CZ.1.07/2.3.00/30.0009 Zaměstnáním čerstvých absolventů doktorského studia k vědecké excelenci ^^^^fc ■ f i ä,-, 1-:-1 MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, OP Vzděláváni v+^^j? W^^^M TOndvCR EVROPSKÁ UNIE MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY pro konkurenceschopnost MNAp*" INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Hasil Petr Zemánek ^ hasil@math.muni.cz http://www.math.muni.cz/-hasil Ústav matematiky a statistiky Přírodovědecká fakulta Masarykova univerzita, Brno ^ zemanekp@math.muni.cz http:/ / www.math.muni.cz/-zemanekp Ústav matematiky a statistiky Přírodovědecká fakulta Masarykova univerzita, Brno Úvod Milá čtenářko, milý čtenáři, dostává se Vám do rukou (či na monitor) druhý díl sbírky příkladů z matematické analýzy, který je pokračováním textu vydaného na Elportálu MU (viz http://is.rn 30552) avšak (zatím) pouze s výsledky jednotlivých příkladů bez prezentace jejich řešení (vyjma ukázkových příkladů). Tento text by měl posloužit jako vhodný doplněk při studiu jakéhokoli předmětu (zejména M2100 vyučovaném na PřF MU), jehož obsahem jsou obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu, lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty, metrické prostory nebo diferenciální počet funkcí více proměnných. Většina příkladů v této sbírce pochází ze cvičení k příslušným partiím matematické analýzy, které byly vedeny autory v minulých letech, přičemž některé z těchto příkladů jsou přejaty z [1-9]. leden 2014 Autoři ln lim í—>oo A1) 1 -[A ! + n i ]7T + ln lim ( 1 + ř^oo V t + 4 . 9 1 + cos(2ai) + sirť a H--—- + cos(2a) cosh^l-tanh2^ T(3) n=0 2« cosh^l-tanh^ 2« n=0 ln e + sin2 a + cos2 a = ^ n=0 1\" 4 1 + 1 = 2 Obsah Úvod............................................................................ i Obsah........................................................................... iv Obyčejné diferenciální rovnice ................................................. 1 Kapitola 1.1. Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými ............. 2 Kapitola i. 2. homogenní diferenciální rovnice.................................. 6 Kapitola i. 3. lineární diferenciální rovnice 1. řádu............................ 9 Kapitola i. 4. bernoulliova diferenciální rovnice ............................... 13 Kapitola i. 5. metoda záměny proměnných při řešení diferenciálních rovnic 15 Kapitola i. 6. exaktní diferenciální rovnice...................................... 17 Kapitola i. 7. clairautova diferenciální rovnice ................................ 19 Kapitola i. 8. lagrangeova diferenciální rovnice ............................... 21 Kapitola i. 9. lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s konstantními koeficienty .............................................................................. 23 Kapitola i. 10. geometrické aplikace diferenciálních rovnic prvního řádu . . 29 Metrické prostory............................................................... 35 Diferenciální počet funkcí více proměnných.................................... 41 Kapitola III. 1. Definiční obor funkcí více proměnných.......................... 41 Kapitola III. 2. limity funkcí více proměnných.................................... 49 Kapitola III. 3. derivování funkcí více proměnných.............................. 57 Kapitola III. 4. diferenciál a taylorova věta pro funkce více proměnných ... 65 Kapitola III. 5. lokální a globální extrémy funkcí více proměnných .......... 68 Kapitola III. 6. vázané extrémy ..................................................... 73 Kapitola III. 7. implicitně zadané funkce.......................................... 77 Seznam použité literatury....................................................... 82 I. Obyčejné diferenciální rovnice Definice 1. Buď F funkce, jejíž definiční obor G je podmnožinou trojrozměrného euklidovského prostoru IR3. Rovnice F(x,y,ý) = 0 (1) se nazývá obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu. Nebude-li s rovnicí současně uveden obor G, budeme jím rozumět množinu všech bodů, pro něž je funkce F definována. Řešením (někdy též integrálem) této rovnice se rozumí funkce y(x), která je definována v nějakém intervalu / C IR a splňuje pro všechna x G / tyto podmínky [x,y(x),y'(x)] G G, F {x, y {x), y'{x)) = 0. Není-li interval / otevřený, pak v každém krajním bodě £ G / značí y'(x) jednostrannou derivaci. Graf řešení se nazývá integrální křivka. Obecným řešením diferenciální rovnice (1) se rozumí každé její řešení y[x, C), z něhož lze vhodnou volbou konstanty C obdržet libovolné řešení této rovnice. Partikulární řešení)e řešení y{x) diferenciální rovnice (1), v němž integrační konstanty mají konkrétní číselnou hodnotu. Definice 2. Obyčejná diferenciální rovnice 1. řádu (1) se nazývá rozřešená vzhledem k derivaci, pokud ji lze upravit do tvaru y'=f{x,y). (2) V opačném případě nazýváme rovnici (1) nerozřešenou vzhledem k derivaci. Věta 3. Nechť funkce f : (a, b) x (c, d) —> IR je spojitá, přičemž —oo < a < b < oo a současně —oo < c < d < oo. Nechť [xo/J/o] ^ (a,b) x (c, d), pak pro počáteční problém y' = f{x>y)> y(x0) = y0 (3) existuje řešení y (x) s maximálním definičním oborem {a, ĺo) C {a,b), kde a < íq < oo. Jestliže a < oč, pak a pokud oj < b, potom lim y(t) = c nebo lim y(t) = d, lim y(t) = c nebo lim y(t) = d. 9/ Jsou-li navíc parciální derivace funkce f vzhledem k y, tj. spojité na (a,b) x (c,d), pak má počáteční problém (3) jediné řešení. i 2 I. Obyčejné diferenciální rovnice I. 1. Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými Definice 4. Diferenciální rovnici ve tvaru y' = f(x)-g(y), kde f(x) a g(y) jsou spojité funkce na (nějakých) otevřených intervalech, nazýváme diferenciální rovnice se separovanými proměnnými. Věta 5. Nechť f : (a, b) —> K. a g : (c, d) —> IR jsou spojité funkce (přičemž může nastat a = — oo, c = —oo, b = +oo, d = +00) takové, že g{y) 7^ Ona (c, d). Pafc počáteční problém y' = f(x)g(y), y(x0) = y0f kde Xq G {a, b), y q G (c, d), ma právě jedno řešení, které je určeno implicitně vzorcem -7^y= /(s)ds. j1/0 0 K1-J Jx0 Věta 6. Nechť G je konvexní oblast v K2, / : G —> IR funkce, která má spojité parciální derivace do druhého řádu včetně a f (x, y) 7^ 0. Diferenciální rovnici y' = f(x,y) je možné převést na rovnici se separovanými proměnnými právě tehdy, když , \ (f(x'V^ %(x'y) \ r n D(x,y) := det 2 = 0 pro každé [x,y\ G G. \3í(^y) žxk(x>y)J Poznámka 7. Diferenciální rovnici ve tvaru y' = f(ax + by + c) převedeme pomocí substituce z = ax + by + c na rovnici se separovanými proměnnými. Příklad. Vyřešme diferenciální rovnici / y2 + i y =--. y x + 1 Určeme také řešení splňující počáteční podmínku y(0) = 1. Řešení. Ze zadání je zřejmé, že se jedná o rovnici se separovanými proměnnými. Proto ze vztahu y' = dostaneme dy dx y2 + l ~ x + V z čehož integrováním získáme arctgy = ln\x + 1| + C, C G IR. (4) Proto zadaná diferenciální rovnice má obecné řešení y(x) =tg(ln|x + l| + C), C G IR. (5) Nyní z využití počáteční podmínky dosazené do vztahu (4) dostaneme y(0) = 1 : arctgl = ln|l| + C ^ C = j. (5) Petr Hasil & Petr Zemánek 1.1. Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými 3 Proto řešením počátečního problému je funkce y(x) = tg(ln|x + l| + j). Dodejme ještě, že konstantu C bylo také možné vypočítat ze vztahu (5) ovšem s uvědoměním si, že platí tg(arctgx + kn) = x. (1) Rozhodněte, zda je možné zapsat funkci dvou proměnných F{x,y) =x3ex+1y jako součin funkcí jedné proměnné f(x) a g{y). Je-li to možné, určete tyto funkce. Není-li to možné, zdůvodněte. [f(x) = x3ex,g(y) = e2y] (2) Rozhodněte, zda je možné zapsat funkci dvou proměnných F(x,y) = sin(2x — y) jako součin funkcí jedné proměnné f(x) a g(y). Je-li to možné, určete tyto funkce. Není-li to možné, zdůvodněte. [nelze, determinant z Věty 6 je nenulový] (3) Rozhodněte, zda je možné zapsat funkci dvou proměnných F(x,y) = sin(x + y) + sin(x — y) jako součin funkcí jedné proměnné f(x) a g(y). Je-li to možné, určete tyto funkce. Není-li to možné, zdůvodněte. \f(x) =2sinx,g(y) =cosy] (4) Řešte následující rovnici y' — sinx = 5. [y = 5x — cos x + C, C G IR] (5) Řešte následující rovnici y (6) Řešte následující rovnici (7) Řešte následující rovnici y'cotgx = 2-y. x3yy' + xyy' — y2 — 1 = 0. [y = eCx, C G IR] [y = 2-Ccosx, C G IR] © Petr Hasil & Petr Zemánek 4 I. Obyčejné diferenciální rovnice (8) Řešte následující rovnici 7-^/y = xy'. [y = 49, -2^-141x11^-71 = ln|x| + C, Cel] (9) Řešte následující rovnici 2y-x3y' = 0. (10) Řešte následující rovnici (x + l)dy + xydx = 0. (11) Řešte následující rovnici y'cos x = y lny. (12) Řešte následující rovnici x-1 e-xy'. (13) Řešte následující rovnici y' = \6x2 + 8xy + y2 y = Ce-1/X\ C G IR [y = C(x + l)e-x, C G IR] y = e C G IR y2 = (x - 2) ex +C, C G IR arctg (2x + f) = 2x + C, C G IR (14) Řešte následující rovnici y-y2 + xy' = 0. [y = 0, y = (1 - Cx)-1, C G R] (15) Řešte následující rovnici y' cos2 x = (1 + cos2 x) v/l — y2- [y = ±1, y = sin(tgx + x + C), C G R] (č) Petr Hasil & Petr Zemánek 1.1. Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými 5 (16) Řešte následující rovnici [s = -ln(l-Cy), CgR] (17) Řešte následující rovnici y'tgx-y2 = l-2y. y = i/y = i-ln|s,nix|+c/CelR (18) Řešte následující rovnici y' = 6x + 2y + 3. [y = Ce2x-3(x + l), CgR] (19) Řešte následující počáteční problém x + y' = 2, y(2) = 5. y = 2x- \ + 3 (20) Řešte následující počáteční problém ;i+ex)^ + ex = 0, y(0) = l. (21) Řešte následující počáteční problém y' sin x siny = cos x cos y, y(f) = 0. [y = to] cosy = ife (22) Řešte následující počáteční problém 2(l + ex)yy' = ex, y(0) = 0. y = ±v/ln(ex+l) -ln2 (23) Řešte následující počáteční problém sin y cos x dy = cos y sin x dx, y(0) 7T v/2 cos y = cos x (c) Petr Hasil & Petr Zemánek 6 I. Obyčejné diferenciální rovnice (24) Řešte následující počáteční problém (x2 + l)(y2-l) + xyy' = 0, y(l) = v^. v/x-2el-x2+1 (25) Řešte následující rovnici y' = (x + y)2. [y = tg(x + C) — x, C G IR] (26) Řešte následující rovnici , x—y+1 V =---■ x-y [(x - y)2 + 2x + C = 0, C G R] I. 2. Homogenní diferenciální rovnice Poznámka 8. Diferenciální rovnici v' = /(?) nazýváme homogenní diferenciální rovnicí 1. řádu. Pomocí substituce m = \ ji převedeme na rovnici se separovanými proměnnými ve tvaru \ u' = -(/(")-")• Definice 9. Nechť funkce dvou proměnných f(x,y) je definována na nějakém kuželu K, tj. s každým bodem [x,y] G K je také [řx, řy] G K pro každé ř > 0. Tato funkce se nazývá homogenní k-tého stupně, jestliže pro každé t > 0 platí f(tx,ty) = rf(x,y). Poznámka 10. Diferenciální rovnice ve tvaru P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0 bude homogenní diferenciální rovnicí prvního řádu právě tehdy, když jsou funkce P(x,y) a Q(x,y) homogenní téhož stupně. Poznámka 11. Rovnici typu / = r( ax + by + c \ y J\Ax + By + CJ lze řešit následujícím způsobem: i) pokud soustava ax + by + c = 0, Ax + By + C = 0 (6) má jediné řešení xq, yo, pak ji pomocí substituce u = x — xq, v = y — yo (5) Petr Hasil & Petr Zemánek I. 2. Homogenní diferenciální rovnice 7 převedeme na homogenní rovnici 1. řádu d^ = J \u) ' ii) pokud soustava (6) nemá řešení (tzn. ax + by = K(Ax + By) ac / KC), pak ji lze převést na rovnici se separovanými proměnnými (např. pomocí z = ax + by), viz Příklad 26. Příklad. Vyřešme diferenciální rovnici (x2 + y1) dx — 2xy dy = 0. Řešení. Protože funkce y = 0 není řešením této diferenciální rovnice (zkuste si dosadit do zadání), můžeme tuto diferenciální rovnici přepsat do tvaru „ , *2 + y2 ! + (í)2 y (x) - - 2xy 2y X ze kterého po substituci z = | dostaneme / , 1 + z Z X + z = Pokud vyloučíme z = ±1, obdržíme 2z 1-z2 dz 2z dx x nebo-li po integraci obou stran a