M2B02: Diferenciální a integrální počet II
Petr Zemánek (Masarykova Univerzita, Brno) Dvojné a trojné integrály (26. dubna 2016)
CZ. 1.07/2.3.00/30.0009 Zaměstnáním čerstvých absolventů doktorského studia k vědecké
excelenci
1 ***
u * *
f evropský ★ ★
1 sociální
fond V CR EVROPSKÁ UNIE
MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY
OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost
>
1/1
1
investice do rozvoje vzdelávaní
Tato práce byla podpořena z projektu „Zaměstnáním čerstvých absolventů doktorského studia k vědecké excelenci" (CZ.1.07/2.3.00/30.0009), který je spoluňnancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.
Obsah
i Dvojný integrál na obdélníku
2 měřitelné množiny v R2
3 Dvojný integrál na měřitelné množině
4 Trojný integrál
5 Transformace
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Dvojné a trojné integrály 26. dubna 2016 2/56
Jak se definoval Riemannův integrál v IR? Nechť f je ohraničená funkce (zejména spojitá) na intervalu [a, b].
A
D : a = x0 < xi < • • • < xn = 6, = [x/c-^x/J, d(//c) = — x/c_i, /77/c := inf{f(x) : x G //c}, M/c := sup{f(x) : x G //c}, c < f(x) < d,
s(D, 0 = X. "^'^ S(D> f) = X MkdUk),
k=l k=l
c{b-a) < s{D,f) < S{D,f) < d[b-a)y Di C D2 : s[Dlyf) S(D2, f),
rb
rb
f [x) clx := sup{s(D, f) : DgD}, f {x) clx := inf {S(D, f) : DgD}
í? a
Je-LL {Dn} tzv. nulová (normální) posloupnost dělení, pak
rb
lim s(D„, f)
n—>oo
f(x)clx, lim S(D„,0
i? a
f[x) clx.
Pokud J6 f(x) clx = jb f(x) clx, pak definujeme
f[x) clx ::
f(x) clx
d a
f(x) clx.
Jak tento postup zobecnit v IR ? Zásadní rozdíl:
R
R'
Dvojný integrál na obdélníku
i Dvojný integrál na obdélníku
2 měřitelné množiny v
3 Dvojný integrál na měřitelné množině
Trojný integrál
Transformace
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Dvojné a trojné integrály 26. dubna 2016 5/56
Dvojný integrál na obdélníku
Intervalem v rovině (nebo také dvojrozměrným intervalem) rozumíme množinu J, která je kartézským součinem dvou Intervalů J\,Ji C IR. Tedy platí J = J\ x Ji.
Intervaly Jí, J2 mohou být libovolného typu (otevřené, uzavřené, polootevřené, omezené). Je-li některý z nich degenerovaný (tj. pouze bod) nazýváme dvojrozměrný interval J také degenerovaný (to tedy může být bod, úsečka, polopřímka, přímka).
J = Ji x J2 = {[x,y] Gl2: a < x < b, c < y < d} 0/jc/é/ní7<=neclegenerovaný dvojrozměrný uzavřený a omezený interval.
,4
O
lilii
c 1 1 1
L 1 Ji = [a, b)
Petr Zemánek (PřF MU, Brno)
zemanekp@math.muni.cz
M2B02: Dvojné a trojné integrály
26. dubna 2016 6 /
Nechť a < b, c < d jsou reálná čísla aM = [a,í)]x [c, d] je obdélník. Zvolme Dx : a = xo < xi < • • • < xm = 6, Dy : c = yo < yi < • • • < yn = d dělení Intervalu [a, b] a [c, c/] a označme D = Dx x Dy.
Definujme M-,k := [x/-i, x,-] x [y/c-i,y/J, kde / E {1,..., m} a k G {1,..., n}. Obdélníky Aiik nazýváme dítky dělení D. Systém těchto dílků
{A^/zc : / = 1,... , at7, k = 1, . . . , a?}
nazýváme dělením obdélníku Ai.
i
y3
Y2 M13 M 43 M53
yi M.22 M32
yo Mu M2i M 3i M41 MBi
a = x0 xi X2 x3 x4 b = x5
Normou dělení D = Dx x Dy rozumíme číslo
v(D) := max j^(x, -x/_i)2 + (y/, - y/c-i)2 : / = 1,..., m, /c = 1,..., n tj. délku nejclelší z úhlopříček všech jednotlivých dílků dělení D.
Uvažme posloupnost dělení {Dn}(^L1. Posloupnost dělení se nazývá nulová (normální), jestliže platí lim^oo y[Dn) = 0. Symbolem V(AÍ) označíme množinu všech dělení obdélníku Ai.
