Príklady na precvičovanie – postupnosti a rady funkcií
Nech I je nedegenerovaný (t.j., viac ako jednobodový) reálny interval.
Budeme uvažovať postupnosť funkcií
f1(x), f2(x), f3(x), . . . , fn(x), . . . , (1)
definovaných na intervale I. Z funkcií v (1) sa dá formálne vytvoriť rad
funkcií (alebo tiež funkcionálny rad)
∞∑
n=1
fn(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x) + · · · + fn(x) + · · · . (2)
V nasledujúcom texte a príkladoch sa budeme zaoberať otázkou konvergencie
postupnosti funkcií (1) a jej limitou, resp. radu funkcií (2) a jej súčtom.
Je zrejmé, že veľa vecí bude podobných ako pri číselných postupnostiach a
radoch, obzvlášť kritéria konvergencie. Na druhej strane, niektoré veci skomplikuje
fakt, že pracujeme s funkciami. Teraz bude okrem pohyblivého indexu
n miešať karty i ešte viac pohyblivejšie x, ktoré beží cez celý interval I. Z
tohto dôvodu preto rozlišujeme dva základné typy konvergencie postupnosti
(1), resp. radu (2), a to bodová konvergencia a rovnomerná konvergencia.
Bodová konvergencia
Je to najslabšia forma konvergencie postupnosti (radu) funkcií. Hrubo povedané,
postupnosť (1) (rad (2)) konverguje bodovo v danom bode x = a ∈ I,
ak po dosadení x = a do postupnosti (1) (radu (2)) získaná číselná postupnosť
(rad) konverguje. Zozbieraním všetkých takýchto x-ov v intervale I dostaneme
množinu, ktorá sa nazýva obor konvergencie postupnosti (1) (radu
(2)). Je to teda množina všetkych bodov x ∈ I, v ktorých postupnosť (1)
(rad (2)) (bodovo) konverguje k nejakému konečnému číslu. Toto číslo zrejme
závisí na konkrétnom výbere bodu x z oboru konvergencie. To znamená, že
(bodovým) limitovaním postupnosti (1) dostaneme limitnú funkciu f(x), t.j.,
f(x) := lim
n→∞
fn(x), x z oboru konvergencie postupnosti (1).
Podobne súčet radu (2) bude funkciou premennej x, t.j.,
s(x) :=
∞∑
n=1
fn(x), x z oboru konvergencie radu (2).
1
Funkcie f(x), resp. s(x) sú zrejme definované iba na príslušnom obore konvergencie
postupnosti (1), resp. radu (2).
Rovnomerná konvergencia
Rovnomerná konvergencia popisuje špeciálnu vlastnosť bodovej konvergencie
na nejakej podmnožine oboru konvergencie (teda nie iba v jednom
bode). Presnejšie, ale stále hrubo povedané, postupnosť (1) (rad (2)) konverguje
rovnomerne na nejakej podmnožine M oboru konvergencie, ak spôsob,
resp. rýchlosť bodovej konvergencie postupnosti (1) (radu (2)) v M nezávisí
na premennej x ∈ M. Ak f(x) je limitná funkcia postupnosti (1) a M
je podmnožina príslušného oboru konvergencie, tak potom postupnosť (1)
konverguje rovnomerne k f na M práve vtedy, keď číselná postupnosť {an},
definovaná
an := sup
x∈M
|fn(x) − f(x)|,
spĺňa limn→∞ an = 0. Keďže z vlastností supréma zrejme pre každé x ∈ M a
každé n ∈ N platí
0 ≤ |fn(x) − f(x)| ≤ an,
vidíme, že v prípade rovnomernej konvergencie vzdialenosti fn(x) od f(x)
konvergujú pre n → ∞ do nuly skutočne nezávisle na premennej x ∈ M
(samy si to veľmi dobre premyslite, prípadne si i nakreslite vhodný obrázok
;)). Rovnomerná konvergencia radu (2) na podmnožine M jeho odpovedajúceho
oboru konvergencie sa definuje ako rovnomerná konvergencia príslušnej
postupnosti {sn} čiastočných súčtov radu (2) k súčtu s(x) na M (i toto si
samy veľmi dobre premyslite a rozmeňte na drobné, t.j., ako to bude vyzerať
v reči členov daného radu (2) :)).
Ak postupnosť (1), resp. rad (2) konverguje rovnomerne na množine M,
tak zrejme konverguje i bodovo v každom bode M. Opačne to však neplatí,
t.j., z bodovej konvergencie nevyplýva rovnomerná konvergencia. Preto je
rovnomerná konvergencia silnejšia než bodová a má veľa vyznamných a užitočných
vlastností. Obzvlášť, umožňuje prenos niektorých vlastností funkcií
fn(x) na limitnú funkciu f(x), resp. súčet s(x). Ak napríklad sú všetky funkcie
fn(x) spojité na intervale I, tak rovnomerná konvergencia zaručuje, že
i limitná funkcia f(x), resp. súčet s(x) budú spojitými funkciami (na vhod-
2
ných podmnožinách oboru konvergencie). Rovnomerná konvergencia radu (2)
umožnuje jeho integrovanie člen po člene (samozrejme, ak sú všetky funkcie
fn(x) integrovateľné :)), pričom výsledný rad z integrálov funkcií fn(x) bude
konvergovať k integrálu zo súčtu s(x), atď. Tieto skutočnosti ilustrujeme na
konkrétnych príkladoch.
Nutnú a postačujúcu podmienku rovnomernej konvergencie postupnosti
(1), resp. radu (2) udáva – ako inak :) – Cauchyho–Bolzanovo kritérium.
Avšak podobne ako pri číselných postupnostiach a radoch je jeho praktické
použitie pomerne ťažkopádne.
Cauchyho–Bolzanovo kritérium rovnomernej konvergencie
Postupnosť (1) konverguje rovnomerne na množine M ⊂ I práve vtedy,
keď pre každé kladné číslo ε existuje index n0 taký, že pre každé dva indexy
m, n ≥ n0 a pre každé x ∈ M platí
|fm(x) − fn(x)| < ε.
