Príklady na precvičovanie – Fourierove rady
Ďalším významným typom funkcionálnych radov sú trigonometrické rady,
pri ktorých sú jednotlivé členy trigonometrickými funkciami. Konkrétne, jedná
sa o rady tvaru
a0
2
+
∞∑
n=1
(an cos nx + bn sin nx) , (1)
kde a0, an a bn, n ∈ N, sú reálne konštanty a nazývajú sa koeficientami radu
(1). Kľúčovým rysom trigonometrických radov je pozorovanie, že systém ich
tvoriacich funkcií
S = {1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, . . . , cos nx, sin nx, . . . }
má nasledujúce vlastnosti. Každá funkcia systému S je periodická s periódou
2π a pre každú dvojicu funkcií φ(x), ψ(x) ∈ S platí
∫ π
−π
φ(x) · ψ(x) dx



= 0, φ ̸= ψ,
̸= 0, φ = ψ.
(2)
Vlastnosť (2) sa zvyčajne označuje ako ortogonalita systému funkcií S (v
tomto prípade hovoríme, že funkcie systému S sú vzájomne ortogonálne).
Nech f(x) je reálna funkcia definovaná a integrovateľná na intervale [−π, π].
Trigonometrický rad (1) s koeficientami
an :=
1
π
·
∫ π
−π
f(x) · cos nx dx, n ∈ N0, (3)
bn :=
1
π
·
∫ π
−π
f(x) · sin nx dx, n ∈ N, (4)
sa potom nazýva Fourierov rad funkcie f(x) vzhľadom na ortogonálny systém
S. Čísla an, bn v (3) a (4) sa označujú ako Fourierove koeficienty funkcie
f(x) vzhľadom na systém S. Ak funkcia f(x) je párna, potom bn = 0 pre
každé n ∈ N (samy si premyslite :)) a rad (1) sa označuje ako kosínusový.
V prípade nepárnej funkcie f(x) platí an = 0 pre každé n ∈ N0 (i toto si
samy premyslite :)) a rad (1) sa označuje ako sínusový. Častokrát sa stáva,
že zadaná funkcia f(x) je definovaná a integrovateľná iba na intervale [0, π],
prípadne (0, π]. V tomto prípade sa zvyčajne konštruuje jej tzv. párne, resp.
1
nepárne rozšírenie na celý interval [−π, π]. Pod pojmom párne rozšírenie
funkcie f(x) rozumieme novú funkciu ˜f(x) definovanú
˜f(x) =



f(x), x ∈ [0, π],
f(−x), x ∈ [−π, 0).
Podobne, nepárne rozšírenie funkcie f(x) bude predstavovať nová funkcia
¯f(x) daná predpisom
¯f(x) =



f(x), x ∈ (0, π],
0, x = 0,
−f(−x), x ∈ [−π, 0).
Všimnime si, že funkcie ˜f(x) a ¯f(x) sú definované na celom intervale [−π, π],
pričom ˜f(x) je párna a ¯f(x) je nepárna (samy sa presvedčte :)).
Konvergencia Fourierovho radu – Dirichletova veta
Ak trigonometrický rad (1) konverguje na intervale [−π, π], potom nutne
konverguje na celom R. Vyplýva to z faktu, že sínus a kosínus sú periodické
funkcie svojho argumentu s periódou 2π (samy si to dobre premyslite :)).
Daný súčet je potom tiež periodickou funkciou (premennej x) a je definovaný
na celom R. Je prirodzené očakávať, že Fourierov rad funkcie f(x), t.j., rad
(1) s koeficientami v (3) a (4), bude mať na intervale [−π, π] za súčet práve
funkciu f(x). Ukazuje sa však, že nie každá funkcia f(x) integrovateľná na
[−π, π] má takúto peknú vlastnosť. Postačujúcu podmienku, ktorú treba v
tomto prípade naložiť na funkciu f(x), udáva slávna Dirichletova veta. Prv,
ako ju vyslovíme, zavedieme dva pomocné pojmy.
• Funkcia f(x) sa nazýva po častiach spojitá na intervale [a, b], ak má na
tomto intervale iba konečne veľa bodov nespojitosti, pričom sa jedná
iba o skoky (teda v každom bode x ∈ [a, b] má funkcia f(x) obidve
vlastné jednostranné limity).
• Funkcia f(x) sa nazýva po častiach monotónna na intervale [a, b], ak
na tomto intervale existuje iba konečne veľa bodov, v ktorých sa mení
monotónnosť funkcie f(x).
2
Pre jednoduchosť označme symbolmi f(x0+) a f(x0−) limitu sprava a limitu
zľava funkcie f(x) v bode x0. Dirichlet (ako prvý korektne :)) dokázal, že ak
funkcia f(x) je po častiach spojitá a po častiach monotónna na intervale
[−π, π], potom jej príslušný Fourierov rad (1) s koeficientami v (3) a (4)
bodovo konverguje na intervale [−π, π] k funkcii f∗
(x) definovanej takto
f∗
(x) =



