Príklady na precvičovanie – Singulárne body
autonómnych systémov
Pojmom autonómny systém sa označuje systém (vo všeobecnosti nelineárnych)
diferenciálnych rovníc prvého rádu, v ktorom sa explicitne nevyskytuje
nezávislá premenná, t.j., premenná, podľa ktorej sa v daných rovniciach derivuje.
Konkrétne, jedná sa o systém n rovníc tvaru
x′
1 = f1(x1, . . . , xn),
x′
2 = f2(x1, . . . , xn),
... (1)
x′
n−1 = fn−1(x1, . . . , xn),
x′
n = fn(x1, . . . , xn),
kde funkcie fi(x1, . . . , xn), i = 1, . . . , n, sú spojité na nejakej otvorenej
množine Ω ⊆ Rn
a xi(t), i = 1, . . . , n, sú neznáme (skalárne) funkcie nezávislej
premennej t. Uvedený systém sa spravidla študuje za predpokladu
existencie a jednoznačnosti každej jeho začiatočnej úlohy v množine Ω, t.j.,
každý začiatočný bod [x01, x02, . . . , x0n] ∈ Ω generuje práve jedno riešenie
x1(t), . . . , xn(t) systému (1) spĺňajúce začiatočnú podmienku
x1(0) = x01, x2(0) = x02, . . . , xn(0) = x0n.
Naviac, toto jediné riešenie je definované pre každé t ∈ R (tzv. maximálne
riešenie). V praktických aplikáciach sa premenná t často interpretuje ako čas
a funkcie x1(t), . . . , xn(t) predstavujú nejaké veličiny vyvíjajúce sa v závislosti
na čase podľa nejakého zákona, ktorý je reprezentovaný systémom (1).
Postupným zakreslením bodov [x1(t), . . . , xn(t)] daného riešenia pre t ∈ R
zrejme dostaneme nejakú krivku v množine Ω. V tomto kontexte sa množina
Ω nazýva fázový priestor daného systému a daná vykreslená krivka trajektóriou,
resp. orbitou daného riešenia x1(t), . . . , xn(t) v Ω. Vďaka predpokladu
existencie a jednoznačnosti riešení systému (1) každým bodom fázového priestoru
Ω prechádza práve jedna trajektória systému (1), a teda tajektórie odpovedajúce
dvom rôznym riešeniam systému (1) sa nikde nepretínajú (samy
1
si to premyslite :)). Ďalším dôsledkom uvedeného predpokladu je klasifikácia
trajektórií systému (1). Každá trajektória je buď jednobodová (odpovedá
konštantnému riešeniu systému (1)) alebo uzavretá krivka, tzv. cyklus (odpovedá
nekonštantnému periodickému riešeniu systému (1)), alebo nikde nepretína
samu seba (odpovedá neperiodickému riešeniu systému (1)). Z hľadiska
kvalitatívnej teórie autonómnych systémov (1), t.j., skúmania vlastností riešení
systému (1) bez znalosti ich explicitného tvaru, majú prvoradý význam
práve jednobodové trajektórie a cykly. Bod A = [a1, . . . , an] ∈ Ω sa nazýva
singulárny bod (alebo aj rovnovážny bod, stacionárny bod, kritický bod, ekvilibrium)
systému (1), ak je nulým bodom pravých strán rovníc (1), t.j., platia
rovnosti fi(A) = 0 pre každé i = 1, . . . , n. Nechávame na čitateľa, aby si sám
premyslel, že bod A = [a1, . . . , an] ∈ Ω je singulárnym bodom systému (1)
práve vtedy, keď systém (1) má konštantné riešenie xi(t) ≡ ai, i = 1, . . . , n
:). Rozlišujeme niekoľko základných typov singulárnych bodov systému (1)
– stred (špeciálny prípad tzv. bodu rotácie), ohnisko, uzol (vlastný alebo nevlastný)
a sedlo. Táto klasifikácia je podmienená správaním sa trajektórií
systému (1) na istom okolí daného singulárneho bodu. Napríklad typickou
vlastnosťou singulárneho bodu typu ohnisko je skutočnosť, že každá trajektória,
ktorá je k nemu dostatočne blízko, má tvar špirály so stredom v tomto
bode. V prípade, ak sa takéto trajektórie s rastúcim argumentom t navíjajú
na daný singulárny bod, hovoríme o stabilnom ohnisku, kým v prípade, že
trajektórie sa s rastúcim t odvíjajú od singulárneho bodu, sa jedná o nestabilné
ohnisko. V prípade singulárneho bodu typu uzol každá dostatočne
blízka trajektória buď vchádza do tohto bodu alebo každá blízka trajektória
vychádza z tohto bodu pod nejakým konečným uhlom (resp. s nejakou
polodotyčnicou). Potom hovoríme buď o stabilnom alebo nestabilnom uzle.
