Príklad
Určme všetky reálne hodnoty φ ∈ [−π, π), pre ktoré existuje limita lim
n→∞
einφ
.
Riešenie:
Pri riešení tohto príkladu je vhodné použiť Cauchyho–Bolzanovo kritérium
konvergencie postupnosti komplexných čísiel. Toto kritérium poskytuje nutnú
a postačujúcu podmienku konvergencie danej postupnosti bez toho, aby sme
poznali hodnotu samotnej limity. Funguje rovnako ako v prípade reálnych
postupností. Konkrétne, postupnosť {an}∞
n=1 ⊂ C má konečnú limitu (v C)
práve vtedy, keď pre každé ε > 0 existuje index n0 ∈ N taký, že pre každý
index n ≥ n0 a pre každé k ∈ N platí nerovnosť
|an+k − an| < ε.
Cauchyho–Bolzanovo kritérium vlastne vyjadruje fakt, že postupnosť {an} je
konvergentná v C práve vtedy, keď je cauchyovská v metrike indukovanej absolútnou
hodnotou na C (samy si premyslite letmou spomienkou na krásne
časy Matematickej analýzy II, konkrétne na metrické priestory; obzvlášť,
množina C je vzhľadom na metriku danú absolútnou hodnotou úplným metrickým
priestorom :)).
V našom prípade zafixujme nejakú hodnotu φ ∈ [−π, π) a predpokladajme,
že lim
n→∞
einφ
existuje konečná. Potom na základe práve uvedeného
kritéria pre každé ε > 0 existuje index n0 ∈ N tak, že
ei(n+k)φ
− einφ
< ε pre každý index n ≥ n0 a pre každé k ∈ N.
Posledná nerovnosť sa dá upraviť na tvar
einφ
· eikφ
− einφ
< ε
⇓
einφ
toto je 1
· eikφ
− 1 < ε
⇓
eikφ
− 1 < ε.
Táto nerovnosť však platí pre každé ε > 0 a pre každé k ∈ N (samy si veľmi
pozorne premyslite; uvedená nerovnosť platí nezávisle na indexe n0 :)). Z toho
1
však ihneď vyplýva, že nutne eikφ
− 1 = 0 pre každé k ∈ N (i toto si samy
premyslite ;)). Obzvlášť, pre hodnotu k = 1 máme eiφ
= 1, čo signalizuje,
že φ je nejaký celočíselný násobok 2π (samy overte :)). V intervale [−π, π)
však leží len jediný celistvý násobok 2π, a to φ = 0. Preto limita v zadaní
príkladu existuje konečná iba pre hodnotu φ = 0. V tomto prípade platí
lim
n→∞
ein·0
= lim
n→∞
1 = 1.
Na záver ešte ostáva si premyslieť, že pre žiadne φ ∈ [−π, π) nemôže nastať
situácia lim
n→∞
einφ
= ∞ (komplexné nekonečno :)), nakoľko výraz einφ
spĺňa
einφ
= 1 pre každé φ ∈ [−π, π) a každé n ∈ N (samy overte ;)).
2