Podobne, rad (2) konverguje rovnomerne na množine M ⊂ I práve vtedy,
keď pre každé kladné číslo ε existuje index n0 taký, že pre každý index n ≥ n0,
pre každé m ∈ N a pre každé x ∈ M platí
|fn+1(x) + fn+2(x) + · · · + fn+m(x)| < ε.
Prakticky výhodnejšie a široko používané sú Weierstrassovo kritérium a
Dirichletovo a Abelovo kritérium rovnomernej konvergencie radu (2). Poskytujú
však iba postačujúce podmienky rovnomernej konvergencie.
Weierstrassovo kritérium rovnomernej konvergencie radu funkcií
Ak existuje konvergentný číselný rad
∑
an taký, že pre každé n ∈ N a pre
každé x ∈ M ⊆ I platí |fn(x)| ≤ an, potom rad (2) rovnomerne konverguje
na množine M k súčtu s(x). Číselný rad
∑
an sa potom nazýva majorantným
radom (alebo tiež majorantou) pre funkcionálny rad (2).
3
Dirichletovo a Abelovo kritérium rovnomernej konvergencie radu
funkcií
Sú to analógie rovnomenných kritérií pre konvergenciu číselných radov.
Prv, ako ich vyslovíme, je nutné zaviesť dva pojmy týkajúce sa funkcionálnej
postupnosti (1).
• Postupnosť (1) sa nazýva monotónna na intervale I, ak pre každú hodnotu
x = a ∈ I je príslušná číselná postupnosť {fn(a)} monotónna rovnakého
typu (t.j., napríklad klesajúca pre každú hodnotu x = a ∈ I).
• Postupnosť (1) sa nazýva rovnomerne ohraničená na intervale I, ak
existuje kladné číslo K tak, že platí |fn(x)| ≤ K pre každé x ∈ I a pre
každé n ∈ N.
Samy si dobre premyslite, že v špeciálnom prípade, kedy funkcie fn(x) sú
konštanty, t.j., postupnosť (1) je číselnou postupnosťou, predchádzajúce dva
pojmy prechádzajú na starú dobrú monotónnosť a ohraničenosť číselnej postupnosti
:). Nuž a teraz k našim dvom junákom Dirichletovi a Abelovi :).
Nech {fn(x)} a {gn(x)} sú dve postupnosti funkcií definovaných na intervale
I, pričom nech {gn} je monotónna na I. Nech naviac je splnená aspoň
jedna z nasledujúcich podmienok.
• (Dirichlet) Postupnosť čiastočných súčtov {sn(x)} radu
∑
fn(x) je rovnomerne
ohraničená na I a postupnosť {gn(x)} konverguje rovnomerne
na I k nulovej funkcii.
• (Abel) Rad
∑
fn(x) konverguje rovnomerne na I a postupnosť {gn(x)}
je rovnomerne ohraničená na I.
Potom funkcionálny rad
∑
fn(x)gn(x) konverguje rovnomerne na I.
Nechávame na čitateľa, aby porovnal tieto dve „funkcionálne kritériá
s odpovedajúcimi „číselnými kritériami (pre číselné rady) a všimol si vzájomné
analógie :).
4
Riešené príklady
Príklad 1
Určme obor konvergencie, limitnú funkciu a typ konvergencie pre postupnosť
fn(x) = xn
, x ∈ [0, 1], n ∈ N.
Riešenie:
Toto je typický príklad na vyšetrovanie funkcionálnej postupnosti. Stanovíme
najprv obor konvergencie a limitnú funkciu postupnosti v zadaní príkladu.
Nie je ťažké sa presvedčiť, že platí
lim
n→∞
xn
=
{
0, x ∈ [0, 1),
1, x = 1.
To znamená, že postupnosť {fn(x)} bodovo konverguje pre každé x ∈ [0, 1],
t.j., jej oborom konvergencie je celý interval [0, 1], pričom limitná funkcia je
f(x) =
{
0, x ∈ [0, 1),
1, x = 1.
Poďme teraz preskúmať, či táto konvergencia je i rovnomerná na [0, 1]. V
súlade s úvodnými poznámkami sa potrebujeme pozrieť na číselnú postupnosť
an = sup
x∈[0,1]
|fn(x) − f(x)|.
Postupne platí (samy si dobre premyslite :))
an = sup
x∈[0,1]
|xn
− f(x)| = sup
x∈[0,1)
|xn
− 0| = sup
x∈[0,1)
xn
= 1 pre každé n ∈ N.
Nakoľko limn→∞ an = 1 ̸= 0, funkcionálna postupnosť {fn(x)} nekonverguje
rovnomerne na intervale [0, 1]. Toto je výsledok, ktorý sme získali formálnou
aplikáciou definície rovnomernej konvergencie postupnosti funkcií. Je však
veľmi dôležité si uvedomiť, čo to hovorí v skutočnosti, resp. prečo to vyšlo
práve takto a nie inak :). Ak si do vhodného obrázku nakreslíme grafy funkcií
fn(x) a f(x), tak vidíme, že pre x ∈ [0, 1) sa grafy funkcií fn(x) síce približujú
k nulovej funkcii, avšak rýchlosť tejto konvergencie závisí od x; čím sme bližšie
k bodu 1, tým sa konvergencia neobmedzene spomaľuje. Je to spôsobené
5
dvomi vecami – faktom, že fn(1) = 1 nezávisle na indexe n, a faktom, že
funkcie fn(x) sú spojité (dobre si to premyslite pomocou obrázka :)). Nechávame
na čitateľa, aby ukázal, že z podobných dôvodov postupnosť {fn(x)}
nekonverguje rovnomerne ani na polootvorenom intervale [0, 1). Avšak pre
každé pevné q ∈ [0, 1) je konvergencia {fn(x)} na intervale [0, q] rovnomerná,
pretože v tomto prípade máme (platí f(x) = 0 pre každé x ∈ [0, q])
an = sup
x∈[0,q]
|fn(x) − f(x)| = sup
x∈[0,q]
xn
= qn
,
a tak limn→∞ an = limn→∞ qn
= 0. Dôvodom je skutočnosť, že rýchlosť konvergencie
sa síce na intervale [0, q] s rastúcim x opäť spomaľuje, avšak nie
neobmedzene; najpomalšia bude v bode x = q. Postupnosť {fn(x)} bude
teda na intervale [0, q] konvergovať k nulovej funkcii nezávisle na x rýchlosťou
qn
→ 0 pre n → ∞ – jedná sa teda o rovnomernú konvergenciu.