V prípade, ak systém (1) je rádu n = 2 s konštantnými koeficientami, t.j.,
x′
= ax + by, y′
= cx + dy, a, b, c, d ∈ R, (2)
pričom matica systému
M =
(
a b
c d
)
(3)
je regulárna, je klasifikácia singulárnych bodov pomerne jednoduchá. Systém
(2) má iba jeden singulárny bod [0, 0] (samy overte :)), pričom jeho druh
2
závisí na vlastných číslach λ1, λ2 matice M. Konkrétne, platí:
λ1, λ2 sú reálne rôzne ⇒



nevlastný nestabilný uzol, ak λ1, λ2 > 0,
nevlastný stabilný uzol, ak λ1, λ2 < 0,
sedlo, ak λ1, λ2 majú opačné znamienka.
λ1, λ2 sú nereálne komplexne združené ⇒



stred, ak Re λ1 = Re λ2 = 0,
nestabilné ohnisko, ak Re λ1 = Re λ2 > 0,
stabilné ohnisko, ak Re λ1 = Re λ2 < 0.
λ1 = λ2 ⇒



nevlastný nestabilný uzol, ak M nie je diagonálna a λ1 = λ2 > 0,
nevlastný stabilný uzol, ak M nie je diagonálna a λ1 = λ2 < 0,
vlastný nestabilný uzol, ak M je diagonálna a λ1 = λ2 > 0
vlastný stabilný uzol, ak M je diagonálna a λ1 = λ2 < 0.
Samy nad tým kriticky porozmýšľajte, hlavne nad klasifikáciou vlastných
čísiel matice M ;). Uvedené výsledky týkajúce sa lineárneho systému (3)
sa dajú za istých predpokladov využiť i pri skúmaní singulárnych bodov
všeobecného nelineárneho rovinného autonómneho systému
x′
= f(x, y), y′
= g(x, y). (4)
Nech A = [a1, a2] je izolovaný singulárny bod systému (4), t.j., platí f(A) =
0 = g(A), a nech funkcie f(x, y) a g(x, y) sú analytické v bode A, t.j., na
nejakom okolí bodu A sú rozvinuteľné do mocninového radu (so stredom v
bode A). Ďalej predpokladajme, že matica
J(A) =
(
f′
x(A) f′
y(A)
g′
x(A) g′
y(A)
)
je regulárna. Poznamenajme, že J(A) je zrejme Jacobiho matica zobrazenia
[x, y] → [f(x, y), g(x, y)] (samy si premyslite :)). Uvažujme lineárny auto-
3
nómny systém s maticou J(A), t.j.,
(
u
v
)′
= J(A) ·
(
u
v
)
(5)
Vďaka regulárnosti matice J(A) má systém (5) jediný singulárny bod [0, 0].