1
2
· [f(x−) + f(x+)] , x ∈ (−π, π),
1
2
· [f(π−) + f(−π+)] , x = −π, resp. x = π.
Funkcia f∗
(x), ako súčet Fourierovho radu, je zrejme periodická a definovaná
na celej reálnej osi (pozri komentár vyššie :)). Predĺženie f∗
(x) na interval
(−∞, ∞) sa zvykne označovať ako 2π-periodické rozšírenie funkcie f(x).
Všimnime si, že v každom bode x0 ∈ (−π, π), v ktorom je f(x) spojitá, platí
f∗
(x0) = f(x0) (samy si premyslite :)).
Uvedené Dirichletove podmienky zaručujú bodovú, nie však rovnomernú
konvergenciu Fourierovho radu funkcie f(x) na intervale [−π, π]. Ak však je
funkcia f(x) spojitá na [−π, π] s f(−π) = f(π) a jej prvá derivácia f′
(x) je
po častiach spojitá na [−π, π], potom daný Fourierov rad (1) s koeficientami
(3) a (4) konverguje na intervale [−π, π] rovnomerne k súčtu f(x).
Besselova nerovnosť a Parsevalova rovnosť
Nech f(x) je funkcia integrovateľná na intervale [−π, π]. Jej Fourierove
koeficienty v (3) a (4) vždy spĺňajú tzv. Besselovu nerovnosť
a2
0
2
+
∞∑
n=1
(
a2
n + b2
n
)
≤
1
π
·
∫ π
−π
[f(x)]2
dx.
Posledná nerovnosť obzvlášť znamená, že nekonečný číselný rad
∑
(a2
n + b2
n)
konverguje, a teda lim
n→∞
an = 0 = lim
n→∞
bn (samy si premyslite :)). Ak naviac
funkcia f(x) spĺňa podmienky Dirichletovej vety (pozri komentár vyššie :)),
t.j., Fourierov rad funkcie f(x) konverguje, potom uvedená Besselova nerovnosť
prechádza v tzv. Parsevalovu rovnosť
a2
0
2
+
∞∑
n=1
(
a2
n + b2
n
)
=
1
π
·
∫ π
−π
[f(x)]2
dx.
3
Riešené príklady
Príklad 1
Nájdime Fourierov rad funkcie f(x) = x2
na intervale [−π, π].
Riešenie:
Funkcia f(x) je iste spojitá na [−π, π], a teda i integrovateľná na tomto
intervale. Pomocou (3) a (4) vypočítame jej Fourierove koeficienty, konkrétne
a0 =
1
π
·
∫ π
−π
x2
dx, an =
1
π
·
∫ π
−π
x2
cos nx dx, bn =
1
π
·
∫ π
−π
x2
sin nx dx,
kde n ∈ N. Nechávame na čitateľa, aby ukázal, že
a0 =
2
3
· π2
, an = (−1)n
·
4
n2
, bn = 0, pre každé n ∈ N
(premyslite si, že rovnosť bn = 0, n ∈ N, ihneď vyplýva zo skutočnosti, že
f(x) je párna funkcia; jedná sa o kosínusový rad :)). Hľadaný Fourierov rad
funkcie f(x) má teda tvar
π2
3
+
∞∑
n=1
(−1)n
·
4
n2
· cos nx pre každé x ∈ [−π, π].
A keďže funkcia f(x) je spojitá na [−π, π] a f(−π) = f(π), podľa Dirichletovej
vety platí pozoruhodná identita
x2
=
π2
3
+
∞∑
n=1
(−1)n
·
4
n2
· cos nx pre každé x ∈ [−π, π].
Jednou z významných aplikácií Fourierových radov je určovanie súčtov niektorých
nekonečných číselných radov. Tak napríklad voľbou x = π v poslednej
rovnosti dostávame
π2
=
π2
3
+
∞∑
n=1
(−1)n
·
4
n2
· cos nπ.
Nakoľko cos nπ = (−1)n
pre každé n ∈ N (samy overte ;)), máme
π2
=
π2
3
+
∞∑
n=1
(−1)n
·
4
n2
· (−1)n
=
π2
3
+ 4 ·
∞∑
n=1
1
n2
.
4
Z poslednej identity potom získame hodnotu súčtu (konvergentného) radu∑ 1
n2 , konkrétne
∞∑
n=1
1
n2
=
π2
6
:)
(samy overte :)). Podobne, voľbou x = 0 v odvodenom Fourierovom rozvoji
funkcie f(x) dostaneme vzorec pre súčet alternujúceho radu
∑ (−1)n−1
n2 .
Nechávame na čitateľa, aby preveril, že platí identita
∞∑
n=1
(−1)n−1
n2
=
π2
12
:).
No a do tretice, aplikáciou Parsevalovej rovnosti pre získaný Fourierov rad
funkcie f(x) máme
1
2
·
(
2
3
· π2
)2
+
∞∑
n=1
[
(−1)n
·
4
n2
]2
=
1
π
·
∫ π
−π
x4
dx.
Vykonaním naznačených výpočtov a jednoduchých úprav dostaneme (samy
overte :))
2
9
· π4
+ 16 ·
∞∑
n=1
1
n4
=
2
5
· π4
⇓
∞∑
n=1
1
n4
=
π4
90
:).
Príklad 2
Stanovme Fourierov rozvoj funkcie f(x) = ex
na intervale [0, 2π].
Riešenie:
Postupujeme podobne ako v predchádzajúcom príklade. V tomto prípade
však funkcia f(x) nie je ani párna, ani nepárna, preto musíme poctivo vypočítať
všetky jej Fourierove koeficienty v (3) a (4) :-/. Okrem toho, namiesto
intervalu [−π, π] teraz pracujeme na intervale [0, 2π], opäť sa však jedná o
5
interval dĺžky 2π. Vzorce (3) a (4) budú preto fungovať analogicky, avšak s
tým rozdielom, že integrovať budeme cez interval [0, 2π]. Konkrétne, máme
an =
1
π
·
∫ 2π
0
ex
· cos nx dx, n ∈ N0,
bn =
1
π
·
∫ 2π
0
ex
· sin nx dx, n ∈ N.
Samy overte (napríklad pomocou vhodnej integrácie per-partes :)), že pre
čísla an, bn platí
an =
e2π
− 1
π
·
1
n2 + 1
, n ∈ N0,
bn = −
e2π
− 1
π
·
n
n2 + 1
, n ∈ N.
Hľadaný Fourierov rad funkcie f(x) má teda pre každé x ∈ [0, 2π] tvar
e2π
− 1
2π
+
∞∑
n=1
[
e2π
− 1
π
·
1
n2 + 1
· cos nx −
e2π
− 1
π
·
n
n2 + 1
· sin nx
]
.
Funkcia f(x) je spojitá na intervale [0, 2π] a f(0) = 1 a f(2π) = e2π
. Podľa
Dirichletovej vety potom pre každé x ∈ (0, 2π) platí rovnosť
ex
=
e2π − 1
2π
+
∞∑
n=1
[
e2π − 1
π
·
1
n2 + 1
· cos nx −
e2π − 1
π
·
n
n2 + 1
· sin nx
]
.
Na druhej strane, pre hodnoty x = 0, resp. x = 2π dostávame identitu
1 + e2π
2
f(1)+f(2π)
2
=
e2π
− 1
2π
+
∞∑
n=1
e2π
− 1
π
·
1
n2 + 1
.
Z poslednej rovnosti vypadne po drobnej úprave elegantný vzorec pre súčet
konvergentného číselného radu
∑ 1
n2+1
, konkrétne
∞∑
n=1
1
n2 + 1
=
π
2
·
e2π
+ 1
e2π − 1
−
1
2
:).
6
Podobne, voľbou x = π v získanom Fourierovom rozvoji funkcie f(x) máme
identitu (zrejme platí cos nπ = (−1)n
a sin nπ = 0 pre každé n ∈ N ;))
eπ
=
e2π
− 1
2π
+
∞∑
n=1
e2π
− 1
π
·
1
n2 + 1
· (−1)n
.
Po úpravách získame vzťah pre hodnotu súčtu alternujúceho číselného radu
∑ (−1)n−1
n2+1
, konkrétne
∞∑
n=1
(−1)n−1
n2 + 1
=
1
2
−
π · eπ
e2π − 1
:)
(samy overte všetky odvodené identity ;)).
Príklad 3
Zostrojme kosínusový rozvoj funkcie f(x) = x na intervale [0, π].
Riešenie:
Na to, aby sme zostrojili hľadaný Fourierov rad, potrebujeme predĺžiť funkciu
f(x) i na interval [−π, 0). A keďže máme nájsť kosínusový rozvoj funkcie f(x),
potrebujeme stanoviť párne rozšírenie f(x), t.j.,
˜f(x) =