Dělení Di = D* x Dy se nazývá zjemnění dělení D, jestliže je zjemněním dělení Dx a D] je zjemněním dělení Dy. V takovém případě je každý dílek Ai;k z dělení D rozdělen na konečný počet dílků dělení D\.
y/c+i
Yk
Mik
■ 4- • i
x;
i+1
Ke každým dvěma dělením Di = D* x Dy a D2 = D^ x Dy z T>{Ai) existuje jejich společné zjemnění (tím je např. dělení D = Dx x Dy, kde Dx je tvořeno všemi dělicími body dělení Dl a D* a dělení Dy je tvořeno všemi dělicími body dělení Dl a Dy).
Nechť f : IR2 —> IR je funkce dvou proměnných ohraničená na obdélníku Ai = [a, b] x [c, c/], tj. existují konstanty w, 1/1/ G IR takové, že 1/1/ < f(x, y) < 1/1/ pro všechny [x, y] G M, a nechť D = Dx x Dy je dělení obdélníku .M s dílky .M,* pro / = 1,..., m a k = 1,..., n. Označme
/77//c = inf{/(x,y) : [x,y] G M,*} a M//c = sup{f(x,y) : [x,y] G .Mi*}.
Pak můžeme definovat dolní součet funkce f při dělení D
m n
s(D, f) = 2_ }_ mu<(xi - x,--i)(y/c -y/c-i) ,=1 k=i
a) b)
a také horní součet funkce f při dělení D
m n
a)
b)
S{D,f) = 2_2_Mik{xi-x/_i) (y/c - y/c-i).
7 = 1 /C=l
Obrázky převzaty z: J. Kalas, J. Kuběn, Integrální počet funkcí více proměnných.
Pro každou ohraničenou funkci pak platí:
► s(D, f) < S(D, f) pro každé dělení D G £>(.M);
► Jsou-ll Di, D2 G V(AÍ) a D2 je zjemněním dělení Di, pak
s(Di,f) S(D2,f);
► Jsou-ll Di, D2 G V(AÍ) libovolná, pak
s(Di,0 {AÍ). To ale znamená, že množina {s(D, f) : D G £>(.A/Í)} je neprázdná a shora omezená. Proto existuje sup{s(D, f) : D G £>(.M)} a můžeme definovat dolní integrál ohraničené funkce f na obdélníku Ai jako
f[xyy) clxcly := sup{s(D, f) : D G £>(.M)} < S(D0, f)
M
Ovšem dělení Do je zvoleno libovolně, proto
S(D,f) >
f(x, y) clxcly
M
pro každé dělení D G T)[M) Jo ale znamená, že množina všech horních součtů funkce f je neprázdná a zdola ohraničená. Proto existuje inf {S(D, f) : D G £>(.M)} a můžeme definovat horní integrál ohraničené funkce f no obdélníku M. jako
f[xyy) clxcly := inf{S(D, f):De V{M)}
M
Z definice plyne, že určitě platí
f(x, y) clxcly <
f(x, y) clxcly.
Definice2.12(1) Nechť funkce f : M2
Příklad
Věta 2.12(i)
—> IR je ohraničená. Funkce f se nazývá integrova-teinči na obdélníku .M = [a, 6] x [c, c/]f jestliže
f(x, y) clxcly
f(x, y) clxcly.
M
M
V takovém případě definujeme dvojný (dvojrozměrný) integrál funkce f na obdélníku M. vztahem
f(x,y) clxcly ::
f(x, y) clxcly
f(x, y) clxcly.
M
M
M
Funkce f se nazývá integrand a obdélník M. integrační obor
Nechť M. = [0,1] x [0,1]. Rozhodněme o integrovatelnosti funkce f[xyy) na M, je-li
fl pro x e Q & y G Q, 0 jinak.
Nechť funkce f : R2 —> R je ohraničená na obdélníku yVÍ = [a, b] x [c, c/]. Pak f je integrovatelná na J\A právě tehdy, když ke každému e existuje takové dělení D £ T>{J\A), že platí S(D, ŕ) -s(D, f) < e.
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz
M2B02: Dvojné a trojné integrály
26. dubna 2016 12/56
Věta 2.13(1)
Věta 2.13(1)
Věta 2.13(ii)
Nechť funkce f : IR2 —> IR je ohraničená na obdélníku Ai = [a, b] x [c, d]. Pak pro libovolnou nulovou posloupnost dělení {Dn} obdélníku Ai platí
lim s(D„, f)
f(x, y) clxcly a lim S[Dnyf)
n—>oo
f(x, y) clxcly.
Jestliže navíc alespoň pro jednu nulovou posloupnost dělení {Dn} obdélníku Ai platí lim^oo s(D„, f) = lim^oo S(Dn, f), pak je funkce f
1
integrovatelná na obdélníku Ai.
Jaká podmínka nám zaručí integrovatelnost?
Nechť funkce f : IR2 —> IR je spojitá na obdélníku .M = [a, 6] x [c, c/]. Pak f je Integrovatelná na Ai.
Jak ovšem takový Integrál prakticky spočítat?