Námet na pokračovanie Príkladu 1
Pokúste sa dokázať (podobným spôsobom ako vyššie), že na každom uzavretom
podintervale I ⊆ [0, 1) postupnosť {fn(x)} z Príkladu 1 konverguje
rovnomerne k nulovej funkcii. V takomto prípade povieme, že príslušná postupnosť
{fn(x)} konverguje k svojej limite skoro-rovnomerne (alebo tiež
lokálne rovnomerne) na intervale [0, 1) :).
Príklad 2
Určme obor konvergencie, limitnú funkciu a typ konvergencie pre postupnosť
fn(x) =
1
1 + nx
, x ∈ [1, ∞), n ∈ N.
Riešenie:
Postupujeme podobne ako v predchádzajúcom príklade. Keďže
lim
n→∞
1
1 + nx
= 0 pre každé x ∈ [1, ∞),
funkcionálna postupnosť {fn(x)} konverguje bodovo na celom intervale [1, ∞)
k limitnej funkcii f(x) ≡ 0 na [1, ∞). Okrem toho pre každé n ∈ N platí
sup
x∈[1,∞)
|fn(x) − f(x)| = sup
x∈[1,∞)
1
1 + nx
− 0 = sup
x∈[1,∞)
1
1 + nx
=
1
1 + n
6
(samy sa presvedčte :)). Nakoľko limn→∞
1
1+n
= 0, postupnosť {fn(x)} konverguje
rovnomerne (k funkcii f(x)) na intervale [1, ∞).
Príklad 3
Určme obor konvergencie, súčet a typ konvergencie pre rad
1 +
∞∑
n=1
(
xn
− xn−1
)
, x ∈ R.
Riešenie:
Príklad budeme riešiť priamo podľa definície, t.j., nájdeme (funkcionálnu)
postupnosť {sn(x)} čiastočných súčtov uvedeného radu. Pre dané prirodzené
n a reálne x platí
sn(x) = 1 +
n∑
k=1
(
xk
− xk−1
)
= 1 + (x − 1) +
(
x2
− x
)
+
(
x3
− x2
)
+ · · ·
+
(
xn−1
− xn−2
)
+
(
xn
− xn−1
)
= xn
(samy overte :)). Ďalej máme
lim
n→∞
xn
=



neexistuje, x ≤ −1,
∞, x > 1,
1, x = 1,
0, |x| < 1
(i toto samy overte ;)). Obor konvergencie postupnosti {sn(x)}, a teda i
funkcionálneho radu v zadaní príkladu, je preto interval (−1, 1]. Pre hľadaný
súčet s(x) radu potom platí
s(x) = 1 +
∞∑
n=1
(
xn
− xn−1
)
= lim
n→∞
sn(x) =
{
0, x ∈ (−1, 1),
1, x = 1
(pripomeňme, že funkcia s(x) je definovaná iba na obore konvergencie radu,
teda na intervale (−1, 1]). Napokon, rovnomerná konvergencia radu v zadaní
na intervale (−1, 1] znamená rovnomernú konvergenciu postupnosti {sn(x)}
na (−1, 1]. Analogicky ako v predchádzajúcich príkladoch dostávame
sup
x∈(−1,1]
|sn(x) − s(x)| = sup
x∈(−1,1)
xn
= 1
n→∞
0.
7
To znamená, že postupnosť {sn(x)}, a teda aj rad v zadaní príkladu nekonverguje
rovnomerne na intervale (−1, 1] (pre upresnenie sa jedná o skororovnomernú
konvergenciu na (−1, 1], ako si čitateľ môže sám overiť :)).
Príklad 4 (Weiestrassovo kritérium)
Určme obor a typ konvergencie pre rad
∞∑
n=1
xn
n(n + 1)
, x ∈ R.
Riešenie:
Pri zisťovaní oboru konvergencie predloženého funkcionálneho radu môžeme
využívať všetky kritéria konvergencie číselných radov (voľbou konkrétnej
hodnoty premennej x zrejme získame číselný rad). Konkrétne, aplikáciou limitného
podielového kritéria dostaneme
lim
n→∞
xn+1
(n+1)(n+2)
xn
n(n+1)
= lim
n→∞
n
n + 2
· |x| = |x|.
Teda pre |x| > 1 rad v zadaní príkladu diverguje, kým pre |x| < 1 konverguje
absolútne. Pre x = ±1 máme číselné rady
∞∑
n=1
1
n(n + 1)
,
∞∑
n=1
(−1)n
n(n + 1)
,
ktoré obidva konvergujú absolútne (samy overte :)). To znamená, že obor
konvergencie skúmaného radu funkcií je interval [−1, 1]. Na tomto intervale
uvedený rad bodovo konverguje k svojmu súčtu. O tom, či táto konvergencia
je naviac i rovnomerná, rozhodneme pomocou Weiestrassovho kritéria.
Nakoľko pre každý index n platí
xn
n(n + 1)
=
|x|n
n(n + 1)
≤
1
n(n + 1)
pre každé x ∈ [−1, 1],
a číselný rad
∑ 1
n(n+1)
je konvergentný, rad v zadaní príkladu konverguje rovnomerne
na celom svojom obore konvergencie [−1, 1].
8
Príklad 5 (Weiestrassovo kritérium)
Určme obor a typ konvergencie pre rad
∞∑
n=1
sin nx
n2
, x ∈ R.
Riešenie:
Pre každé reálne číslo x a každý index zrejme platí nerovnosť
sin nx
n2
=
| sin nx|
n2
≤
1
n2
.
