M2B02: Diferenciální a integrální počet II
Petr Zemánek (Masarykova Univerzita, Brno)
Funkční řady (10. května 2016)
CZ.1.07/2.3.00/30.0009
Zaměstnáním čerstvých absolventů doktorského studia k vědecké
excelenci
PREZENČNÍ LISTINA
Název akce:
Místo, den konání:
Jméno Bydliště
Zaměstnavat
el/VŠ
Podpis
Tato práce byla podpořena z projektu „Zaměstnáním čerstvých absolventů doktorského studia k vědecké
excelenci“ (CZ.1.07/2.3.00/30.0009), který je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem
České republiky.
Obsah
Obsah
1 Funkční řady a konvergence
2 Stejnoměrná konvergence, její kritéria a vlastnosti
3 Fourierovy řady
Obecný ortogonální systém {ϕn(x)}
Systém {cos nx, sin nx}
Konvergence
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Funkční řady 10. května 2016 2 / 43
Funkční řady a konvergence
1 Funkční řady a konvergence
2 Stejnoměrná konvergence, její kritéria a vlastnosti
3 Fourierovy řady
Obecný ortogonální systém {ϕn(x)}
Systém {cos nx, sin nx}
Konvergence
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Funkční řady 10. května 2016 3 / 43
Funkční řady a konvergence
Již známe číselné řady ∞
n=1 an, kde an jsou daná čísla pro n ∈ N. Ovšem
co když místo čísel an budeme uvažovat funkce fn(x)? Speciální případy:
mocninné řady a Taylorova řada.
Definice 3.4(i) Nechť {fn(x)}∞
n=1 je posloupnost funkcí na intervalu I a nechť x0 ∈ I je
libovolné. Je-li číselná posloupnost {fn(x0)}∞
n=1 konvergentní, řekneme,
že posloupnost {fn(x)}∞
n=1 je konvergentní v bodě x0.
Posloupnost {fn(x)}∞
n=1 nazveme bodově konvergentní k funkci f (x) na
intervalu I, jestliže konverguje v každém bodě x ∈ I, tj. ke každému
x ∈ I a ke každému ε > 0 existuje n0 ∈ N takové, že pro všechna n ∈ N,
n ≥ n0, platí |fn(x) − f (x)| < ε. V takovém případě píšeme
lim
n→∞
fn(x) = f (x) pro x ∈ I nebo fn(x) −→ f (x) na I.
Poznámka Na čem závisí volba čísla n0 z předchozí definice?
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Funkční řady 10. května 2016 4 / 43
Funkční řady a konvergence
Příklad Uvažme funkční posloupnosti
(a) fn(x) = xn
pro x ∈ [0, 1], (b) fn(x) = arctg nx pro x ∈ R.
Spojitost?
1
1
π
2
−π
2
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Funkční řady 10. května 2016 5 / 43
Funkční řady a konvergence
Definice 3.6(i) Nechť {fn(x)}∞
n=1 je posloupnost funkcí na intervalu I. Symbol
∞
n=1
fn(x) nebo f1(x) + f2(x) + f3(x) + . . .
nazýváme nekonečnou řadou funkcí. Posloupnost {sn(x)}∞
n=1, kde sn(x) =
f1(x) + · · · + fn(x), nazýváme posloupností částečných součtů řady
∞
n=1 fn(x).
Jestliže posloupnost částečných součtů {sn(x)}∞
n=1 konverguje pro
všechna x ∈ I, řekneme, že nekonečná řada funkcí ∞
n=1 fn(x) bodově
konverguje na intervalu I a funkci s(x) = limn→∞ sn(x) nazýváme součtem
řady ∞
n=1 fn(x).
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Funkční řady 10. května 2016 6 / 43
Funkční řady a konvergence
Bodová konvergence posloupnosti {fn(x)}∞
n=1 a řady ∞
n=1 fn(x) závisí na
intervalu I. Největší množinu (vzhledem k množinové inkluzi), na níž posloupnost/řada
bodově konverguje, nazýváme oborem konvergence dané
posloupnosti/řady. Součtem nekonečné řady ∞
n=1 fn(x) je opět funkce.
Ovšem tento součet nemusí být definován na celém intervalu I (kde
jsou definování jednotliví sčítanci), ale (obecně) pouze na nějaké jeho
podmnožině I∗
⊆ I (tam, kde existuje limita limn→∞ sn(x)).
Příklad Určeme obor konvergence pro funkční řady
(a)
∞
n=1
xn
n(n + 1)
, (b)
∞
n=1
e−n2
x
.
Příklad
Určeme obor konvergence pro funkční řadu ∞
n=1 enx2
.
