Viazané lokálne extrémy
funkcií viac premenných
Peter Šepitka
jaro 2016
Obsah
1 Motivácia a základné pojmy
2 Metóda Langrangeových multiplikátorov
Základné pojmy Lagrangeove multiplikátory
Obsah
1 Motivácia a základné pojmy
2 Metóda Langrangeových multiplikátorov
Základné pojmy Lagrangeove multiplikátory
Motivácia
Pojem viazaného lokálneho extrému funkcie viac premenných súvisí s hľadaním
globálnych extrémov na podmnožinách v Rn
. Konkrétne, pri ich určovaní na
kompaktnej množine N ⊆ Rn
sme postupovali tak, že sme našli
(i) jednak všetky lokálne extrémy danej funkcie vo vnútri N,
(ii) a jednak všetky jej extremálne hodnoty na hranici ∂N.
V kroku (ii) teda hľadáme lokálne extrémy danej funkcie, ktoré sú viazané na
hranicu ∂N. Uvažujme napríklad nejakú funkciu f(x, y, z) na množine
N = {[x, y, z] ∈ R3
: x2
+ y2
+ z2
≤ 1, x, y, z ≥ 0}.
Pri vyšetrovaní funkcie f(x, y, z) na časti hranice ∂N tvorenej guľovou plochou
x2
+ y2
+ z2
= 1 postupujeme tak, že vyjadríme z = 1 − x2 − y2, a následne
hľadáme lokálne extrémy funkcie f(x, y, 1 − x2 − y2) na množine
˜N = {[x, y] ∈ R3
: x2
+ y2
≤ 1, x, y ≥ 0}.
Podobne, na časti hranice ∂ ˜N tvorenej štvrťkružnicou x2
+ y2
= 1 vyjadríme
y =
√
1 − x2 a vyšetrujeme funkciu f(x,
√
1 − x2, 0) pre x ∈ [0, 1].
Základné pojmy Lagrangeove multiplikátory
Týmto spôsobom prevedieme pôvodný problém vyšetrenia funkcie f(x, y, z)
troch premenných na hranici množiny N na úlohu hľadania extrémov funkcie
f(x,
√
1 − x2, 0) jednej premennej na intervale [0, 1]. Je však zrejmé, že tento
postup je zdĺhavý a pri väčšom počte premenných i nepraktický. Okrem toho
postupná eliminácia premenných nemusí byť pri všeobecnom zadaní množiny N
vôbec riešiteľný problém.
Definícia 1 (Lokálny extrém funkcie vzhľadom na množinu)
Nech f je funkcia n premenných a M ⊆ D(f) je neprázdna množina. Povieme,
že funkcia f má v bode x∗
∈ M lokálne minimum (maximum) vzhľadom na
množinu M, ak existuje okolie O(x∗
) také, že pre každé x ∈ O(x∗
) ∩ M platí
nerovnosť f(x) ≥ f(x∗
) (f(x) ≤ f(x∗
)). V prípade, ak sú dané nerovnosti pre
x = x∗
ostré, hovoríme o ostrých lokálnych extrémoch funkcie f vzhľadom na
množinu M.
V praktických úlohách sa obvykle študujú situácie, v ktorých je množina M
daná systémom nerovností a rovností
h1(x) ≤ 0, h2(x) ≤ 0, . . . , hk(x) ≤ 0, g1(x) = 0, g2(x) = 0, . . . , gm(x) = 0.
V tomto prípade sa namiesto pomenovania lokálny extrém vzhľadom na M
používa termín lokálny extrém viazaný danými podmienkami, resp. väzbami.
Základné pojmy Lagrangeove multiplikátory
Obsah
1 Motivácia a základné pojmy
2 Metóda Langrangeových multiplikátorov
Základné pojmy Lagrangeove multiplikátory
Optimalizačná úloha
V nasledujúcom výklade sa budeme zaoberať optimalizačnou úlohou typu
f(x) → max(min), x ∈ M, (1)
M : g1(x) = 0, g2(x) = 0, . . . , gm(x) = 0, (2)
kde x = [x1, . . . , xn], f, gk : Rn
→ R, k = 1, . . . , m, sú funkcie n premenných
a 1 ≤ m < n. Rovnosti v (2), udávajúce množinu M, sa nazývajú väzbové
podmienky danej optimalizačnej úlohy. Ďalej budeme predpokladať, že funkcie
f, gk majú spojité parciálne derivácie prvého rádu podľa premenných x1, . . . , xn
na otvorenej množine U ⊆ Rn
a matica
G(x) =




∂g1(x)
∂x1
· · · ∂g1(x)
∂xn
...
...
...