Číselný rad
∑ 1
n2 je preto majorantou daného funkcionálneho radu na celom
R. A keďže rad
∑ 1
n2 konverguje (samy overte :)), podľa Weierstrassovho kritéria
rad v zadaní príkladu konverguje rovnomerne na celom R. To znamená,
že tento rad konverguje na R i bodovo, t.j., jeho obor konvergencie je celé R.
Príklad 6 (ťažší) (Weiestrassovo + Cauchyho–Bolzanovo kritérium)
Dokážme, že rad funkcií
∞∑
n=0
xn
n!
, x ∈ (−∞, ∞),
konverguje rovnomerne na každom konečnom a uzavretom reálnom intervale,
ale na celom (−∞, ∞) nekonverguje rovnomerne.
Riešenie:
Nech I ⊆ R je nejaký konečný a uzavretý interval. Potom I je zrejme ako
podmnožina v R ohraničený, t.j., existuje K > 0 tak, že |x| ≤ K pre každé
x ∈ I. Následne, pre každý index n máme
xn
n!
=
|x|n
n!
≤
Kn
n!
pre každé x ∈ I.
Číselný rad
∑ Kn
n!
je teda majorantný k funkcionálnemu radu v zadaní príkladu
na intervale I. Nechávame na čitateľa, aby overil, že tento číselný rad
konverguje :). Podľa Weiestrassovho kritéria potom skúmaný rad funkcií konverguje
rovnomerne na I. Tým sme ukázali prvú časť príkladu. Druhú časť
9
budeme dokazovať sporom, t.j., predpokladajme, nech rad v zadaní konverguje
rovnomerne na celom (−∞, ∞). Podľa Cauchyho–Bolzanovho kritéria
potom pre každé kladné číslo ε existuje index n0 tak, že pre každé n ≥ n0 a
pre každé m ∈ N nerovnosť
xn+1
(n + 1)!
+
xn+2
(n + 2)!
+ · · · +
xn+m
(n + m)!
< ε platí pre každé x ∈ (−∞, ∞).
Zvoľme ε = 1 a nech n0 je k nemu odpovedajúci index. Položme ďalej n = n0
a m = 1. Potom pre každé reálne číslo x musí platiť nerovnosť
xn0+1
(n0 + 1)!
=
|x|n0+1
(n0 + 1)!
< 1.
Táto nerovnosť musí byť teda splnená aj pre reálne číslo
x0 := 1 + [(n0 + 1)!]
1
n0+1
.
Zrejme x0 > 0, preto platí
|x0| = x0 > [(n0 + 1)!]
1
n0+1
⇓
|x0|n0+1
> (n0 + 1)!
⇓
|x0|n0+1
(n0 + 1)!
> 1 . . . spor!!!
To znamená, že náš predpoklad rovnomernej konvergencie na celom (−∞, ∞)
bol nesprávny. Rad v zadaní príkladu teda nekonverguje rovnomerne na celom
R. V súlade s výsledkom prvej časti príkladu sa jedná o skoro-rovnomernú
konvergenciu na (−∞, ∞).
Príklad 7 (Dirichletovo kritérium)
Vyšetrime rovnomernú konvergenciu radu
∞∑
n=1
(−1)n−1
n + x2
, x ∈ R.
10
Riešenie:
Predložený rad funkcií chceme skúmať pomocou Dirichletovho kritéria. V
súlade s jeho predpokladmi preto pre n ∈ N položme
fn(x) :≡ (−1)n−1
, gn(x) :=
1
n + x2
pre každé x ∈ R
(funkcia fn(x) je pre každý index n konštantnou funkciou vzhľadom na x).
Poďme teraz overiť, či sú splnené všetky požiadavky kladené na funkcionálne
postupnosti {fn(x)} a {gn(x)}. Každá z funkcií gn(x), n ∈ N, je zrejme
klesajúca na R (vzhľadom na premennú x). Okrem toho platí
lim
n→∞
gn(x) ≡ 0 a |gn(x) − 0| =
1
n + x2
≤
1
n
pre každé x ∈ R.
Postupnosť {gn(x)} teda konverguje rovnomerne na celom R k nulovej funkcii
(samy si dobre premyslite :)). Ďalej postupnosť čiastočných súčtov {sn(x)}
radu
∑
fn(x) spĺňa pre každé reálne x rovnosť
sn(x) =
n∑
k=1
fk(x) =
n∑
k=1
(−1)k−1
=
{
0, n párne,
1, n nepárne,
(samy overte :)). To znamená, že |sn(x)| ≤ 1 pre každé n ∈ N a pre každé
x ∈ R (i toto si dobre premyslite :)). Postupnosť {sn(x)} je preto rovnomerne
ohraničená na celom R. Rad v zadaní príkladu spĺňa všetky predpoklady
Dirichletovho kritéria, a preto konverguje rovnomerne na R k svojmu súčtu.
Premyslite si, že tento výsledok potom implikuje i bodovú konvergenciu radu
s oborom konvergencie celé R ;).
Príklad 8 (Abelovo kritérium)
Vyšetrime rovnomernú konvergenciu radu
∞∑
n=1
(−1)n−1
n
· xn
, x ∈ [0, 1].
Riešenie:
Postupujeme podobne ako v predchádzajúcom príklade. Položme
fn(x) :≡
(−1)n−1
n
, gn(x) := xn
pre každé x ∈ [0, 1].
11
Nechávame na čitateľa, aby si premyslel, že postupnosť {gn(x)} je monotónna
na intervale [0, 1], konkrétne neklesajúca na [0, 1]. Okrem toho zrejme pre
každý index n a každé x ∈ [0, 1] platí |gn(x)| = |xn
| = xn
≤ 1. Postupnosť
{gn(x)} je preto i rovnomerne ohraničená na intervale [0, 1]. Na druhej strane,
funkcionálny rad
∞∑
n=1
fn(x) =
∞∑
n=1
(−1)n−1
n
rovnomerne konverguje na intervale [0, 1]. Jedná sa totiž o číselný rad (členy
fn(x) sú pre každý index n konštantné funkcie vzhľadom na x), ktorý konverguje
(samy overte :)) nezávisle na premennej x. Veľmi dobre si toto premyslite
;). Overili sme teda všetky predpoklady Abelovho kritéria, kladené na skúmaný
rad. To znamená, že tento rad konverguje rovnomerne k svojmu súčtu
na intervale [0, 1]. Z toho potom vyplýva, že konverguje i bodovo s oborom
konvergencie [0, 1].
