Numerické metody 11. přednáška, 5. května 2016
Jiří Zelinka
Jiří Zelinka        Numerické metody 11. přednáška, 5. května 2016
Řešení systémů lin. rovnic - přímé metody
Opakování
• Gaussova eliminační metoda
• LR rozklad
• Výběr vedoucího prvku (pivota) Věta
Nechť všechny hlavní minory matice A G Á4n jsou různé od nuly, tj.
*11 ^ 0,
3ll 3i2 321 ^22
7^0
•       • •
óetA ^0.
Pak matici A lze rozložit na součin dolní a horní trojúhelníkové matice.
Poznámka
Rozklad je jednoznačný, pokud v jedné matici předepíšeme diagonální prvky, zpravidla jedničky.        <DMflMlMr 1
Jiří Zelinka        Numerické metody 11. přednáška, 5. května 2016 2/8
Důsledky
• Nechť matice A je ryze řádkově diagonálně dominantní Pak GEM lze provést bez výměny řádků a sloupců.
• Nechť matice A je pozitivně definitní. Pak GEM lze provést bez výměny řádků a sloupců.
Konec opakování
Jiří Zelinka
Numerické metody 11. přednáška, 5. května 2016 3/8
Choleského rozklad
Veta
Nechť matice A je symetrická a její všechny matice A G Á4n jsou různé od nuly, tj.
avni mmory
*11 ^ 0,
3ll 3i2 321 ^22
7^0
•       • •
det>4 ť^O.
Pak existuje taková horní trojúhelníková matice 7" 6 .M,,, že 4 = TTT.
Jiří Zelinka        Numerické metody 11. přednáška, 5. května 2016 4/8
Prvky matice T — (ty): • tn = y^äu,      hj = jjf,   j = 2,..., n,
• tľl = y a,-,- - 5ľ ŕ/;5   / = 2,..., n
/-i
• ty = Fľ(av _ 5] t/zf/y),      7 > '      t,y = 0,      j < /
/=i
Příklad
xi + 2x2 -  x3 = 4 2xi + 2x2 + 4x3 = 1 -xi + 4x2 + 8x3 = -8
Jiří Zelinka        Numerické metody 11. přednáška, 5. května 2016 5/8
Croutova metoda
Rozklad třídiagonální matice
/ *11    *12 0 321    ^22 323
A =
0
V o
o o
\
3n—l,n
0   3n>n_i ann
Jiří Zelinka        Numerické metody 11. přednáška, 5. května 2016 6/8
A = LU
L =
( kí fei O
o
I22 I32
o
^33
o \
o
o
O       /n,n-l      Inn J
3n = In
3f,f-l   — 3
3/f  = A",/—1^/—1,/ + 'l/j
í 1
O
"12 1
O
"23
1 o
i' = 2,3,..., n i' = 2,3,..., /7 / = 1,2,..., n — 1.
o o
\
"n-l,n
/
Numerické metody 11. přednáška, 5. května 2016 7/8
Veta
Nechť A G Á4n je třídiagonální matice s vlastnostmi:
3;;+i 7^ 0, / = 2, 3,. . . , n — 1,
3n
>
3l2
3/71 > 1 +
/ = 2.....A? — 1
'/7/7
>
A - řádkově diagon dominantní
Pak matice A je regulární a hodnoty /,;, / = 1,..., n, vypočtené ze uvedených vztahů jsou různé od nuly.
Důsledek
Jsou-li splněny předpoklady věty, lze matici A rozložit na součin dolní a horní trojúhelníkové matice v uvedeném tvaru.
Příklad
2xi —   X2 =2
—xi + 2x2 —   x3 = -3
—x2 + 2x3 —  x4 = 1
—X3 + 2x4 = 1.5
Jiří Zelinka        Numerické metody 11. přednáška, 5. května 2016 8/8