Potom typ singulárneho bodu A systému (4) je rovnaký ako typ singulárneho
bodu [0, 0] systému (5), konkrétne platí:
bod [0, 0] je nevlastný (vlastný) uzol, resp. ohnisko, resp. sedlo vzhľadom na (5)
⇓
bod A je nevlastný (vlastný) uzol, resp. ohnisko, resp. sedlo vzhľadom na (4)
bod [0, 0] je stred vzhľadom na (5)
⇓
bod A je stred alebo ohnisko vzhľadom na (4)
Pri vyšetrovaní charakteru stacionárneho bodu A systému (5) nám teda stačí
preskúmať singulárny bod [0, 0] lineárneho systému (4) pomocou vlastných
čísiel matice J(A). Systém (4) sa nazýva linearizáciou systému (5) na okolí
bodu A. Je to vlastne lineárna aproximácia vo všeobecnosti nelineárneho
systému (5) na istom okolí bodu A. Skutočne, vďaka predpokladu sú funkcie
f(x, y) a g(x, y) spojito diferencovateľné, a teda na dostatočne malom okolí
bodu A ich môžeme aproximovať ich prvými diferenciálmi v bode A, t.j.,
f(x, y) ≈ f(A) + df(A, x, y) = f(A) + f′
x(A) · (x − a1) + f′
y(A) · (y − a2),
g(x, y) ≈ g(A) + dg(A, x, y) = g(A) + g′
x(A) · (x − a1) + g′
y(A) · (y − a2)
(samy si premyslite :)). Avšak f(A) = 0 = g(A), keďže A je singulárny bod
systému (4). Preto máme
(
f(x, y)
g(x, y)
)
≈
(
f′
x(A) · (x − a1) + f′
y(A) · (y − a2)
g′
x(A) · (x − a1) + g′
y(A) · (y − a2)
)
=
(
f′
x(A) f′
y(A)
g′
x(A) g′
y(A)
)
·
(
x − a1
y − a2
)
Pre systém (4) dostávame na dostatočne malom okolí A aproximáciu
(
x′
y′
)
≈
(
f′
x(A) f′
y(A)
g′
x(A) g′
y(A)
)
J(A)
·
(
x − a1
y − a2
)
.
4
Zavedením nových premenných u = x − a1 a v = y − a2 napokon máme
(
u′
v′
)
≈ J(A) ·
(
u
v
)
pre u, v z malého okolia bodu [0, 0]
(pozorne si premyslite :)). Posledná formula tak ukazuje, že systém (5) je skutočne
lineárnou aproximáciou pôvodného systému (4) na dostatočne malom
okolí bodu A. Je teda možné očakávať, že charakter singulárneho bodu [0, 0]
vzhľadom na systém (5) bude vhodnou „aproximáciou charakteru vyšetrovaného
singulárneho bodu A systému (4), čo vyjadrujú hrubo zvýraznené
implikácie vyššie.
Poznamenajme ešte, že vyššie uvedené skúmanie a klasifikácia singulárnych
bodov autonómneho systému (4) platia za predpokladu regulárnosti
Jacobiho matice J(x, y) v danom singulárnom bode. V prípade, ak pre nejaký
singulárny bod A systému (4) je matica J(A) singulárna, hovoríme o
tzv. neelementárnom type singulárneho bodu A. Správanie trajektórií v okolí
bodu A je v tomto prípade podstatne zložitejšie.
Riešené príklady
Príklad 1
Určme typ singulárneho bodu [0, 0] pre lineárny autonómny systém
x′
= 2x + y, y′
= 3x + 4y.
Riešenie:
Matica daného lineárneho systému
M =
(
2 1
3 4
)
je zrejme regulárna, preto stačí vyšetriť jej vlastné čísla (samy overte :)).
Charakteristický polynóm matice M má tvar
2 − λ 1
3 4 − λ
= λ2
− 6λ + 5 = (λ − 1)(λ − 5),
5
a preto vlastné čísla sú λ1 = 1 a λ2 = 5. Sú rôzne, obidve reálne a kladné,
preto singulárny bod [0, 0] je nevlastný nestabilný uzol.
Príklad 2
Charakterizujme všetky singulárneho body lineárneho autonómneho systému
x′
= 3x + 5y, y′
= −2x − 3y.