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Funkční řady 10. května 2016 7 / 43
Stejnoměrná konvergence, její kritéria a vlastnosti
1 Funkční řady a konvergence
2 Stejnoměrná konvergence, její kritéria a vlastnosti
3 Fourierovy řady
Obecný ortogonální systém {ϕn(x)}
Systém {cos nx, sin nx}
Konvergence
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Funkční řady 10. května 2016 8 / 43
Stejnoměrná konvergence, její kritéria a vlastnosti
Je jasné, že některé vlastnosti jednotlivých členů se přenášejí i na limitní
funkci (nezápornost, monotonie). Spojitost?
Příklad Vyšetřeme funkční řadu
x + (x2
− x) + (x3
− x2
) + · · · = 1 +
∞
n=1
(xn
− xn−1
)
1−1
1
−1
sn(x)
s(x)
1
−1 1
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Funkční řady 10. května 2016 9 / 43
Stejnoměrná konvergence, její kritéria a vlastnosti
Definice 3.10(i)
Řekneme, že posloupnost funkcí {fn(x)}∞
n=1 konverguje stejnoměrně
k funkci f (x) na intervalu I, jestliže ke každému ε > 0 existuje n0 ∈ N
takové, že pro všechna n ∈ N, n ≥ n0, a všechna x ∈ I platí
|fn(x) − f (x)| < ε. V takovém, případě píšeme
fn f na I.
Řekneme, že řada funkcí ∞
n=1 fn(x) konverguje stejnoměrně na intervalu
I ke svému součtu s(x), jestliže posloupnost {sn(x)}∞
n=1 jejích částečných
součtů konverguje stejnoměrně na I k funkci s(x).
Jinými slovy řekneme, že posloupnost funkcí {fn(x)}∞
n=1 konverguje stejnoměrně
na intervalu I k funkci f (x), jestliže má tuto vlastnost: uvážíme-li
libovolně úzký pás obsahující funkci f (x), pak vždy existuje takový
člen fn0 (x) dané posloupnosti, že tento člen a všechny následující (tj.
fn0+1(x), fn0+2(x), . . . ) leží v tomto pásu pro všechna x ∈ I.
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Funkční řady 10. května 2016 10 / 43
Stejnoměrná konvergence, její kritéria a vlastnosti
Bodová vs. stejnoměrná konvergence
fn → f ⇔ (∀x ∈ I)(∀ε ∈ R, ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ∈ N, n ≥ n0) :
|fn(x) − f (x)| < ε,
tedy n0 = n0(ε, x), zatímco
fn f ⇔ (∀ε ∈ R, ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀x ∈ I)(∀n ∈ N, n ≥ n0) :
|fn(x) − f (x)| < ε,
tedy n0 = n0(ε). Je zřejmé, že fn f ⇒ fn → f . Platí i opačná impli-
kace?
Příklad Rozhodněme, zda posloupnost funkcí
fn(x) =
2nx
1 + n2x2
je stejnoměrně konvergentní na intervalu [0, 1].
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Funkční řady 10. května 2016 11 / 43
Stejnoměrná konvergence, její kritéria a vlastnosti
Cauchyho–Bolzanovo kritérium představuje (teoreticky) nejdůležitější kritérium konvergence
pro číselné řady: řada ∞
n=1 an je konvergentní právě tehdy, když posloupnost částečných
součtů je cauchyovská, tj. pro libovolné ε > 0 existuje index n0 ∈ N takový, že pro všechna
n ∈ N, n ≥ n0 a libovolné m ∈ N platí |sn+m − sn| = |an+1 + · · · + an+m| < ε.
Věta 3.12(i) Posloupnost funkcí {fn(x)}∞
n=1 konverguje stejnoměrně na intervalu I právě tehdy, když ke
každému ε > 0 existuje n0 ∈ N takové, že pro každé m, n ∈ N, m ≥ n0, n ≥ n0, a pro
všechna x ∈ I platí |fm(x) − fn(x)| < ε.
Věta 3.12(ii) Řada funkcí ∞
n=1 fn(x) konverguje stejnoměrně na intervalu I právě tehdy, když ke každému
ε > 0 existuje n0 ∈ N takové, že pro všechna n ∈ N, n ≥ n0, libovolné m ∈ N a pro
všechna x ∈ I platí |fn+1(x) + · · · + fn+m(x)| < ε.
Jenže tato kritéria nejsou příliš použitelná v praxi.
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Funkční řady 10. května 2016 12 / 43
Stejnoměrná konvergence, její kritéria a vlastnosti
Věta 3.13(i) Nechť {fn(x)}∞
n=1 je posloupnost funkcí na intervalu I. Nechť existuje posloupnost
nezáporných čísel {an}∞
n=1 taková, že řada ∞
n=1 an konverguje
a platí
|fn(x)| ≤ an pro všechna x ∈ I a n ∈ N.