Nechť funkce f : IR2 —> IR je spojitá na obdélníku Ai = [a, 6] x [c, d]. Pak platí
f(x, y) clxcly =
a \ J
f(x, y) cly) clx =
c \ J
f(x, y) clx cly
Toto tvrzení se nazývá Fubiniova věta pro spojitou funkci na obdélníku. Integrály na pravé straně se označují jako dvojnásobné. (Důkaz?)
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz
M2B02: Dvojné a trojné integrály
26. dubna 2016 13/56
Dvojný integrál na obdélníku
Příklad
Věta 2.14(1)
Vypočtěme
(a)
(x + y2) clxcly pro M = [-1, 3] x [0, 2],
M
xy2exy clxcly pro M : 0 < x < 2, 0 < y < 1.
M
í
Nechť f, g : IR2 —> IR jsou integrovatelné na obdélníku .M = [a, 6] x [c, c/] ► Funkce f(x,y) ±#(x,y) je také integrovatelné na M a platí
[/(x, y) ±g[x,y)]áxáy
f(x, y) clxcly db
g[x,y)áxáy.
M
M
M
► Je-li c G 1 konstanta, je funkce cf[xyy) je také integrovatelné na M a platí
cf(x, y) clxcly = c
f(x, y) clxcly.
M
M
Funkce |f(x,y)| je také integrovatelné na M a platí
f(x, y) clxcly
"* r*
<
K, K,
If(x, y)I clxcly.
M
Petr Zemánek (PřF MU, Brno)
zemanekp@math.muni.cz
M2B02: Dvojné a trojné integrály
26. dubna 2016 14/56
Dvojný integrál na obdélníku
Věta 2.15(1)
Věta 2.15(ii)
Nechť .Mi C AÍ2 jsou obdélníky, funkce f : IR —> R ohraničená na .Mi a současně r~(x,y) = 0 pro všechny [x,y] E .M2 \.Mi. Pak funkce f je integrovatelná na .Mi právě tehdy, když funkce f je integrovatelná na M.2- V takovém případě navíc platí
f(x, y) clxcly =
f(x, y) clxcly.
M:
Nechť f, #: IR2 —> IR jsou integrovatelná na obdélníku .M = [a, 6] x [c, c/]. ► Je-li f(x,y) < g"(x,y) pro všechny [x,y] G .M, potom
f(x, y) clxcly <
#(x,y) clxcly.
M
M
► Funkce max{f, g] a min{/,g"} jsou integrovatelná na Ai.
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz
M2B02: Dvojné a trojné integrály
26. dubna 2016 15/56
Měřitelné množiny v R
# Dvojný integrál na obdélníku
2 Měřitelné množiny v R2
3 Dvojný integrál na měřitelné množině
4 Trojný integrál
% Transformace
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Dvojné a trojné integrály 26. dubna 20l6 16/56
Obsah množiny: ohraničená množina —> nezáporné číslo.
Nechť C M2 je množina. Funkce AV : M2 —> R daná předpisem
íl pro [x,y] G M, AV(x,yJ:=<
[0 pro [x, y]
se nazývá charakteristická funkce množiny Aí.
Je-ll množina C IR2 ohraničená, pak jistě existuje obdélník .M [a, b] x [c, c/] takový, že Af C J\A, přičemž AV je definována i na M.
Obrázek převzat z: J. Kalas, J. Kuběn, Integrální počet funkcí více proměnných.
Petr Zemánek (PřF MU, Brno)
zemanekp@math.muni.cz
M2B02: Dvojné a trojné integrály
26. dubna 2016 17/56
Řekneme, že omezená množina A^ C IR2 je (jordanovsky) měřitelná, jestliže pro nějaký obdélník Aí D Aí je charakteristická funkce AV množiny A^ integrovatelná na obdélníku Aí, přičemž klademe
m(AÍ) :
<*V(*,y) clxcly.
M
Číslo m(AÍ) nazýváme (Jordánovou) mírou množiny Aí. Je předchozí definice korektní?
Speciálně pokud A^ je obdélník [a, b] x [c, d], pak lze volit přímo Aí a platí
Aí
m(AÍ)
<*V(*,y) clxcly
1 clxcly = [b — a){d — c).
M
m >
B w W /ýzyyy H i
y//////// v///y. /
v /// ///,., /// 777/y, W,
w
'////////s •y////. Y/Á
y///'///, y//,..///
Obrázek převzat z: J. Kalas, J. Kuben, Integrálni počet funkcí více proměnných.
Platí např.: je-li m*(AÍ) = 0, pak A^ je měřitelná a m(AÍ) = 0.
Petr Zemánek (PŘF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Dvojné a trojné integrály 26. dubna 2016
,8/56
I Základní vlastnosti Jordánovy míry:
Věta 2.19(1)
w 11 iv.lv, i iu 1111 i uz_u i u j x ^— ±l\± j \~ 11 iv. i iiv. ii iu i j i u vv. u^iiuiy, ixui yz_ 1i1 yi i yj v j j — \J.