Riešenie:
Matica systému v zadaní príkladu
M =
(
3 5
−2 −3
)
je regulárna (samy overte ;)), a teda má jediný singulárny bod [0, 0]. Pre
vlastné čísla matice M máme
0 =
3 − λ 5
−2 −3 − λ
= λ2
+ 1 =⇒ λ1 = i, λ2 = −i
(i toto samy overte :)). Vlastné čísla sú rýdzo imaginárne, preto singulárny
bod [0, 0] je typu stred.
Príklad 3
Stanovme všetky singulárneho body a ich typ pre lineárny autonómny systém
x′
= −3x + 2y, y′
= −2x + y.
Riešenie:
Predložený systém má jediný singulárny bod [0, 0], nakoľko matica systému
M =
(
−3 2
−2 1
)
6
je regulárna (samy overte :)). Pre jej vlastné čísla platí
0 =
−3 − λ 2
−2 1 − λ
= λ2
+ 2λ + 1 = (λ + 1)2
=⇒ λ1 = λ2 = −1
(samy skontrolujte výpočty :)). Matica M má teda jedno dvojnásobné záporné
vlastné číslo. Očividne M nie je diagonálna, a preto singulárny bod
[0, 0] je nevlastný stabilný uzol.
Príklad 4
Zistime typ singulárneho bodu [0, 0] pre lineárny autonómny systém
x′
= 6x − 4y, y′
= −2x − y.
Riešenie:
V tomto prípade pre vlastné čísla príslušnej matice systému dostávame
0 =
6 − λ −4
−2 −1 − λ
= λ2
− 5λ − 14 = (λ + 2)(λ − 7) =⇒ λ1 = −2, λ2 = 7
(samy overte ;)). Matica M je preto regulárna (prečo? :)). A nakoľko získané
vlastné čísla sú rôzne reálne s navzájom opačnými znamienkami, singulárny
bod [0, 0] má charakter sedla.
Príklad 5
Overme, že singulárneho bodu [0, 0] je typu nestabilné ohnisko pre lineárny
autonómny systém
x′
= −3x + 2y, y′
= −2x − 3y.
Riešenie:
Vlastné čísla matice systému sú nereálne s nenulovou reálnou časťou, nakoľko
0 =
−3 − λ 2
−2 −3 − λ
= λ2
+ 6λ + 13 = (λ + 3 − 2i)(λ + 3 + 2i) =⇒ λ1,2 = −3 ± 2i
7
(samy overte :)). Singulárny bod [0, 0] je teda skutočne ohniskom, a to stabilným,
pretože Re λ1,2 = −3 < 0.
Príklad 6
Vyšetrime singulárne body lineárneho autonómneho systému
x′
= x, y′
= y.
Riešenie:
Ihneď vidíme, že matica M predloženého systému je identická matica rádu 2,
a teda má dvojnásobné vlastné číslo λ1,2 = 1. Existuje teda jediný singulárny
bod [0, 0] daného systému typu vlastný nestabilný uzol, keďže λ1,2 > 0.
Príklad 7
Vyšetrime typ singulárnych bodov lineárneho autonómneho systému
x′
= 5x + 5y − 3, y′
= 3x − 3y − 5.
Riešenie:
Predložený systém je lineárny autonómny, avšak nehomogénny. Jeho singulárne
body stanovíme riešením dvojice lineánych rovníc
5x + 5y − 3 = 0, 3x − 3y − 5 = 0.
Nechávame na čitateľa, aby sa presvedčil, že táto sústava má jediné riešenie
x = 17
15
a y = − 8
15
. Systém v zadaní príkladu má teda jediný singulárny bod
A =
[17
15
, − 8
15
]
. V pôvodnom systéme teraz vykonáme zámenu premenných
u := x −
17
15
, v := y +
8
15
.