Pak řada ∞
n=1 fn(x) konverguje stejnoměrně na intervalu I.
Příklad Rozhodněme o stejnoměrné konvergenci pro
(a)
∞
n=1
sin nx
n2
, x ∈ R, (b)
∞
n=1
1
n2 + 1
sin nx, x ∈ R,
(c)
∞
n=1
xn
n + 1
, x ∈ R, (d)
∞
n=1
x
1 + x
n
, x ∈ R.
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Funkční řady 10. května 2016 13 / 43
Stejnoměrná konvergence, její kritéria a vlastnosti
Poznámka Weierstrassovo kritérium lze formulovat také pro posloupnost funkcí
{fn(x)}∞
n=1 na intervalu I. Pokud existuje posloupnost nezáporných čísel
{an}∞
n=1 taková, že limita limn→∞ an = 0 a platí
|fn(x) − f (x)| ≤ an pro všechna x ∈ I a n ∈ N,
pak posloupnost {fn(x)}∞
n=1 konverguje stejnoměrně na intervalu I
k funkci f (x). Navíc lze ukázat, že v případě volby
an := sup {|fn(x) − f (x)| : x ∈ I}
platí limn→∞ an = 0 právě tehdy, když fn f na I.
Příklad Rozhodněme o stejnoměrné konvergenci pro
(a) fn(x) = xn
pro x ∈ [0, 1), (b) fn(x) = arctg nx pro x ∈ R.
Příklad Určeme obory bodové a stejnoměrné konvergence pro
(a) fn(x) = e−nx
, x ∈ R, (b) fn(x) =
1
√
n
sin nx, x ∈ R,
(c) fn(x) = sin
x
n
, x ∈ R, (d) fn(x) =
xn
1 + xn
, x ∈ R \ {−1},
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Funkční řady 10. května 2016 14 / 43
Stejnoměrná konvergence, její kritéria a vlastnosti
Pro číselné řady platí: Je-li posloupnost {bn}∞
n=1 je monotónní a platí
jedna z podmínek
(i) posloupnost částečných součtů řady ∞
n=1 an je ohraničená a
limn→∞ bn = 0;
(ii) řada ∞
n=1 an konverguje a posloupnost {bn}∞
n=1 je ohraničená,
pak řada ∞
n=1 anbn je konvergentní.
Posloupnost funkcí {fn(x)}∞
n=1 na intervalu I nazveme neklesající (nerostoucí),
jestliže je číselná posloupnost {fn(x0)}∞
n=1 neklesající (nerostoucí)
pro všechna x0 ∈ I. Neklesající nebo nerostoucí posloupnost nazýváme
souhrnně jako monotónní na intervalu I.
Pozor: klesající posloupnost vs. posloupnost klesajících funkcí, např.
fn(x) = sin x − 1/n.
O posloupnosti funkcí {fn(x)}∞
n=1 na intervalu I řekneme, že je na intervalu
I stejnoměrně ohraničená, jestliže existuje konstanta k > 0 taková,
že pro všechna n ∈ N a všechna x ∈ I platí |fn(x)| ≤ k.
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Funkční řady 10. května 2016 15 / 43
Stejnoměrná konvergence, její kritéria a vlastnosti
Věta 3.16(i) Nechť {fn(x)}∞
n=1, {gn(x)}∞
n=1 jsou posloupnosti funkcí na I, {gn(x)}∞
n=1 je
monotonní na I. Nechť je splněná některá z následujících podmínek:
(i) Řada ∞
n=1 fn(x) má stejnoměrně ohraničenou posloupnost
částečných součtů a gn(x) 0 na I.
(ii) Řada ∞
n=1 fn(x) stejnoměrně konverguje na I a posloupnost
{gn(x)}∞
n=1 je stejnoměrně ohraničená na I.
Potom řada ∞
n=1 fn(x) gn(x) konverguje stejnoměrně na I.
Speciálně uvažme část (i) s gn(x) ≡ an, kde číselná posloupnost {an}∞
n=1 je
monotónní a taková, že limn→∞ an = 0.
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Funkční řady 10. května 2016 16 / 43
Stejnoměrná konvergence, její kritéria a vlastnosti
Příklad Dokažme, že řada ∞
n=1
sin nx
n
konverguje stejnoměrně na intervalu
[δ, 2π − δ], kde 0 < δ < π.