Nasledujúce príklady ilustrujú niektoré základné a dôležité vlastnosti rovnomerne
konvergentných funkcionálnych postupností a radov v (1) a (2). V
Príkladoch 9–14 rozoberáme vzájomný vzťah rovnomernej konvergencie postupnosti
funkcií a spojitosti jej členov, resp. jej limitnej funkcie.
Príklad 9
spojitosť fn(x) + rovnomerná konvergencia postupnosti (1)
⇓
spojitosť limity f(x)
Postupnosť spojitých funkcií fn(x) = e−nx
konverguje na intervale [1, ∞)
bodovo k limitnej funkcii f(x) ≡ 0 (samy overte :)). Táto konvergencie je i
rovnomerná na [1, ∞), nakoľko číselná postupnosť
an := sup
x∈[1,∞)
|fn(x) − f(x)| = sup
x∈[1,∞)
|e−nx
− 0| = sup
x∈[1,∞)
e−nx
= e−n
spĺňa limn→∞ an = limn→∞ e−n
= 0. Vidíme, že potom i limitná funkcia f(x)
je spojitá na intervale [1, ∞).
12
Príklad 10
spojitosť fn(x) + nespojitosť limity f(x)
⇓
nerovnomerná konvergencia postupnosti (1)
Postupnosť spojitých funkcií fn(x) = arctg nx konverguje na intervale (−∞, ∞)
bodovo k nespojitej limitnej funkcii
f(x) =



−π/2, x < 0,
0, x = 0,
π/2, x > 0
(samy overte :)). Táto konvergencia potom nutne nemôže byť rovnomerná na
(−∞, ∞). Skutočne, ukážte, že platí
sup
x∈(−∞,∞)
|fn(x) − f(x)| =
π
2
pre každé n ∈ N,
a teda limn→∞
(
supx∈(−∞,∞) |fn(x) − f(x)|
)
= π/2 ̸= 0.
Príklad 11
spojitosť fn(x) + spojitosť limity f(x)
̸⇓
rovnomerná konvergencia postupnosti (1)
Postupnosť spojitých funkcií fn(x) = nx·e−nx
konverguje na intervale [0, ∞)
bodovo k spojitej limitnej funkcii f(x) ≡ 0 (samy ukážte :)). Napriek tomu
táto konvergencia nie je rovnomerná na [0, ∞). Pre každý index n ∈ N totiž
platí 1/n ∈ [0, ∞) a fn(1/n) = 1/e. To znamená, že suprémum funkcie
fn(x) je na intervale [0, ∞) väčšie, nanajvyš rovné hodnote 1/e (pozorne si
to premyslite :)). Následne číselná postupnosť
an = sup
x∈[0,∞)
|fn(x) − f(x)| = sup
x∈[0,∞)
nx · e−nx
≥
1
e
,
13
a teda limn→∞ an buď neexistuje alebo limn→∞ an ≥ 1
e
> 0.
Príklad 12
spojitosť a monotónnosť fn(x) + spojitosť limity f(x)
+ kompaktný interval [a, b]
⇓
rovnomerná konvergencia postupnosti (1)
Postupnosť spojitých funkcií fn(x) = 1 + xn
konverguje bodovo na kompaktnom
intervale [0, 1/2] k spojitej limitnej funkcii f(x) ≡ 1. Naviac, pre každý
index n je funkcia fn(x) rastúca na [0, 1/2]. Preto daná konvergencia musí
byť rovnomerná na celom intervale [0, 1/2]. Ukazuje to i priamy výpočet
sup
x∈[0, 1
2 ]
|fn(x) − f(x)| = sup
x∈[0, 1
2 ]
xn
=
1
2n
n→∞
−→ 0
(detaily si premyslite samy :)).
Príklad 13
spojitosť fn(x) + spojitosť limity f(x) + kompaktný interval [a, b]
̸⇓
rovnomerná konvergencia postupnosti (1)
Postupnosť spojitých funkcií fn(x) = xn
− x2n
konverguje bodovo na kompaktnom
intervale [0, 1] k spojitej limitnej funkcii f(x) ≡ 0. Napriek tomu
táto konvergencia nie je rovnomerná na [0, 1], ako sa o tom môžeme ľahko
presvedčiť stanovením číselnej postupnosti
an = sup
x∈[0,1]
|fn(x) − f(x)| = sup
x∈[0,1]
xn
− x2n
.
Výraz xn
−x2n
je spojitou funkciou na kompaktnom intervale [0, 1]. Z Weierstrassovej
vety diferenciálneho počtu funkcií jednej reálnej premennej potom
14
vyplýva, že uvedené suprémum prechádza na maximum (dobre si to premyslite
:)). A nakoľko xn
≥ x2n
pre každé x ∈ [0, 1] (i toto si dobre premyslite
:)), dostávame
an = max
x∈[0,1]
(
xn
− x2n
)
=
1
4
pre každé n ∈ N.
Teda limn→∞ an = 1
4
̸= 0, a preto sa nejedná o rovnomernú konvergenciu.
Na druhej strane, postupnosť spojitých funkcií fn(x) = xn
− xn+1
konverguje
tiež bodovo na kompaktnom intervale [0, 1] k limite f(x) ≡ 0. Táto
konvergencia je však rovnomerná na [0, 1], keďže platí
sup
x∈[0,1]
|fn(x) − f(x)| = max
x∈[0,1]
(
xn
− xn+1
)
=
1
(
1 + 1
n
)n ·
1
n + 1
n→∞
−→ 0
(podrobnosti si premyslite samy ;)).