∂gm(x)
∂x1
· · · ∂gm(x)
∂xn



 má v každom x ∈ U hodnosť m. (3)
Poznámka 1
Poznamenajme, že podmienka (3) je ekvivalentná so skutočnosťou, že vektory
grad gk(x), k = 1, . . . , m, sú lineárne nezávislé v každom bode x množiny U.
Základné pojmy Lagrangeove multiplikátory
Viazaný lokálny extrém – nutná podmienka
Veta 1 (Nutná podmienka existencie viazaného extrému)
Nech platí podmienka (3) a nech v bode x∗
∈ M má funkcia f lokálny extrém
vzhľadom na množinu M, t.j., x∗
spĺňa optimalizačnú úlohu (1) a (2). Potom
existujú reálne čísla λ1, . . . , λm tak, že pre každé i = 1, . . . , n platia rovnosti
∂f
∂xi
(x∗
) −
m
k=1
λk
∂gk
∂xi
(x∗
) = 0. (4)
Poznámka 2
Rovnica (4) je ekvivalentná so skutočnosťou, že gradienty funkcií f, gk spĺňajú
v bode x∗
identitu
grad f(x∗
) = λ1 · grad g1(x∗
) + λ2 · grad g2(x∗
) + · · · + λm · grad gm(x∗
),
t.j., vektor grad f(x∗
) je lineárnou kombináciou vektorov grad gk(x∗
).
Základné pojmy Lagrangeove multiplikátory
Lagrangeova funkcia a multiplikátory
Reálne konštanty λ1, . . . , λm vo Vete 1 sa nazývajú Lagrangeove multiplikátory
a funkcia n + m premenných
L(x1, . . . , xn, λ1, . . . λm) := f(x1, . . . , xn) −
m
k=1
λk gk(x1, . . . , xn) (5)
sa označuje ako Lagrangeova funkcia optimalizačnej úlohy (1) a (2).
Definícia 2 (Stacionárny bod funkcie vzhľadom na množinu)
Nech množina M ⊆ Rn
je daná systémom rovníc (2). Bod x∗
∈ M sa nazýva
stacionárny bod funkcie f vzhľadom na množinu M, ak existujú Lagrangeove
multiplikátory λ1, . . . , λm také, že sú splnené rovnosti (4).
Poznámka 3
Bod x∗
∈ M je zrejme stacionárnym bodom funkcie f vzhľadom na množinu
M práve vtedy, keď je stacionárnym bodom Lagrangeovej funkcie (5) pre istú
voľbu Lagrangeových multiplikátorov λ = (λ1, . . . , λm), t.j., platí
L′
xi
(x∗
, λ) = 0 pre každé i = 1, . . . , n.
Základné pojmy Lagrangeove multiplikátory
Príklad 1
Určme stacionárne body a Lagrangeove multiplikátory funkcie
f(x, y) = xy − x + y − 1
vzhľadom na množinu M : x + y = 1. V súlade s (2) má väzbová podmienka
tvar g(x, y) = x + y − 1 = 0. Príslušná Lagrangeova funkcia v (5) potom je
L(x, y, λ) = f(x, y) − λg(x, y) = xy − x + y − 1 − λ(x + y − 1).
Podľa Poznámky 3 nájdeme jej stacionárne body ležiace v M, t.j.,
L′
x(x, y, λ) = 0, L′
y(x, y, λ) = 0, x + y − 1 = 0.
Dostávame sústavu troch rovníc s tromi neznámymi x, y a λ
y − 1 − λ = 0, x + 1 − λ = 0, x + y − 1 = 0.
Máme jediné riešenie x = −1/2, y = 3/2 a λ = 1/2. Funkcia f(x, y) má teda
vzhľadom na množinu M jeden stacionárny bod [−1/2, 3/2] s odpovedajúcim
Lagrangeovým multiplikátorom λ = 1/2.
Základné pojmy Lagrangeove multiplikátory
Príklad 2
Určme stacionárne body a Lagrangeove multiplikátory funkcie f(x, y, z) = xyz
vzhľadom na množinu M určenú rovnosťami
x2
+ y2
+ z2
= 1, x + y + z = 0.
V tomto prípade máme predpísané dve väzbové podmienky
g1(x, y, z) = x2
+ y2
+ z2
− 1 = 0, g2(x, y, z) = x + y + z = 0,
a teda odpovedajúca Lagrangeova funkcia má tvar
L(x, y, z, λ1, λ2) = xyz − λ1(x2
+ y2
+ z2
− 1) − λ2(x + y + z).
Tri súradnice x, y a z hľadaných stacionárnych bodov a dva Lagrangeove
multiplikátory λ1, λ2 stanovíme riešením systému piatich rovníc
L′
x = 0, L′
y = 0, L′
z = 0, x2
+ y2
+ z2
= 1, x + y + z = 0,
Základné pojmy Lagrangeove multiplikátory
Príklad 2
t.j., po výpočte príslušných parciálnych derivácií máme
yz − 2λ1x = λ2, xz − 2λ1y = λ2, xy − 2λ1z = λ2,
x2
+ y2
+ z2
= 1, x + y + z = 0.