► at7(0) = 0;
► jsou-li množiny A/i C A/2 měřitelné, pak m(J\Ti) < m (A/2);
► je-li A/i C A/2 C IR2 a je-li A/2 měřitelná a současně m{ÁÍ2) = 0, pak také množina A/i je měřitelná a platí m(J\Ti) = 0;
► jsou-li množiny A/i a A/2 měřitelné, pak také množiny A/i U A/2, A/i Pl A/2 a A/i \A/*2 (nebo A/2 \A/i) jsou měřitelné;
► je-li y = g (x) spojitá funkce pro x G [a, |3], pak její graf, tj. množina G = {[x, g [x)] G M2 : x G [a, p]}, je měřitelná a platí m[G) =0,
► je-li x = /?(y) spojitá funkce pro y G [y, ô], pak její graf, tj. množina H = {[g"(y),y] G M2 : y G [y, ô]}, je měřitelná a platí /n(/-/) = 0,
► jsou-li množiny A/i a A/2 měřitelné, pak
/77 (A/l U A/2) = /T7(A/l) + at?(A2) - m (A/i n A/2) < n7(A/i) + n7(A/"2),
A77(A1 U A2) = A77(A1) + A77(A2) poklid /77(Al fl A/2) = 0,
m[Áíi \ A/2) = /77(A/i) - m(A/i n A/i), m (A/i \ A/2) = m (A/i) - m (A/2) pokud A/2 C A/i.
Petr Zemánek (PřF MU, Brno)
zemanekp@math.muni.cz
M2B02: Dvojné a trojné integrály
26. DUBNA 2016 iq/56
Měřitelné množiny v R
Z předchozího vyplývá, že pro systém jordanovsky měřitelných množin platí:
► s každými dvěma množinami Áíi a ÁÍ2 obsahuje i jejich rozdíl A/1VV2,
► s libovolnou konečnou posloupností měřitelných množin A/i,... ,A4 obsahuje i jejich sjednocení \Jkn=1Áín a průnik f)kn=1Afn>
Tedy systém jordanovsky měřitelných množin je uzavřený vzhledem k rozdílu a konečným sjednocením a průnikům, tzv. množinový okruh.
Z praktického hlediska se však tyto vlastnosti ukázaly jako nedostatečné (množina jordanovsky měřitelných množin je celkem „malá"). Je-li systém množin uzavřený i vzhledem ke spočetným sjednocením (a vzhl-clem k první vlastnosti také průnikům), hovoříme o o-okruhu. Obecnější koncepty míry (zejména Lebesgueovy) se pak budují na tzv. (j-aigebře měřitelných množin, což je o-okruh, který obsahuje sjednocení všech svých prvků.
Uveďme příklad (spočetných) posloupností jordanovsky měřitelných množin v IR2 takových, že
► jejich sjednocení je neomezená množina,
► jejich sjednocení je omezená množina, která však není měřitelná.
Petr Zemánek (PřF MU, Brno)
zemanekp@math.muni.cz
M2B02: Dvojné a trojné integrály
26. dubna 2016 20 / 56
Věta 2.21 (i)
Příklad
Definice 2.21 (i)
Může mít i množina s nekonečným počtem prvků nulovou míru? Pro nás budou důležité množiny následujícího typu.
Nechť (p,ip : R —» R jsou spojité funkce na Intervalu [a, b] takové, že (p(x) < i|j(x) pro každé x G [a, b]. Množina
Ex := {[x,y] G R2 : x G [a, b] & cp(x) < y < ^(x)}
se nazývá elementární vzhledem k ose x. Podobně, nechť jsou (p,ip : R —> R spojité funkce na Intervalu [c, d] takové, že (p(y) < iKy) Pro každé y G [c, c/]. Množina
Ey := {[x,y] G R2 : y G [c, d] & (p(y) < x < 4>(y)} se nazývá elementární vzhledem k ose y.
Množina A C R2 se nazývá elementární, jestliže je elementární vzhledem k ose x nebo y.