x, x ∈ [0, π],
−x, x ∈ [−π, 0)
(samy si to dobre premyslite :)). Hľadáme teda Fourierov rad pre funkciu
˜f(x) na intervale [−π, π]. Vďaka tomu, že ˜f(x) je párna funkcia (nakreslite
jej graf :)), bude sa jednať o rad tvaru
a0
2
+
∞∑
n=1
an cos nx, x ∈ [−π, π].
Zo vzorca v(3) a z definície funkcie ˜f(x) pre Fourierove koeficienty an postupne
dostávame
a0 =
1
π
·
∫ π
−π
˜f(x) dx =
1
π
·
[∫ 0
−π
(−x) dx +
∫ π
0
x dx
]
7
=
1
π
·
[
−
∫ 0
π
x dx +
∫ π
0
x dx
]
=
1
π
·
[∫ π
0
x dx +
∫ π
0
x dx
]
=
2
π
·
∫ π
0
x dx = π
(v druhom riadku výpočtu sme v prvom integrále vykonali substitúciu x →
−x, samy si to premyslite ;)). Podobne, pre indexy n ∈ N máme
an =
1
π
·
∫ π
−π
˜f(x) · cos nx dx =
1
π
·
[∫ 0
−π
(−x) · cos nx dx +
∫ π
0
x · cos nx dx
]
=
1
π
·
[
−
∫ 0
π
x · cos nx dx +
∫ π
0
x · cos nx dx
]
=
2
π
·
∫ π
0
x · cos nx dx
(opäť sme využili trik so substitúciou x → −x :)). Aplikujúc metódu perpartes
na posledný integrál, dostaneme
an =
2
π
·
(−1)n
− 1
n2
, n ∈ N
(samy overte :)). Hľadaný Fourierov rad funkcie ˜f(x) má teda tvar
π
2
+
∞∑
n=1
2
π
·
(−1)n
− 1
n2
· cos nx, x ∈ [−π, π].
Nakoľko funkcia ˜f(x) je spojitá na [−π, π] a ˜f(−π) = π = ˜f(π), podľa
Dirichletovej vety platí identita
˜f(x) =
π
2
+
∞∑
n=1
2
π
·
(−1)n
− 1
n2
· cos nx pre každé x ∈ [−π, π].
Obzvlášť, pre každé x ∈ [0, π] máme rovnosť
x = f(x) = ˜f(x) =
π
2
+
∞∑
n=1
2
π
·
(−1)n
− 1
n2
· cos nx.
Toto je požadovaný kosínusový rozvoj funkcie f(x) na intervale [0, π]. Poslednú
identitu možno využitím poznatku
(−1)n
− 1 =