Dostaneme celkovo šesť stacionárnych bodov, konkrétne
1√
6
, 1√
6
, − 2√
6
,
1√
6
, − 2√
6
, 1√
6
,
− 2√
6
, 1√
6
, 1√
6



pre λ1 = −
1
2
√
6
a λ2 = −
1
6
,
− 1√
6
, − 1√
6
, 2√
6
,
− 1√
6
, 2√
6
, − 1√
6
,
2√
6
, − 1√
6
, − 1√
6



pre λ1 =
1
2
√
6
a λ2 = −
1
6
.
Základné pojmy Lagrangeove multiplikátory
Lokálny extrém a druhý diferenciál funkcie
Existenciu lokálneho extrému funkcie f(x1, . . . , xn) v jej stacionárnom bode
x∗
, t.j., v bode s grad f(x∗
) = 0, sme za predpokladu spojitosti parciálnych
derivácií druhého rádu funkcie f a bez prítomnosti väzbových podmienok
skúmali prostredníctvom definitnosti príslušnej Hessovej matice Hf (x∗
), t.j.,
Hf (x∗
) =




f′′
x1x1
(x∗
) · · · f′′
x1xn
(x∗
)
...
...
...
f′′
xnx1
(x∗
) · · · f′′
xnxn
(x∗
)



 . (6)
Vyšetrovali sme vlastne definitnosť kvadratickej formy, ktorá odpovedá matici
Hf (x∗
), konkrétne hT
Hf (x∗
) h, kde h = (h1, . . . , hn)T
∈ Rn
. Táto forma je
podľa definície rovná druhému diferenciálu funkcie f v bode x∗
, teda
d2
f(x∗
, h) =
n
i,j=1
f′′
xixj
(x∗
) hihj (7)
Ak kvadratická forma (7) je pozitívne (negatívne) definitná, potom funkcia f
má v bode x∗
lokálne minimum (maximum). V prípade indefinitnej formy (7)
funkcia f nenadobúda v stacionárnom bode x∗
lokálny extrém.
Základné pojmy Lagrangeove multiplikátory
Viazaný lokálny extrém – postačujúca podmienka
Charakter viazaného stacionárneho bodu x∗
funkcie f vzhľadom na množinu
M v (2) budeme preto vyšetrovať pomocou definitnosti druhého diferenciálu
Lagrangeovej funkcie L(x, λ) v (5), t.j., pomocou kvadratickej formy
d2
L(x∗
, λ, h) =
n
i,j=1
L′′
xixj
(x∗
, λ) hihj , (8)
kde h = (h1, . . . , hn)T
∈ Rn
a λ = (λ1, . . . , λm) sú Lagrangeove multiplikátory
odpovedajúce stacionárnemu bodu x∗
. Na rozdiel od lokálnych extrémov sme
však teraz obmedzení väzbovými podmienkami (2). To sa odzrkadlí v tom, že
definitnosť formy (8) nebudeme skúmať na celom priestore Rn
, ale iba pre
vektory h kolmé na vektory grad gk(x∗
) pre každé k = 1, . . . , m.
Podpriestor všetkých takýchto vektorov h ∈ Rn
sa nazýva dotykový priestor
množiny M v bode x∗
a označuje sa
TM (x∗
) := Lin{grad gk(x∗
), k = 1, . . . , m}⊥
(9)
Základné pojmy Lagrangeove multiplikátory
Poznámka 4
Z podmienky (3) a Poznámky 1 vyplýva, že dimenzia dotykového priestoru
TM (x∗
) je rovná n − m. Okrem toho vektory h ∈ TM (x∗
) sú práve riešenia
homogénneho systému G(x∗
) h = 0 s maticou G(x) definovanou v (3).
Veta 2 (Postačujúca podmienka existencie viazaného extrému)
Nech platí podmienka (3) a nech x∗
je stacionárny bod funkcie f vzhľadom na
množinu M v (2) s Lagrangeovými multiplikátormi λ = (λ1, . . . , λm). Ďalej
nech funkcie f, gk, k = 1, . . . , m, majú spojité parciálne derivácie druhého rádu
v bode x∗
. Ak pre každý nenulový vektor h ∈ TM (x∗
) platí
d2
L(x∗
, λ, h) > 0, resp. d2
L(x∗
, λ, h) < 0, (10)
potom funkcia f má v bode x∗
ostré lokálne minimum, resp. ostré lokálne
maximum vzhľadom na množinu M. Ak pre nejaké nenulové ˜h, ¯h ∈ TM (x∗
) je
d2
L(x∗
, λ, ˜h) > 0 a d2
L(x∗
, λ, ¯h) < 0, (11)
potom funkcia f nemá v bode x∗
lokálny extrém vzhľadom na množinu M.
