Zápočtová písemka z Geometrie 3
Varianta C
Datum: 3. 5. 2016
Jméno:
1 2 3 Σ
1) (3 × 1 b.) Zadejte rovnicemi libovolnou afinitu v A3, která (pokud takové afinní zobrazení
neexistuje, podejte stručné vysvětlení, proč):
(a) má pouze imaginární 1
komplexní vlastní čísla;
(b) má právě jednu silně samodružnou přímku;
(c) je neidentickým involutorním zobrazením.
2) Afinita f v A3 je zadána rovnicemi:
f : x = 4x − 3y − 3z + 3
y = 6x − 5y − 3z − 3
z = 6x − 3y + z − 6
(a) (4 b.) Vypočtěte vlastní čísla a jim příslušné vlastní vektory afinity f.
(b) (1 b.) Vyšetřete samodružné body afinity f.
(c) (1 b.) Uveďte repér R, ve kterém mají matice afinity f co nejjednodušší možný tvar, a
rovnice afinity vůči tomuto repéru.
(d) (1 b.) Najděte přímku p, která je v zobrazení f slabě samodružná.
3) (3 b.) Je dána stejnolehlost s : A3 → A3, která zobrazuje bod A[2, −1, 3] na A [−2
3
, 13
3
, −1] a
bod B[−3, 3, −6] na B [1, 3, 2]. Určete střed stejnolehlosti S a její koeficient κ.
1
Tj. komplexní čísla s nenulovou imaginární částí.
Řešení C
1. (a) Neexistuje, protože charakteristická rovnice může mít jen sudý počet imaginárních
komplexních kořenů (dvojice komplexní + komplexně sdružený kořen).
2. (a) λ1 = −2, u1 = (1, 2, 0);
λ2,3 = 1 ± 3i, u2,3 = (± i, ± i, 1);
(b) X = [0, −2, 3]
(c) Počátkem je bod X a bází vektory (1, 2, 0), (0, 0, 1) a (1, 1, 0). Odpovídající rovnice
afinity jsou ve tvaru:
f : x = −2x
y = + y + 3z
z = − 3y + z
(d) p : X = [0, −2, 3] + t(1, 2, 0)
3. S[0, 3, 0]; κ = −1
3