existuje, znamená to, že funkce (p(r) je definována v okolí nuly. Proto místo podmínky, že x* je vnitřní bod D[f), stačí pouze předpokládat, že funkce D[f) obsahuje úsečku, která má střed v bodě x* a je rovnoběžná s vektorem u. Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v 21. března 2016 61 / 104 Poznámka Vzhledem k tomu, že i směrová derivace je vlastně definována jako obyčejná derivace funkce (p(r), platí pro její počítání následující pravidla. Nechť pro x* G M" existuje fa[x*) a ga[x*), pak ► pro každé cGl\{0} existuje fCu{x*) a platí fcú{x*) = cfff[x*), ► (f±gMx*) = fir(x*)±giT(x*), ► ífgMx*) = Mx*)g[x*) + f(x* f\r*. fÁX*)g[x*) + nX*)gÁX*) . ,. , *,/n - (* j =-^—t-, je-li g[x j Ý 0. Geometrický význam směrové derivace: tg a = fe(x*). Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21. března 2016 62 / 10, Poznámka Jestliže je vektor grad f(x) spojitý v bodě x*, pak platí n df = (grad f(x*), Ü) = J~ -^-{x*)uk, k=l Xk kde (J, i7) := JT • i7 = YJi=i UkVk Je skalární součin. Příklad Vypočtěme směrovou derivaci fu{xo,yo), je-li dáno: (a) f(x,y) = x" - 3xy - 2yz, [x0,yo] = [—1,1], i/=(2,-1)T, 2 2 "T~ t>) f(x,y) = arctg(x +y ), [x0,yo] = [1,-1]) "= (1,2) , (c) f(x,y) (d) f(x,y) 2 2 x — y x2 +y 2, [x0,yo] = [1,1], ff= (2,1)T, X x^yln-, [x0,yo] = [2, 3], ff=(l,—2)T, y d) f(x,y) = x3-y4 x2+y2 0 [x,y] ^ [0,0], [x,y] = [0,0], [x0,y0] = [0,0], u = (3,1) T Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21. března 2016 Poznámka Věta 1.64(1) Je-li grad f(x) spojitý v bodě x*, pak ze vzorce pro odchylku dvou vektorů := y/(uy u), a z předchozí rovnosti plyne cos (p = n^íi ik-^ii , kde u\\ v u fuix*) — (grad f[x*), Ü) = llgrad r(x*)|| \\u\\ cos (p

IR a nechť vektor grad f(x, y) je spojitý a nenulový v bodě [xo,yo]. Pak směrová derivace fa[xoyyo) ve směru jednotkového vektoru u nabývá nej větší hodnoty pro u = f[xo yo)|| a nejmenší hodnoty pro Ú = — f [xo'yo)|| • Maximální hodnota potom je fr(x0,yo) = llgrad f(xo,yo)|| a minimální fe(x0,yo) = — ||grad f{x0,y0)\\. Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21 . brezna 201 6 64 / 104 Ilustrace významu grad f pro f(x,y) = x2/2 + y2/2 v bodě [1,1]. Definujeme Vf(x) := (grad f(x))T, tj. V značí tzv. Hamiltonův ncibici operátor V := ( 93^-> •••> 9^ ). z =f(x,y) růstu funkce f Gradient vlastně udává směr největšího sklonu/spádu. Také platí, že vektor grad f[x*) je normálou (tj. kolmý k tečně) pro vrstevnici funkce f, která prochází bodem x*. Příklad Poznámka Najděme jednotkový vektor Ú, pro který je směrová derivace funkce f(x,y) = x1 + y2 + 4 v bodě [2,1] největší, a určeme její hodnotu. Vedle Identit uvedených na sld. 62 již však nemusí platit aditivita směrových derivací vzhledem k vektorům určujícím směr derivace. Jestliže existují fff[x*) a f?[x*), nemusí existovat fr+^x*). A i když existuje fr+^x*) může být fcr+vix*) ^ fa[x*) + f?[x*). Ovšem platí: Nechť fff[x*) je spojitá v nějakém okolí 0[x*) bodu x* a nechť existuje f?[x*). Potom platí fjj+ý{x*) = fe(x*) + f?[x*). Příklad Nechť f(x,y) = _|^_^ [x,y]^[0,0], [x, y] ^ [0,0] [xo,yo] = [0,0], Ú = (1,0)T a v = (0,1)T. Ukažme, že existují ^(0,0), Wy 0), fr+7(0, 0), avšak fr+7(0, 0) ^ fr(0, 0) + fr(0, 0). Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21. března 201 6 67 / 104 Poznámka Již víme, že z existence všech parciálních derivací prvního řádu funkce f v bodě x* neplyne spojitost funkce f v bodě x* (viz sld. 52). Ovšem ani existence směrové derivace fc(x*) v libovolném směru neimplikuje spojitost funkce f v bodě x*. Toto může být na první pohled překvapující, protože nyní již zahrnujeme všechny směry přiblížení. Ovšem všechny tyto směry reprezentují přiblížení po přímkách, přičemž definice limity (s jejíž pomocí je definována spojitost) zahrnuje všechny způsoby přiblížení do bodu x* (paraboly, kubické křivky, ...). Příklad Ukažme, že funkce [x,y] Ý [0,0], [x, y] = [0,0], má v bodě [0,0] směrovou derivaci fc(0,0) pro libovolném směr u G V2 \{0}, ovšem není v tomto bodě spojitá. Poznámka Podobně jako u parciálních derivací lze definovat také směrové derivace vyšších řádů, např. /"^(x*) = -^-(x*). Navíc i pro směrové derivace dud v vyšších řádu lze dokázat obdobná tvrzení jako ve Větách 1.57(1), 1.58(1) a 1.59(1). Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v 21. března 2016 68/10 Diferenciál funkce Funkce více proměnných 2 Limita funkce více proměnných 3 Spojitost funkce více proměnných 4 Parciální derivace (prvního řádu) 5 Parciální derivace vyšších řádů Směrová derivace 7 Diferenciál funkce Jen na okraj... (i) Kmenová funkce Derivace složené funkce Taylorova věta Implicitní funkce Lokální extrémy 10 Globální extrémy Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21. března 2016 6g / 10, Pro funkci jedné reálné proměnné f : R —> R je diferenciál c\fXQ(h) definován jako přírůstek funkce na tečně t ke grafu funkce f v bodě T = [xoyf[xo)]. Chceme vlastně najít číslo A G R takové, aby přibližně platilo f[xo + h) - f M = Ah, kde \h\ je malé reálné číslo. Při této aproximaci se ovšem dopustíme chyby t(/?) := f(xo + h) — f[xo) — Ah a je rozumné požadovat, aby Iim/^o t(h)/h = 0 (pak totiž existuje nejvýše jedno číslo A s požadovanými vlastnostmi). Pokud takové číslo A G R existuje, nazývá se funkce f diferencovatelná a lineární funkce c\fXQ{h) := Ah se nazývá diferenciál funkce f v bodě xo. Navíc existence diferenciálu je pro f : R —> R ekvivalentní s existencí vlastní derivace funkce f v bodě xo, přičemž platí rovnost c\fxo{h) = f'{x0)h. xq x0 + h Na úvod poznamenejme, že se v této kapitole zaměříme výhradně na funkce dvou proměnných - pro funkce více proměnných lze postupovat analogickým způsobem. Uvidíme, že pro funkce více proměnných představuje diferenciál z geometrického pohledu opět náhradu funkce tečnou (nad-)rovlnou, ovšem jeho souvislost s parciálními derivacemi je mnohem komplikovanější. Uvažme funkci f : IR2 —> IR a zvolme pevně bod [xo,yo] £ D [f) C IR2, v jehož nějakém okolí je funkce f definována. Vezměme nyní malá reálná čísla /?, k (kladná, záporná, alespoň jedno nenulové) a posuňme se z bodu [xo,yo] do bodu [xo + /?,yo + k] (viz obrázek níže pro h < 0 a k > 0). A x0 + h x0 Čísla /?, k se nazývají přírůstkem nezávisle proměnných. Pokud x = xo + /? a y = yo + /c, pak h = x — xo a /c = y — yo. Analogicky se rozdíl funkčních hodnot v bodech [xo,yo] a [xo + /?, yo + /c], tj. číslo f(xo + /7, yo + /c) —f(xo,yo) nazývá přírůstkem závisle proměnné. Nyní bychom chtěli nahradit funkci f : IR2 —> IR v jistém okolí (9(xo,yo) bodu [xo,yo] lineární funkcí (jejímž grafem bude rovina). Tedy chceme najít taková čísla A, B G IR, aby v „dostatečné blízkosti" bodu [xo,yo] platilo f{xo + h, y0 + k) - f[xo, y0) = Ah + B/c. Při tomto nahrazení se přirozeně dopustíme jisté chyby (pokud není sama funkce f lineární). Tato chyba závisí na hodnotách /?, k. Označíme ji proto jako w{h, k), přičemž platí w[hy k) = f{x0 + /?,y0 + k) — f(x0,yo) — Ah — Bk. Zajímá nás nyní, zda existují čísla A, B taková, že w{h, k) nabývá pro „dostatečně malé" hodnoty \h\ a \k\ hodnot blízkých nule. Co zde rozumíme pojmem „malá" hodnota? Ukazuje se rozumné (podobně jako pro funkci jedné proměnné) požadovat, aby limita funkce w{h, k) dělená vzdáleností bodů [xo,yo] a [xo + /?, yo + k] (měřené nyní v Euklidovské metrice, tj. y/h2 + k2) se rovnala nule pro h —> 0 a k —> 0, tedy lim W[^k) =n (/■,<í)-»(o,o) Jtí1 + k2 Definice 1.73(i) Poznámka Nechť funkce f : IR —> IR je definována v nějakém okolí bodu (9(xo,yo). Existují-li taková konečná čísla A, B G IR, že pro funkci k) definovanou jako w[h,k) = f{xo + /?,y0 + k) - f{x0,y0)-Ah-Bk platí lim w{h, k) 0, (/i,fr)-K0,0) V/?2 + k2 " ' pak říkáme, že funkce f je v bodě [xo,yo] diferencovatelná. Lineární funkci d/(X0)y0) (/?, /c) = v4/? + Bk nazýváme totálním diferenciálem funkce f v bodě [xo,yo]. Totální diferenciál z Definice 1.73(1) se často označuje pouze jako diferenciál, příp. silný nebo Fréchetův diferenciál. Existují i jiné (obecnější) diferenciály, např. tzv. slabý (Gáteauxův) diferenciál. Ve jmenovateli limity (2) je výraz \Jh2 + k2, který souvisí s volbou metriky p£. Pokud zvolíme maximální metriku poo, tj. nahradíme jej výrazem max{/], k}, nebo součtovou metriku, tj. nahradíme jej výrazem \h\ + \k\, obdržíme ekvivalentní definici diferenciálu (vždyť tyto metriky jsou ekvivalentní). Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21.března 2016 73 / 104 Diferenciál funkce Věta 1.74(1) Věta 1.74(11) Podobně jako v IR diferencovatelnost funkce f : IR s parciálními derivacemi. IR úzce souvisí Nechť funkce f : IR2 —> IR je diferencovatelná v bodě [xo,yoL Pak Jsou čísla >4, B ve vztahu (2) určena jednoznačně, existují parciální derivace íc(x0,yo),/ý(x0,yo) a platí A = íf(x0,yo), B = /ý(x0,yo). Tedy pro diferenciál funkce f v bodě [xo,yo] dostáváme clf(x0,ro)(/7) x) = íc(x0,y0)/7 + /ý(x0,yo)/c. Důkaz? ■ Již víme, že existence parciálních/směrových derivací není dostačující pro spojitost funkce f. A diferencovatelnost? I Je-li funkce f : IR bodě spojitá. Důkaz? ■ IR diferencovatelná v bodě [xo,yo], P^k je v tomto Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v 21.března 2016 74 / 104 Příklad Příklad Věta 1.75(i) Ukažme, že funkce 0 xy^O, 1 xy = 0. není v bodě [0,0] diferencovatelná (viz sld. 38). f(x,y) Jak ale poznáme, že daná funkce je diferencovatelná v nějakém bodě? Z předchozího plyne, že funkce musí být v tomto bodě spojitá a musí zde mít parciální derivace prvního řádu. To ale není postačující. Ověřme, že funkce f(x,y) x2y x2+y2 0 [x,y] Ý [0,0], [x, y] = [0,0], je spojitá v bodě [0,0], má v tomto bodě obě parciální derivace prvního řádu, ale není zde diferencovatelná (viz sld. 35). Má-li funkce f : IR2 —> IR spojité parciální derivace prvního řádu v bodě ,yo], pak je v tomto bodě diferencovatelná. Důkaz? ■ Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v 21.března 2016 75 / 104 Příklad Ověřme, že funkce f(x, y) je v bodě [xo,yo] diferencovatelná a vypočtěme df(>o,yú)íhik)> jestliže (a) f[xyy) = 2xy- -3x2y + ylnx, [x0, yo] = [1, 2], (b) f(x,y) = arctg-, [x0,yo] = [1,-1]. y Příklad Ovšem Věta 1.75(1) dává pouze postačující podmínku pro diferencova-telnost funkce f : R —> R. Uvažme funkci f : R —> R definovanou jako f ŕ2 sin 1 í^O, f(x,y) = IR můžeme tedy shrnout: cl^x0,y0)(/7) k) existuje => existují íc(x0,yo) a ^(x0,yo), viz Věta 1.74(1) cl^(xo,yo)(/7)/c) existuje => funkce f je spojitá v [xo,yo], viz Věta 1.74(11) fx(x0,y0) a fy(x0,y0) existují potom d/(X0)y0) (/?, /c) nemusí existovat, viz Příklad na s Id. 75 f je spojitá a fx(x0,yo), /ý(x0,yo) existují potom d/(X0)y0) (/?, /c) nemusí existovat, viz Příklad na s Id. 75 íc(x0,yo), /ý(xo,yo) jsou spojité => cl^(xo,yo)(/7) k) existuje, viz Věta 1.75(1) cl^(xo,yo)(/7)/c) existuje potom fic(x0,yo) a /ý(x0,yo) nemusí být spojité, viz Příklad na sld. 76 Z existence diferenciálu tedy také plyne existence obou tečen ti a ti z obrázku na slídu 48. Nyní si ukážeme, že rovina určená těmito přímkami je skutečně tečnou ke grafu funkce f(x,y) v bodě Mq. Rovina t : z = Ax+ By+ C se nazývá tečnou rovinou funkce f : IR v bodě Mo = [xo,yo, r(*o,yo)], jestliže ► rovina t prochází bodem Mo, .platí - nx,Y)-Ax-By-C lim x ,y)-K*o,yo) ^/(x — x0)2 + (y — yo)2 Druhá podmínka vlastně vyjadřuje, že poměr vertikální vzdálenosti mezi grafem funkce f[xyy) a rovinou t v bodě [x, y] a vzdáleností bodů [x, y] a [xo,yo] se blíží k nule, jestliže se bod [x,y] blíží k [xo,yoL tj. čitatel se blíží k nule rychleji než jmenovatel. Z první podmínky plyne, že f(xo,yo) = A>co+£yo+C, tedy C = f(xo,yo) — Axq — Byo, což po dosazení dává t: z = >4(x — x0) + B{y — y0) + f(x0,yo). Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21. března 2016 78/10, Diferenciál funkce Dosazením předchozího vyjádření C clo limity ve druhé podmínce obdržíme požadavek 0 = lim (*>y)—K*o>yo) lim (/i,fr)->(0,0) f(x,y) - f{x0,yo) —A[x — xq) - B{y - y0) ^(x-x0)2 + (y-yo)2 f(x0 + ft, yo + /c) - f (x0, y0) - Ah - Bk Vh2 + /c2 x=xo + y=yo+/f což je shodné s podmínkou v Definici 1.73(1). Tedy existence tečné roviny je ekvivalentní s existencí totální diferenciálu dr(XO)yo)(/7, k). Navíc podle Věty 1.74(1) musí platit A = £c(xo,yo) a B = ^(xo,yo). Tečná rovina t ke grafu funkce f : IR2 —> IR v bodě xo, yo, r(xo, yo) existuje právě tehdy, když je funkce f diferencovatelná v bodě [xo,yo] Její rovnice je potom t : z = íf(xo,yo) (x - x0) + /ý(x0,yo) (y — yo) + f(xo,yo), nebo-ll volbou zo := f(xo,yo) dostáváme t: z-zq = clf(wo)(x-x0,y-y0). Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21.března 2016 79 / 104 Je-ľi t tečná rovina ke grafu funkce f : R2 —> R v bodě Mo = [x0,yo, ŕ(*o> yo) pak přímka procházející bodem dotyku Mo a kolmá k rovině t se nazývá normálo ke grafu funkce f[x,y) v bodě Mo. Protože normálový vektor roviny t je (fx[xo,yo), fy[xo,yo), — l), parametrické rovnice normály jsou n: x = xq + t ŕx(x0>yo), y = yo + t fy[x0, y0), z = z0 — ŕ, ŕ G M. Jsou-li navíc k(xo,yo) Ý 0 ^ /ý(xo,yo), pak lze parametr ŕ vyloučit, čímž dostaneme x — x0 y — yo n: f[x0,yo)-z íc(x0,yo) /ý(xo,yo)' M_0=[1,2,4] Plocha o rovnici 2 , „2 x2+j>z + z- 9 = 0 Normála Tečná rovina Příklad Určeme rovnici tečné roviny a normály ke grafu funkce r(x,y) = 2x2y - 3xy3 + - + ex+2y y v bodě [—2,1, ?]. Příklad Najděme rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x,y) = 2x2 -y2, která je rovnoběžná s rovinou p : 8x — 6y — z — 15 = 0. Petr Zemánek (PŘF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21. března 2016 81 / 104 Z geometrického hlediska je tedy opět diferenciál funkce v daném bodě přírůstkem funkce na tečné rovině. Funkce w{h, k) určuje rozdíl mezi skutečným přírůstkem a přírůstkem na tečné rovině, tj. platí f[xyy) - f{x0,yo) = df[xo,yo){h, k) + w{h, k), kde df(Xo,yo)(/7, k) představuje lineární část přírůstku (je to lineární funkce) a w{h, k) představuje nelineární část přírůstku. **fu.*\ \ ^STl fHAAft TCArt: w j-- Obrázek převzat z http://goo.gl/mDqrHd. —:-;- rut ^ t lep*, ■ r^-x. Rovnice tečné roviny je nejlepší lineární aproximace funkce f(x,y) v okolí bodu [x0,yo]. Pokud není tečná rovina t rovnoběžná s osou x nebo y, tj. /x(xo,yo) ý 0 ý ŕy(xo,yo), je nelineární část přírůstku k) menší než lineární část c'f(x0,y0)(^ čenoz se c'á využít ke stanovení přibližné funkční hodnoty f(x,y) = f{x0,y0) + clf(Xo,yo)(/7,/c) pro [x,y] blízké [x0,y0]. Toto použití již dnes ztratilo smysl, ovšem diferenciál se využívá např. při náhradě složitých nelineárních úloh jednoduššími (i když méně přesnými) lineárními. Diferenciál se také často používá k aproximaci absolutních a relativních změn veličin, tj. Af(xo,yo) = f[xo + hyy0 + k) - f{x0,y0) a ^í^iZ^l. r(x0,yoJ Pak totiž platí Af(xo,yo) c\f[x0yyo){h,k) Af(xo,yo) = clf(Xo,yo)(/7, k) a f(x0,yo) f(xo,yo) Při těchto aproximacích se dopustíme jisté chyby, která je dána funkcí w{h, k) v případě absolutní změny a podílem yJ) v případě relativní změny. Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21. března 2016 83/10, Příklad Pomocí diferenciálu vypočtěme přibližně (a) 1,042'02, (b) V2,982 + 4,052. Příklad Válcová plocha měla mít podle plánu poloměr ldm a výšku 5 dm. Nepřesností výroby je poloměr větší o 0,03dm a výška menší o 0, ldm. Odhadněme pomocí diferenciálu absolutní a relativní změnu objemu. Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21. března 20l6 84 / 1 04 Jen na okraj... (i) Funkce více proměnných 2 Limita funkce více proměnných 3 Spojitost funkce více proměnných 4 Parciální derivace (prvního řádu) 5 Parciální derivace vyšších řádů Směrová derivace Diferenciál funkce 8 Jen na okraj... (i) Kmenová funkce Derivace složené funkce Taylorova věta Implicitní funkce Lokální extrémy 10 Globální extrémy Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21. března 201 6 85 / 104 Jen na okraj... (i) Kmenová funkce Mějme zadáno P(x,y)dx + C?(x,y)dy, (3) kde P(x,y) a Q(x,y) jsou spojité funkce na otevřené jednoduše souvislé množině O, které zde mají spojité parciální derivace Py(x,y) a Qx(x,y). Je výraz (3) totálním diferenciálem nějaké funkce H[xyy)? Ano právě tehdy, když platí Py(x,y) = Qx(x,y) pro všechny [x,y] G O. Hledaná funkce H(x,y) se nazývá kmenová funkce. Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21. března 201 6 86 / 104 Jen na okraj... (i) Derivace složené funkce Věta 1.87(1) Příklad Příklad Pro funkce jedné proměnné platí: Nechť funkce u = g{x) má vlastní derivaci v bodě xo. Má-li funkce y = f(x) vlastní derivaci v bodě uo = g[xo), pak složená funkce y = F(x) = f(g"(x)) má vlastní derivaci v xo a platí y'(xo) = f [uo] g[xo). Jak derivovat složené funkce více proměnných? Nechť funkce u[xyy) a v[xyy) mají parciální derivace prvního řádu v bodě [xo,yo]. Položme uo = i/(xo,yo), = v(xo,yo). Nechť funkce v) je diferencovatelná v bodě [i/o, vol- Pak složená funkce F(x, y) = f(u(x,y), v(x,y)) má parciální derivace prvního řádu v [xo,yo] a platí dF r . df , ,3u, , df , ,3i/, , ^-lx0,yoJ = ^-(^o, vo)-—{xo,yo) + ^-(uo, ^oJ ^-(x0, y0J, ox ol/ ox 01/ ox (*o,yo) ^-("o, ^/oJ^-lx0,yoJ + ^-(tfo, ^/oJ^-lx0,yoJ, öl/ o y 01/ o y FX = fU UX + fv Vx, Fy = fu Uy + fv V y iy 'y Petr Zemánek (PřF MU, Brno) Vypočtěme Fx a Fy, jestliže F(x,y) = f[u,v), kde f[u,v) = u2 + v2, l/(x, y) = x — y a v(x, y) = x/y. Pomocí transformace clo polárních souřadnic x = pcoscp a y = psincp najděme všechny diferencovatelné funkce f : IR2 —> IR splňující rovnost y íc(x,y) -x/ý(x,y) = 0. 21. března 20l6 87 / 1 04 zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Jen na okraj... (i) Taylorova věta Pro funkce jedné proměnné platí: Nechť má funkce f : R —> R v okolí bodu xo vlastní derivace až do řádu n + 1 včetně pro nGNU {0}. Pak pro všechna x z tohoto okolí platí f [x) = f (xoj H---—(x-xoJH-----1---—(x-xoj + R„[x)y 1! ľll kde Rn[x) = f\n+l^ (x — xq)"+1 a £, je vhodné číslo ležící mezi xo a x. Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21. března 201 6 88 / 104 Jen na okraj... (i) Taylorova věta Nechť funkce f : M2 -> R má v bodě [xo,yo] a nějakém jeho okolí spojité parciální derivace až do řádu n + l včetně pro n G NU{0}. Pak pro každý bod [x, y] z tohoto okolí platí f[*yy) = Tn{x,y) + /?„(x,y), kde pro h = x — xq, k = y — yo a £ E (0,1) klademe 7~n(x,y) = f(x0,y0) + (^^~ ^x°'+ |^(xo?yo)^ + 2! V dx2 (x0,yo)/7 +2 1 A n 7=0 V 9x 9y (x0,yo)/7/c + ^-^(x0,yo)/c + dy j I dx"-J dyJ j(xo,yo)hn Jk\ n+l A7 + 1 .n+l f j ] dxn+1~j dyJ .(x0+dh,yo+dk)h n+l-j Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21. března 2016 80/10, Jen na okraj... (i) Implicitní funkce Nechť F : IR2 —> IR je spojitá funkce. Jaké vlastnosti funkce F zaručí, že rovnice F(x, y) = 0 je jednoznačně řešitelná vzhledem k y, tedy existuje spojitá funkce g : IR —> IR taková, že rovnost F(x,y) = 0 je ekvivalentní s y = g-(x)? Nebo uvažme množinu (křivku) M = {[x,y]GD(f): F(x,y)=0}, např. pro F(x,y) = x2 + y2 — 1 je M jednotková kružnice se středem v počátku. Zvolme nějaký bod na křivce M a chtějme vyšetřit chování křivky v okolí tohoto bodu (např. rovnici tečny a zda funkce leží nad/pod tečnou). Platí-li F(x,y) =y—g[x), pak je křivka M přímo grafem nějaké funkce jedné proměnné a problém lze snadno vyřešit pomocí g' a g". V některých jednoduchých případech to opravdu je možné (např. právě pro kružnici). Ovšem co když např. F(x,y) = x3 +y3 — 2xy? Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v 21.března 2016 go / 104 Jen na okraj... (i) Implicitní funkce Definice 1.91 (i) Veta 1.91 (ii) Nechť F : r2 -> r, F(x0,y0) = 0 a M = {[x,y] G D(f) : F(x,y) = 0}. Jestliže existuje nějaké okolí (9(xo,yo) = {[x,y] G D(F) : \x — xo| < 6, |y — yol < ô} bodu [xo,yo] takové, že množina M n 0(xo,yo) je totožná s grafem funkce y = #(x) pro |x — xo| < 6, řekneme, že funkce g je v okolí bodu [xo,yo] definovaná Implicitně rovnicí F(x,y) =0 Nechť je funkce F : r2 —> R spojitá na čtverci /? = {[x,y] G D(F) : |x — xo| < a, |y — yo| < a} a nechť F(xo,yo) = 0. Dále předpokládejme, že funkce F má spojitou parciální derivaci Fy(x,y) v bodě [xo,yo] a platí Fy(xo,yo) ý 0. Pak existuje okolí bodu [xo,yo], v němž je rovností F(x, y) = 0 Implicitně definována právě jedna spojitá funkce y = g [x). Má-ll navíc F na čtverci R spojité parciální derivace 1. řádu, pak má funkce g (x) v bodě xo derivaci a platí g'{x0) = - Fx(xo,yo) Fy(xo,yo)' Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v 21. března 2016 91 / 104 Lokální extrémy Funkce více proměnných 2 Limita funkce více proměnných 3 Spojitost funkce více proměnných 4 Parciální derivace (prvního řádu) 5 Parciální derivace vyšších řádů Směrová derivace Diferenciál funkce Jen na okraj... (i) Kmenová funkce Derivace složené funkce Taylorova věta Implicitní funkce 9 Lokální extrémy 10 Globální extrémy Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21. března 2016 02 / 10, Hledání extrémů funkcí je jednou z nejduležltějších aplikací diferenciálního počtu. Jedná se vlastně o nalezení řešení jisté optimalizační (max./min.) úlohy, se kterými se setkáme v řadě oblastí. Rozlišujeme několik typů extrémů: ► lokální, ► globální, ► vázané. Definice 1.93(1) Poznámka Řekneme, že funkce f : R" —> R nabývá v bodě x* G R" lokálního maxima (minima), jestliže existuje okolí 0[x*) bodu x* takové, že pro každé x G O [x*) platí f[x) < f[x*) (f[x) > f[x*)). Jsou-ll nerovnosti ostré pro x ^ x*, mluvíme o ostrých lokálních maximech a minimech. Pro (ostrá) lokální maxima a minima budeme užívat jednotné označení (ostrý) lokální extrém. Z Definice 1.93(1) vyplývá, že bod x* musí být vnitřním bodem D[f), protože funkce f musí být definována na jistém okolí 0[x*). Definici by samozřejmě šlo změnit tak, aby zahrnovala i hraniční body (stačilo by místo x G O [x*) uvažovat x G O [x*) n D(f)), ale pro naše účely bude tato definice postačovat. Petr Zemánek (PřF MU, Brno) ZEMANE KPfcDMATH .MU Ni .CZ M2B02: Diferenciální počet v 21. BŘEZNA 2016 03/10 Lokální maxima Představí me-li si gr af funkce f : M2 -> R jako plastickou mapu, hledáme vlastně kopečky (příp. pohoří) a dolíky (příp. údolí). z = fix, y) 4_ ď(x0, y0) a) z = fix, y) —i-. ^(*o, yo) __•___j b) z = fix, y) z = fix, y) Lokální -minimum -4—^jxq, yo) ^^ďixo, y0) Jak mohou lokální extrémy vypadat? (Obrázek převzat z: J. Kuběn, S. Mayerová, P. Račková a P. Sar-manová, Diferencia in Ĺ počet funkcí více proměnných, dostupné z http: //goo.gl/ssl60K.) —i—^ixo, yo) d) e) Označení „ostrý" nemá nic společného s tím, zda je graf „zakulacený" či nikoli. Jde pouze o chování funkčních hodnot v okolí 0[x*) bodu x*. Lokální extrémy Příklad Definice 1.95(i) Rozhodněme, zda má funkce f : IR2 —> IR lokální extrém v bodě [0,0], jestliže t\f( \ AT—~2 t\\f( \ fx2+y2 [x,y]^[0,0], (a) f(x,y) = Vx2 +y2, (b) f(x,y) = < [1 [x,y] = [0, OJ. Vidíme, že pro existenci lokálního extrému v bodě x* není