0, n párne,
−2, n nepárne,
8
(samy si dobre premyslite :)) zapísať v tvare
x =
π
2
−
4
π
·
∞∑
k=1
1
(2k − 1)2
· cos(2k − 1)x, x ∈ [0, π].
(i toto si samy veľmi dobre premyslite ;)). Špeciálne, voľbou x = 0 posledná
rovnosť dáva identitu
0 =
π
2
−
4
π
·
∞∑
k=1
1
(2k − 1)2
=⇒
∞∑
k=1
1
(2k − 1)2
=
π2
8
:).
Príklad 4
Rozviňme funkciu f(x) = x do sínusového rozvoja na intervale [0, π].
Riešenie:
Postupujeme úplne analogicky ako v predchádzajúcom príklade. Teraz hľadáme
nepárne rozšírenie funkcie f(x) na celý interval [−π, π], t.j., funkcia
˜f(x) bude mať tvar ˜f(x) = x pre každé x ∈ [−π, π] (samy si premyslite :)).
Jej odpovedajúci Fourierov rad bude potom obsahovať len členy so sínusmi
∞∑
n=1
bn sin nx, x ∈ [−π, π].
Nechávame na čitateľa, aby ukázal, že pre Fourierove koeficienty bn platí
bn =
2
π
·
∫ π
0
x · sin nx dx = (−1)n−1
·
2
n
, n ∈ N.
Hľadaný Fourierov rad funkcie ˜f(x) bude mať teda tvar
∞∑
n=1
(−1)n−1
·
2
n
· sin nx, x ∈ [−π, π].
Keďže funkcia ˜f(x) je spojitá na intervale [−π, π], z Dirichletovej vety vyplýva
rovnosť
x =
∞∑
n=1
(−1)n−1
·
2
n
· sin nx pre každé x ∈ (−π, π).
9
Toto je zároveň i hľadaný sínusový rozvoj funkcie f(x) na intervale [0, π].
Konkrétnou voľbou x = π
2
získame z poslednej rovnice identitu
π
2
=
∞∑
n=1
(−1)n−1
·
2
n
· sin
nπ
2
.
Nakoľko platí
sin
nπ
2
=



0 pre n = 2k,
(−1)k−1
pre n = 2k − 1,
k ∈ N
(samy si dobre premyslite :)), posledná identita nadobudne tvar
π
2
=
∞∑
k=1
(−1)2k−2
·
2
2k − 1
· (−1)k−1
= 2 ·
∞∑
k=1
(−1)k−1
2k − 1
⇓
∞∑
k=1
(−1)k−1
2k − 1
=
π
4
:)
(i toto si samy dobre premyslite ;)).
10