dílčích úpravách ln 1-z' ln x(l-zz) 1 |x(l-z2)| 1 x(l-z2) 1 v2 ln|x| + C, Cel, C, CgR, K, K > 0, L, LeR\{0}, xz x LGR\{0}, ±\Zx2-Lx, LGR\{0}. Funkce z = ±1 je ekvivalentní s y = ±x, což je řešením zadané diferenciální rovnice, které dostaneme volbou L = 0, je obecné řešení ve tvaru y = ±Vx2-Cx, C G IR. (27) Řešte následující rovnici xy x2-y2 + y. [y = ±x, y = xsin(ln|Lx|), L G K\{0}] © Petr Hasil & Petr Zemánek 8 I. Obyčejné diferenciální rovnice (28) Řešte následující rovnici (y2 — x2)dx — 2xy dy = 0. y = ±V-x2 + Cx, C G R\{0} (29) Řešte následující rovnici xy' + ylnx = ylny. [y = xeCx+1, C G R] (30) Řešte následující rovnici (xy'-y) cos^ = x. x = Cesmí, C G IR (31) Řešte následující rovnici [x + y)dx — (x — y) dy = 0. [arctg \ = ln(x2 + y2) + C, C G R] (32) Řešte následující rovnici xy' = y cos ^ln [cotg (i ln f) =ln|Cx|, C G IR \ {0}] (33) Řešte následující rovnici y x + 2y-7 x — 3 [y + x - 5 = C(x - 3)2, C G R] (34) Řešte následující rovnici 2x — y — 5 x — 3y — 5 [C = 3(y + l)2 - 2(y + 1) (x - 2) + 2(x - 2)2, C G R \ {0}] (35) Řešte následující rovnici y , x — y + 3 x + y — 5 [C = (x- l)2 - 2(y - 4) (x - 1) - (y - 4)2, C G R \ {0}] (5) Petr Hasil & Petr Zemánek I. 3. Lineární diferenciální rovnice 1. řádu 9 (36) Řešte následující rovnici , 5y — 5x — 1 y - 2y-2x-\ [y = x, C = 5x — 2y + ln \y — x\, CeR] (37) Řešte následující rovnici , x—y—1 J x+y+3 [(x + l)2-2(x + l)(y + 2)-(y + 2)2 = C, C G R\{0}] (38) Řešte následující rovnici y' -x + 2y-5 2x-y + 4 ' V x 3 — r C G TR (39) Řešte následující rovnici y x + y + l 2x + 2y-ľ [2x + 2y-l-ln\2x + 2y\ = 3x + C, C G R] I. 3. Lineární diferenciální rovnice 1. řádu Definice 12. Rovnice ve tvaru y' = f(x)y + g(x) se nazývá lineární diferenciální rovnice 1. řádu (pokud je g{x) = 0 hovoříme o homogenní LDR, v opačném případě ji nazýváme nehomogenní LDR). Poznámka 13. Obecné řešení homogenní LDR získáme pomocí metody separace proměnných. Řešení rovnice y' = f{x)y lze potom explicitně vyjádřit y = CeSf(x)dXf CgR_ Při hledání obecného řešení nehomogenní LDR je možné postupovat dvěma způsoby: buď s pomocí metody integračního faktoru (kdy nehomogenní rovnici vynásobíme členem ) nebo s pomocí metody variace konstant (kdy integrační konstantu získanou při řešení přidružené homogenní rovnice považujeme za funkci C(x) a jejím dosazením dosazením do nehomogenní rovnice získáme její tvar). Řešení počátečního problému y{xo) = yo lze explicitně zapsat ve tvaru y = Amdt (y0 + f g(t) e-4^ds dř) . V Jx0 ) Příklad. Vyřešme diferenciální rovnici y + "T^T = x. _y x2-l_ (c) Petr Hasil & Petr Zemánek 10 I. Obyčejné diferenciální rovnice Řešení. Je zřejmé, že se jedná o nehomogenní lineární diferenciální rovnici 1. řádu. Proto si ukážeme obě metody řešení. Začneme s metodou integračního faktoru. Vynásobíme obě r 2dx . ix_ii strany rovnice výrazem e x2-1 = en'*+i' = (všimněte si, že pro určení integračního faktoru není nutné uvažovat integrační konstantu C ani jeho znaménko - proto jsme odstranili absolutní hodnotu u posledního výrazu). Po úpravě dostaneme y i + 2y x x- x + l (x + 1)2 x + 1 S využitím pravidla pro derivování součinu si můžeme všimnout, že výraz na levé straně lze napsat jako (yfq-j-)což je hlavní myšlenka metody integračního faktoru. Pak integrováním obou stran obdržíme 2. y x - 1 x + l xx- 1 x + l dx x" y 2x + 21n|x + l| + C, C G IR. Proto řešením zadané diferenciální rovnice je funkce y x + l f X x - 1 y-2x + 21n|x + 1| + C C G IR. Nyní vyřešíme tutéž diferenciální rovnici pomocí metody variace konstant. Proto se nejdříve zaměříme na přidruženou homogenní diferenciální rovnici, tj. y' je rovnice se separovanými proměnnými, tedy za předpokladu y ^ 0 máme dy 2 dx y ~ x 23/ To ln|y| lnlx x2-ľ 1| +ln|x + 1| + C, y(x-l ln x + l y(x-i] x + l y(x-l y x + l L(x + 1 C, K, x - 1 C G IR, C G IR, K > 0, LGIR\{0}, L G IR\{0}. Protože funkce y = 0 vždy vyhovuje homogenní lineární diferenciální rovnici, je nutné ji také zahrnout do obecného řešení (pokud to je možné - u tohoto typu diferenciálních rovnic to je možné vždy). Proto řešením přidružené homogenní rovnice je funkce C(x + 1) y x - 1 C G IR. Nyní uvažujme tuto funkci ovšem konstantu C nahradíme nějakou neznámou funkcí C(x), tj. y(x) = CW^+1). Nyní s využitím pravidla pro derivování součinu můžeme spočítat y'{x) a dosadit do původního zadání, tj. C'(x) (x + l)(x-l) + C(x) (x-l)-C(x) (x + l) 2C(x) (x + l r + x- r x. (5) Petr Hasil & Petr Zemánek I. 3. Lineární diferenciální rovnice 1. řádu 11 Pokud jsme vše spočítali správně obdržíme diferenciální rovnici pro funkci C(x), kde se žádný výraz obsahující nederivované C(x) nevyskytuje. Dostáváme tedy x(x — 1) C'(x) x + 1 ' což po integraci dává x C(x) = y-2x + 21n|x + l| + C. Dosazením do řešení přidružené homogenní rovnice dostaneme obecné řešení původní rovnice ve tvaru y = ^-^y-2x + 21n|x + 1| + C^, CeR. Poznamenejme na závěr, že ačkoli se oba postupy liší, je při nich potřeba spočítat tytéž primitivní funkce (tedy v tomto směru není mezi oběma metodami žádný rozdíl). (40) Řešte následující rovnici y' = 6x — 2y. [y = 3x-f + Ce~2x, C G IR] (41) Řešte následující rovnici y' = 4xy+ (2x + l)e 2x2 (42) Řešte následující rovnici y' cos x = (y + 2 cos x) sin x. (43) Řešte následující rovnici (44) Řešte následující rovnici (45) Řešte následující rovnici y'x + y = xlnx. y'x — y = x2lnx. y' = —3y + x. = sm2x+C c e R " cosx ' y = i + irí-iCelR [y = Cx + x2 ln x — x2, C G IR] [y = §-^ + Ce-3x, C G IR] © Petr Hasil & Petr Zemánek 12 I. Obyčejné diferenciální rovnice (46) Řešte následující rovnici y' — y tg x — sin x = 0. (47) Řešte následující rovnici y y sin2 x i C _ C cos x + 2 cos x 1 cos x cos x 2 , C G R xy arcsm x 1-x2 1-x2 (48) Řešte následující rovnici y = 27fa(arcsin2 x + c)' c G R y + y tg x = cos x. [y = cosx (f + ^ + C), C G R] (49) Řešte následující rovnici y'cosx + ysinx = 1. [y = sin x + C cos x, C e R] (50) Řešte následující rovnici y — ysmx sin2x [y = l-cosx + Ce-cosx, C G R] (51) Řešte následující rovnici y' - 3x2y = (x + 2) e^ y = + 2x + (ľ) e*3, C G R (52) Řešte následující rovnici y'ex +2xyex =cosx. y = (C + sin x) e x , C G R (53) Řešte následující počáteční problém y' = *V+2 y(i; e. [y = x(xex — ex + e)] © Petr Hasil & Petr Zemánek I. 4. bernoulliova diferenciální rovnice 13 (54) Řešte následující počáteční problém _ 2 1 y' + 2xy = xe~x , y(0) = -. •7 2el2 (55) Řešte následující počáteční problém y' — 4y = cosx, y(0) = 1. [y = -fy sin x — ^ cos x + ^ e4x] (56) Řešte následující počáteční problém y/ + ysinx = sinx, y = 2. [y = ecosx+l] (57) V 13 hodin 28 minut byla v hotelovém pokoji, vytopeném na 18,3 °C nalezena mrtvola, jejíž teplota byla 26,6 °C. O tři hodiny později je její teplota 21,1 °C. Určete čas úmrtí za předpokladu teploty živého těla 37 °C. [y'(ř) = -Jk(y(ř) - T), 11 h 13 min.] I. 4. Bernoulliova diferenciální rovnice Definice 14. Rovnice ve tvaru y' +f(x)y = g{x)yn, «/0,n/l,neR. se nazývá Bernoulliova rovnice. Poznámka 15. Při řešení Bernoulliovy rovnice ji nejdříve vydělíme členem yn (pro n>0 je také y = 0 jejím řešením). Zavedením substituce z = y1_M obdržíme LDR 1. řádu z'= (!"«) [g{x)-f{x)z], kterou již vyřešíme výše uvedeným postupem. Příklad. Vyřešme diferenciální rovnici x xó Řešení. Jedná se o Bernoulliovu rovnici s n = 3. Rovnici nejdříve upravíme tak, aby na pravé straně rovnice nebylo žádné y, tj. za předpokladu y ^ 0 podělíme výrazem y3. Pak dostáváme y- + — = -. y3 xy2 x3' Nyní zavedeme substituci z = ^. Potom z' = —~^> z čehož dostaneme diferenciální ' - —- — x x3' (c) Petr Hasil & Petr Zemánek 14 I. Obyčejné diferenciální rovnice Toto je již lineární diferenciální rovnice, jejíž řešením (určeným pomocí některé z metod z Kapitoly I. 3) je funkce z = Cx4 + 1 3x2' C e IR. Zpětným dosazením obdržíme obecné řešení původní diferenciální rovnice y což ještě můžeme upravit do tvaru 3x2 3Cx6 + ľ y = ±- 3x C G IR, C G IR. V9Cx6 + 3' Během výpočtu jsme také vyloučili funkci y = 0, která je řešením zadané diferenciální rovnice (jak se lze snadno přesvědčit přímým dosazením). Ovšem toto řešení není zahrnuto v obecném řešení (nelze jej získat žádnou volbou konstanty C), proto všechna řešení zadané diferenciální rovnice jsou 3x y = 0 a y = ±- V9Cx6 + 3' C G IR. (58) Řešte následující rovnici y' + y = *Vy- y = 0, ^y = (x-2 + Ce-f) , C G IR (59) Řešte následující rovnici / 2y y + — J x -x4 ex y3. [y = o, x4(2ex +C)y2 = 1, C G IR] (60) Řešte následující rovnici y' - 2xy = 2x3y2. y = 0,y= (l-x2 + Ce-x2)~\ C G IR (61) Řešte následující rovnici xy + y = y ln x. [y = 0, y(l + ln x + Cx) = 1, C G IR] (62) Řešte následující rovnici y + 73^2 = xv/y- y = o, y = (cVT^x1-1^-) ,CG1R © Petr Hasil & Petr Zemánek I. 5. Metoda záměny proměnných při řešení diferenciálních rovnic 15 (63) Řešte následující rovnici y xy _ x 2(*2-l) 2y- y2 = x2_1 + cVx2-!, C G IR (64) Řešte následující rovnici y -xy = -fe y = o,y2 = ž!Erč,C£WL (65) Řešte následující rovnici 3x2y' + xy = y 2. .3 = Mx\+Cf c G IR (66) Řešte následující rovnici / 4 y =-y + xVy- y = 0, y = x4 (in y/\x\ + c) , C G IR (67) Řešte následující rovnici (68) Řešte následující rovnici %- + \ ) áx, a^O. xL xL 2a y- + °a=Ce--, CGR xy/ + 2y + x5y3ex = 0. [y = Q; y-2 = x4(2ex +C), C G IR] (69) Řešte následující rovnici y y _ „2 x y smx. y = o; i ± + cos x - C G ÍR I. 5. Metoda záměny proměnných při řešení diferenciálních rovnic Poznámka 16. U diferenciálních rovnic 1. řádu, v nichž se proměnná x vyskytuje pouze v první mocnině a hledaná funkce y se vyskytuje v argumentu elementárních funkcí, je možné užít tzv metodu záměny proměnných. Pak hledáme řešení ve tvaru x(y) a rovnici převedeme na některou z těch, jejíž řešení umíme explicitně určit. © Petr Hasil & Petr Zemánek 16 I. Obyčejné diferenciální rovnice Příklad. Vyřešme diferenciální rovnici y dy — (x + y2 sin y) áx = 0. Řešení. Jednoduchou úpravou dostaneme diferenciální rovnici y y = - x + yzsiny' která ovšem neodpovídá žádnému z předchozích typů. Záměnou proměnných dostaneme diferenciální rovnici dx x -r- = - + V srn y, &y y což je lineární diferenciální rovnice. S použitím některé z metod z Kapitoly I. 3 dostaneme řešení x = — y cos y + Cy, C e IR. (70) Řešte následující rovnici y i T + f + l + Ce2V, C g IR (71) Řešte následující rovnici y y 2y ln y + y — x x = yhxy + j, CgIR (72) Řešte následující rovnici y'=(e-y-x) -i [x = (C + y) e~y, C g IR] (73) Řešte následující rovnici (x + y)dy = ydx + yh\ydy. x = y ln y — yl" y + Cy, C g IR (74) Řešte následující rovnici xdx = ( —— y J dy. [x2 + y2(y2-C) = 0, C g IR] (75) Řešte následující rovnici 2ydx + xdy = 2y3 dy. X = ?y3 + jy>c e R © Petr Hasil & Petr Zemánek I. 6. Exaktní diferenciální rovnice 17 I. 6. Exaktní diferenciální rovnice Definice 17. Diferenciální rovnice M(x,y)áx + N(x,y)áy = 0 se nazývá exaktní diferenciální rovnice, jestliže platí dM(x,y) _ dN(x,y) dy dx Poznámka 18. Řešením exaktní diferenciální rovnice je ve tvaru F{x,y) = C, kde F je tzv kmenová funkce splňující následující identity dF(x,y) 1/r/ . dF{x,y) AT/ . z čehož lze postupnou integrací získat řešení. Pro exaktní rovnici s počáteční hodnotou y{xo) = yo lze psát F(x,y) M(t,y)dt + x0 N(x0,t)dt. 3/o Poznámka 19. V některých případech je nutné rovnici M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 vynásobit tzv. integračním faktorem, aby byla exaktní. Integrační faktor může být tvaru m(x) nebo n(y), přičemž platí hxm(x) My-Nx N dx a lnn(y) N r — M M dy. Příklad. Vyřešme diferenciální rovnici y (1 + xy) dx — x dy = 0 Řešení. Tuto diferenciální rovnici budeme řešit jako exaktní. Položme proto M{x,y) = y(l + xy) a N(x,y) = —x. Snadno se přesvědčíme, že M(x,y) ^ N(x,y), což znamená, že musíme najít vhodný integrační faktor, který nám diferenciální rovnici převede na exaktní. Proto určíme lnn(y) -2(1 + xy) y(l + xy) dy lny2, tj. hledaný integrační faktor je funkce n(y) = \. Vynásobením rovnice tímto výrazem dostaneme 1 + xy , x , -- dx--ť dy = 0, y y1 která již je exaktní s M(x,y) = i + x a N(x,y) \. Při hledání integračního faktoru jsme také mohli druhý využít výše uvedený vzorec pro funkci m{x), ale námi zvolený integrační faktor je jednodušší. Určíme tedy kmenovou funkci, tj. F(x,y) 4r dy = - + C(x). y2 y (c) Petr Hasil & Petr Zemánek 18 I. Obyčejné diferenciální rovnice Zbývá určit funkci C(x). Zderivováním pravé strany a ze vztahu ^g*'^ = M(x,y) obdr- žíme C'(x)=x, tj. C{x) = — + C, CeR. Řešení zadané diferenciální rovnice lze tedy vyjádřit ve tvaru - + Í- = c, CeR. y 2 (76) Řešte následující rovnici (y2 - l)dx + (2xy + 3y)dy = 0. [xy2 - x + \y2 = C, C G R] (77) Řešte následující rovnici 2xdx + 2ydy = 0. [x2 + y2 = C, C G R] (78) Řešte následující rovnici ^dx + 2v/x2e23/ dy = 0. 