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Funkční řady 10. května 2016 17 / 43
Stejnoměrná konvergence, její kritéria a vlastnosti
Příklad Rozhodněme o stejnoměrné konvergenci pro
(a)
∞
n=1
(−1)n−1
n
xn
, x ∈ [0, 1], (b)
∞
n=1
(−1)n−1
n + x2
, x ∈ R,
(c)
∞
n=1
xn
n + 1
, x ∈ [−δ, δ], 0 < δ < 1, (d)
∞
n=1
sin x · sin nx
√
n + x
.
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Funkční řady 10. května 2016 18 / 43
Stejnoměrná konvergence, její kritéria a vlastnosti
Zpět ke spojitosti.
Věta 3.19(i) Nechť posloupnost funkcí {fn(x)}∞
n=1 stejnoměrně konverguje na intervalu
I k funkci f (x). Jsou-li všechny funkce fn(x) spojité na I, je i f (x) spojitá
na I.
Důkaz?
Tvrzení můžeme i otočit.
Důsledek 3.19(i) Nechť funkce fn(x) jsou spojité na I pro každé n ∈ N a nechť posloupnost
funkcí {fn(x)}∞
n=1 konverguje bodově k nespojité funkci f (x) na I. Pak
posloupnost funkcí {fn(x)}∞
n=1 nekonverguje stejnoměrně.
Tedy pouze pomocí limitní funkce lze rozhodnout o stejnoměrné konver-
genci.
Příklad Rozhodněme o stejnoměrné konvergenci pro
(a) fn(x) = xn
, x ∈ [0, 1], (b) fn(x) = arctg nx, x ∈ R,
(c) fn(x) =
1
1 + nx
, x ∈ [0, 1].
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Funkční řady 10. května 2016 19 / 43
Stejnoměrná konvergence, její kritéria a vlastnosti
Příklad Ovšem samotná spojitost limitní funkce neimplikuje nutně stejnoměrnou
konvergenci. Uvažme např. fn(x) = nxe−nx
.
Poznámka Tedy spojitost funkcí fn(x) a stejnoměrná konvergence posloupnosti
{fn(x)}∞
n=1 je postačující podmínkou pro spojitost limitní funkce. Ovšem
ani jedna z těchto podmínek není nutnou:
limitní funkce posloupnosti {xn
}∞
n=1 je na intervalu (0, 1) spojitá,
ačkoli posloupnost {xn
}∞
n=1 není stejnoměrně konvergentní.
Dirichletova funkce
X(x) =
1, x ∈ Q,
0, x ∈ Q,
je nespojitá v každém bodě x ∈ R, ovšem posloupnost 1
n
X(x)
∞
n=1
konverguje stejnoměrně na R k nulové funkci.
Kdy budou tyto podmínky i nutnými?
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Funkční řady 10. května 2016 20 / 43
Stejnoměrná konvergence, její kritéria a vlastnosti
Věta 3.21(i) Nechť {fn(x)}∞
n=1 je monotónní posloupnost spojitých funkcí na intervalu
[a, b] a nechť fn(x) → f (x) na [a, b]. Je-li funkce f (x) spojitá na [a, b],
pak dokonce fn(x) f (x) na [a, b].
Poznámka Tvrzení zůstane v planosti i v případě, že interval [a, b] nahradíme
obecnou kompaktní „množinou“. Nicméně uzavřenost a ohraničenost
(=kompaktnost) je podstatná, neboť např.
xn
→ 0 na (0, 1), ovšem xn
0 na (0, 1),
x +
1
n
2
→ x2
na R+, ovšem x +
1
n
2
x2
na R+.
Podobná tvrzení platí i pro řady funkcí.
Věta 3.21(ii) Nechť řada funkcí ∞
n=1 fn(x) konverguje stejnoměrně na intervalu I a
má součet s(x). Jsou-li všechny funkce fn(x) spojité na I, pak je i funkce
s(x) spojitá na I.
Důsledek 3.21(i) Nechť {fn(x)}∞
n=1 je posloupnost nezáporných (nekladných) spojitých
funkcí na intervalu [a, b] a nechť funkce s(x) = ∞
n=1 fn(x) je spojitá
na [a, b]. Pak řada ∞
n=1 fn(x) konverguje stejnoměrně k funkci s(x) na
[a, b].
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Funkční řady 10. května 2016 21 / 43
Stejnoměrná konvergence, její kritéria a vlastnosti
Věta 3.22(i) Nechť posloupnost funkcí {fn(x)}∞
n=1 konverguje stejnoměrně na intervalu
[a, b] k funkci f (x). Jsou-li všechny funkce fn(x) integrovatelné na [a, b],
je i f (x) integrovatelná na [a, b] a platí
b
a
f (x) dx =
b
a
lim
n→∞
fn(x) dx = lim
n→∞
b
a
fn(x) dx. (1)
Bez požadavku stejnoměrné konvergence tvrzení Věty 3.22(i) obecně ne-
platí.