Príklad 14
nespojitosť fn(x) + spojitosť limity f(x)
̸⇓
nerovnomerná konvergencia postupnosti (1)
Postupnosť nespojitých funkcií fn(x) = χ(x)/n, kde χ(x) je Dirichletova
funkcia (χ(x) = 1 pre x ∈ Q a χ(x) = 0 pre x ∈ R \ Q) konverguje na R
bodovo k spojitej limitnej funkcii f(x) ≡ 0 (samy sa presvedčte :)). Táto
konvergencia je i rovnomerná na celom R, pretože platí
sup
x∈R
|fn(x) − f(x)| = sup
x∈R
χ(x)
n
=
1
n
n→∞
−→ 0
(i toto si samy dobre premyslite :)).
V ďalších dvoch príkladoch budeme testovať nasledujúce tvrdenie.
Zámena limít
15
Nech postupnosť (1) konverguje rovnomerne na množine I \ {x0} (I je
interval) k limitnej funkcii f(x). Nech ďalej pre každý index n existuje limita
limx→x0 fn(x). Potom i funkcia f(x) má limitu v bode x0 a platí
lim
x→x0
f(x) = lim
x→x0
[
lim
n→∞
fn(x)
]
toto je f(x)
= lim
n→∞
[
lim
x→x0
fn(x)
]
zámena limít
.
Príklad 15
V Príklade 2 sme ukázali, že postupnosť
fn(x) =
1
1 + nx
, x ∈ [1, ∞),
konverguje rovnomerne na intervale I = [1, ∞) k limitnej funkcii f(x) ≡ 0.
Položme x0 = 2. Zrejme postupnosť {fn(x)} konverguje rovnomerne i na
množine I \ {x0} = [1, 2) ∪ (2, ∞) k limite f(x). Okrem toho pre n ∈ N
máme
lim
x→x0
fn(x) = lim
x→2
1
1 + nx
=
1
1 + 2n
.
Podľa vyššie uvedenej vety teda i funkcia f(x) má limitu v bode x0 = 2 (čo
je v tomto prípade zrejmé :)) a platí
lim
x→x0
[
lim
n→∞
fn(x)
]
= lim
x→2
[
lim
n→∞
1
1 + nx
]
= lim
x→2
0 = 0,
lim
n→∞
[
lim
x→x0
fn(x)
]
= lim
n→∞
[
lim
x→2
1
1 + nx
]
= lim
n→∞
1
1 + 2n
= 0.
Príklad 16
Na druhej strane, funkcionálna postupnosť
fn(x) = xn
, x ∈ R,
konverguje iba bodovo na [0, 1) k limite f(x) ≡ 0, nie však rovnomerne, ako
sme dokázali v druhej časti Príkladu 1. Hoci pre x0 = 1 platí
lim
x→x0
fn(x) = lim
x→1
xn
= 1 pre každý index n,
16
a funkcia f(x) má (jednostrannú zľava) limitu v bode x0 = 1 (s akou hodnotou?
:)), nemôžeme zameniť limitovanie
lim
x→x−
0
[
lim
n→∞
fn(x)
]
= lim
x→1−
[
limn→∞
x∈[0,1)
xn
]
= lim
x→1−
0 = 0,
lim
n→∞
[
lim
x→x−
0
fn(x)
]
= limn→∞
x∈[0,1)
[
lim
x→1−
xn
]
= limn→∞
x∈[0,1)
1 = 1.
Príčinou tohto výsledku je skutočnosť, že daná konvergencia nie je rovnomerná
na [0, 1) (v tomto príklade berieme vo vyššie uvedenom tvrdení
I = [0, 1]).
Ďalšou významnou vlastnosťou rovnomerne konvergentných funkcionálnych
postupností je zámena limitovania a integrácie.
Zámena limity a integrálu
Nech postupnosť (1) konverguje rovnomerne na množine I k limitnej
funkcii f(x) a nech [a, b] ⊆ I je uzavretý interval. Nech pre každý index n je
funkcia fn(x) integrovateľná na [a, b]. Potom i funkcia f(x) je integrovateľná
na [a, b] a platí
∫ a
b
f(x) dx =
∫ a
b
[
lim
n→∞
fn(x)
]
toto je f(x)
dx = lim
n→∞
∫ a
b
fn(x) dx
zámena limity a integrálu
.
Príklad 17
Funkcionálna postupnosť
fn(x) = 2n2
x · e−n2x2
, x ∈ [0, 1],
konverguje bodovo na intervale I = [0, 1] k limitnej funkcii f(x) = 0 pre
každé x ∈ [0, 1] (samy overte :)). Každá z funkcií fn(x) je spojitá na [0, 1], a
teda i integrovateľná na [0, 1], pričom
∫ 1
0
fn(x) dx =
∫ 1
0
2n2
x · e−n2x2
dx =
[
−e−n2x2
]1
0
= 1 − e−n2
.
17
Zrejme integrovateľná na [0, 1] je i limitná funkcia f(x). Napriek tomu nefunguje
zámena limitovania a integrácia
∫ a
b
[
lim
n→∞
fn(x)
]
dx =
∫ 1
0
0 dx = 0,
lim
n→∞
∫ a
b
fn(x) dx = lim
n→∞
(
1 − e−n2
)
= 1.
Dôvodom tohto zyhania je fakt, že postupnosť {fn(x)} nekonverguje rovnomerne
na intervale [0, 1] (pokúste sa to dokázať :); inšpirujte sa postupom v
Príklade 11 a využite pozorovanie fn(1/n) = 2n/e pre každé n ∈ N).
Príklad 18
Podobne postupnosť
fn(x) =
nx
1 + n2x2
, x ∈ [0, 1],
konverguje iba bodovo na intervale [0, 1] k limitnej funkcii f(x) ≡ 0, nie však
rovnomerne (samy ukážte s využitím fn(1/n) = 1/2 pre každý index n). V
tomto prípade je však možné zameniť limitu s integrálom, nakoľko
∫ 1
0
[
lim
n→∞
fn(x)
]
dx =
∫ 1
0
[
lim
n→∞
nx
1 + n2x2
]
dx =
∫ 1
0
0 dx = 0,
lim
n→∞
∫ 1
0
fn(x) dx = lim
n→∞
∫ 1
0
nx
1 + n2x2
dx = lim
n→∞
[
ln(1 + n2
x2
)
2n
]1
0
= lim
n→∞
ln(1 + n2
)
2n
= 0.