3^/x y (79) Řešte následující rovnici (xcos2y + l)dx — x1 sin2y dy = 0. e2V Vx2 = C, C G R (80) Řešte následující rovnici (ey +yex+3x2)dx {2-xeV -ex)dy. i arccos ^£=2*, C G R [C = xeV +yex +x3 -2y, C G R] (81) Řešte následující rovnici sinydx + [(x + 1) cosy — ysiny] dy = 0. [C = x sin x + y cos y, C G R] (82) Řešte následující rovnici 1 ^d*+ri-^Lldy = 0. y2 + l x2) \x (y2 + l)2 r — __j r g R © Petr Hasil & Petr Zemánek I. 7. Clairautova diferenciální rovnice 19 (83) Řešte následující rovnici ( arctg y + ,1 „ ) dx + „ % „dy = 0. V x2 + íj i + y2 [C = x arctg y + arctg x, C g IR] (84) Řešte následující rovnici (2x cos2 y)dx + (2y — x1 sin 2y)dy = 0. [y2 + x2 cos2 y = C, C g R] (85) Pomocí integračního faktoru řešte následující rovnici (x2 — 3y2)dx + 2xy dy = 0. [y2 = Cx3 + x1, C g IR] (86) Pomocí integračního faktoru řešte následující rovnici 2xylnydx + (x1 + y1\Jy1 + l^j dy = 0. C = x2lny + ± (y2 + l)3/2, C g IR (87) Pomocí integračního faktoru řešte následující rovnici y - 6y2^j dx + (3 - 4xy) dy = 0. [C = 3x2y-2x3y2, CgE] (88) Pomocí integračního faktoru řešte následující rovnici y dx + (ixy - e~2y) dy = 0. [C = xe23/-ln|y|, C g IR] I. 7. Clairautova diferenciální rovnice Definice 20. Diferenciální rovnice ve tvaru y = xy' + g(y') se nazývá Clairautova diferenciální rovnice. Poznámka 21. Při řešení nejdříve zavedeme substituci y' = p. Derivování podle x získáme (X ~^ dp) dx' Pokud 3^ = 0, pak p = C, C g IR, tedy obecné řešení je tvaru _y = Cx + g(C)._ (c) Petr Hasil & Petr Zemánek 20 I. Obyčejné diferenciální rovnice Pokud x + g£ = 0, obdržíme parametrické řešení x = -g'(p) & y = -pg'(p) + g(p)- Příklad. Vyřešme diferenciální rovnici y = xy' + 2 + (y')3 Řešení. Ze zadání je snadno vidět, že se jedná o Clairautovu diferenciální rovnici. Zavedeme proto substituci y' = p. Zderivováním obou stran rovnice dostaneme p = xp' + p + 3p2p' což po úpravě dává 0=(* + 3p>)|£. Mohou tedy nastat dvě možnosti: • buď 3j = 0, pak p = C pro C G IR a máme obecné řešení zadané rovnice ve tvaru y = Cx + 2 + C3, C G IR, nebo x + 3p = 0, což dává další řešení, které je vyjádřené parametricky jako x = —3p2, y = xp + 2 + p3. Pokud se pokusíme vyloučit parametr (u Clairautových diferenciálních rovnic to je obvykle relativně snadné) dostaneme toto řešení explicitně V = 2 + -x\j—3x. J 9 (89) Řešte následující rovnici y = *y' + iy')1- y = -*£f y = cx + c2, C G IR (90) Řešte následující rovnici y = xy' + siny'. y = (n — arccosx)x + \j\-x1, y = Cx + sinC, C G IR (91) Řešte následující rovnici xy' -y = lny'. [y = 1 + ln x, y = Cx — ln C, C > 0] (92) Řešte následující rovnici y = *y' + ^j- [y2 = 2x, y = Cx + ^, C G IR] © Petr Hasil & Petr Zemánek I. 8. Lagrangeova diferenciální rovnice 21 (93) Řešte následující rovnici y = Xy'+y' + ey\ [y = (x + 1) ln(-l - x) - x - 1, y = Cx + C + ec, C G R] (94) Řešte následující rovnici y = xy' — a y 1 + y'1, a G IR+. y = xC — flVl + C2, y = — \la1 — x2, C G IR (95) Řešte následující rovnici y = Xy'-3y'3. y = xC- 3C3, y = ±§*z, C G IR I. 8. Lagrangeova diferenciální rovnice Definice 22. Lagrangeova diferenciální rovnice (nebo též ďAlembertova diferenciální rovnice, případně Lagrangeova-ďAlembertova diferenciální rovnice) je diferenciální rovnice ve tvaru y = f(y')x + g(y'). Poznámka 23. Při řešení nejdříve zavedeme substituci y' = p. Derivování podle x získáme p = f(p)+[xf'(p)+g'(p)}^, tj. p-f(p)=[xf'(p)+g'(p)}^. Pokud x f(p), pak dx _ f'(p) _%+ g'(p) dP P-f(v) P-f(p) je LDR 1. řádu. Řešení Lagrangeovy rovnice je potom popsáno parametricky rovnicemi x = cp(p), y = f(p)cp(p)+g(p). Pokud pro nějaké hodnoty po platí po = f (po), je funkce y = x f (po) + g (p o) také řešením Lagrangeovy rovnice. Příklad. Vyřešme diferenciální rovnici y = 2xy/-(y/)3 Řešení. Jedná se o Lagrangeovu diferenciální rovnici, proto zavedeme substituci y' = p a derivováním obou stran rovnice dostaneme „ dx „ 7dx p = 2p + 2x—-3p1—. ap ap Kterou za předpokladu p ^ 0 můžeme přepsat jako lineární diferenciální rovnici dx 2x ap p (c) Petr Hasil & Petr Zemánek 22 I. Obyčejné diferenciální rovnice jejímž řešením bude funkce x v proměnné p. Řešením této lineární rovnice je funkce 4r p2 Pokud toto vyjádření dosadíme do vztahu y = 2xp — p3, dostaneme obecné řešení zadané diferenciální rovnice vyjádřené parametricky 3 2 C p3 2C ľ + C G R. 4r ' p2 J 2 p ' Volba p = 0 odpovídá y = C, což po dosazení do zadání dává, že nutně C = 0. Máme tedy ještě partikulární řešení y = 0, které není zahrnuto do obecného řešení. Poznamenejme ještě, že tentokrát již není tak snadné vyloučit parametr p. Nicméně to možné je (ale potřebná metoda značně překračuje rámec tohoto textu) a obecné řešení lze vyjádřit v implicitní podobě (27y2 - 16x3)y2 + 16x(9y2 - 4x3)C - 128x2C2 - 64C3 = 0. (96) Řešte následující rovnici y = x(y')2 + (y')3 y = 0, y = x + 1, x (97) Řešte následující rovnici (i-p)2 (4(c+p-í)'ceR y = x(l+ý) + (y')2. [x =-2p + 2 + Ce-p &y = Ce-p(l + p)+2-p2, C G R] (98) Řešte následující rovnici y = 2xy + ln y . x 4 + 4 & v p p2 j 2 + ^ + lnp, CGR (99) Řešte následující rovnici y-(y02(x + l)=0. y = 0, x (100) Řešte následující rovnici yy' = 2x(y')2 + l i=^&y = 2^ + i CeR © Petr Hasil & Petr Zemánek I. 9. Lineární diferenciální rovnice w-tého řádu s konst. koef. 23 (101) Řešte následující rovnici 2y(y' + 2) = xy/2. x = (p + 2)C & y = C G IR (102) Řešte následující rovnici y + xy/3 + v/l + y'2 = 0. x = ^&y = ^-V/TTF,CG]R (l + p2)2 (l + p2)2 (103) Řešte následující rovnici y = 2xy'-y/2. „2 I. 9. Lineární diferenciální rovnice //-tého řádu s konstantními koeficienty Definice 24. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu má tvar y(n) + ai y(n-l) + ai y(n-2) + . . . + + ^ = f(xy Pokud f(x) = 0 je rovnice homogenní, v opačném případě je rovnice nehomogenní. Poznámka 25. Nejdříve musíme učit řešení homogenní části. K tomu potřebujeme spočítat kořeny charakteristického polynomu Xn + ax \n~x + a2 AM~2 H-----h fl„-iA + an = 0. Každému fc-násobnému reálnému kořenu odpovídá k partikulárních řešení ve tvaru gAx x gAx xk—l gAx Každé fc-násobné dvojici komplexních kořenů A = a + ifi odpovídá k dvojic partikulárních řešení ve tvaru eax cos fix, x eax cos fix, xk~l eax cos fix, eax sin fix, x eax sin fix, xk~l eax sin fix. Řešení homogenní rovnice je potom součtem jednotlivých partikulárních řešení, tj. yH{x) = Qyi(x) + C1y1{x) H-----h Cnyn(x), kde Q, ..., Cn G IR jsou libovolné konstanty. Řešení nehomogenní rovnice můžeme získat pomocí metody variace konstant. Toto řešení je potom tvaru _y(x) = Q(x)yi(x) + C2(x)y2(x) H-----h Cn(x)yn(x),_ (c) Petr Hasil & Petr Zemánek 24 I. Obyčejné diferenciální rovnice kde C\{x), ..., Cn(x) jsou řešení systému C[{x)yi{x) + ■■■ + C'n{x)yn{x) = 0, C{(x)y[(x) + --- + C^x)y'n(x)=Of C[(x)yt2\x) + ■■■ + C^x)yt2\x) = 0, C[(x)yt1](x) + ■■■ + C'n{x)y{rV\x) = f(x). Pokud je pravá strana ve tvaru tzv kvazipolynomu lze použít i jednodušší postup. V takovém případě je řešení nehomogenní rovnice ve tvaru y = Ciyi + C2y2 H-----h Cnyn + yv, kde yv získáme v závislosti na tvaru f(x). i) Pro nehomogenní část f{x) = Qm{x)eax, kde Qm{x) je polynom m-tého stupně, platí yP = xkQm(x)eax, kde k je násobnost čísla a coby kořene charakteristického polynomu a Qm{x) je polynom nejvýše stupně m. ii) Pro nehomogenní část f(x) = eax (Pm(x) cos$x + Qn(x) sin£x), kde Pm(x) je polynom stupně m a Qn(x) je polynom stupně n, platí yv = xkeax (Pr(x) cosj6x + Qr(x) sin^x) , kde k je násobnost čísla a + if> coby kořene charakteristického polynomu a Pr(x), Qr(x) jsou polynomy nejvýše stupně r, kde r = max{m,n}. Příklad. Vyřešme diferenciální rovnici Řešení. Charakteristický polynom A2 — 2A + 1 má dvojnásobný reálný kořen A12 = 1. Proto řešení přidružené homogenní diferenciální rovnice je funkce yH(x) = C1ex+C1xex. Protože pravá strana není ve tvaru kvazipolynomu, je nutné použít metodu variace konstant. Tím dostaneme soustavu C{ ex+C^xex = 0, X C{ex+C^(x + xex) 6 x2 + ľ (5) Petr Hasil & Petr Zemánek I. 9. Lineární diferenciální rovnice w-tého řádu s konst. koef. 25 Z této rovnice musíme vyjádřit neznámé C[ a C^. K tomu je možné použít známé Crame-rovo pravidlo, proto určíme následující determinanty (písmeno W napovídá, že se jedná o tzv Wronskián) w ex ex +x ex W2 e2x, Wi ex xex x2+l 0 e ex ex +x ex „2x x2 + ľ x2 + l Pak dostáváme Q(x) C2(x) 1 w2 dx x2 + l dx x2 + l dx =-^ln(xz + l)+ Q, Q G IR - arctg x + C2, C2 G IR. Dosazením těchto výrazů do yn(x) nalezneme obecné řešení zadané diferenciální rovnice y(x) = Q ex +C2x ex -- ex ln(x2 + 1) + x ex arctg, C\, C2 G IR. Příklad. Vyřešme diferenciální rovnici y'" + y" + <)yl + 9y = eX +10 COS 3X. Řešení. Charakteristický polynom je v tomto případě A3 + A2 + 9A + 9, jehož kořeny jsou čísla Ai = —1, A23 = ±3ž. Proto řešení přidružené homogenní rovnice je Vh(x) = Q e~x +C2 cos 3x + C3 sin 3x. Nehomogenní část je součtem dvou kvazipolynomů, proto můžeme najít příslušná dvě partikulární řešení pomocí metody neurčitých koeficientů. Nejdříve pro funkci ex, jíž odpovídající partikulární řešení bude yVl (x) = A ex. Protože yPÁx) = y'Vl(x) = y'vM) = y'v'M)= AeX dostaneme po dosazení do zadané rovnice s pravou stranou pouze s funkcí ex vztah 1 20Aex = ex, což znamená A = —. 