Příklad Uvažme posloupnost
fn(x) = 2n2
xe−n2
x2
na intervalu [0, 1].
Ovšem na druhou stranu stejnoměrná konvergence není pro platnost
identity (1) nutnou podmínkou.
Příklad Uvažme posloupnost
fn(x) =
nx
1 + n2x2
na intervalu [0, 1].
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Funkční řady 10. května 2016 22 / 43
Stejnoměrná konvergence, její kritéria a vlastnosti
Věta 3.23(i) Nechť řada funkcí ∞
n=1 fn(x) konverguje stejnoměrně na intervalu [a, b]
a má součet s(x). Jsou-li všechny funkce fn(x) integrovatelné na [a, b],
je i s(x) integrovatelná na [a, b] a platí
b
a
s(x) dx =
b
a
∞
n=1
fn(x) dx =
∞
n=1
b
a
fn(x) dx .
Příklad Uvažme řadu funkcí ∞
n=0 rn
cos nx = s(x), kde 0 < r < 1. Ukažme, že
funkce s(x) je spojitá na R a vypočtěme
2π
0
s(x) dx.
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Funkční řady 10. května 2016 23 / 43
Stejnoměrná konvergence, její kritéria a vlastnosti
Věta 3.24(i) Nechť {fn(x)}∞
n=1 je posloupnost funkcí, které mají na otevřeném intervalu
I derivaci, a nechť je konvergentní na I. Nechť dále {fn (x)}∞
n=1 konverguje
stejnoměrně na I. Pak funkce f (x) = limn→∞ fn(x) má na intervalu I
derivaci a platí
f (x) = lim
n→∞
fn(x) = lim
n→∞
fn (x).
Poznámka Předpoklad konvergence {fn(x)}∞
n=1 je nutný, zatímco stejnoměrná
konvergence {fn (x)}∞
n=1 nutná není, např. fn(x) = xn
n
pro x ∈ (0, 1).
Ovšem pokud {fn (x)}∞
n=1 nekonverguje stejnoměrně, nemusí tvrzení
Věty 3.24(i) platit, např. fn(x) = 1
n
sin n(x + π/2) na R.
Věta 3.24(ii) Nechť {fn(x)}∞
n=1 je posloupnost funkcí, které mají na otevřeném intervalu
I derivaci, a nechť ∞
n=1 fn(x) konverguje na I. Nechť dále ∞
n=1 fn (x)
konverguje stejnoměrně na I. Pak funkce s(x) = ∞
n=1 fn(x) má na intervalu
I derivaci a platí
s (x) =
∞
n=1
fn(x) =
∞
n=1
fn (x).
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Funkční řady 10. května 2016 24 / 43
Speciální příklad: mocninná řada
∞
n=0
an(x − x0)n
.
Poloměr konvergence R = 1/r, kde
r = lim sup
n→∞
n
|an|,
přičemž pro posloupnost kladných čísel {bn}∞
n=1 platí
lim inf
n→∞
bn+1
bn
≤ lim inf
n→∞
n
√
bn ≤ lim sup
n→∞
n
√
bn ≤ lim sup
n→∞
bn+1
bn
.
Je-li R > 0, pak každá mocninná řada konverguje stejnoměrně na každém intervalu
[−ρ, ρ] ⊂ (−R, R) a její součet je spojitá funkce, která je integrovatelná i diferencova-
telná.
Obzvláště: Taylorova (Maclaurinova) řada pro funkci f : R → R, která má v bodě x0
derivace všech řádů,
∞
n=0
f (n)
(x0)
n!
(x − x0)n
.
S pomocí mocninných řad tedy můžeme aproximovat funkce, které mají derivace libovolného
řádu v bodě x0 na nějakém jeho okolí.
Fourierovy řady
1 Funkční řady a konvergence
2 Stejnoměrná konvergence, její kritéria a vlastnosti
3 Fourierovy řady
Obecný ortogonální systém {ϕn(x)}
Systém {cos nx, sin nx}
Konvergence
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Funkční řady 10. května 2016 26 / 43
Již víme, že pomocí Taylorovy řady
T(x) =
∞
n=0
f (n)
(x0)
n!
(x − x0)n
můžeme v okolí bodu x0 aproximovat každou funkci mající derivace libovolného řádu
právě v bodě x0. V praktických úlohách se často vyskytují periodické funkce. Nyní si
proto ukážeme, jak aproximovat periodické funkce. Nejjednoduššími příklady těchto
funkcí jsou sin nx a cos nx. Proto se přirozeně nabízí myšlenka aproximovat funkci
pomocí trigonometrického polynomu (proč „polynom“?)