nutná ani existence parciálních derivaci ani spojitost. M á-li funkce f : IR" —> IR v bodě x* lokální extrém, pak každá pomocná funkce jedné proměnné musí mít v tomto bodě také lokální extrém (pokud existují příslušné tečny, musí být vodorovné). To tedy znamená, že pro každé / G {1,..., n] platí buď |f:(x*) = 0 (viz předchozí obrázek a, d) nebo |f:(x*) neexistuje (viz předchozí obrázek b, c, e). I zde však platí, že existuje-li tečná (nad-)rovina, musí být vodorovná. Pro nás bude dostačující věnovat pozornost funkcím, které mají v bodech lokálních extrémů všechny parciální derivace prvního řádu. Nechť f : IR" —> IR. Řekneme, že bod x* G IR" je stacionárním bodem funkce f, jestliže v bodě x* existují všechny parciální derivace prvního řádu a platí 9/f í *\ n -i (x J = 0 pro / = !,...,/!. dxi Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v 21.března 2016 95 / 104 Věta 1.96(1) Nyní můžeme zformulovat nutnou podmínku pro existenci lokálního extrému. Nechť funkce f : Rn —» R má v bodě x* G R" lokální extrém a nechť v tomto bodě existují všechny parciální derivace prvního řádu funkce f. Pak je x* jejím stacionárním bodem. Důkaz? ■ Ovšem opačné tvrzení neplatí (stejně jako pro funkce jedné proměnné), tj. ne každý stacionární bod je lokálním extrémem. Definice 1.96(1) Nechť x* je stacionárním bodem funkce f : R" —> R. Bod x* se nazývá sedlo (nebo sedlový bod), jestliže každé jeho okolí obsahuje body x,x, pro které platí f[x*) > f(x) a současně f[x*) < f[x). Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21. března 201 6 06 / 104 Věta 1.97(1) A jak garantovat existenci extrému ve stacionárním bodě? Pro funkci jedné proměnné g : IR —> IR lze o existenci extrému ve stacionárním bodě xo, tj. g' [xq) = 0, rozhodnout buď pomocí znaménkové změny první derivace v okolí bodu xo nebo pomocí druhé derivace, neboť platí: Je-li bod xo G IR stacionárním bodem funkce g a současně ^'(xo) < 0 (gff{xo) > 0), pak bod xo je ostré lokální maximum (minimum). Nechť bod [xo,yo] £ IR2 je stacionárním bodem funkce f : IR2 —> IR a nechť má funkce f v bodě [xo,yo] a nějakém jeho okolí spojité parciální derivace druhého řádu. Jestliže platí D(x0,yo) : = /xx(x0,yo)/ýy(x0,yo) - [/xy(x0,yo) /xx(x0,yo) ícy(x0,yo) fyx(x0,yo) />y(x0,yo) = det >0, pak má funkce f v bodě [xo,yo] ostrý lokální extrém. Je-li /xX(xo,yo) > 0, jedná se o minimum, je-li /xX(xo,yo) < 0, jedná se o maximum. V případě ^(xo,yo) < 0 má funkce f v bodě [xo,yo] sedlový bod, zatímco v případě ^(xo,yo) = 0 nelze rozhodnout. Důkaz? ■ Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21. března 2016 07/10 Poznámka Poznámka Ilustrujme poslední situaci z Věty 1.97(1). Uvažme funkce (a) f[xy y) = x4 + y4, (b) f[xyy) = x3 + y3. V případě lokálního extrému je nutně /xx(xo,yo) Ý 0, protože jinak r 12 ^(xo,yo) = — [ícy(xo,yo)J < 0, což je spor. Ze stejného důvodu také /ýy(x0,yo) Ý 0. Navíc o typu lokálního extrému lze se stejnou klasifikací rozhodnout i pomocí /yy(xo,yo), neboť /xx(xo,yo) a ryy(xo,yo) musí mít stejné znaménko, jinak totiž D(xo,yo) < 0. Určeme lokální extrémy pro funkce (a) f[x, y) = x2 + xy + y2 - 6x - 9y, (b) f(x, y) (c) f(x,y) = (x2+y2)e-(^2). x3 + y3 — 3xy, 1.5 0.5 -0.5 f [1.5 - 1 -0.5 0 a/s I jx , lid Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21 . brezna 201 6 08 / 104 Pro funkci f : R" —> R, kde n > 3, se postupuje podobně. Musíme určit stacionární bod (Definice 1.95(1)) a rozhodnout o definitnosti tzv. Hessovy matice H{x) = Vxnx1{x) fxnxn(x)j Matice M G Rnxn se nazývá negativně semicleňnitní, pokud zTMz < 0 Vz e R", a píšeme M < 0. Jestliže dokonce platí zTMz < 0 pro všechny vektory zGl" \{0}, nazývá se matice M negativně definitní a zapisuje se jako M < 0. Analogicky definujeme pozitivně (semi-)cleňnitní matice. Jestliže existují