20 Nyní uvažujme pravou stranu pouze ve tvaru 10 cos 3x. Protože číslo 3i je kořenem charakteristického polynomu, bude příslušné partikulární řešení mít tvar yVl{x) = x(Bcos3x + Csin3x). Po spočítání jednotlivých derivací y'Vl (x), y^2 (x), y'ý'2 (x) a jejich dosazení do zadané rovnice s pravou stranou rovnou pouze 10 cos 3x dostaneme rovnici —18B cos 3x — 18C sin 3x — 6B sin 3x + 6C cos 3x = 10 cos 3x. Porovnáním jednotlivých koeficientů u výrazů cos 3x a sin 3x dostaneme soustavu -18B + 6C = 10, -18C-6B = 0, (c) Petr Hasil & Petr Zemánek 26 I. Obyčejné diferenciální rovnice jejímž řešením je dvojice B = — \ a C = \. Celkem tedy dostáváme, že řešením zadané diferenciální rovnice je funkce 111 y(x) = Q e x +C2 cos 3x + C3 sin 3x + — ex —-x cos 3x + -x sin 3x, C\, C2, C3 G R. (104) Řešte následující rovnici „(4) [y = Ci e2x +C2 e~2x +C3 cos 2x + C4 sin 2x, Clr C2, C3, C4 G R] (105) Řešte následující rovnici y// + y/-2y = 0. [y = Ci ex +C2 e-2x, Q, C2 G IR] (106) Řešte následující rovnici y" + 4y' + 4y = 0. [1/ = Ci e-2x +C2xe-2x, Ci, Ci G R] (107) Řešte následující rovnici y//-4y/ + 29y = 0. [y = Cie2xcos5x + C2e2xsin5x, C\,C2 G JR] (108) Řešte následující rovnici y" - 3y' + 2y = x2. y = d e2x +C2 ex +^ + §x + \, Q, C2 G R (109) Řešte následující rovnici // 3 [y = Ci e-Y +C2 e-x -x3 - 6x, C\,C2 G R] (110) Řešte následující rovnici y" + 9y = 18x2 - 3x - 5. [y = Ci cos 3x + C2 sin 3x + 2x2 - f - 1, Q, C2 G R] (111) Řešte následující rovnici y"-8y/ + 16y = P(x), kdeP(x)= a) 32, b)\2x-3, c) - x2 + 2x + 5. [a)y = C1 eAx +C2x e4x +2, Q,C2 G R] (c) Petr Hasil & Petr Zemánek I. 9. Lineární diferenciální rovnice w-tého řádu s konst. koef. 27 [b) y = Q e4x +C2x e4x +§x + ^, Q, C2 G IR c) y = Ci e4* +C2xe4* + £ + ^ d,C2 G R (112) Řešte následující rovnici y///-5y//-8y/ + 48y = 0. [y = Ci e4x +C2x e4x +C3 e"3*, Q, C2/ C3 G IR] (113) Řešte následující rovnici y(4) + 2y" + y = 0. [y = Ci cos x + C2 sin x + C3X cos x + C4X sin x, Q, C2, C3, C4 G IR] (114) Řešte následující rovnici y"'-2y"-y' + 2y = 0. [y = Ci ex +C2 e-x +C3 e2*, Či, C2/ C3 G IR] (115) Řešte následující rovnici y(6) + 2y(5) + 4y(4) + 4y'" + 5y" + 2y' + 2y = 0. [y = (Ci + C3X + C5 e~x) cos x + (C2 + C4X + C(, e~x) sin x, Q G IR, i = 1,..., 6] (116) Řešte následující rovnici y" + 3y' + 2y = (20x + 29) e3x . [y = Cíe-2x+C2e-x+(x + l)e3x, CXlC2 G IR] (117) Řešte následující rovnici y" - 2y' + 5y = 5 eZI sin x. [y = Ci ex cos 2x + C2 ex sin 2x + e2x (sin x — \ cos x), Q, C2 G IR] 2x , (118) Řešte následující rovnici y(5) _ 3y(4) + 2y(3) = 8x - 12. y = Ci + C2x + C3x2 + C4 e2x +C5 ex Q, C2/ C3/ C4/ C5 G IR (119) Řešte následující rovnici 5 y +y + -y = 25cos2x. y = e 2X (Ci cos \x + C2 sin |x) + 8 sin 2x — 6 cos 2x, Q, C2 G IR (c) Petr Hasil & Petr Zemánek 28 I. Obyčejné diferenciální rovnice (120) Řešte následující rovnici y" + y = tg2x. y = Q cos x + C2 sin x — 2 + sin x ln y | i^sinx | / C2 G K. (121) Řešte následující rovnici y" + 4y 1 sin2x [y = Ci cos 2x + C2 sin 2x — \x cos 2x + \ sin 2x ln |sin 2x\, C\, Ci G IR] (122) Řešte následující rovnici y"-2y' + y=-. [y = Qex+C2xex+xex (ln|x|-l), Q,C2 G IR] (123) Řešte následující rovnici y" + y' = x2-x + 6e2x [y = Ci + Ci e x — §x2 + 3x + e2x, Ci,C2 G IR] (124) Řešte následující rovnici y" + 2y' + 2y = 3 e xcosx. [y = e x (Ci cos x + C2 sin x) + \x e x sin x, Ci, C2 G IR] (125) Řešte následující rovnici y'" + 2y" + y' = x2 + sin x. y = Ci + C2 e~x +C3x e~x +^ - 2x2 + 6x - i sin x, Ci, C2/ C3 G IR (126) Řešte následující rovnici y(4) - 2y" + y = 8(ex + e~x) + 4(sin x + cos x). [y = (Ci + C2x) ex +(C3 + C4X) e~x +x2(ex + e~x) + cosx + sinx, C\,... ,C± G IR] (127) Řešte následující rovnici -2x- y +±y +±y = e zxlnx. y = Q e~2x +C2x e-zx +f e-zx ln x - \xl e-ix, Clr C2 G IR 2x 1 x2 „-2x i„ v 3 J2 „-2x (c) Petr Hasil & Petr Zemánek 1.10. Geometrické aplikace diferenciálních rovnic prvního řádu 29 (128) Těleso o hmotnosti 100 g natáhne pružinu o 5 cm. Toto těleso je vypuštěno rychlostí 10 cm/s z rovnovážného bodu. Pokud zanedbáme odpor vzduch, jaká je jeho poloha v čase ř? Za jakou dobu se vrátí do rovnovážného bodu? y(ř) = ^sin2ř/ řo = ^ (129) Těleso o hmotnosti 1 /2 kg natáhne pružinu o 5 cm. Těleso je stlačeno nahoru o 2 cm nad rovnovážný bod a vypuštěno rychlostí 60 cm/s, přičemž zanedbáváme odpor vzduchu. Určete polohu tělesa v čase t. y(t) = VŤ2 sin (lOv^ŕ + 0.44) (130) Těleso o hmotnosti 2 kg natáhne pružinu o 0.5 m. Pro stlačení o 0.7 m je potřebná síla 25.6 N. Na těleso působí odpor 7 = 40. Určete pozici tělesa v čase t, je-li vypuštěno z rovnovážného bodu s počátečním impulsem 0.6 m/s. [y(í) = ž(e-4r-e-16ř)] (131) Těleso o hmotnosti 3 kg natáhne pružinu o 400 mm, přičemž zanedbáváme tlumení. Na systém působí síla F(ř) = 10 cos coqí (systém rezonuje). Těleso je na počátku stlačeno o 20 cm a je mu dána počáteční rychlost 10 cm/s. Určete jeho pozici v čase t. [y(ř) = 0.200999 sin (5ř + 4.812065) + \t sin 5ř] (132) Těleso o hmotnosti 3 kg natáhne pružinu o 400 mm. Uvažujme odpor 45 N při rychlosti 50cm/s. Na systém působí síla F(t) = lOcoso^oř (systém rezonuje). Těleso je na počátku stlačeno o 20 cm a je mu dána počáteční rychlost 10 cm/s. Určete jeho pozici v čase t. y{t) = -0.20645e(-15+10v/I)r+0.006458e(-15-10v/2)r+^sin5ř (133) Těleso o hmotnosti 3.2 kg natáhne pružinu o 2 m. Třecí síla je rovna čtyřnásobku rychlosti. Na systém působí síla F{t) = 10cos3ř. Těleso je na počátku vytaženo o 2 m nad rovnovážný bod a bez počátečního impulsu je vypuštěno. Určete jeho pozici v čase t. y{t) = 1.6871 e-2t sin (ly/Žt + 1.3273) + j§g cos 3ř + sin 3ř (134) Těleso o hmotnosti 3.6 kg natáhne pružinu o ^ cm. Neuvažujeme žádný odpor. Na systém působí síla F (ŕ) = 3.6 sin 8ŕ. Těleso je na počátku vytaženo o {55 cm nad rovnovážný bod a bez počátečního impulsu je vypuštěno. Určete jeho pozici v čase t. Určete také první čtyři hodnoty t, kdy má těleso nulovou rychlost. [y{t) = (sin8ř + cos8ř -8řcos8ř), h = \, h = f,h = j,h = if ] I. 10. Geometrické aplikace diferenciálních rovnic prvního řádu Definice 26. Nechť je dána soustava rovinných čar F(x,y,C) = 0 (7) závislá na jednom parametru C. Protíná-li nějaká jiná rovinná čára všechny čáry uvažované soustavy podle určitého zákona, nazývá se trajektorie soustavy. Zvláště důležité jsou trajektorie izogonální, které protínají každou čáru pod týmž úhlem 0 < cp < j. Je-li tento úhel pravý, nazývají se ortogonální trajektorie (c) Petr Hasil & Petr Zemánek 30 I. Obyčejné diferenciální rovnice Poznámka 27. Z rovnice (7) vyjádříme parametr C, čímž získáme rovnici G(x,y) = C. Po výpočtu příslušných parciálních derivací a dosazením do rovnice dG dG dG dG získáme diferenciální rovnici, jejímž řešením je soustava izogonálních křivek. Pro cp je diferenciální rovnice ortogonálních trajektorií ve tvaru 7T 2 dG dG dy dx y o. Příklad. Určeme trajektorie, které protínají svazek křivek daných předpisem y = ln Cx s odchylkou cp = j. Řešení. Vyjádřením parametru C dostaneme funkci G(x,y) = y- Dosazením příslušných parciálních derivací dostaneme diferenciální rovnici y X X^ J X XL což po úpravách dává jednoduchou diferenciální rovnici v/3x + 1 y x ■ V3' Přímým integrováním dostaneme, že hledané izogonální trajektorie jsou tvaru y = \^3x + 41n x ■ V3 + C pro CeR. Zadaný svazek křivek i ortogonální trajektorie jsou zobrazeny na obrázku níže. ■y = lnCx;--y = VTx + 41n( x-V~3~ ) + C; © Petr Hasil & Petr Zemánek 1.10. Geometrické aplikace diferenciálních rovnic prvního řádu 31 (135) Určete trajektorie, které protínají svazek kružnic x2 + y2 = 2Cx s odchylkou q> = j. [C(y2 + x2) —y + x = 0, CgR] © Petr Hasil & Petr Zemánek 32 I. Obyčejné diferenciální rovnice (137) Určete izogonální trajektorie pro soustavu křivek y = Cx2 a q> = = C;CeR (138) Určete izogonální trajektorie pro soustavu hyperbol xy = C a cp = j. [x2 — 2xy — y2 = C, Cg R] © Petr Hasil & Petr Zemánek 1.10. Geometrické aplikace diferenciálních rovnic prvního řádu 33 (139) Určete izogonální trajektorie pro soustavu křivek x2 + y2 = C 2 a cp = j. [In |C(x2 + y2) | + 2 arctg f, C G IR \ {0}] (140) Určete ortogonální trajektorie pro soustavu parabol y = Cx2. y2 + ?L = Q, C G IR © Petr Hasil & Petr Zemánek 34 I. Obyčejné diferenciální rovnice (141) Určete ortogonální trajektorie pro soustavu křivek x2 + y2 = 2Cx. [C(x2 + y2)-y = 0, C G R] x2+y2 = 2Cx;--y = c{x2+y2); (142) Určete ortogonální trajektorie pro soustavu křivek x2 + 4y = Cx. C = (x2-4y-8)e-V2, C G IR © Petr Hasil & Petr Zemánek II. Metrické prostory Definice 28. Metrickým prostorem nazýváme dvojici (P,p), kde P je libovolná neprázdná množina a zobrazení p : P x P —> IR+ splňuje pro každé x, y, z g P následující tři axiomy: i) p(x,y) = 0 právě když x = y (tzv. axiom totožnosti); ii) p{x,y) = p{y,x) (tzv. axiom symetrie); iii) p{x,y) + p(y,z) > p(x,z) (tzv. trojúhelníková nerovnost). Zobrazení p nazýváme metrikou na P, prvky množiny P obvykle nazýváme body prostom (P, p) číslo p(x,y) nazýváme vzdáleností bodů x,y v prostom (P, p). Poznámka 29. Pro x = [x\, ..., xn], y = [yi, ..., yn] g IRM definujeme metriky: pi (x, y) := ^ \xk — yjtl / součtová metrika, k=l Poo{x,y)'■= max — yjtl / maximálni metrika, \ metrika stejnoměrné konvergence, x€\a,b] PÁf'g) \f(x)— g{x)\ dx, integrální metrika. Definice 30. Nechť {P\,p\) a (P2,pi) jsou metrické prostory. Zobrazení / : P\ —> P2 se nazývá izometrické, jestliže pro každé x, y g P\ platí p2 (f(x),f(y)) =pi(x,y). Definice 31. Mějme metrický prostor (P,p) a nechť A c P. Množina A := {x g P : p (x, A) = 0} se nazývá uzávěr množiny A. Množina A se nazývá uzavřená, pokud A = A. Množina A se nazývá otevřená, jestliže její komplement P \ A je uzavřená množina. Definice 32. Nechť {Xjj}^^ je posloupnost bodů v metrickém prostoru (P,p). Řekneme, že posloupnost konverguje k bodu Xq g P (je konvergentní, má limitu Xq) a píšeme xn —> xq, jestliže p(xn, Xo) —> 0 pro n —> oo, 35 36 II. Metrické prostory tj. ke každému e > 0 existuje n$ G N takové, že pro každé n > n$ je p(xn,Xo) < e. Řekneme, že posloupnost {xM}^Li je cauchyovská, jestliže p{xm,xn) —> 0 pro min{ra,n} —> oo, tj. ke každému e > 0 existuje n$ G N takové, že pro každé m,n > n$ je p(xm, xn) < e. Definice 33. Metrický prostor (P,p) se nazývá úplný, jestliže v něm každá cauchyovská posloupnost má limitu (tedy je konvergentní). Definice 34. Nechť (P,p) je metrický prostor a F je zobrazení prostoru P do sebe, tj. F : P —> P. Bod xq G P se nazývá pevným bodem zobrazení F, jestliže F(x0) = x0. Definice 35. Nechť (P,p) a (Q,c) jsou metrické prostory a nechť F : P —> Q. Řekneme, že zobrazení F je lipschitzovské, jestliže existuje konstanta L G IR1^ (tzv. Lipschitzova konstanta) taková, že o~ (F (x), F (y)) < Lp(x,y) pro každé x,y G P. Jestliže L < 1, pak se zobrazení F nazývá kontrakce (s konstantou L). Věta 36. Nechť {P,p) je úplný metrický prostor a nechť F : P —> P /e kontrakce. Pak existuje právě jeden pevný bod zobrazení F{x). Věta 37. Nechť funkce g zobrazuje interval [a, b] do sebe a nechť má na tomto intervalu derivaci. Jestliže existuje číslo a G [0,1) tak, ze \g'{x)\ < dl Vx G [a,b], pak v intervalu [a, b] existuje pevný bod £ funkce g{■) a posloupnost postupných aproximací k němu konverguje pro libovolnou počáteční aproximaci Xq G [a, b]. Poznámka 38. Pevný bod je možné získat pomocí metody postupných aproximací. Nechť jsou splněny předpoklady Věty 36. Buď X\ G P libovolné a definujme posloupnost {Xn}^^ takto *2 = F{xi), x3 = F(x2), xn = F(xn-i), ... Díky předpokladům věty se dá ukázat, že takto definovaná posloupnost konverguje k pevnému bodu zobrazení F(x). (143) Určete vzdálenost bodů A = [0,1], B = [1,2] v součtové, euklidovské a maximální metrice. pi{A,B) = 2, p2(A,B) = V2, Poo(A,B) = 1 © Petr Hasil & Petr Zemánek II. Metrické prostory 37 (144) Popište jednotkovou kružnici v IR2 a jednotkovou kouli v IR3 v metrikách p\, p2, pc IR3: v p2 dostaneme „standardní" kouli, v poo jde o povrch krychle s vrcholy (±1, ±1, ±1)/ v pi se jedná o povrch pravidelného osmistěnu s vr-choly (1,0,0), (-1,0,0), (0,1,0), (0,-1,0), (0,0,1) a (0,0,1) (145) Určete vzdálenost funkcí f(x) = x, g(x) = x G [0,1] v metrice stejnoměrné konvergence a v integrální metrice. \Pc(f,g) = i Pl(f'g) = Í] (146) Najděte funkci tvaru f(x) = ax, která má v prostoru C [0,1] nejmenší vzdálenost od funkce g{x) = x1 v metrice stejnoměrné konvergence. a = 2\[2-2 (147) Pro x G [0,1] určete hodnotu a tak, aby funkce f(x) = ax měla nejmenší vzdálenost od funkce g(x) = x2 i) v integrální metrice, ii) v metrice 1/2 P(f>g) (f(x)-g(x)) dx i) a = VŠ/3, ii) a = 3/4 (148) Nechť P = IR. Rozhodněte, zda funkce p{x,y) = ln(l + \x — y\) zadává metriku na P x P —> IR. [ano] (149) Nechť P = C. Rozhodněte, zda funkce _ j min{|x| + |y|, \x — 1| + \y — 1|}, pokud x 7^ y, P[X'y)~\Q, x = y. zadává metriku na P x P —> IR. [ano, tzv. metrika na železnici se dvěma uzly] © Petr Hasil & Petr Zemánek 38 II. Metrické prostory (150) Nechť P = IR. Rozhodněte, zda funkce p(x,y) = \x1 — y2| zadává metriku na P x P -»IR. nej 3^ (151) Určete konstantu k tak, aby zobrazení F definované předpisem F(f(x)) = kf{xó) bylo izometrické zobrazení prostoru C[—1,1] s metrikou pi G IR je P={(ľ2 oJ:fll'fl2eR}; p{A,B) = ^{a1-b1Y + {a1-b1Y, A,B G P; T q, : P —> ÍR2, (A) = [fli cos