Tn(x) = a0 +
n
k=1
(ak cos kx + bk sin kx), a0, ak , bk ∈ R,
nebo trigonometrické řady
a0 +
∞
k=1
(ak cos kx + bk sin kx).
Fourierovy řady Obecný ortogonální systém {ϕn(x)}
1 Funkční řady a konvergence
2 Stejnoměrná konvergence, její kritéria a vlastnosti
3 Fourierovy řady
Obecný ortogonální systém {ϕn(x)}
Systém {cos nx, sin nx}
Konvergence
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Funkční řady 10. května 2016 28 / 43
Fourierovy řady Obecný ortogonální systém {ϕn(x)}
Definice 3.29(i)
Nechť f , g : R → R jsou integrovatelné funkce na intervalu [a, b]. Číslo
f , g :=
b
a
f (x) g(x) dx
nazýváme skalárním součinem funkcí f , g. Funkce f , g se nazývají ortogonální
na [a, b], jestliže f , g = 0. Normou funkce f rozumíme číslo
f := f , f =
b
a
f 2
(x) dx
1/2
.
Funkce f se nazývá normovaná, jestliže f = 1.
Definice 3.29(i) Nechť {ϕn(x)} je konečná nebo spočetná posloupnost integrovatelných
funkcí na intervalu [a, b]. Tato posloupnost se nazývá ortogonální,
jestliže každé dvě funkce ϕm a ϕn, přičemž m = n, jsou ortogonální
a každá funkce ϕn má kladnou normu. Pokud navíc ϕn = 1, nazývá
se tato posloupnost ortonormální.
Jinými slovy, posloupnost {ϕn(x)} je ortonormální, jestliže
ϕm, ϕn = δmn =
0, m = n,
1, m = n.
Je-li {ϕn(x)} ortogonální posloupnost, pak 1
ϕn
ϕn(x) je ortonormální
posloupnost.
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Funkční řady 10. května 2016 29 / 43
Fourierovy řady Obecný ortogonální systém {ϕn(x)}
Věta 3.30(i)
Nechť {ϕn(x)}∞
n=1 je ortogonální posloupnost funkcí na intervalu [a, b] a
nechť {cn}∞
n=1 je posloupnost reálných čísel. Nechť dále řada
∞
n=1
cnϕn(x)
konverguje stejnoměrně na [a, b] k funkci f (x). Pak pro čísla cn, n ∈ N,
platí
cn =
f , ϕn
ϕn, ϕn
=
f , ϕn
ϕn
2
. (2)
Speciálně je-li posloupnost {ϕn(x)}∞
n=1 ortonormální.
Důkaz?
Definice 3.30(i) Nechť {ϕn(x)}∞
n=1 je ortogonální posloupnost funkcí na intervalu [a, b] a
funkce f integrovatelná na [a, b]. Pak čísla cn daná vztahem (2) nazýváme
Fourierovými koeficienty funkce f na [a, b] vzhledem k ortogonální
posloupnosti {ϕn(x)}∞
n=1 a řadu
Φf =
∞
n=1
cnϕn,
kde cn jsou tyto Fourierovy koeficienty, nazýváme Fourierovou řadou
funkce f na [a, b] vzhledem k ortogonálnímu systému {ϕn(x)}∞
n=1.
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Funkční řady 10. května 2016 30 / 43
Fourierovy řady Obecný ortogonální systém {ϕn(x)}
Ovšem v tuto chvíli je přiřazení řady Φf k funkci f pouze formální. Nevíme
totiž, zda tato řada vůbec konverguje, a pokud konverguje, zda je
jejím součtem právě funkce f . Z Věty 3.30(i) pouze plyne to, že k libovolné
integrovatelné funkci f existuje nejvýše jedna řada tvaru Φf , která
na [a, b] konverguje stejnoměrně k funkci f .
Nicméně v následující větě ukážeme, že částečné součty Fourierovy řady
funkce f aproximují mezi všemi lineárními kombinacemi funkci ϕn v jistém
smyslu nejlépe. „Jistý smysl“: kvadratická odchylka funkcí f , g
f − g =
b
a
[f (x) − g(x)]2
dx
1/2
.
Věta 3.31(i) Nechť {ϕn(x)}∞
n=1 je ortogonální posloupnost funkcí na intervalu [a, b],
funkce f je integrovatelná na [a, b] a n ∈ N. Mezi všemi lineárními kombinacemi
funkcí ϕ1, . . . , ϕn má od funkce f nejmenší kvadratickou odchylku
ta, jejíž koeficienty jsou Fourierovými koeficienty funkce f vzhledem
k posloupnosti {ϕn(x)}∞
n=1.