Tento výsledok ukazuje, že podmienka rovnomernej konvergencie postupnosti
(1) je postačujúcou, nie však nutnou podmienkou na vzájomnú zámenu limitovania
a integrácie.
Príklad 19
Vypočítajme limitu
lim
n→∞
∫ 1
0
cos xn
n2
dx.
18
Riešenie:
Funkcia fn(x) = cos xn
n2 síce má pre každý index n primitívnu funkciu na
intervale [0, 1] (prečo? :)), avšak nie je možné ju vyjadriť pomocou elementárnych
funkcií (jedná sa o tzv. vyššiu transcendentnú funkciu). Uvedený integrál
preto nevieme priamo vypočítať. Podvedome teda očakávame, že bude
možné zameniť limitovanie s integráciou. V tomto prípade totiž dostaneme
lim
n→∞
∫ 1
0
cos xn
n2
dx =
∫ 1
0
lim
n→∞
[
cos xn
n2
]
dx =
∫ 1
0
0 dx = 0,
pretože limn→∞
cos xn
n2 = 0 pre každé x ∈ [0, 1] (samy ukážte :)). Je však nutné
overiť, či je skutočne možné takúto zámenu previesť. Postupnosť {fn(x)}
konverguje rovnomerne na [0, 1] k identicky nulovej funkcii, nakoľko platí
0 ≤ sup
x∈[0,1]
cos xn
n2
− 0 = sup
x∈[0,1]
|cos xn
|
n2
≤
1
n2
n→∞
−→ 0
(dobre si to premyslite ;)). Náš intuitívny výpočet bol preto korektný.
Všetky vlastnosti rovnomerne konvergentných funkcionálnych postupností
zostávajú v platnosti i pre rovnomerne konvergentné funkcionálne rady, ako
ukazuje nasledujúci príklad.
Príklad 20
Ukážme, že pre dané r ∈ (0, 1) funkcionálny rad
∞∑
n=0
rn
cos nx
bodovo konverguje na celom R k spojitému súčtu s(x), a stanovme hodnotu
integrálu
∫ 2π
0
s(x) dx.
Riešenie:
Z vlastností trigonometrických funkcií vyplýva, že pre každé x ∈ R a pre
každý index n platí nerovnosť |rn
cos nx| ≤ rn
. A keďže číselný geometrický
rad
∑
rn
konverguje (prečo? :)), podľa Weierstrassovho kritéria rad v zadaní
príkladu konverguje rovnomerne na celom R k svojmu súčtu s(x). Funkcia
s(x) je teda definovaná pre každé reálne číslo x. Nakoľko členy fn(x) =
19
rn
cos nx sú spojité funkcie na celom R, rovnomerná konvergencia zaručuje
i spojitosť funkcie s(x) na R (všimnime si, že koľko vlastností sme o funkcii
s(x) už zistili, hoci vôbec nepoznáme jej explicitný predpis :)). Pre hľadaný
integrál platí
∫ 2π
0
s(x) dx =
∫ 2π
0
[ ∞∑
n=0
rn
cos nx
]
dx.
Skutočnosť, že daný funkcionálny rad konverguje rovnomerne na celom R,
umožňuje zameniť poradie integrácie a sumácie v poslednom výraze (dobre
si to premyslite ;)). Potom máme
∫ 2π
0
s(x) dx =
∞∑
n=0
∫ 2π
0
rn
cos nx dx.
Integrály v poslednej rovnosti vypočítame ľavou-zadnou :) (v prípade ľavákov
pravou-zadnou ;)). Samy ukážte, že platí
∫ 2π
0
rn
cos nx dx =
{
2π, n = 0,
0, n ≥ 1.
Pre hodnotu integrálu v zadaní príkladu teda dostávame
∫ 2π
0
s(x) dx = 2π.
Pri funkcionálnych postupnostiach a radoch je možná i zámena limitovania
a derivovania.
Zámena limity a derivácie
Nech postupnosť (1) bodovo konverguje na otvorenom intervale I k limitnej
funkcii f(x). Nech pre každý index n má funkcia fn(x) deriváciu na
I a nech postupnosť {f′
n(x)} rovnomerne konverguje na intervale I. Potom
i funkcia f(x) má deriváciu na I a platí
f′
(x) =
[
lim
n→∞
fn(x)
]′
= lim
n→∞
f′
n(x)
zámena limity a derivácie
.
20
Príklad 21
Postupnosť funkcií
fn(x) = x2
+
sin n
(
x + π
2
)
n
, x ∈ R,
bodovo konverguje na celom R k limitnej funkcii f(x) = x2
(samy overte :)).
Funkcie fn(x), n ∈ N, ako aj f(x) sú zrejme diferencovateľné na R, pričom
f′
n(x) = 2x + cos n
(
x +
π
2
)
pre každé x ∈ R a každé n ∈ N.
Okrem toho postupnosť {fn(x)} konverguje rovnomerne k f(x) na celom R
(samy ukážte :)). Napriek tomu však máme
[
lim
n→∞
fn(x)
]′
=
[
lim
n→∞
(
x2
+
sin n
(
x + π
2
)
n
)]′
=
[
x2
]′
= 2x,
lim
n→∞
f′
n(x) = lim
n→∞
(
2x + cos n
(
x +
π
2
))
= neexistuje.
Dôvodom je fakt, že postupnosť derivácií {f′
n(x)} nekonverguje rovnomerne
(dokonca ani bodovo, ako ukazuje posledný výraz) na žiadnom otvorenom
intervale v R.