IR je funkce dvou proměnných definovaná na M a buď c G IR. Množina fc- = {[x,y] G M: f(x,y) = c] se nazývá vrstevnice funkce f na úrovni c Příklad. Určeme definiční obor funkce f(x,y) = ln[ar ln(y — x)}. Řešení. Protože definiční obor je množina bodů, ve kterých je funkce definována, budeme postupovat zevnitř funkce a hledat podmínky, které musí body roviny splňovat, aby byly součástí definičního oboru zadané funkce. Vnitřní funkce je y — x, která je definována pro všechna x a všechna y. Další na řadě je ln(y — x). Argument logaritmu musí být kladný, tedy y — x > 0. Protože vynásobení proměnnou x žádnou podmínku nepřidá, postoupíme rovnou k vnější funkci, kterou je opět logaritmus, tedy musí platit xln(y — x) > 0. To znamená, že oba činitelé musí mít stejné znaménko, přičemž nula je vyloučena. Odtud dostáváme (x > 0 Aln(y-x) > 0) V (x < 0 Aln(y-x) < 0), (x>0Ay-x>l)V(x<0A00Ay-x>l)V(x<0A0 1 ekvivalentní s nerovnicí y > x + 1. Jde tedy o všechny body napravo od osy y a nad přímkou y = x + 1 (osa prvního a třetího kvadrantu posunutá o 1 nahoru). Do druhé části patří všechny body roviny mající zápornou první souřadnici a splňující současně (děláme tedy průnik) dvojici 41 42 III. Diferenciální počet funkcí více proměnných nerovnic y — x > 0 a y — x < 1, nebo ekvivalentně y>xay 0 je splněna automaticky apod. © Petr Hasil & Petr Zemánek III. 1. Definiční obor funkcí více proměnných 43 (161) Popište definiční obor funkce f(x,y) = ln(| + 3y). Polorovina s hraniční přímkou | + 3y = 0 obsahující bod [1,1], bez této přímky. (162) Popište definiční obor funkce f(x,y) = arcsin ^ — [D(f) = {[x,y] G R2 : (-y < x < y) V (-y > x > y)}] (163) Popište definiční obor funkce f (x, y, z) = ^/| + lnz. [D(J) ={[x,y,z] G R3 : [(x > OAy > 0) V (x < OAy < 0)] Az > 0}] (164) Popište definiční obor funkce f (x, y, z) = arcsin | — ln —j= [D(f) = {[x,y,z] G R3 : x > 0,z G [-2,2], [y,z] ^ [0,0]}] (165) Načrtněte definiční obor funkce f (x, y) = ^. (166) Načrtněte definiční obor funkce j {x,y) = ln(x + y). \ 1J1 \ \ \ \ 1- \ \ \ \ 05- \ °5 \ \ \ i i i i i i i i i i i i i i i 1.5 -1 -0.5 0 -0.5- \.............. \ 0.5 1 1 \ \ \ \ \ \ -1--1.5- \ \ \ \ \ © Petr Hasil & Petr Zemánek 44 III. Diferenciální počet funkcí více proměnných (167) Načrtněte definiční obor funkce f{x,y) = arccos (168) Načrtněte definiční obor funkce f(x, y) = y/l — x2 — 4y2. i -i -ij (169) Načrtněte definiční obor funkce f(x, y) = 1 1 - OJ - 0- OJ l' i 2 -05 --1 - -1 J - / x2+y2— x v 2x-x2-y2' © Petr Hasil & Petr Zemánek III. 1. Definiční obor funkcí více proměnných 45 (170) Načrtněte definiční obor funkce f(x,y) = a/(x2 + y2 — 1)(4 — x2 — y2). -2 -1 0 J J (171) Načrtněte definiční obor funkce f(x, y) = y/l — (x2 + y)2. 2l -2-1 ^ © Petr Hasil & Petr Zemánek 46 III. Diferenciální počet funkcí více proměnných (173) Načrtněte definiční obor funkce f(x,y) = arcsin ^ + arcsin(l — y). 3l -2 H -3-1 (174) Načrtněte definiční obor funkce f(x,y) = arccos(x2 + y1 — 1) + J\x\ + \y\ — \pl. (175) Načrtněte definiční obor funkce f(x, y) = a/sin [n (x1 + y2) . © Petr Hasil & Petr Zemánek III. 1. Definiční obor funkcí více proměnných 47 (176) Načrtněte vrstevnice funkce f(x, y) = x2 + y2. (177) Načrtněte vrstevnice funkce f(x, y) = x2 —y2. (178) Načrtněte vrstevnice funkce f(x, y) = xy'. © Petr Hasil & Petr Zemánek 48 III. Diferenciální počet funkcí více proměnných (179) Načrtněte vrstevnice funkce f(x, y) = a/4 — \x\ — \y\. (180) Načrtněte vrstevnice funkce f(x, y) = min(x, y). 4-1 3 ■ 1 ■ 3 1 3 -ä- (181) Pomocí vrstevnic a řezů souřadnými rovinami načrtněte graf pro f(x, y) = \ + \- © Petr Hasil & Petr Zemánek III. 2. Limity funkcí více proměnných 49 III. 2. Limity funkcí více proměnných Definice 40. Řekneme, že funkce / : IR" —> IR (n > 1) má v bodě a G (IR*)M limitu L, kde L G IR*, jestliže ke každému okolí O(L) bodu L existuje ryzí okolí C (a) bodu a takové, že pro každý bod x G O (a) n D(/) platí/(x) G (L). Píšeme lim fix) = L. x^aJ Předchozí definice platí pro libovolné n. Pro funkci dvou proměnných lze zformulovat i tzv. e — ô definici. Definice 41. Řekneme, že funkce / : IR2 —> IR má v bodě [xo,yo] ^ ^2 liniitu L G IR, jestliže ke každému e > 0 existuje ô > 0 takové, že pro každý bod [x,y] G D (f) splňující \x — xq\ < Ô, \y — yol < ^ [^y] 7^ [^0/yo]/platí \f(x,y) — L\(x0,y0) Poznámka 42. Pro výpočet limity funkce dvou proměnných v bodě [xq, yo] lze použít substituci do polárních souřadnic, tj. x = xq + p cos q>, y = yo + p sin cp, kde p > 0 je vzdálenost bodů [xq, yo] a [x, y], cp G [0,27r) je úhel, který svírá spojnice těchto bodů s kladným směrem osy x. Pokud je hodnota limity závislá na hodnotě úhlu cp, tak limita funkce neexistuje. O podmínkách pravdivosti opačného směru vypovídá následující věta. Věta 43. Je-li L G IR a existuje-li nezáporná funkce g taková, ze lim g(p) = 0 a \f (x0+p cos cp,y0 +psin cp)-L\ < g(p) p—>o+ pro každé p z nějakého pravého ryzího okolí bodu 0 a každé cp G [0, In), pak platí lim f(x,y) = L. (x,y)^(x0,y0) Poznámka 44. Uvažujme dvojnou limitu lim f(x,y) = L. (x,y)^(x0,y0) a dvojnásobné limity lim ( lim f(x,y) ) = Lxy a lim ( lim f(x,y) ) = Lyx. x^x0 \y^y0J JJ) y y^y0 \x^x0J J>) y Potom • Z rovnosti postupných limit Lxy a Lyx neplyne existence dvojné limity L dané funkce v bodě (x0,yo)- • Existuje-li limita L (i nevlastní), nemusí existovat ani limita Lxy ani Lyx. Ovšem pokud existuje L a také některá z limit Lxy nebo Lyx, musí se nutně obě rovnat. • Existují-li všechny tři limity, pak nutně L = Lxy = Lyx. (c) Petr Hasil & Petr Zemánek 50 III. Diferenciální počet funkcí více proměnných • Určovat limitu L funkce v bodě postupnými limitami Lxy, Lyx má smysl jen tehdy, je-li předem známa existence L. To je vždy možné, je-li to funkce spojitá v okolí vyšetřovaného bodu. Existují-li Lxy a Lyx, avšak Lxy ^ Lyx, pak neexistuje limita L (tj. rovnost postupných limit je nutnou podmínkou existence dvojné limity). Poznámka 45. Limitu funkce tří proměnných v bodě [xq, \)q, Zq] lze vypočítat pomocí substituce do sférických souřadnic, tj. x = Xq + p cos cp sin ů, y = yo + p sin (p sin ů, z = Zq + cos ů, kde p > 0 je vzdálenost bodů [xo,yo/zo] a [x,y,z] (tzv. sférický poloměr), (p G [0, n) je úhel, který svírá průmět průvodiče (spojnice bodů) do podstavné roviny xy s kladným směrem osy x (tzv. azimutální úhel), a ů je úhel, který svírá průvodič s kladným směrem osy z (tzv. sférický úhel). Pokud je hodnota limity závislá na hodnotě úhlu cp nebo ů, tak limita funkce neexistuje. O podmínkách pravdivosti opačného směru vypovídá následující věta. Věta 46. Je-li L G IR a existuje-li nezáporná funkce g taková, ze lim g(p) = 0 a \f(xo + p cos (p sinů, y q + p sin (p sinů, zq + cosů) — L\ < g(p) p—>o+ pro každé p z nějakého pravého ryzího okolí bodu 0 a každé (p G [0, In), ů G [0, re], pak platí lim f(x,y) = L. Věta 47 (O limitě funkce sevřené dvěma funkcemi). Nechť existují funkce h(X) a g(X) takové, že h(X) < f(X) < g(X) v nějakém ryzím okolí bodu X G IR", a platí Potom platí lim h(X) = lim g(X) = L. lim f(X) = L. x^x0J Věta 48 (O limitě složeného zobrazení I). Nechť existuje složené zobrazení f o g, nechť platí limx->x0 g(X) = B a zobrazení f je v bodě B spojité. Potom platí lim f(g(X))=f(B). Věta 49 (O limitě složeného zobrazení II). Nechť funkce g je definována v ryzím okolí bodu Xq, limx->x0 g(X) = B a g(X) ^ B pro X G 0*(Xq). Je-li funkce f definována v ryzím okolí bodu B a limx->B f(X) = C, pak platí JimJ(g(X)) = C. x->x( o Definice 50. Řekneme, že funkce / je spojitá v bodě [xq, y q], jestliže má v tomto bodě vlastní limitu a platí , ,lim J(x,y) = f(x0/y0). (8) Funkce f{x,y) se nazývá spojitá na množině M c IR2, jestliže identita (8) platí pro každý bod [xo,yo] £ M. (5) Petr Hasil & Petr Zemánek III. 2. Limity funkcí více proměnných 51 Příklad. Určeme limitu x3 ~\~ y3 lim -=—^r. (x,yH(0,0) x2 + y2 Řešení. Po dosazení zjistíme, že jde o typ jj. (Pozor, pro více než jednu proměnnou nemáme k dispozici 1'Hospitalovo pravidlo.) Transformací do polárních souřadnic, kde [*0/J/o] = [0,0], ji ale snadno vypočítáme. Um %3 + y3 = lim (pcos cp)3 + (psiny)3 (*,y)->(o,o) x2 + y2 p^o (p cos (p)2 + (p sin cp)2 p3(cos3^ + sin3^) 3 . 3 = lim !—---1-= lim p (cos

0 p2(cos2

0 Ve výpočtu jsme využili faktu, že sinus i kosinus jsou ohraničené funkce. Protože je výsledek nezávislý na cp, limita existuje. Příklad. Dokažme, že limita lim J (x,2/H(o,o) x4 + y2 neexistuje. Řešení. Nejprve se budeme k limitnímu bodu přibližovat po přímkách y = kx. Tedy x2y kx3 kx lim —:—= lim---tt- = lim —=--~ = 0. (x,y)->(0,0) x4 + yz x^O xz(xz + k1) x^O x1 + kz Tento výsledek je platný pro každé k, tedy pro přibližování se po libovolné přímce, ovšem nezaručuje existenci limity. Jako další otestujme přibližování po parabolách y = kx2. x2y kxA k lim —.—= lim — (*,y)->(o,o) x4 + y2 x^ox4(l + k2) 1 + k2' Tento výsledek závisí na k a tedy se mění v závislosti na tom, po které parabole se přibližujeme. Proto limita neexistuje. (182) Vypočtěte následující limitu i- x + y lim — (x,j/H(-4,l) X2 (183) Vypočtěte následující limitu lim X2 + V2 (*,y)->(0,0) v/x2 + y2 + 1 - 1' [2] © Petr Hasil & Petr Zemánek 52 III. Diferenciální počet funkcí více proměnných (184) Vypočtěte následující limitu lim x + y (*,y)-Ki,i) ^/x2 + y2' (185) Vypočtěte následující limitu lim ln x (A-,y)->(e2,l) !/ (186) Vypočtěte následující limitu lim (x-y)2-9 (x,y)^(-4,-l) X2 + y2 (187) Vypočtěte následující limitu lim xy cos — (x,2/H(o,o) xy1 (188) Ukažte, že následující limita neexistuje lim 2 2 * - yz 2 4-1/2- (*,y)->(o,o) xz + y (189) Ukažte, že následující limita neexistuje lim (190) Ukažte, že následující limita neexistuje lim x2 + y2 (z,y)-K0,0) [2] [0] [0] [neexistuje] [neexistuje] [neexistuje] (191) Ukažte, že následující limita neexistuje lim xy (x,2/H(o,o) x2 + y2' [neexistuje] © Petr Hasil & Petr Zemánek III. 2. Limity funkcí více proměnných 53 (192) Vypočtěte následující limitu, nebo ukažte, že neexistuje 3 x lim -. (x,2/H(o,o) x3 + y [neexistuje] (193) Vypočtěte následující limitu, nebo ukažte, že neexistuje 2xy lim (.v,i/H(o,o) x2 + y2' (194) Vypočtěte následující limitu, nebo ukažte, že neexistuje lim x3 + y3 (z,y)->(0,0) x2 + y2' (195) Vypočtěte následující limitu lim e*y-i (x,i/H(0,2) x (196) Vypočtěte následující limitu lim srn xy (*,!