Důkaz?
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Funkční řady 10. května 2016 31 / 43
Fourierovy řady Systém {cos nx, sin nx}
1 Funkční řady a konvergence
2 Stejnoměrná konvergence, její kritéria a vlastnosti
3 Fourierovy řady
Obecný ortogonální systém {ϕn(x)}
Systém {cos nx, sin nx}
Konvergence
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Funkční řady 10. května 2016 32 / 43
Fourierovy řady Systém {cos nx, sin nx}
Nyní budeme uvažovat Fourierovy řady vzhledem k systému
{1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, . . . , cos nx, sin nx, . . . }. (3)
Protože jsou tyto funkce 2π-periodické, půjde v tomto případě o aproximaci
2π-periodických funkcí.
Lemma 3.33(i) Nechť funkce f je 2π-periodická a na intervalu [0, 2π] integrovatelná
Potom pro libovolné a ∈ R platí
a+2π
a
f (x) dx =
2π
0
f (x) dx.
Důkaz?
Věta 3.33(i) Posloupnost (3) je ortogonální na libovolném intervalu [c, c + 2π] mající
délku 2π.
Důkaz?
Ze systému (3) pak dostaneme ortonormální posloupnost jako
1
√
2π
,
1
√
π
cos x,
1
√
π
sin x,
1
√
π
cos 2x,
1
√
π
sin 2x, . . . . . . .
Nyní se omezíme pouze na interval [−π, π], ovšem podobně lze postupovat
na každém intervalu [c, c + 2π] pro libovolné c ∈ R.
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Funkční řady 10. května 2016 33 / 43
Fourierovy řady Systém {cos nx, sin nx}
Věta 3.34(i) Fourierova řada libovolné integrovatelné funkce f na intervalu [−π, π]
má vzhledem k systému (3) tvar
a0
2
+
∞
n=1
(an cos nx + bn sin nx),
kde an, bn jsou Fourierovy koeficienty funkce f , pro něž platí
an =
1
π
π
−π
f (x) cos nx dx, n ∈ N ∪ {0},
bn =
1
π
π
−π
f (x) sin nx dx, n ∈ N.
Důkaz?
Důsledek 3.34(i) Nechť funkce f je integrovatelná na intervalu [−π, π].
Je-li funkce f sudá, má její Fourierova řada tvar
a0
2
+
∞
n=1
an cos nx, kde an =
2
π
π
0
f (x) cos nx dx, n ∈ N ∪ {0}.
Je-li f lichá, má její Fourierova řada tvar
∞
n=1
bn sin nx, kde bn =
2
π
π
0
f (x) sin nx dx, n ∈ N.
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Funkční řady 10. května 2016 34 / 43
Fourierovy řady Systém {cos nx, sin nx}
Uvažme integrovatelnou funkci f na intervalu [0, π]. Položíme-li f (x) =
f (−x) pro x ∈ [−π, 0), zkonstruujeme tzv. sudé rozšíření funkce f na
interval [−π, π]. Fourierově řadě sudého rozšíření funkce f říkáme rozvoj
funkce f v kosinovou řadu na intervalu [0, π].
Podobně, máme-li integrovatelnou funkci f na intervalu (0, π] a položímeli
f (0) = 0 a f (x) = −f (−x) pro x ∈ [−π, 0), sestrojíme tzv. liché rozšíření
funkce f na [−π, π]. Fourierově řadě lichého rozšíření funkce f
říkáme rozvoj funkce f v sinovou řadu na intervalu [0, π].
Poznámka Jak nalézt Fourierovu řadu pro 2h-periodickou funkci f , kde h = π?
Nechť f je integrovatelná na intervalu [−h, h] a definujme funkci g(t) :=
f h
π
t . Pak funkce g(t) je 2π-periodická a můžeme jí přiřadit Fourierovu
řadu na [−π, π]. Pak zpětnou transformací t = π
h
x dostaneme
a0
2
+
∞
n=1
an cos
nπ
h
x + bn sin
nπ
h
x ,
kde jsou Fourierovy koeficienty dány vztahy
an =
1
h
h
−h
f (x) cos
nπ
h
x dx, n ∈ N ∪ {0},
bn =
1
h
h
−h
f (x) sin
nπ
h
x dx, n ∈ N.