Získame tak nový, transformovaný systém s premennými u a v tvaru
u′
= 5u + 5v, v′
= 3u − 3v
8
(samy overte detaily výpočtov ;)). Tento lineárny systém je už homogénny s
regulárnou maticou
M =
(
5 5
3 −3
)
(i toto samy overte :)). Má teda jediný singulárny bod [0, 0]. A keďže vykonaná
transformácia geometricky znamená len posun premenných, jedná sa
vlastne o vyjadrenie singulárneho bodu A v nových premenných. Preto stačí
vyšetriť charakter bodu [0, 0] vzhľadom na nový homogénny systém (samy si
to dobre premyslite :)). Vlastné čísla matice M spĺňajú
0 =
5 − λ 5
3 −3 − λ
= λ2
− 2λ − 30 =⇒ λ1,2 = 1 ±
√
31
(samy overte ;)). Sú rôzne, obidve reálne, s navzájom opačnými znamienkami.
Preto singulárny bod [0, 0], a teda i singulárny bod A, je typu sedlo.
Príklad 8
Vyšetrime typ singulárnych bodov autonómneho systému
x′
= y(1 + x − y2
), y′
= x(1 + y − x2
).
Riešenie:
Skúmaný autonómny systém je nelineárny a v súlade s označením v (4) máme
f(x, y) = y(1 + x − y2
), g(x, y) = x(1 + y − x2
).
Nájdeme všetky jeho singulárne body, t.j., riešenia sústavy
y(1 + x − y2
) = 0, x(1 + y − x2
) = 0.
Samy ukážte, že tento algebraický systém má celkovo 7 riešení, a teda systém
v zadaní príkladu má sedem singulárnych bodov, konkrétne
A1 = [0, 0], A2 = [0, 1], A3 = [0, −1], A4 = [1, 0], A5 = [−1, 0],
A6 =
[
1 +
√
5
2
,
1 +
√
5
2
]
, A7 =
[
1 −
√
5
2
,
1 −
√
5
2
]
:).
9
Každý z týchto bodov vyšetríme pomocou odpoevdajúcej linearizácie pôvodného
systému. Príslušná Jacobiho matica funkcií f(x, y) a g(x, y) má tvar
J(x, y) =
(
f′
x(x, y) f′
y(x, y)
g′
x(x, y) g′
y(x, y)
)
=
(
y 1 + x − 3y2
1 + y − 3x2
x
)
(samy overte :)). Pre body A1, A2, A3, A4, A5 postupne dostávame
J(A1) =
(
0 1
1 0
)
=⇒ vlastné čísla λ1,2 = ±1,
J(A2) =
(
1 −2
2 0
)
=⇒ vlastné čísla λ1,2 =
1 ± i
√
15
2
,
J(A3) =
(
−1 −2
0 0
)
=⇒ vlastné čísla λ1 = 0, λ2 = −1,
J(A4) =
(
0 2
−2 1
)
=⇒ vlastné čísla λ1,2 =
1 ± i
√
15
2
,
J(A5) =
(
0 0
−1 −2
)
=⇒ vlastné čísla λ1 = 0, λ2 = −1
(samy overte :)). Bod A1 je teda sedlo, body A2 a A4 sú nestabilné ohniská a
body A2 a A3 sú neelementárne typy singulárnych bodov (i toto samy overte
;)). Preskúmame teraz body A6 a A7. Platí
J(A6) =
( 1+
√
5
2
−3 −
√
5
−3 −
√
5 1+
√
5
2
)
⇓ vlastné čísla ⇓
λ1 =
7 + 3
√
5
2
, λ2 = −
5 +
√
5
2
10
(samy overte :)). Bod A6 je teda typu sedlo. Podobne máme
J(A7) =
( 1−
√
5
2
−3 +
√
5
−3 +
√
5 1−
√
5
2
)
⇓ vlastné čísla ⇓
λ1 =
7 − 3
√
5
2
, λ2 = −
5 −
√
5
2
(samy overte ;)). Bod A7 je teda tiež typu sedlo.
Príklad 9
Vyšetrime typ singulárnych bodov autonómneho systému
x′
= x − y + 1, y′
= − sin y.
Riešenie:
Jedná sa opäť o nelineárny autonómny systém s pravými stranami
f(x, y) = x − y + 1, g(x, y) = − sin y.