/)-> (0,0) x (197) Vypočtěte následující limitu sin xy lim --. (x,i/H(0,2) X (198) Vypočtěte následující limitu (x,3/H(i,i) l-x2y2' lim [neexistuje] [0] [2] [0] [2] H] (199) Vypočtěte následující limitu ( 1 \ x+v lim 1 + - (.y,i/H(oo,1) V *, [e] © Petr Hasil & Petr Zemánek 54 III. Diferenciální počet funkcí více proměnných (200) Vypočtěte následující limitu lim ( x2 + y2 (x,i/H(0,0) v 2 2 (201) Vypočtěte následující limitu 2 2 lim x y (*,y)->(2,2) x2 — 3y + 3x — xy (202) Vypočtěte následující limitu lim (x+y)2~\ (x,yH(-i,-i) x + y + 2 (203) Vypočtěte následující limitu v/x2 + y2 + l-l lim (x,yH(o,o) x2 + y2 (204) Vypočtěte následující limitu Jx2 + y2 - 2x + 2 - 1 lim =-. (*,y)->(i,o) ^/x2 + y2 - 2x + 2 - 1 (205) Vypočtěte následující limitu Hm x2+y(y-^2 [i] li] -4] B] (x,yH(o,i) x2 + (y-l) (206) Pomocí transformace do sférických souřadnic rozhodněte o existenci limity x2 lim [1] (x,y,z)->(0,0,0) x2 + y2 + z2' [neexistuje] © Petr Hasil & Petr Zemánek III. 2. Limity funkcí více proměnných 55 (207) Vypočtěte následující limitu Hm tgy/(x-4)2-y2 (x,2/H(4,o) xV(x-4)2-y2' (208) Vypočtěte následující limitu x2 + y2 (x,j/H(oo,-oo) X4 + y (209) Vypočtěte následující limitu 3(x2 + y2} lim (*,y)->(o,o) v/x2 + y2 + 4-2' (210) Vypočtěte následující limitu lim (x2 + y2)e-^ (x,y) —>(oo,oo) (211) Vypočtěte následující limitu lim ' %y >(oo,oo) \x2 + y2 (212) Spočtěte dvojnásobné limity (x2 +v2 \ / x2 + y2 \ lim-7T— , b) lim lim n / . y->0 2X2 / y->0 \x->0 2x2 / Existuje limita dvojná? [é] [0] [121 [0] [0] [fl) ^, b) oo, dvojná limita neexistuje] (213) Vypočtěte obě dvojnásobné a dvojnou limitu v bodě [0,0] pro funkci 2 2 r< \ x y f(x,y) - x2y2 + (x-y)2' limx^0 (lim./^o f(*,y)) = O'- limy->o (lim*->o/(*/y)) = 0; k™-(x,y)^(o,o) f(x>y) neexistuje © Petr Hasil & Petr Zemánek 56 III. Diferenciální počet funkcí více proměnných (214) Vypočtěte obě dvojnásobné a dvojnou limitu v bodě [0,0] pro funkci x-y f(x,y) x + y lim^o (limy^0f(x,y)) = 1; lim^o (lim^o f(x,y)) = -1; lim(a.ry)_>(0/0) /(x,y) neexistuje (215) Vypočtěte obě dvojnásobné a dvojnou limitu v bodě [0,0] pro funkci 1 1 f(x,y) = (x + y) sin-sin-. x y limx^o (limy_>0/(*,y)) & limy_>0 (linwo/(*/]/)) neexistují; lim(X/1/)^(0/0)/(x,y) = 0 (216) Určete body nespojitosti funkce f(x,y) (217) Určete body nespojitosti funkce f(x,y) = x + y x3 + y3' lx = -y] i srn x srn y [x = kn, y = kn, k G Z] (218) Určete body nespojitosti funkce f{x,y) = ln l-x2-y2 [x2 + y2 = l] (219) Určete body nespojitosti funkce f(x,y) ev -1 [x = 0, y = 0} (220) Určete body nespojitosti funkce f(x,y) = -=— 7 v x2-3y (221) Rozhodněte, zda je funkce f(x,y) spojitá v bodě [0,0], kde y = t 21(2 ^4^4/ [x,y] ŕ [0,0], 0, [x,y] = [0,0]. není (5) Petr Hasil & Petr Zemánek III. 3. Derivování funkcí více proměnných 57 (222) Rozhodněte, zda je funkce f(x,y) spojitá v bodě [0,0], kde f{x,y) x2+y2' o, [x,y] ^ [0,0], [x, y] = [0,0]. ano III. 3. Derivování funkcí více proměnných Definice 51. Nechť funkce / : IR2 —> IR je definována v bodě [xq, yo] a nějakém jeho okolí. Položme q>(x) = f(x,yo). Má-li funkce q> derivaci v bodě xq, nazýváme tuto derivaci parciální derivací funkce / podle proměnné x v bodě [xo,yo] a označujeme /x(*o,yo), příp. g|(*o,yo), fx(xo,yo)- Tuto definici lze zapsat jako fx(x0,y0) lim X—>Xq cp(x)-cp(x0) lim X—>Xq f(x,y0)-f(x0,y0) x — Xq x->x0 x — Xq Analogicky, má-li funkce tp(y) = f(xQ,y) derivaci v bodě yo, nazýváme tuto derivaci parciální derivací funkce / podle proměnné y v bodě [xo,yo] a označujeme fy(xo,yo), příp. %(x0,yo),fý'(xo,yo). Definice 52. Nechť [xo,yo] G D(JX). Existuje-li parciální derivace funkce fx(x,y) podle proměnné x v bodě [xq, yo] nazýváme tuto derivaci parciální derivací 2. řádu funkce / podle proměnné x v bodě [xo,yo] a značíme /xx(*o,yo) nebo ^Js(xo,yo). Existuje-li parciální derivace funkce fx(x,y) podle proměnné y v době [xq, yo] nazýváme tuto derivaci smíšenou parciální derivací 2. řádu funkce / v bodě [xq, yo] a značíme fxy{xo, yo) nebož4(*o,yo) Věta 53 (Schwarzova). Nechť funkce f má spojité parciální derivace fXy a fyx v bodě [xo,yo]-Pak jsou tyto derivace záměnné, tj. platí fxy(x0,y0) — fyx(x0,y0). (9) Definice 54. Nechť / je funkce n proměnných, x buď vnitřním bodem D(f) a u £ VM. Položme cp{t) = f{x + tu). Má-li funkce cp derivaci v bodě 0, nazýváme ji směrovou derivací funkce / v bodě x (derivací funkce / ve směru vektoru u) a označujeme fu (x). To znamená, že fu(x) lim ř^0 cp{t)-cp{Q) t lim ř^0 f(x + tu)-f(x) t Poznámka 55. Směrovou derivaci je možné spočítat i pomocí parciálních derivací prvního řádu. Gradient funkce f sn proměnnými v bodě x* je definován vztahem 9/ grad/(x* 9X7 (c) Petr Hasil & Petr Zemánek 58 III. Diferenciální počet funkcí více proměnných Potom pro derivaci ve směru vektoru u platí fu(x*) = (grad/(x*), u), kde (•, •) je standardní skalární součin. Definice 56. Rovina v IR3 o rovnici ř: z = f(x0,y0) +fx(x0,y0) (x-x0) + fy(x0,y0) (y-y0) se nazývá tečná rovina ke grafu funkce z = f(x,y) v bodě T = [xo,yo,f(xo,yo)]. Poznámka 57. Pokud je fx{xo,yo) / Oa fy{xo,yo) ^ 0 lze normálu ke grafu funkce z = f(x,y) v bodě T = [xo,yo,f(xo,yo)] určit vztahem tí \ x-xq y-yo fx(x0,yo) fy(x0,yo) Pokud je fx(xo,yo) = 0 nebo/J/(xo,i/o) = 0 je nutné normálu vyjádřit parametricky x = x0+ fx(x0,y0)t, n: < y = y0 + fy(x0,y0)t, k z = z0 -1. Věta 58. Nechť funkce u{x,y) a v{x,y) mají parciální derivace prvního řádu v bode [xo/J/o]-Označme uq = u(xQ,yo) a vq = v{xQ,yo). Je-li funkce z = f{u,v) diferencovatelná v bode [xQ,yo\, pak složená funkce z = F(x,y) = f {u{x,y),v{x,y)) má parciální derivace prvního řádu v bodě [xQ,yo\ a platí ^(*o,yo) = ^(wo^o)^(*o,yo) + ^(«0/^0)^(^0/yo)/ ^(^o/yo) = ^(w0/^o)^(xo/yo) + ^(u0/^o)^(^o/yo)- Zkráceně lze zapsat jako Z% = ZUUX + ZVVX, Zy = ZuUy + ZvVy nebo také dz dz du dz dv dz dz du dz dv dx dudx dvdx' dy dudy dvdy' Příklad. Pomocí parciálních derivací snadno určíme rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x,y) = x3+y4-2xy v bodě [1,2,?]. Řešení. Nejprve je třeba si uvědomit, že graf funkce n proměnných je n + 1 rozměrný objekt, protože funkce každé n-tici z definičního oboru přiřazuje funkční hodnotu. Otazník v souřadnicích tečného bodu je tedy funkční hodnota dané funkce pro [x, y] = [1,2]. Tedy f (1,2) = l3 + 24-4 = 13. Tečný bod má proto souřadnice [1,2,13]. Pro dosazení do vzorce pro tečnou rovinu potřebujeme ještě znát rychlosti růstu zadané funkce ve směru souřadných os x a y v tečném (5) Petr Hasil & Petr Zemánek III. 3. Derivování funkcí více proměnných 59 bodě, tedy hodnoty příslušných parciálních derivací. Připomeňme, že derivujeme-li podle jedné proměnné, ke všem ostatním se chováme jako ke konstantám (omezujeme se na řezy ve směru daném derivovanou proměnnou a každý takový řez je dán konstantní hodnotou ostatních proměnných). Tedy fx = 3x2 + 0 - 2y = 3x2 - 2y, fy = 0 + 4y3 -2x = 4y3 - 2x. Pro [x,y] = [1,2] získáme ihned hodnoty /I(l/2) = -l/ fy(l,2) =30. Tím máme všechny informace nutné k použití vzorce pro tečnou rovinu: t: z = 13-l(x-l)+30(y-2). Po úpravě získáme rovnici tečné roviny ve tvaru t : z = -x + 30y-46. Příklad. Vyzkoušejme výpočet směrové derivace funkce f{x,y) = xy\ny v bodě [1, e] ve směru vektoru u = (2, —1) podle definice a pomocí gradientu. Řešení. Podle definice nejprve z bodu a vektoru získáme x = 1 + 2t, y = e —ŕ, tedy q,(t) = (1 + 2ř)(e-ř)ln(e-ř) = (e-t + 2 e t - 2ŕ2) ln(e-ŕ). Hledaná derivace tedy je r n i- = 2ylny - x(l + lny). V bodě [1, e] opět obdržíme hodnotu fu(l,e) = 2e-2. (c) Petr Hasil & Petr Zemánek 60 III. Diferenciální počet funkcí více proměnných (223) Vypočtěte fx, fy, fxx, fxy, fyx, fyy, fxxy, fyxx a fxyx funkce f(x,y) = x5 + 12x3y-y7. fx = 5x4 + 36x2y; fy = 12x3 - 7y6; f XX 72x 20x3 + 72xy; fxy — fyx — 3Sx2] fyxx — fxxy — fxyx (224) Vypočtěte parciální derivace prvního řádu pro funkci f{x,y,z) =ex2^-y-3zK fx = 2x(l-y-3z) ex2^-y-3z^; fy = ex2(i-y-3z). ^ = _3%2 ex2(i-y-3z) (225) Vypočtěte parciální derivace prvního řádu pro funkci f{x,y) = sinxy x. [fx = y sinxy x(lnsin x + xcotgx); fy = x sinxy x ln sin x] (226) Vypočtěte parciální derivace prvního řádu pro funkci f(x,y,z) = xyz sin(xy) cos z. fx = yz cos z(sin(xy) + xycos(xy)); fy = xzcosz(sin(xy) + xycos(xy)); fz = xy sin(xy) (cos z — z sin z) (227) Vypočtěte parciální derivace prvního řádu pro funkci f(x,y) = sm-cos-. y x fx = icos|cosf + Jsinf sinf; fy ~pcosl cosi" ísinf sini (228) Vypočtěte parciální derivace prvního řádu pro funkci f(x,y) = x3 + 2x2y + 3xy2 + 4x-5y + 100. [fx = 3x2 + 4xy + 3y2 + 4; fy = 2x2 + 6xy - 5] (229) Vypočtěte parciální derivace prvního řádu pro funkci f(x,y) = xsin(x + 2y). [fx = sin(x + 2y) + xcos(x + 2y); fy = 2xcos(x + 2y)] (230) Vypočtěte parciální derivace prvního řádu pro funkci f(x,y)=e~y. fx = ~U l;f V- y2 e y (5) Petr Hasil & Petr Zemánek III. 3. Derivování funkcí více proměnných 61 (231) Vypočtěte parciální derivace prvního řádu pro funkci /(x,y) = arctg^. fx = '> fy (232) Vypočtěte parciální derivace prvního řádu v bodě [3,2] pro funkci f(xry) = A/2x3-3y3. >x(3,2) = ^V30; /y(3,2) = -§>/3o" (233) Vypočtěte parciální derivace prvního řádu v bodě [2,5] pro funkci f(x,y) = y2 + yVl + x2. fx(2,5)=2V5; /y(2,5) = 10 + ^ (234) Vypočtěte parciální derivace prvního řádu pro funkci f(X/y) = %y. [fx = yXy-\fy = xy\nx] (235) Vypočtěte parciální derivace prvního řádu pro funkci f(x,y) = yyX- 'fx = yyX+x\n2y; fy = yf+-\x\ny + 1) (236) Vypočtěte parciální derivace prvního řádu pro funkci f{x,y,z) = xV\ fx = yzxyZ~l\ fy = zyz~lxyZ ln x\ fz = x3/Zyzlnxlny (237) Vypočtěte parciální derivace prvního řádu pro funkci f{x,y,z) = (3x + 2zyz. [fx = 3yz(3x + 2zyp-\ fy = z(3x + 2z)Vz ln(3x + 2z); fz = y(3x + 2z)Vz (ln(3x + 2z) + 3^)] (238) Vypočtěte gradient funkce f(x,y,z) = x2y + xz + y3z. 2xy + z grad / = j x2 + 3y2z x + y3 (c) Petr Hasil & Petr Zemánek 62 III. Diferenciální počet funkcí více proměnných (239) Vypočtěte gradient funkce f(x,y) = Jx2 + y3. grad/ VxZ+y _3y 2^Jx2+y (240) Vypočtěte parciální derivace prvního a druhého řádu pro funkci f(x>y) = ^i- fx = y\] fy = ~~ ~f') /xX = O", /Xy = /yx = — ^\ fyy = |f (241) Vypočtěte parciální derivace prvního a druhého řádu pro funkci f{x,y) = ln(x + y2). fx — x+v2' fy ~ x+v2' f IR definovaná v okolí bodu [xo/J/o] je v tomto bodě diferencovatelná, jestliže existují reálná čísla A, B taková, že platí lim f(xo + h,y0+ k) -f(x0,y0) - (Ah + Bk) = Q (h,k)^(0,0) y/h2 + k2 Lineární funkce Ah + Bk proměnných h a k se nazývá diferenciál funkce v bodě [xo/J/o] a značí se df(x0,y0) (h,k),pnp. df(x0,y0). Věta 60. Je-li funkce f diferencovatelná v bodě [xo,yo], pak má v tomto bodě parciální derivaci a platí A = fx(xo,yo), B = fy(xo,yo), tj. df(x0,y0) = fx(x0,yo)h + fy(x0,y0)k. Poznámka 61. Diferenciál funkce lze použít k přibližnému výpočtu funkčních hodnot. Platí f{x,y) ^ f(x0,y0) +fx(x0,y0) (x - x0) + fy(x0,y0) {y-yo)- Věta 62 (Taylorova). Nechť funkce /:R2-)Rf)iiz) bodě [xo/J/o] a nějakém jeho okolí spojité parciální derivace až do řádu n + 1 včetně. Pak pro každý bod [x, y] z tohoto okolí platí f(x,y) = Tn(x,y) + Rn(x,y), přičemž T„(x,y) = = f{xo,yo) + g^(X0/1/o) (X-X0) + -^(xO,yo) (í/~ í/o) + + - + ht (■) ä^/(^yo) (* - x0r-J(y - yoy, Rn(x,y) = n+l = (^tt)tI1(v j ) dXn+i-jd}/j (x° + ů(x ~ X°^y° + % - y°)) (x - x°)n+1~](y - yú]> kdeůe (0,1). (c) Petr Hasil & Petr Zemánek 66 III. Diferenciální počet funkcí více proměnných Příklad. Odhadněme pomocí diferenciálu hodnotu log2 l,96)2 + 4,02 pokud víme, že ln 2 = 0,693. Řešení. Pro odhad použijeme funkci f(x,y) = log2 (x2 + y) v bodě [xo,yo] = [2,4]. Její parciální derivace jsou 2x 1 fA^y) = / 2 , „m -/ /j/(^y) (x2 + y)ln2' (x2 + y)ln2' tedy /x(2,4) = -i-, /y(2/4) 1 21n2' Jyy ' ' 81n2 Diferenciál je d/(2,4) = fx (2,4) (1,96 - 2) + fy (2,4) (4,02 - 4) = ^ + = -0,025. Tím získáme odhad log2 [(1,96)2 + 4,02J « log2(22 + 4) - 0,025 = log2 23 - 0,025 = 3 - 0,025 = 2,975. Poznamenejme, že přesná hodnota je 2,974822961... Příklad. Nyní odhadněme pomocí Taylorova polynomu druhého řádu v bodě [1,1] hodnotu funkce f{x,y) =ln (x2 + y2 + l) v bodě [1,1; 1,2]. Řešení. Poznamenejme, že bod [1,1] byl zvolen proto, že jde o nejbližší bod k bodu [1,1; 1,2], ve kterém lze funkci / snadno spočítat, nebo (jako v našem případě) jde o typickou tabulkovou hodnotu. Nejprve potřebujeme parciální derivace prvního a druhého řádu f - 2x f - 2v Jx — „,2 ,,.2,i' Jy x2 + y2 + l' Jy x2 + y2 + l' _ 2(-x2 + y2 + l) -4xy _ 2(x2-y2 + l) Jxx~ i 2 , 2 , i\2 ' jxy ~ Jyx ~ ( 2 , 2 , i\2' Jyy ~ , 2 , 2 , i\2 (x2 + y2 + l) (x2 + y2 + l) (x2 + y2 + l) a jejich hodnoty v bodě [1,1] 2 2 2 4 2 /x = 2' /y = = ^' fxy = fy* = ~g> fyy = Nyní stačí dosadit do vzorce: T2 =/(!,!)+(/x(l,l) fy(lA))-r_\) + 1 f„ 1 A (fzx(lA) fXy(hl)\ (x-l + ^'[X 1 V ^ \fyAhl) fyy(l,l)J \y~\ = -(x2 + y2-4xy + 8x + 8y-14) + ln3. V bodě [1,1; 1,2] je hodnota přibližně 1,295. Dodejme, že přesná hodnota činí 1,2947... (5) Petr Hasil & Petr Zemánek III. 4. Diferenciál a Taylorova věta 67 (266) Určete diferenciál funkce f(x,y) arcsm V*2 + y2 v bodě [1,^]. (267) Pomocí diferenciálu funkce přibližně vypočtěte 1,02 arctg 0,95' (268) Pomocí diferenciálu funkce přibližně vypočtěte V2,08-l,99. (269) Pomocí diferenciálu funkce přibližně vypočtěte 3,01 ln 2,9 (270) Pomocí diferenciálu funkce přibližně vypočtěte 1,02)3 + (1,97)3. (271) Pomocí diferenciálu funkce přibližně vypočtěte 1,042'02. (272) Pomocí diferenciálu funkce přibližně vypočtěte O0,053-0,02 d/(*0/2/o) = ^áx-\áy [f+ 0,035] [2,035] [300] [2,95] [1,08] [0,98] (273) Napište Taylorův polynom třetího stupně se středem v počátku pro funkci f(x,y) = exsiny. 