Príklad 22
Funkcionálny rad
∞∑
n=1
(−1)n+1
·
sin nx
n3
konverguje rovnomerne na intervale (−∞, ∞). Vyplýva to z Weierstrassovho
kritéria (pokúste sa zdovodniť samy :)). Konverguje teda i bodovo všade na
(−∞, ∞). Členy tohto radu majú zrejme deriváciu (podľa premennej x) na
celom (−∞, ∞), pričom odpovedajúci rad derivácií
∞∑
n=1
[
(−1)n+1
·
sin nx
n3
]′
=
∞∑
n=1
(−1)n+1
·
cos nx
n2
tiež konverguje rovnomerne na intervale (−∞, ∞) (opäť podľa Weierstrassa
:)). To znamená, že rad v zadaní príkladu možno derivovať člen po člene, t.j.,
21
pre každé reálne číslo x platí identita
( ∞∑
n=1
(−1)n+1
·
sin nx
n3
)′
=
∞∑
n=1
[
(−1)n+1
·
sin nx
n3
]′
=
∞∑
n=1
(−1)n+1
·
cos nx
n2
.
Príklad 23
Na druhej strane, rad funkcií
∞∑
n=0
sin 2n
x
2n
konverguje síce rovnomerne na celom R (samy overte podľa Weiestrassa :)),
avšak príslušný rad derivácií
∞∑
n=0
[
sin 2n
x
2n
]′
=
∞∑
n=0
cos 2n
x
diverguje pre každú voľbu premennej x. Pre limitu limn→∞ cos 2n
x totiž platí
lim
n→∞
cos 2n
x =
{
1, x = 0,
neexistuje, x ̸= 0,
a teda pre každé x ∈ R je porušená nutná podmienka konvergencie radu. V
tomto prípade preto máme
( ∞∑
n=0
sin 2n
x
2n
)′
̸=
∞∑
n=0
[
sin 2n
x
2n
]′
pre každé reálne číslo x.
Poznamenajme, že derivácia súčtu radu v zadaní príkladu ani nemusí existovať
(z rovnomernej konvergencie vieme iba to, že tento súčet je spojitou
funkciou na celom R).
22
Neriešené príklady
1. Nájdite limitnú funkciu a obor konvergencie daných postupností. V
príkladoch a), b), c), d) a g) určte aj typ konvergencie.
a) fn(x) = 2nx
1+n2x2 , x ∈ [0, 1] b) fn(x) = sin nx√
n
, x ∈ R
c) fn(x) = sin x
n
, x ∈ R d) fn(x) = xn
1+xn , x ∈ R \ {1}
e) fn(x) = n ·
(
x
1
n − 1
)
, x ∈ R+
f) fn(x) =
(
1 + x
n
)n
, x ∈ R
g) fn(x) =



1
x
, x ∈
[
−1, −1
n
]
∪
[1
n
, 1
]
,
n2
x, x ∈
(
−1
n
, 1
n
)
.
2. Stanovte obor a typ konvergencie daných funkcionálnych radov.
a)
∑∞
n=1 e−n2x
, x ∈ R b)
∑∞
n=1
( x
1+x
)n
, x ∈ R \ {−1}
c)
∑∞
n=1
xn
n2 , x ∈ [−1, 1] d)
∑∞
n=1
sin nx
n2+1
, x ∈ R
e)
∑∞
n=1 xn
tg x
2n , x ∈ R f)
∑∞
n=1(3 − x2
)n
, x ∈ R
g)
∑∞
n=1
sin nx
nn , x ∈ R h)
∑∞
n=1
1
x2+n2 , x ∈ R
i)
∑∞
n=1
1
x4+n2 , x ∈ R j)
∑∞
n=1
sin nx
n(n+1)
, x ∈ R
k)
∑∞
n=1
x
1+n4x2 , x ∈ R+
0 l)
∑∞
n=1
1
nx , x ∈ R
m)
∑∞
n=1
e−x2n2
n2 , x ∈ R n)
∑∞
n=1
sin2 nx
3√
n4+x4
, x ∈ R.
3. Pomocou Dirichletovho kritéria dokážte, že dané rady konvergujú rovnomerne
na uvedených intervaloch k svojim súčtom.
a)
∞∑
n=1
xn
n + 1
, x ∈ [−r, r], r ∈ (0, 1)
23
b)
∞∑
n=1
sin x · sin nx
√
n + x
, x ∈ (−1, ∞)
c)
∞∑
n=1
sin nx
n
, x ∈ [r, 2π − r], r ∈ (0, π).
d)
∞∑
n=1
(−1)n
√
n(n + x)
, x ∈ [0, ∞).
Príklad d) sa pokúste vyriešiť i pomocou Abelovho kritéria :).
4. Ukážte, že dané funkcionálne postupnosti nekonvergujú rovnomerne na
intervale [0, 1], ale napriek tomu platí rovnosť
lim
n→∞
∫ 1
0
fn(x) dx =
∫ 1
0
[
lim
n→∞
fn(x)
]
dx.
a) fn(x) = nx · (1 − x)n
b) fn(x) =
n2
x
1 + n3x2
c) fn(x) =



0, x ∈
[
0, 1
2n
]
∪
[ 1
2n−1 , 1
]
,
1
x
, x ∈
( 1
2n , 1
2n−1
)
.
5. Ukážte, že funkcionálna postupnosť fn(x) = nx · e−nx2
síce konverguje
bodovo na intervale [0, 1] k svojej limitnej funkcii, ale
lim
n→∞
∫ 1
0
fn(x) dx ̸=
∫ 1
0
[
lim
n→∞
fn(x)
]
dx.
Čo je príčinou tohto výsledku? :)
6. Overte, že postupnosť funkcií
fn(x) =
arctg xn
n
, x ∈ R
konverguje rovnomerne na celom R k svojej limitnej funkcii f(x), avšak
f′
(1) ̸= limn→∞ f′
n(1). Toto pozorovanie i zdôvodnite :).
24
7. Dokážte, že súčet s(x) funkcionálneho radu
∞∑
n=1
cos nx
n(n + 1)
je spojitou funkciou na celom R.
8. Nájdite hodnotu určitého integrálu
∫ ln 3
ln 2
f(x) dx, kde
f(x) =
∞∑
n=1
n · e−nx
.
25