Singulárne body tohto systému stanovíme riešením sústavy rovníc
x − y + 1 = 0, − sin y = 0.
Zrejme y = kπ, a následne x = kπ−1, kde k ∈ Z (samy overte :)). Predložený
autonómny systém má teda nekonečne veľa singulárnych bodov tvaru
Ak = [kπ − 1, kπ], k ∈ Z.
Príslušná Jacobiho matica J(x, y) zobrazenia [x, y] → [f(x, y), g(x, y)] je
J(x, y) =
(
1 −1
0 − cos y
)
11
(samy overte ;)). Pre jednotlivé singulárne body Ak potom máme
J(Ak) =
(
1 −1
0 − cos kπ
)
=
(
1 −1
0 (−1)k+1
)
, k ∈ Z
(i toto samy overte :)). Všimnime si, že pre každú celočíselnú hodnotu k je
matica J(Ak) regulárna. Charakteristický polynóm matice J(Ak) má tvar
1 − λ −1
0 (−1)k+1
− λ
= (λ − 1)
(
λ − (−1)k+1
)
,
a preto hľadané vlastné čísla sú λ1 = 1 a λ2 = (−1)k+1
(samy si premyslite
:)). V prípade párneho k je zrejme λ2 = −1, a teda singulárny bod Ak je
typu sedlo. Na druhej strane, pre nepárne k je λ2 = 1 = λ1. Nakoľko matica
J(Ak) nie je pre žiadne k ∈ Z diagonálna, v tomto prípade je singulárny bod
Ak nevlastný nestabilný uzol (samy overte všetky tieto závery ;)).
Príklad 10 (ťažší)
Ukážme, že autonómny systém ekvivalentný s tzv. van der Polovou rovnicou
x′′
+ ε(1 − x2
)x′
+ x = 0
má jediný singulárny bod [0, 0] a vyšetrime jeho typ v závislosti na reálnom
parametri ε.
Riešenie:
Predložená diferenciálna rovnica je nelineárna druhého rádu a bohužiaľ ju
nevieme explicitne vyriešiť :(. Vieme ju však prepísať na systém dvoch rovníc
prvého rádu. Štandardne zavedieme novú premennú y := x′
, a následne po
dosadení do rovnice v zadaní príkladu dostaneme
y′
+ ε(1 − x2
)y + x = 0 ⇐⇒ y′
= −ε(1 − x2
)y − x.
Získali sme tak nelineárny autonómny systém
x′
= y, y′
= −ε(1 − x2
)y − x (6)
s pravými stranami f(x, y) = y a g(x, y) = −ε(1 − x2
)y − x (samy si pozorne
premyslite jednotlivé argumenty :)). Tento systém má jediný singulárny bod
A = [0, 0], keďže sústava rovníc
y = 0, −ε(1 − x2
)y − x = 0
12
má jediné riešenie x = 0 = y (samy overte ;)). Pomocou lineárnej aproximácie
daného autonómneho systému preskúmame charakter bodu A. Odpovedajúca
Jacobiho matica J(x, y) funkcií f(x, y) a g(x, y) má tvar
J(x, y) =
(
0 1
2εxy − 1 −ε(1 − x2
)
)
⇓
J(A) =
(
0 1
−1 −ε
)
(samy overte výpočty :)). Charakteristická rovnica matice J(A) potom je
0 =
−λ 1
−1 −ε − λ
= λ2
+ ελ + 1 =⇒ λ1,2 =
−ε ±
√
ε2 − 4
2
Poznamenajme, že matica J(A) je pre každé ε ∈ R regulárna. Budeme teraz
diskutovať závislosť vlastných čísiel λ1 a λ2 na parametri ε. Pre ε2
− 4 > 0,
t.j, pre ε ∈ (−∞, −2) ∪ (2, +∞), sú vlastné čísla λ1, λ2 tvaru
λ1 =
√
ε2 − 4 − ε
2
, λ2 = −
√
ε2 − 4 + ε
2
.