1 1 x v v © Petr Hasil & Petr Zemánek 68 III. Diferenciální počet funkcí více proměnných (274) Napište Taylorův polynom třetího stupně se středem v počátku pro funkci f{x,y) = exln(l+y). (275) Napište Taylorův polynom třetího stupně se středem v bodě [1,1] pro funkci f(x,y) = xy. [l + (x-l) + (x-l)(y-l) + i(x-l)2(y-l)] (276) Napište Taylorův polynom druhého stupně se středem v bodě [—2, —3] pro funkci /(x,y)=ln(^. [mI + 3 + x + §y + ±x2 + ^y2] (277) Pomocí Taylorova polynomu druhého stupně vypočtěte přibližně cos 44° cos 31° [0,8392012] (278) Pomocí Taylorova polynomu druhého stupně pro funkci tří proměnných vypočtěte přibližně r, , . 1,1+0,1+0,01 /(x'y'z) = arctg 1,1-0,1 + 0,01- [0,9733981635] III. 5. Lokální a globální extrémy funkcí více proměnných Definice 63. Řekneme, že funkce / : IR" —> IR nabývá v bodě x* G IR" lokálního maxima (minima) funkce /, jestliže existuje okolí 0(x*) bodu x* takové, že pro každé x G 0(x*) platí f(x)f(x*)). Definice 64. Nechť / : IR" —> IR. Řekneme, že bod x* G IR" je stacionární bod funkce f, jestliže v bodě x* existují všechny parciální derivace funkce / a platí |£(x*)=0, i = \,...,n. Věta 65. Nechť funkce f : 1RM —> IR má v bodě x* lokální extrém a nechť v tomto bodě existují všechny parciální derivace prvního řádu funkce f. Pak je bod x* stacionárním bodem funkce f. Poznámka 66. Je zřejmé, že funkce / : 1RM —> IR může mít lokální extrém pouze ve stacionárním bodě nebo v bodě, kde alespoň jedna parciální derivace prvního řádu neexistuje. (5) Petr Hasil & Petr Zemánek III. 5. Lokální a globální extrémy funkcí více proměnných 69 Věta 67. Nechť funkce f : IR2 —> IR má v bodě [xo/J/o] a nějakém jeho okolí spojité parciální derivace druhého řádu a nechť [xq, \)q\ je její stacionární bod. Jestliže D(x0,y0) := fxx(x0,yo)fyy(x0,y0) - [fxy(x0,y0)] > 0, pak má funkce f v bodě [xo/J/o] ostrý lokální extrém. Je-li fxx > 0, jde o minimum, je-li fxx < 0, jde o maximum. Jestliže D(xQ,yo) < 0/ Pak v b°dě [^O/J/o] lokální extrém nenastává. Definice 68. Nechť existují všechny parciální derivace funkce / : IR" —> IR, potom se čtvercová matice ve tvaru / #1 dx2^Xi 32/ dx\dx2 li . 32/ dxidxn 32/ 9X2 čten \ \dxndxi dxndx2 . éi dx„ 1 nazývá Hessova matice (pokud má funkce / v bodě x G 1RM spojité smíšené parciální derivace v bodě x, plyne ze Schwarzovy věty, že je Hessova matice v tomto bodě symetrická). Poznámka 69. Je-li Hessova matice v bodě x* pozitivně (negativně) definitní, má funkce / v bodě x* ostré lokální minimum (maximum). Kvadratická forma určená symetrickou maticí je pozitivně definitní právě tehdy, když jsou všechna vlastní čísla kladná (nebo všechny hlavní minory jsou kladné). Kvadratická forma určena symetrickou maticí je negativně definitní právě tehdy, když všechna vlastní čísla jsou záporná (nebo všechny hlavní minory střídají znaménka počínaje záporným). Definice 70. Nechť /:IÄ^]R,MC Řekneme, že bod x* G M je bodem absolutního maxima (minima) funkce / na M, jestliže f(x) < f(x*) (f(x) > f(x*)) pro každé x G M. Věta 71. Nechť M C IR" je kompaktní množina (tj. uzavřená a ohraničená) a funkce f : M —> IR je spojitá na M. Pak funkce f nabývá svých absolutních extrémů buď v bodech lokálního extrému ležících uvnitř množiny M nebo v některém hraničním bodě. Příklad. Najděte globální extrémy funkce f(x,y) = (2x2 + 3y2)e-x2-y2 na množině M = {[x,y] G IR2 : x2 + y2 < 4}. Řešení. Globální extrém může být ve stacionárním bodě nebo na hranici množiny. Nejprve proto najdeme všechny stacionární body uvnitř množiny M. K tomu musíme vyřešit soustavu dvou rovnic o dvou neznámých fx(x,y) = 0, fy(x,y)=0, tedy -2x e-%2-y2 (2x2 + 3y2 - 2) = 0, -2y e^-ŕ (2x2 + 3y2 - 3) = 0. Protože exponenciální funkce je vždy kladná, jsou pouze čtyři možnosti: (i) x = 0, y = 0, odkud dostáváme stacionární bod [0,0]; © Petr Hasil & Petr Zemánek 70 III. Diferenciální počet funkcí více proměnných (ii) x = 0, 2x2 + 3y2 - 2 = 0, protože první rovnici x = 0 můžeme dosadit do druhé rovnice, ihned dostáváme stacionární body [0,-1] a [0,1]; (iii) 2x2 + 3y2 - 3 = 0, y = 0, podobně jako v předchozím případě dostáváme stacionární body [—1,0] a [1,0]; (iv) 2x2 + 3y2 - 3 = 0, 2x2 + 3y2 - 2 = 0, odečtením rovnic obdržíme spor ve tvaru 1 = 0, takže v tomto případě žádný nový stacionární bod nedostaneme. Protože všech pět získaných bodů patří do množiny M, přidáme si je všechny na seznam kandidátů na hledané globální extrémy. Nyní otestujeme funkci na hranici množiny M. Nejprve na horní půlkružnici. Dosadíme y = v4 — x2 a najdeme stacionární body výsledné funkce jedné proměnné g(x) = f(x, V4 — x2) = (12 — x2) e~4 pro x G [—2,2]. Položíme její derivaci rovnu nule g'(x) = -2xe~4 = 0 ^ x = 0, čímž obdržíme bod [0, v4 — O2] = [0,2]. Samozřejmě nesmíme zapomenout přidat na náš seznam hraniční body, zde x = ±2, tedy [—2,0] a [2,0]. Podobně otestujeme funkci na dolní půlkružnici. Dosazením y = —V4 — x2 a zopakováním předchozího postupu získáme na seznam další bod [0, —2] (hraniční body už na seznamu máme). Poznamenejme, že v tomto speciálním případě jsme si mohli zjednodušit práci přímo dosazením y2 = 4 — x2 do funkce /, protože proměnná y se ve objevuje pouze v sudých mocninách. Ani v tomto případě ovšem nesmíme zapomenout přidat na 'seznam kandidátů' body [—2,0] a [2,0]. Ve všech bodech našeho seznamu nyní spočítáme funkční hodnoty a zjistíme, kde nastává globální maximum (zde v bodech [0,1] a [0, —1] s hodnotou |) a kde globální minimum (zde v bodě [0,0] s hodnotou 0). Příklad. Zkusme rozhodnout, ve kterých stacionárních bodech funkce f(x,y) = (2x2 + 3y2)e-x2-y2 z předchozího příkladu jsou lokální extrémy. Řešení. Připomeňme, že jde obody [—1,0], [1,0], [0,-1], [0,1] a [0,0]. K rozhodnutí budeme potřebovat Hessovu matici funkce /: Hf(x,y) = f2 e-x2-y2 (4x4 - 6x2y2 - 10x2 - 3y2 + 2) 4xy e^2^2 (2x2 + 3y2 - 5) 4xy e-%2-y2 (2x2 + 3y2 - 5) 2 e^2^2 (4x2y2 + 6y4 - 2x2 - 15y2 + 3) Tedy H/(-l,0) = H/(l,0)= ( Qe lj, H/(0/-l) = H/(0/l] Hf (0,0) (5) Petr Hasil & Petr Zemánek III. 5. Lokální a globální extrémy funkcí více proměnných 71 Nyní určíme definitnost těchto matic. Protože v bodě [0,0] je Hessova matice pozitivně definitní, je zde lokální minimum. V bodech [0,1] a [0, —1] je matice negativně definitní, tedy se v nich nachází lokální maximum. V bodech [—1,0] a [1,0] extrémy nejsou, protože je tam matice indefinitní. Tento výsledek přesně koresponduje s výsledky předchozího příkladu, protože funkce měla globální extrémy v bodech extrémů lokálních a nikoli na hranici množiny (279) V bodě [e, 2] určete Hessovu matici funkce f(x,y) = %y. (280) Určete lokální extrémy funkce f(x,y) = x2 + y2-xy-2x + y. (281) Určete lokální extrémy funkce f{x,y) = xy{A-x-y). (282) Určete lokální extrémy funkce f(x,y)=ex+y(x2 + y2) (283) Určete lokální extrémy funkce f(x,y) = 4x-y + 1 1 x y \_fmin (2' -O 2 3e 3e e2 l/min (1, 0) =-1] [fmax (3/ 3) — 27] [fmln(0,0) =0] 6; fmax (—5/1) = -6] (284) Určete lokální extrémy funkce f{x,y) = \nxy-Ax-9y. [fmax (\,\) =-2-ln 36] (285) Určete lokální extrémy funkce y2 z2 2 f{x,y,z) = x + ^ + — + -> x,y,z>0. [fmin (2'^'^) — 4] © Petr Hasil & Petr Zemánek 72 III. Diferenciální počet funkcí více proměnných (286) Určete lokální extrémy funkce f{x,y,z) = x3 + y2 + z2 + Ylxy + 2z. [fmm (24,-144,-1) = -6913] (287) Určete lokální extrémy funkce f(x,y,z) = xyz(4a — x — y — z), a, x, y, z > 0. [fmax {a, a, a) = a4] (288) Určete nej větší a nej menší hodnotu funkce f(x, y) = x2 + 2xy + 2y2 — 3x — 5y na množině M, kterou je trojúhelník vymezený body A = [0,2], B = [3,0], C = [o,-i]. \_fgl.min (2'^) 4~> fgl.maxi®' 1) ^] (289) Určete nej větší a nej menší hodnotu funkce f(x,y) = x2 + y2-xy-2 na množině M := {[x,y] G K2 : x2 + y2 < 1, y > \x\ — 1}. /gZ.min(0/0) = —2', fgl.max (_"T^'"^) = ~2 (290) Určete nej větší a nej menší hodnotu funkce f (x, y) = x2 - 3y2 - x + 18y + 4 na množině 0 < x < y < 4. [fgl.min(0,0) = 4; fglmax(4A) = 40] (291) Určete nej větší a nej menší hodnotu funkce f {x,y) = 9x2 - 36x + 16y2 - 64y na elipse 9x2 + 16y2 < 144. [fgl.min(2, 2) = —100; fgl.max = 384] (292) Určete nej větší a nej menší hodnotu funkce f (x, y) = -x2-y2 + 2y na kruhu x2 + y2 < 16. L/g/.min(0,-4) = -24; fgLmax(0,l) = 1] (293) Určete nej větší a nej menší hodnotu funkce f(x,y) = 4y na kruhu x2 + y2 < 1. [fgl.min(0,-l) = "4; fgl.max(0A) = 4] © Petr Hasil & Petr Zemánek III. 6. vázané extrémy 73 (294) Určete nej větší a nej menší hodnotu funkce f{x,y) = (x-y)2 + x2 na čtverci s vrcholy A = [2,0], B = [0,2], C = [-2,0], D = [0,-2]. [fgl.min(0,0) = 0; fgl.max(2,0) = 8; fgl.maxi—^O) = 8] III. 6. Vázané extrémy Definice 72. Nechť /je funkce n proměnných, M C D (f), x* G M. Existuje-li okolí O (x*) bodu x* takové, že pro všechna x G M n 0(x*) platí f (x) < f (x*) (f (x) > f (x*)) říkáme, že funkce / má v bodě x* lokálni maximum {minimum) vzhledem k množině M. Věta 73. Nechť funkce n proměnných f,gi, ..., gm, 1 < m < n, mají spojité parciální derivace prvního řádu v otevřené množině U C IRM a nechť v každém bodě množiny U má matice . 9£i \ dxn \ 3*i dx„ / hodnost m. Přičemž množina M je určena systémem rovností g\{x) = 0, ..., gm(x) = 0. Má-li funkce f v bodě x* G M lokálni extrém vzhledem k M, existují reálná čísla X\, ..., \m tak, že jsou splněny rovnosti ľľl !-(*•)-£A,§|(*.), 1 = 1.....„. 1 k=l 1 Poznámka 74. Funkce m L(x,A) = f(x)-\^\kgk(x) k=l se nazývá Lagrangeova funkce a konstanty Ai, ..., \m Lagrangeovy multiplikátory. Tímto jsme získali funkci n proměnných, do níž jsou vazebné podmínky již zabudovány Dále postupuje jako při vyšetřování lokálních extrémů s tím, že neznámým je nejen hledaný bod x* ale i Lagrangeovy multiplikátory Metodu Lagrangeových multiplikátorů lze použít i v případě, kdy množina M je zadána systémem nerovností. Poznámka 75. Neexistence extrému Lagrangeovy funkce L(x, A) v některém jejím stacionárním bodě neznamená, že i funkce / nemá v tomto bodě lokální extrém. Příklad. Pomocí Lagrangeových multiplikátorů najděme stacionární body funkce f{x,y,z) = xyz na množině M dané rovnicemi x2 + y2 + z2 = l,x + y + z = 0. Řešení. Nejprve sestrojíme Lagrangeovu funkci L(x,y,z, \\, A2) = xyz — \\{x2 + y2 + z2 — 1) — A2(x + y + z). © Petr Hasil & Petr Zemánek 74 III. Diferenciální počet funkcí více proměnných Stacionární body dostaneme jako řešení soustavy rovnic Lx = yz — 2xX\ — A2, Ly = xz — 2yX\ — A2, Lx = xy — 2z\\ — A2, (10) (11) (12) L\2 x2 + y2 + z2- 1, x + y + z. Z rovnic (10), (11) a (12) vyloučíme A2 jejich vzájemným odečtením. Po úpravě dostaneme soustavu (10) -(11) (11) -(12) (y-x)(z + 2X1 (z-y)(x + 2\1 0, 0, 1, x + y + z = 0. x2 + y2 + z2 (13) (14) První dvě rovnice jsou ve tvaru 'součin = 0', tj. jsou splněny, jestliže je v každé některá závorka nulová. Odtud dostaneme informace, které nám (po dosazení do (13) a (14)) dají stacionární body a příslušné multiplikátory: 11 2 ' \/6 \/6 \/6. 2 1 1 \/6 \/6 \/6. 1 2 1' \/6 \/6 \/6. Ai Ai Ai 1 2^ 1 2^ 1 2^ , A2 / A2 / A2 1 1 \/6 \/6 -s/ó. 2 1 1 . \/6 "s/6 "s/6. 