vektory z, z G R" takové, že platí zTMz > 0 a žTMž < 0, pak se matice M nazývá indefinitní. Petr Zemánek (PřF MU, Brno) ZEMANE KPfcDMATH .MU Ni .CZ M2B02: Diferenciální počet v 21.března 2016 gg / 104 Jak poznat definitnost matice? Nechť matice M e Rnxn symetrická. ► Potom platí M < 0 (M > 0) právě tehdy, když všechny její vlastní hodnoty (přičemž symetrie zaručuje, že to jsou reálná čísla) jsou záporné (kladné). ► Potom platí M < 0 (M > 0) právě tehdy, když všechny její vlastní hodnoty (přičemž symetrie zaručuje, že to jsou reálná čísla) jsou nekladné (nezáporné). ► Vedoucí hlavní submatlce a minory (VHM): tu M = \ \ ) (Jak vzniknou? Kolik jich je?) Platí M < 0 (M > 0) právě tehdy, když VHM střídají znaménko počínaje záporným (všechny VHM jsou kladné). Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21. března 2016 100 / 10, Věta 1.101 (i) Poznámka Příklad Příklad Nechť x* G IR" je stacionární bod funkce f : IR" —> IR a nechť funkce f má v bodě x* a nějakém jeho okolí spojité parciální derivace druhého řádu. Potom platí: ► má-ll funkce f v bodě x* lokální minimum (maximum), pak je příslušná Hessova matice v tomto bodě pozitivně (negativně) semide-finltní; ► je-li Hessova matice funkce f v tomto bodě pozitivně (negativně) definltní, nastává v bodě x* ostré lokální minimum (maximum); ► je-ll Hessova matice funkce f v tomto bodě Indefinitní, nenastává v bodě x* lokální extrém. Předchozí věta nám ovšem nedává odpověď v situaci, kdy je příslušná Hessova matice semidefinitní ve stacionárním bodě x*. Rozhodněme o lokálních extrémech pro funkce (a) f[xyy) = x2+y4, (b) f[xyy) = x2(l+y2), (c) f[xyy) =x2+y3. Určeme lokální extrémy pro funkci f(x,y, z) = x2 + 2y2 + 3z2 + 2xy + 2xz. Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v 21. března 2016 101 / 104 Globální extrémy Funkce více proměnných 2 Limita funkce více proměnných 3 Spojitost funkce více proměnných 4 Parciální derivace (prvního řádu) 5 Parciální derivace vyšších řádů Směrová derivace Diferenciál funkce Jen na okraj... (i) Kmenová funkce Derivace složené funkce Taylorova věta Implicitní funkce Lokální extrémy 10 Globální extrémy Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21. března 2016 102 / 10, Definice 1.103(1) Věta 1.103(i) Nechť f : rn -> IR a M C D(f). Řekneme, že bod x* G M je bodem g/o-bálního (absolutního) minima (maxima) funkce f na množině M, jestliže f{x*) < f[x) (f[x*) > f[x)) pro všechna x G M. Jsou-li nerovnosti ostré pro x ý x*> hovoříme o ostrých globálních extrémech. ► Bod, ve kterém funkce nabývá globálního extrému nemusí být jediný, 2 2 viz f(x,y) = (x2 +y2)e~^x +y ^ na sld. 98. A funkční hodnota? ► Body globálního extrému nemusí pro danou funkci vůbec existovat, 2 2 např. f(x, y) = x + y na IR2 nebo f{x,y) = e~^x +y ^ na IR2 nebo f(x,y) =x + y na (0,1) x (0,1). Jak ale prakticky postupovat při hledání globálních extrémů? Nechť MCI" je kompaktní množina a funkce f : IR" —> IR je spojitá na M. Pak f nabývá svých globálních extrémů buď v bodech lokálního extrému uvnitř M nebo v některém hraničním bodě. Důkaz? ■ Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v 21. března 2016 103 / 104 Příklad Určeme globální extrémy funkce f : IR2 —> IR na množině M, jestliže (a) f(x, y) = xy - x2 - y2 + x + y, M = {[*, y] G IR2 : x > 0, y > 0, y < 4 - x}, (b) f (x, y) = 2x3 + 4x2 + y2 - 2xy, M = {L*, y] e IR2 : x2 - 2 < y < 4}. Příklad Je dán drát délky /, který rozdělíme nejvýše na tři části. Z jedné části utvoříme kruh, z druhé části utvoříme čtverec a ze třetí části utvoříme rovnostranný trojúhelník. Určeme délky jednotlivých částí tak, aby plo- cha vymezená těmito obrazci byla maximá lni/minimá lni. Petr Zemánek (PŘF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Diferenciální počet v Rn 21. března 2016 104/104