Základné pojmy Lagrangeove multiplikátory
Poznámka 5
Nerovnosti v (10) znamenajú, že druhý diferenciál d2
L(x∗
, λ, h) Lagrangeovej
funkcie je pozitívne, resp. negatívne definitný na podpriestore TM (x∗
), kým
relácie v (11) vyjadrujú indefinitnosť diferenciálu d2
L(x∗
, λ, h) na TM (x∗
).
Predchádzajúci výklad popisuje hľadanie viazaných lokálnych extrémov funkcie
f pomocou metódy Lagrangeových multiplikátorov. Hlavný princíp spočíva v
zabudovaní väzbových podmienok (2) do samotného procesu hľadania extrému
jednak prostredníctvom Lagrangeovej funkcie (Veta 1 a Poznámka 3),
a jednak pri zisťovaní existencie/neexistencie extrému v stacionárnom
bode (Veta 2 a Poznámky 4 a 5).
Hrubo povedané, namiesto hľadania viazaných lokálnych extrémov funkcie f na
množine M zisťujeme lokálne extrémy príslušnej Lagrangeovej funkcie L, avšak
už bez obmedzujúcich podmienok.
Základné pojmy Lagrangeove multiplikátory
Viazaný lokálny extrém – praktický návod
Metódu Lagrangeových multiplikátorov na vyšetrovanie viazaných lokálnych
extrémov funkcií možno zhrnúť do nasledujúceho praktického návodu.
1 Vytvoríme Lagrangeovu funkciu (5) a nájdeme jej stacionárne body x∗
ležiace v M, t.j., riešime sústavu n + m rovníc
L′
xi
(x, λ) = 0, gk(x) = 0, i = 1, . . . , n, k = 1, . . . , m,
s n + m neznámymi x = [x1, . . . , xn] a λ = (λ1, . . . , λm).
2 Pre daný stacionárny bod x∗
a príslušné multiplikátory λ = (λ1, . . . , λm)
zostavíme druhý diferenciál d2
L(x∗
, λ, h) Lagrangeovej funkcie, t.j.,
d2
L(x∗
, λ, h) =
n
i,j=1
L′′
xixj
(x∗
, λ) hihj , h = (h1, . . . , hn)T
∈ Rn
.
V tejto kvadratickej forme znížime počet n premenných h1, . . . , hn na
počet n − m premenných pomocou podmienky G(x∗
) h = 0 pre G(x) z
(3) (tzv. diferencovanie väzbových podmienok v stacionárnom bode x∗
).
3 Vyšetríme definitnosť vzniknutej kvadratickej formy s n − m premennými.
Základné pojmy Lagrangeove multiplikátory
Príklad 3
Nájdime všetky lokálne extrémy funkcie f(x, y) = xy − x + y − 1 vzhľadom na
množinu M : x + y = 1. V Príklade 1 sme ukázali, že funkcia f má vzhľadom
na množinu M iba jeden stacionárny bod x∗
= [−1/2, 3/2] s multiplikátorom
λ = 1/2. Vyšetríme druhý diferenciál funkcie L v bode x∗
. Platí
L′′
xx(x∗
, λ) = 0 = L′′
yy(x∗
, λ), L′′
xy(x∗
, λ) = 1 = L′′
yx(x∗
, λ).
Potom d2
L(x∗
, λ) = 2h1h2, h1, h2 ∈ Rn
. Matica G v (3) má v tomto prípade
v bode x∗
tvar G(x∗
) = (grad g(x∗
)) = (1, 1). Vektory h = (h1, h2)T
priestoru
TM (x∗
) preto spĺňajú podmienku
(1, 1) · (h1, h2)T
= 0 ⇐⇒ h2 = −h1.
Diferenciál d2
L(x∗
, λ) = 2h1h2 sa nám preto zredukuje na kvadratickú formu s
jednou premennou h1, konkrétne d2
L(x∗
, λ) = −2h2
1. Táto forma je zrejme
negatívne definitná, a preto v súlade s Vetou 2 má funkcia f v bode x∗
ostré
lokálne maximum s hodnotou f(x∗
) = 1/4. Poznamenajme ešte, že pôvodný,
neredukovaný diferenciál d2
L(x∗
, λ) = 2h1h2 je ako kvadratická forma s dvomi
premennými indefinitný, a teda funkcia L nemá v bode x∗
lokálny extrém. To
ilustruje nevyhnutnosť redukcie diferenciálu d2
L(x∗
, λ) vzhľadom na predpísané
väzbové podmienky, ak nechceme stratiť viazané lokálne extrémy funkcie f.