Sú rôzne, obidve sú reálne, pričom pre ε ∈ (−∞, −2) platí λ1 > 0, λ2 > 0,
a pre ε ∈ (2, +∞) platí λ1 < 0, λ2 < 0 (samy overte; uvedené nerovnosti
vyplývajú z reálnosti λ1, λ2 a z Vi`etových vzťahov pre korene kvadratickej
rovnice, konkrétne v našom prípade λ1 + λ2 = −ε a λ1 · λ2 = 1 :)). Teda
v tomto prípade je bod A nevlastný uzol, nestabilný pre ε ∈ (−∞, −2) a
stabilný pre ε ∈ (2, +∞). Ak ε2
− 4 = 0, t.j., ε = ±2, potom λ1 = −ε
2
= λ2,
konkrétne
λ1 = λ2 = 1 pre ε = −2, resp. λ1 = λ2 = −1 pre ε = 2.
A keďže matica J(A) nie je diagonálna, singulárny bod A je i v tom prípade
nevlastný uzol, nestabilný pre ε = −2 a stabilný pre ε = 2. Napokon, ak
ε2
− 4 < 0, t.j., ε ∈ (−2, 2), vlastné čísla λ1, λ2 sú nereálne, vzájomne
komplexne združené, konkrétne
λ1 = −
ε
2
+ i ·
√
4 − ε2
2
, λ2 = −
ε
2
− i ·
√
4 − ε2
2
.
13
V prípade ε ∈ (−2, 2) \ {0} sa zrejme jedná o ohnisko, nestabilné pre ε < 0
a stabilné pre ε > 0. Pre ε = 0 má lineárna aproximácia systému v zadaní
príkladu, t.j., systém (5), v singulárnom bode [0, 0] stred. Pôvodný systém
(6) má teda v singulárnom bode A buď stred alebo ohnisko. Avšak pre ε = 0
je samotný systém (6) lineárny, a teda splýva so svojou linearizáciou (5) :).
Preto nutne bod A je stredom i pre systém (6) (samy si pozorne premyslite
tieto argumenty ;)). Získané výsledky môžeme teda zhrnúť takto:
Singulárny bod A = [0, 0] je



nevlastný nestabilný uzol, ε ∈ (−∞, −2],
nevlastný stabilný uzol, ε ∈ [2, +∞),
nestabilné ohnisko, ε ∈ (−2, 0),
stabilné ohnisko, ε ∈ (0, 2),
stred, ε = 0.
Neriešené príklady
1. Vyšetrite singulárne body nasledujúcich lineárnych systémov.
a) x′
= 3x + 4y, y′
= 2x + y b) x′
= 6x + 2y, y′
= −3x + 3y
c) x′
= 5x + 8y − 36, y′
= 2x + 5y − 18 d) x′
= x − 2y − 1, y′
= 5x − y − 23
2. Stanovte singulárne body a ich typ pre nasledujúce autonómne systémy.
a) x′
= −y + x2
, y′
= x − y2
+ 2x4
b) x′
= x3
+ y3
, y′
= 3x + y3
+ 2y
c) x′
= (2 + x)(y − x), y′
= (4 − x)(y + x)
d) x′
= 1 − y, y′
= x2
− y2
e) x′
= x(1 − x2
− 6y2
), y′
= y(1 − 3x2
− 3y2
)
f) x′
= x + x2
+ y2
, y′
= y − xy
14
3. Ukážte, že bod [0, 0] je pre autonómny systém
x′
= ex+y
− sin x − 1, y′
= ln(1 + x2
) + y2
+ x,
singulárnym bodom a určte jeho typ.
4*. Nech a, b, c sú reálne čísla spĺňajúce podmienky c ≥ 0 a b > 0. Ukážte,
že autonómny systém ekvivalentný s tzv. Duffingovou rovnicou
x′′
+ ax′
+ b2
x + cx3
= 0
má jediný singulárny bod [0, 0] a vyšetrite ho v závislosti na parametroch
a, b, c.
15