12 1 \/6 -s/6 "s/6. Ai Ai Ai 1 2^ 1 2Vě 1 2^ / A2 / A2 / A2 Příklad. Najděme lokální extrémy funkce f{x,y,z) = 2 2 2 xa 1/ Zz --h — H-- 4 9 25 na množině M dané rovnicí x2 + y2 + z2 = 1. Řešení. Sestavíme Lagrangeovu funkci 2 2 2 L{x,y,z,X) = ^ + |- + |r + A(x2 + y2 + z2- r a derivujeme ji podle všech proměnných. Tyto parciální derivace položíme rovny nule a řešíme soustavu čtyř rovnic o čtyřech neznámých: x ( \ + 2A y\9 + 2A x2 + y2 + z2 0, 0, 0, 1. (5) Petr Hasil & Petr Zemánek III. 6. vázané extrémy 75 Vždy zvolíme A tak, aby jedna z prvních tří rovnic byla splněna (= 0), další dvě vyřeší položení příslušných proměnných = 0 a třetí proměnnou vypočítáme ze čtvrté rovnice. Dostaneme 6 stacionárních bodů [±1,0,0], [0, ±1,0], [0,0, ±1] a k nim příslušné hodnoty A (postupně — \, — j,, — . Zda v nich nastává extrém zjistíme z definitnosti formy dané ^ Lxx Lxy Lxz^ LyX Lyy LyX . \LzX LZy Lzz J Tj., pokud je výraz ^dx dy dz ÍU LyX \LZX Lxz •yy Ly* ^y ■1 fdx\ dy w kladný pro všechna (dx, dy, dz) 7^ (0,0,0), pak je pozitivně definitní, pokud záporný, pak je negativně definitní a pokud najdeme dva vektory takové, že je daný výraz pro jeden kladný a pro druhý záporný, pak je indefinitní, (dx, dy, dz) ovšem bereme jen z tečného prostoru množiny M, tedy takové, jež splňují podmínku 2xdx ± 2ydy ± 2zdz = 0. Dosazením bodu [1,0,0] do této podmínky dostaneme, že dx = 0. Vyšetřovaný výraz je tedy (pro tento bod A = — |) který je pro každé (dy, dz) 7^ (0,0) záporný. Vyšetřovaná forma je tedy negativně definitní a v bodě [1,0,0] je ostré lokální maximum. Podobně zjistíme, že maximum nastává i v bodě [—1,0,0] a minimum v bodech [0,0, ±1]. V bodech [0, ±1,0] extrém funkce nemá, protože je zde forma indefinitní. (295) Určete vázané extrémy funkce f(x,y) na množině x2 ± y2 = 9. 2x2 ± 4y2 [/maz(0,3) = 36; fmax(0,-3) = 36; /min(3,0) = 18; /min(-3,0) = 18] (296) Určete vázané extrémy funkce /(x,y) = v/3x-y±2 na množině x2 ± 2x ± y2 = 0. (297) Určete vázané extrémy funkce /(x,y) = x±y 1 1 na množině ± = 1. f ( _1 J max \ 2 ' 2 4 - y/3; f„ V3+2 1 2 ' 2 -V3 fmm (V2,V2) = 2V2; fmax (-V2,-V2) = -2y/2 © Petr Hasil & Petr Zemánek 76 III. Diferenciální počet funkcí více proměnných (298) Určete vázané extrémy funkce f(x,y) = 27(x + y-l) na množině 9(x2 + y2) = 2x2y2. \fmin (3,3) = 135; fmax (-3,-3) = -189] (299) Určete vázané extrémy funkce f{x,y) = ln(x2 + y2) na množině y = x + 3. L/mztt ^ 2' 2J ~ 2 J (300) Určete vázané extrémy funkce f{x,y) = ln(x + y) na množině xy = 1. (301) Určete vázané extrémy funkce f(x, y) = cos2 x + cos2 y na množině x — y = j. /min 8 Ť 2 ' 8 ^ 2 / — 1 ^ ,/? > /mflx \ 8 t K/l, 8 ^'C/V ~ 1 t [/min(l,l) =ln2] ^2 , jmai V 8 1 ,WL' 8 1 ,WV ~~ ^ 1 ^ (302) Určete vázané extrémy funkce f(x,y) = sin(y + 1) + cos x na množině y — x = — 1. /mi„ (f + (2fc + 1)71, f - 1 + (2fc + 1)tt) = -a/2; /mflX (f + 2/ctt, f - 1 + 2/ctt) = a/2 (303) Určete vázané extrémy funkce f(x,y,z) = x2 + y2 + z2 na množině x + y — 3z + 7 = 0& x — y + z — 3 = 0. [fmm (0,-1,2) = 5] (304) Do elipsoidu + + = 1 vepište hranol s maximální objemem a určete jej. (305) Na parabole y2 = 4x nalezněte bod, který je nejblíže přímce x — y + 4 = 0. [na parabole bod [1,2]; na přímce v bod [—\, \]] (306) Do rotačního kužele s délkou hrany l, která svírá se základnou úhel a, vepište kvádr s největším povrchem. tea > a/2 : a = b = *inOÍ , c = ^""^Žsinft; tea < a/2 : a = b = a/Ž/cosí*, c = 0 6 V2tga-1' 2tga-v/2 ' & — v v ' © Petr Hasil & Petr Zemánek III. 7. Implicitně zadané funkce 77 III. 7. Implicitně zadané funkce Definice 76. Nechť F je funkce dvou proměnných. Označme množinu M = {[x,y]eD(J): F(x,y) = 0} anechť F(xo,i/o) = 0- Jestliže existuje okolí U = {[x,y] G D (F) : \x — xq\ < ô, \y — yo\ < ó} bodu [xo/J/o] takové, že množina M n U je totožná s grafem funkce y = f (x), \x — Xq\ < ô, řekneme, že funkce / je v okolí bodu [xq, y q] definovaná implicitně rovnicí F [x, y) = 0. Věta 77 (O existenci implicitní funkce jedné proměnných). Nechť je funkce F spojitá na čtverci R = {[x,y] G D (F) : \x — xq\ < a, \y — t/q I < a] a nechť F(xQ,yo) = 0- Dále předpokládejme, že funkce F má spojitou parciální derivaci ^F(x,y) v bodě [xo/J/o] a P^z |^(xo/J/o) 7^ 0. Pak existuje okolí bodu [xq, yo], v němž je rovností F [x, y) = 0 implicitně definována právě jedna funkce y = f{x), která je spojitá. Věta 78. Nechť jsou splněny předpoklady předchozí věty a funkce F má na R spojité parciální derivace prvního řádu. Pak má funkce f, která je implicitně určena v okolí bodu [xo,yo] rovnicí F{x,y) = 0, derivaci v bodě Xq a platí /'(*>) = -TlT^y (15) Věta 79 (O existenci implicitní funkce více proměnných). Nechť funkce F : RM+1 —> IR, M = = {[x,y] = [xi, ..., xn,y] G 1RM+1, F(x,y) = 0}, [x*,y*\ G M a nechť F je spojitá na množině R = {[x,y] = [x\, ..., xn,y] : \x{ — x*\ < a, i = 1, ..., n, \y — y*| < a}. Dále předpokládejme, že F má spojitou parciální derivaci Fy v bodě [x*,y*] a ^(x*,y*) ^ 0. Pak existuje okolí [x*, y*], v němž je rovnicí F{x, y) = F(x\, ..., xn, y) = 0 implicitně určena právě jedna funkce y = f (x) = f{x\, ..., xn). Má-li navíc funkce F v bodě [x*, y *] spojité parciální derivace JjrF, má implicitní funkce f v bodě x* = [x\, ..., xn] parciální derivace a platí Poznámka 80. K určení derivací vyšších řádů (pro funkci implicitní funkci jedné nebo více proměnných) lze samozřejmě také sestavit vzorec, s jehož pomocí tyto derivace vypočteme. Druhý způsob je ten, že zderivujeme identitu F{x,y) = 0 podle jednotlivých proměnných x\, ..., xn s tím, že člen y je vlastně funkcí y(x) a nelze jej explicitně zderi-vovat (proto píšeme jen yX; pro i = 1, ..., n). Z takto zderivované identity poté hledanou (parciální) derivaci vyjádříme. Poznámka 81. Pro implicitně zadanou funkci F{x,y,z) je tečná rovina v bodě [xo,yo/Zo] určena rovnicí t: Fx(x0,y0,z0) (x- x0) + Fy(x0,y0,z0) (y-y0) + Fz(x0,y0,z0) (z-z0) = 0, pro Fx(x0,yo,Zo) ŕ 0, Fy(x0,yo,z0) ^0a Fz(x0,yo,Zo) ŕ Oje normála dána vztahem _ z-zp = x-xp = y-yo _ Fz(xo,yo,z0) Fx(x0,yo,z0) Fy(xo,yo,z0)'_ (c) Petr Hasil & Petr Zemánek 78 III. Diferenciální počet funkcí více proměnných a pokud Fx(xo,i/o/zo) = 0 nebo F3/(xo,i/o/zo) = OneboFz(xo,i/o/zo) = 0, je normála zadána parametricky rovnicemi ' x = x0 + Fx(x0,y0,z0)t, n '■ i y = yo + Fy(x0,yo,z0)t, k z = z0 + Fz(x0,y0,z0)t. Příklad. Pokusme se určit, zda je graf funkce dané implicitně 9 2 „ 2 i 9 n -x2-3xy2 + y3-- = 0 v okolí bodu [1,3] nad nebo pod tečnou. Řešení. Jde o implicitně zadanou funkci jedné proměnné y = y (x). K rozhodnutí potřebujeme znát hodnotu druhé derivace v daném bodě (resp. její znaménko). Derivujme rovnost ze zadání podle x 9x - 3y2 - 3x2yy' + 3y2y' = 0, tedy /_ 9x-3y2^ 3y2 — 6xy' odkud po dosazení bodu [1,3] dostaneme hodnotu y' = 2. Protože se ve jmenovateli nula neobjevila, funkce daná implicitně v okolí daného bodu existuje. Derivujme rovnost podruhé (pozor na derivace součinů - y je funkcí proměnné x) 9 - YLyy' - 6xy'2 - 6xyy" + 6yy'2 + 3y2y" = 0. Do výsledného vzorce dosadíme známé hodnoty x = l,y = 3 a y' = 2. Tím snadno obdržíme hodnotu y" = > 0. Graf je tedy v okolí daného bodu nad tečnou. Příklad. Na elipse o rovnici x2 + 3y2 - 2x + 6y - 8 najděme body, v nichž je normála rovnoběžná s osou y. Řešení. Normála v bodě [xo,yo] je dána x = x0 + tFx(x0,y0), y = yo + tFy(x0,y0), kde pro F(x,y) = x2 + 3y2 — 2x + 6y — 8 máme Fx = 2x — 2 a Fy = 6y — 6. Protože rovno-běžnost s osou y je totéž jako kolmost na osu x a kolmost znamená nulový skalární součin, dostáváme "ZMr-0' Odtud ihned vidíme, že Xq = 1, což dosadíme do rovnice elipsy a vypočítáme yo Tím získáme hledané body [1,1], [1, —3]. (5) Petr Hasil & Petr Zemánek III. 7. Implicitně zadané funkce 79 (307) Zderivujte implicitně zadanou funkci x — y1 = ln y. (308) Zderivujte implicitně zadanou funkci 2XV + 3x+3/ = 4. y > — y / _ y2jyin2-3j:+yin3 y ~ x2lyin2-3I+yin3 (309) Vypočtěte y' ay" implicitně zadané funkce sin2(xy) = 0. y - x> y - x2 (310) Určete všechny parciální derivace prvního řádu funkce z = f(x,y) zadané impli citně rovností x cos y + y cos z + z cos x = a, kde a G IR je libovolná konstanta. 9z _ z sin x—cos j/. 9z _ x siny—cos z 3x cosx— ysinz' 3y cosx—ysinz (311) Určete všechny parciální derivace prvního řádu funkce z = f(x,y) zadané implicitně rovností x + 2y + z y + z x. 9z _ (1-y-z)(y+z). dz _ z-x 9x x+y ' 9y x+y (312) Určete všechny parciální derivace prvního řádu funkce z = f(x,y) zadané implicitně rovností arctg(x + y) + arctg(y + z) = x + y + z. ' _ (x+y)2[l+(y+z)21- _ l-(y+z)2(x+y)2 (y+z)2[l+(x+y)2]' Z3/ (y+z)2[l+(x+y)2] (313) Najděte body křivky x1 + 2xy - y1 - 8 = 0, v nichž nejsou splněny předpoklady Věty o existenci implicitní funkce y = f(x). [[2,2], [-2,-2] (314) Určete první a druhou derivaci funkce y3 - 2xy + x1 = 0. y / _ 2y-2x // _ 2-4y/+6y(y M2 3y2-2x' y 3y2-2x © Petr Hasil & Petr Zemánek 80 III. Diferenciální počet funkcí více proměnných (315) V bodě [l, 1, |] určete rovnici tečné roviny k funkci zadané implicitně \x2 - 3xy2 + y3 - 3z = 0. [ř: 2x-y-z-i = 0] (316) V bodě [3,1] určete rovnici tečné roviny i normály k ploše x + y _ . x-y [ř: x - 3y = 0, n : 3x + y - 10 = 0] (317) V bodě [2, f, —1] určete rovnici tečné roviny i normály k ploše [ř : 4z - 2x + y = -4, n : 2x - 4 = -fy + ^ (318) Určete rovnici tečné roviny i normály v bodě [1,1,1] ke grafu implicitně zadané [t: x + y — 2z = 0; n : x — 1 = y — 1 = ^] (319) V bodě [—1,3,2] určete rovnici tečné roviny i normály k ploše ln(xy + z2) = 0. [ř : 4z + 3x-y = 2,n: ^±I = 3- y = ^2] (320) Určete rovnici tečny ke kuželosečce funkce z = 1/ + ln -. 17 z 3x2 + 7xy + 5y2 + 4x + 5y + 1 = 0 procházející počátkem. [ři : 5y + 2x = 0, t2 : y + 2x = 0] (321) V bodě [1,1] určete rovnici tečny a normály k funkci zadané implicitně x3 + y3 - 2xy = 0. [ř: y x + 2, n : y = x] (322) K elipsoidu x2 + 2y2 + 3z2 = 21 určete tečné roviny rovnoběžné s rovinou a : x + 4y + 6z = 0. [íl : x + 4y + 6z = 21, t2 : x + 4y + 6z ■21] © Petr Hasil & Petr Zemánek III. 7. Implicitně zadané funkce 81 (323) Najděte body, ve kterých je tečna křivky rovnoběžná s osou x. 4x2 + y2 - 8x + 6y - 12 = 0 [[1,2], [1,-8]] (324) Rozhodněte, zda plocha x + y2 + z3+z = 4 leží v okolí bodu [1,1,1] nad nebo pod tečnou. (325) Určete extrémy implicitně zadané funkce [pod tečnou] ln \Jx1 + y2 - arctg ^ = 0. lokální minimum: e 4 e 4 ; lokální maximum: _ 7T _ 7T e 4 e 4 y/2' V2 y/2' y/2 (326) Najděte stacionární body implicitně zadané funkce x1 + y2 + z2 - 2x + 2y - 4z - 10 = 0 a zjistěte, zda v nich nastává extrém. [lokální minimum [1,-1,-2], lokální maximum [1,-1,6]] (327) Rozhodněte, zda má funkce implicitně zadaná rovnici z2 — xy + ln(x + y + z) =0 lokální extrém v bodě [1,1, — 1]. nema (328) Najděte lokální extrémy funkce zadané implicitně (x-l)2 + (y-3)2 + z2 = 16. [lokální maximum: [1,3,4]; lokální minimum: [1,3,-4]] © Petr Hasil & Petr Zemánek 82 III. Diferenciální počet funkcí více proměnných Seznam použité literatury [1] B. P. Děmidovič, Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy, první vydání, Fragment, Havlíčkův Brod, 2003. [2] Z. Došlá, O. Došlý, Diferenciální počet funkcí více proměnných proměnné, druhé vydání, Masarykova univerzita, Brno, 1999. [3] Z. Došlá, O. Došlý, Metrické prostory, 2. vydání, Masarykova univerzita, Brno, 2000. [4] J. Dula, J. Hájek, Cvičení z matematické analýzy: Obyčejné diferenciální rovnice, první vydání, Masarykova univerzita, Brno, 1990. [5] J. Eliáš, J. Horváth, J. Kajan, Zbierka úloh z vyššej matematiky 3, druhé vydání, ALFA, Bratislava, 1971. [6] F. Jirásek, S. Čipera, M. Vacek, Sbírka řešených příkladů z matematiky II, SNTL, Praha, 1989. [7] Z. Kadeřábek, Limity funkcí více proměnných, bakalářská práce, Masarykova univerzita, Brno, 2007. [8] R. Plch, Příklady z matematické analýzy: Diferenciální rovnice, první vydání, Masarykova univerzita, Brno, 2007. [9] M. Ráb, Metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic, třetí vydání, Masarykova univerzita, Brno, 1998. © Petr Hasil & Petr Zemánek