Petr Zemánek (PřF MU, Brno)
zemanekp@math.muni.cz
M2B02: Dvojné a trojné integrály
26. dubna 2016 21 / 56
Věta 2.22(1)
Poznámka
Příklad
y =
(*) x =
IR je ohraničená na AT. Funkci f nazveme integrovotelnou na množině J\í, jestliže funkce Xj^f určená předpisem f[xyy) pro [x,y] G A/", 0 pro [x,y] 0 A/", je integrovatelná na nějakém obdélníku Ai 2 A/". Dvojný integrál funkce na množině Af pak definujeme jako f(x, y) clxcly = [X^f)[xyy) clxcly. a/" I tato definice je korektní. Zejména je-li A^ obdélník, pak lze volit Ai = Aí a platí f(x, y) clxcly = [Xjsff)[x,y) clxcly = f(x,y) clxcly, a/" A4 M pokud alespoň jeden z těchto Integrálů existuje. Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Dvojné a trojné integrály 26. dubna 2016 24 / 56 Dvojný integrál na měřitelné množině Věta 2.25(1) Postačující podmínky Integrovatelnosťi na měřitelné množině? Nechť funkce f : IR2 —> IR je (skoro všude) spojitá a ohraničená na měřitelné množině A^ C IR2. Pak funkce f je integrovatelná na AT. Důsledek2.25(i) Nechť funkce f : IR2 —> IR je spojitá na kompaktní měřitelné množině A^ C IR2. Pak funkce f je Integrovatelná na A^ Rozhodněme o existenci JJ 2* 2 clxcly, jestliže Příklad a/" (a) AT: x2 + (y-l)2 < 1/4, (b) A/~: x2 + y2 < 1. Rozhodněme o existenci JJ áí "22 smx(2+y2 } dxcly, jestliže M : x2 + y2 < 4. Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Dvojné a trojné integrály 26. dubna 2016 25 / 56 Dvojný integrál na měřitelné množině I Základní vlastností dvojného integrálu. Nechť funkce f, g : IR2 —> IR jsou integrovatelné na měřitelné množině J\í C IR2. ► Funkce f(x,y) ±#(x,y) jsou integrovatelné na A^ a platí (tzv. acíi-tivita vzhledem k integrandu) ► Je-li c E IR konstanta, pak funkce cf(x, y) je integrovatelné na A^ a platí (tzv. homogenita) [f[xyy) ±g[xyy)] dxdy = f(x, y) clxcly db #(x,y) clxcly. Áí Áí cf(x, y) clxcly = c f(x, y) clxcly. áí Áí ► Funkce |r(x,y)| je integrovatelné na A^ a platí f(x, y) clxcly áí < Áí Je-li f(x,y) < g[x,y) pro všechny [x,y] G A/", pak f(x, y) clxcly < áí áí Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz |f(x,y)| clxcly. g{x,y) clxcly. M2B02: Dvojné a trojné integrály 26. dubna 2016 26 / 56 Dvojný integrál na měřitelné množině Věta 2.27(1) Základní vlastnosti dvojného integrálu (pokrač.). Nechť funkce f, g : IR2 —> IR jsou integrovatelné na měřitelné množině ► Je-li k G M konstanta, pak k clxcly = km{N). ► Je-li funkce f(x,y) ohraničená na množině A/i C IR2, která má nulovou míru, pak je funkce f(x, y) integrovatelná na A/i a platí f(x, y) clxcly = 0. ► Je-li funkce f(x,y) integrovatelná na měřitelné množině A/2 C IR2 i na měřitelné množině A/3 C IR2, přičemž /77(A/2 H A/3) = 0, pak funkce f(x,y) je integrovatelná na A/2 U A/3 a platí r(x, y) clxcly = f(x, y) clxcly + a/2 u a/3 a/2 a/3 (tato vlastnost se v případě A/2 flA/3 = 0 nazývá aditivitou integrálu vzhledem k integračnímu oboru). f{x,y) clxcly Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Dvojné a trojné integrály 26. dubna 2016 27 / 56 Dvojný integrál na měřitelné množině Věta 2.28(11) Věta2.28(i) Nechť funkce f, g : IR2 —> IR jsou Integrovatelné na měřitelné množin Áí C IR2. Pak i jejich součin (/g")(x,y) je integrovatelný na Áí. Nechť funkce f : IR2 —> IR je integrovatelná na měřitelné množině A/" C l2 a nechť Áíi C J\í je její měřitelná podmnožina. Pak funkce f je integrovatelná i na množině A/i. Jak se změní integrovatelnost/hodnota integrálu funkce f(xyy) na měřitelné množině Áí C IR2, pokud změním hodnotu funkce f(xyy) na množině nulové míry? Věta 2.28(111) Nechť funkce fyg : IR2 -> IR jsou definované na měřitelné množině A^ C IR2, přičemž f je integrovatelná na Áí, g je ohraničená na A^ a m(A/i) = 0, kde Mi = {[x,y] G AT : f(x,y) ^ #(x,y)}. Pak funkce g je také integrovatelná na A^ a platí f(x,y) clxcly £(x,y) clxcly. a/" Áí Speciálně uvažme funkci g[xyy) = 0. Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Dvojné a trojné integrály 26. dubna 2016 28 / 56 Dvojný integrál na měřitelné množině Věta 2.29(1) Z Integrálního počtu v R známe (Věta o střední hodnotě): Nechť f, g : R —> R jsou integrovatelné funkce na Intervalu [a, b] a nechť g{x) > 0 pro x G [a, b]. Pak existuje číslo c G R takové, že inf{f(x) : x G [a, b]} < c < sup{f(x) : x G [a, 6]} a platí r(x)g(x) dx = C J a g [x) dx. J a Nechť funkce f,g '.M2 —> R jsou Integrovatelné na měřitelné množině jV C l2 a nechť g[x,y) > 0 pro všechna [x, y] G A/". Pak existuje číslo (x G R takové, že \i G [a, |3], kde a = inf{f(x,y) : [x,y] G A/"} a (3 = sup{f(x, y) : [x, y] G AT], a platí f(*,y)g"(*,y)clxdy = \i g[x,y)dxdy. Speciálně pro spojitou funkci f{x,y) a g[xyy) = 1 platí, že existuje [xo>yol G tak, že j j f {x y y) c\xc\y = f(x0yyo)m(jV). Ukažme, že pro Ai = [—1,1] x [—1,2] platí 1 1 < M x2 + y2 + 1 dxdy < 6. Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Dvojné a trojné integrály 26. dubna 2016 2Q / 56 Dvojný integrál na měřitelné množině Na obrázku je sněhová mapa (údaje jsou v cm) státu Colorado ve dnech 20.-21. prosince 2006 (stát Colorado má tvar obdélníku o délce 612 km a šířce 451 km). S využitím této mapy určete průměrnou výšku sněhové pokrývky ve státě Colorado v uvedených dnech. \ U(%~~ \ [(m ^ l/l U VY A Piu 1 Obrázky převzaty z: J. Stewart, Calculus, sedmé vydání. Petr Zemánek (PřF MU, Brno) Z EMAN E KPfcDMATH .MU Ni .CZ M2B02: Dvojné a trojné integrály 26. dubna 2016 30 / 56 Dvojný integrál na měřitelné množině Jak ale dvojný integrál spočítat? Dvojný integrál —> dvojnásobný integrál = Fubiniova věta. Nechť A^ je elementární množina v IR2 vzhledem k ose x, tj. Äf={[x,y] G M2: x G [a, b],
(x)}, kde (p,\jb : R —> R jsou spojité funkce na [a, 6] takové, že (p(x) < iMx) pro každé x G [a, b]. Je-li funkce f : R2 —> R spojitá na A/", pak platí f(x, y) clxcly = a/" ŕ(x,y) cly a L ^ cp (x) clx. Podobně, nechť Áí je elementárni množina v R2 vzhledem k ose y, tj. Ň={[x,y] G R2: y G [c, cf],
R jsou spojité funkce na [c, d] takové, že (p(y) < i|>(y) pro každé y G [c, d]. Je-li funkce f : R2 —> R spojitá na A/', pak platí
f(x, y) clxcly
f(x,y)clx
a/"
c L J cp (y)
cly.
Speciálně uvažme funkci f {x, y) = h(x) g [y).
Důkaz? ■
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz
M2B02: Dvojné a trojné integrály
26. dubna 2016 31 / 56
Dvojný integrál na měřitelné množině
Příklad
Příklad
Zaměňme pořadí integrace
pl "•x -3 rx+1
(a) / = f(x,y) cly clx, (b) / = f(x,y) clx cly,
X, 0 _ X, x2 X, 0 _ X. (x-l)2
r4 ry/2 r6 — r 6- -y
(c) / = f(x,y)dx dy + f(x,y)dx cly.
X, 0 0 X, 4 _ X. 0
Vypočtěme JJf(x,y) clxcly, jestliže
Aí
(a) f(x,y) = x + y, A^ je vymezena křivkami y = x2 a y = x,
(b) f(x,y) = xy, A^je trojúhelník s vrcholy [0,0], [1,1] a [2,0],
(c) f(x, y) = x2y, A^ je vymezena nerovnostmi 1 > y > x2,
1
cl) f(x,y) =
x2 + 1
, A^ je vymezena křivkami y = 2x — x ay =
—x.
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz
M2B02: Dvojné a trojné integrály
26. dubna 2016 32 / 56
Trojný integrál
0 Dvojný integrál na obdélníku
2 měřitelné množiny v
3 Dvojný integrál na měřitelné množině
4 Trojný integrál
Transformace
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Dvojné a trojné integrály 26. dubna 2016 33/56
Pro funkci f : IR —> IR se trojný integrál na kvádru AA = [a, 6] x [c, c/] x [e, f] zavádí a počítá zcela analogickým způsobem. Je-ll funkce f spojitá pak platí (přičemž všechny permutace jsou možné; trojný Integrál trojnásobný Integrál)
rb
f(x, y, z) clxclyclz =
M
rd
c L
ľf
f(x, y, z) dz
d y
d x
Pro M = [1,3] x [-1,1] x [0,2] vypočtěme
(x + 2y — 3 z) clxclyclz.