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Funkční řady 10. května 2016 35 / 43
Fourierovy řady Konvergence
1 Funkční řady a konvergence
2 Stejnoměrná konvergence, její kritéria a vlastnosti
3 Fourierovy řady
Obecný ortogonální systém {ϕn(x)}
Systém {cos nx, sin nx}
Konvergence
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Funkční řady 10. května 2016 36 / 43
Fourierovy řady Konvergence
Je zřejmé, že pokud Fourierova řada konverguje na intervalu [−π, π],
pak konverguje na celém R a její součet je 2π-periodická funkce. Proto
se opět zaměříme pouze na 2π-periodické funkce. Navíc pro tuto funkci
stačí, aby byla definovaná na intervalu (−π, π] nebo [−π, π), neboť pak
je jednoznačně určeno její 2π-periodické rozšíření.
Označme (pokud uvedená limita existuje)
f (x+
0 ) := lim
x→x+
0
f (x), f (x−
0 ) := lim
x→x−
0
f (x),
Funkci f nazveme po částech spojitou na [a, b], pokud má na intervalu
[a, b] pouze konečně mnoho bodů nespojitosti, přičemž se jedná o neodstranitelné
nespojitosti I. druhu (tj. „skok“).
Funkci f nazveme po částech monotónní na [a, b], pokud existuje dělení
intervalu [a, b] (s konečným počtem dělících bodů) takové, že uvnitř
každého dělícího intervalu je funkce f monotónní.
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Funkční řady 10. května 2016 37 / 43
Fourierovy řady Konvergence
Věta 3.38(i)
Nechť funkce f je po částech spojitá a po částech monotonní na intervalu
[−π, π]. Pak její Fourierova řada Φf (x) konverguje na [−π, π] a platí:
Φf (x0) = f (x0) v každém bodě x0 ∈ (−π, π), v němž je f spojitá,
Φf (x0) = 1
2
f (x−
0 ) + f (x+
0 ) v každém bodě x0 ∈ (−π, π), v němž je
f nespojitá,
Φf (−π) = Φf (π) = 1
2
f (−π+
) + f (π−
) .
Poznámka Jsou-li splněny požadavky Věty 3.38(i), pak z této věty víme k jaké funkci
konverguje Φf na intervalu [−π, π]. Na intervalu (−∞, ∞) konverguje
tato řada k tzv. 2π-periodickému rozšíření funkce f , tj. k funkci
f ∗
(x) :=



f (x), x ∈ (−π, π),
f (x − 2kπ), x ∈ (2k − 1)π, (2k + 1)π , k ∈ Z,
1
2
[f (−π+
) + f (π−
)], x = (2k + 1)π, k ∈ Z.
Poznámka Zejména, máme-li 2π-periodickou funkci f , která je současně po částech
spojitá a po částech monotonní na intervalu [−π, π], pak její Fourierova
řada Φf (x) konverguje v každém bodě x ∈ R k aritmetickému průměru
limity zprava a limity zleva funkce f , tj. platí
Φf (x0) = f (x0) v každém bodě x0 ∈ R, v němž je f spojitá,
Φf (x0) = 1
2
f (x−
0 ) + f (x+
0 ) v každém bodě x0 ∈ R nespojitosti f .
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Funkční řady 10. května 2016 38 / 43
Fourierovy řady Konvergence
Je jasné, že pokud funkce f je nespojitá alespoň v jednom bodě x0 ∈
[−π, π], pak její Fourierova řada nemůže konvergovat stejnoměrně, viz
Větu 3.21(ii).
Věta 3.39(i) Nechť 2π-periodická funkce f je spojitá na intervalu [−π, π] a nechť její
derivace f (x) na tomtéž intervalu existuje a je po částech spojitá. Pak
Fourierova řada funkce f konverguje k funkci f stejnoměrně na R.
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Funkční řady 10. května 2016 39 / 43
Fourierovy řady Konvergence
Příklad Najděme Fourierovu řadu pro funkci f (x) = x na intervalu [−π, π] a určeme
k jaké funkci konverguje Fourierova řada na (−∞, ∞).
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Funkční řady 10. května 2016 40 / 43
Fourierovy řady Konvergence
Příklad Najděme Fourierovu řadu pro funkci f (x) = x na intervalu [−π, π] a určeme
k jaké funkci konverguje Fourierova řada na (−∞, ∞).
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Funkční řady 10. května 2016 41 / 43
Fourierovy řady Konvergence
Příklad Najděme Fourierovu řadu pro funkci f (x) = x na intervalu [−π, π] a určeme
k jaké funkci konverguje Fourierova řada na (−∞, ∞).
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Funkční řady 10. května 2016 42 / 43
Fourierovy řady Konvergence
Příklad Najděme Fourierovu řadu, která je periodickým prodloužením funkce
f (x) = x2
na intervalu [−1, 1].
Petr Zemánek (PřF MU, Brno) zemanekp@math.muni.cz M2B02: Funkční řady 10. května 2016 43 / 43