M
Charakteristická funkce AV množiny Af C R3 se definuje analogicky jako v Definici 2.17(1) a její (Jordánova) míra
m (AT)
AV(*) y, ^) clxclyclz,
A4
kde .M D je libovolný kvádr
Petr Zemánek (PřF MU, Brno)
zemanekp@math.muni.cz
M2B02: Dvojné a trojné integrály
26. dubna 2016 34 / 56
Potom trojný Integrál z ohraničené funkce f : M3 -> R na měřitelné množme Áí CM3 definuj eme jako (pokud existuje)
r* r* r*
Áí
f(x, y, z) dxdydz =
r* r* r*
M
[Maíf) (x, y, z) dxdydz,
kde .M D A^ je libovolný kvádr a funkce Aa//7 je definováno podobně jako v Definici 2.24(1). Trojný integrál pak má podobné vlastnosti jako dvojný integrál (platí analogická tvrzení).
Rozhodněme o existenci JJJf(x,y, z) dxdydz, jestliže
áí
(a) f(x,y,z) =
, Áí: 0 < x < 2, -1 < y < 0, -2 < z < 2,
(1+x + z)3 b) f(x, y, z) = x + yz, A/": x < y < 2, z > 3,
1 • - - 2,2
(c) ŕ(x,y,z)
x2 + y2 + z2 - 9
, AT: 1 < x + y + z < 4.
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz
M2B02: Dvojné a trojné integrály
26. dubna 2016 35 / 56
Trojný integrál
Definice 2.36(1)
Poznámka
Nechť Jv Cl je elementární množina v IR (vzhledem k ose x nebo y) a nechť ®(x,y) a W(xyy) jsou spojité funkce na takové, že platí ®(x, y) < ^(x, y) Pro všechna [x, y] G Áí. Množina
&y = {[x,y,z]GlR3: [x,y]G^, 0(x,y) < z < V(x,y)}
se nazývá elementární vzhledem k rovině xy \/IR3. Analogicky se definuje elementární množinu vzhledem k rovině xz \/IR3 nebo vzhledem k rovině yz v IR3. Elementární množinou v IR3 rozumíme elementární množinu v IR3 vzhledem k rovině xy, xz nebo yz.
Elementární množina v IR3 je měřitelná a funkce f : IR3 —> IR spojitá na elementární množině v IR3 je integrovatelná.
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz
M2B02: Dvojné a trojné integrály
26. dubna 2016 36 / 56
Trojný integrál
Popišme jako elementární množinu: ► čtyřstěn s vrcholy [0,0,0], [1,1,0], [0,1,0] a [0,1,1]
z
Trojný integrál
Popišme jako elementární množinu: ► množinu vymezenou plochami z = x +3y a z = 8 — x — y ,
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz
M2B02: Dvojné a trojné integrály 26. dubna 2016 38 / 56
Trojný integrál —> trojnásobný integrál = Fubiniova věta. Nechť O je elementární množina v IR3 vzhledem k rovině xy, tj. n = {[x,y,z] G IR3: [x,y] e Aľ, 0, y > 0, V*2 + y2 < z < 2) (c) f(x,y,z) =ycos(x + z),
O : y = y = 0, z = 0, x + z = tt/2,
(d) /r(x,y,z) =
xy3z
(1 + z2)2'
O : z = 2, z2 = x2 + y2, x = 0, y = 0.
Určeme objem tělesa vzniklého průnikem x2 + y2 = 1 a x2 + z2 = 1.
Pomocí trojného integrálu vyjádřeme objem „kornoutu se zmrzlinou".
Zcela analogickým způsobem se zavádí obecný n-rozměrný integrál pro ŕ : Rn —» R (ovšem již bez „geometrické představy").
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz
M2B02: dvojné a trojné integrály 26. dubna 20l6 40 / 56
Transformace
0 Dvojný integrál na obdélníku
2 měřitelné množiny v
3 Dvojný integrál na měřitelné množině
Trojný integrál
5 Transformace
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Dvojné a trojné integrály 26. dubna 2016 41 756
Transformace
Pro výpočet určitého integrálu funkce f : R —> R máme dva hlavní nástroje:
► per-partes
Nechť funkce i/, v : R —> R mají derivaci na Intervalu [a, b] a nechť funkce uf, vf jsou integrovatelné na [a, b]. Pak platí
6 r 1/3
L/(x)v (x) dx = L/(x)u(x)
J a
í/(x) v(x) clx.
► substituční metoda (tzv. metoda záměny proměnných)
Nechť f : R —> R je spojitá funkce na Intervalu [a, b]. Nechť funkce (p má derivaci na Intervalu [a, |3], která je na tomto Intervalu integrovatelná, a nechť (p([oc, p]) C [a, b]. Pak platí
ß
f((p(x)) q/(x) clx
cp(ß)
f(ŕ) clŕ.
R je definována na intervalu / a má derivaci cp(í) spojitou a různou od nuly v každém bodě t G /. Je-li funkce f : R —> R spojitá na Intervalu (p(/)f pak platí
f(x) clx =
fMŕjjicp'midŕ.
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz
M2B02: Dvojné a trojné integrály
26. dubna 2016 42 / 56
Definice 2.43(i)
Definice 2.43(11)
Definice 2.43(iii)
Nechť g, h : IR2 —> R jsou funkce definované na množině B C IR2. Nechť
F : 8 —> IR2 je zobrazení takové, že [i/, v] > u),u)], tj.
F = (g-, /?). Zobrazení F se nazývá spojitě diferencovatelné na B, jestliže existuje otevřená množina O D B taková, že funkce g", /? lze rozšířit na O takovým způsobem, že funkce gy h mají v O spojité parciální derivace prvního řádu podle obou proměnných i/, v.
Nechť zobrazení F : B —> IR je spojitě diferencovatelné na B. Pak se matice
g-u(u, v) gv(u, v) hu(u,v) hv(u,v)
J(u, v) :=
nazývá Jacobiho maticí a její determinant jcikobičin zobrazení F, přičemž det J : B —> R.
Spojitě diferencovatelné zobrazení F : B —> R2, kde B je otevřená množina, se nazývá regulární, jestliže je jeho jakobián různý od nuly v každém bodě množiny B.
Petr Zemánek (PřF MU, Brno)
ZEMANE KPfcDMATH .MU Ni .CZ
M2B02: Dvojné a trojné integrály
26. dubna 2016 43 / 56
Transformace
Věta 2.44(1)
Nechť B C M2 je uzavřená měřitelná množina a í) C I2 je otevřená množina taková, že B C O. Nechť F : O —> IR2 je prosté regulární zobrazení takové, že F(uyv) = [g(uyv)yh(uyv)] pro každé [uyv] G B. Je-li f : M2 —> IR spojitá funkce na množině A = F(B), pak platí
f(g{u, v), h{u, v]) x |detJ(i/, u)| cli/clu.
f(x, y) clxcly
Proč det J(u, v)?
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz
M2B02: Dvojné a trojné integrály
26. dubna 2016 44 / 56
Pl
P2y
Ě \ Ě N Ě N. N. N T x X > ' \
N /V.*- \
N. Hl
S
IR jsou spojité funkce na intervalu [(pi, (P2] takové, že r( 1, y < a/Šx.
áí
Petr Zemánek (PŘF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Dvojné a trojné integrály 26. dubna 2016 49/56
Pro trojnásobný Integrál se používají zejména transformace clo válcových a sférických so u řad nic.
Válcové (cylindrické) souřadnice
x = pcos(p, y = psin(p, z = z,
kde p G [0, oo), (obvykle) cp G [0, 2tt) a z G R. Pak
'coscp —psincp 0' det J(p, (p, z) = det ( sin (p pcoscp 0
0 0 1
2 2
p(cos (p + sin (p) = p.
Obrázek převzat z: J. Kalas, J. Kuběn, Integrální počet funkcí více proměnných.
Transformace
Vyjádřeme jako elementární množinu ve válcových souřadnicích množinu A/ vymezenou plochami z = 0, x + (y — 1) = 1 a plochou z = x + y .
Petr Zemánek (PřF MU, Brno)
z EMAN E KPfCÜMATH .MU Ni .cz
M2B02: Dvojné a trojné integrály
26. dubna 2016 51 / 56
Nechť funkce f : R3 —> R je spojitá na množině A^ C IR3, kterou lze ve válcových souřadnicích vyjádřit jako elementární množinu
AT = {[cp,p,z] G IR3 : oc< cp < (3, r(cp) < p < /?(cp),
Mcp,p) < * < H(cp,p)},
kde r, /? : R —> R jsou spojité funkce na intervalu [a, |3] takové, že rí(p) < ft( R jsou spojité na množině
A/i = {[(p, p] G R2 : a < cp < (3, r(cp) < p < /?(cp)} a platí /?((p, p) < H((p, p) pro každé [(p, p] G A/i. Potom
r* r* r*
f(x, y, z) clxclyclz
J (x r( 0.
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz
M2B02: Dvojné a trojné integrály
26. dubna 2016 53 / 56
Sférické (kulové) souřadnice
x = pcos (p sin£, y = psin (p sinz = pcos£, kde p G [0,oo)f (obvykle) cp G [0, 2n) ad G [0,7t]. Pak
det J(p, (p,$) =
cos (p sin£ = det I sin (p s\nd cosd
= —p2 sin d.
-psin (psin£ p cos (p sin£ 0
p cos (p cos psin (p cos£ —p sin d
Obrázek převzat z: J. Kalas, J. Kuběn, Integrální počet funkcí více proměnných.
Nechť funkce f : IR3 —> IR je spojitá na množině A^ C IR3, kterou lze ve sférických souřadnicích vyjádřit jako elementární množinu
AT = {[cp,d, p] G IR3 : a < cp < (3, c < d < d,
s( IR jsou spojité na množině
A/i = {[cp,d] G IR2: a<(p<(3, c < £ < d}
a platí g"((p,$) < G(cp,£) pro každé [(p,$] G A/i. Potom
f(x, y, z) clxclyclz
^ß ~ /-*
J c OĹ
■g(