Zápočtová písemka z Geometrie 3
Varianta D
Datum: 11. 5. 2016
Jméno:
1 2 3 Σ
1) (3 × 1 b.) Zadejte rovnicemi libovolnou afinitu v A3, která (pokud takové afinní zobrazení
neexistuje, podejte stručné vysvětlení, proč):
(a) má vlastní číslo jedna a má právě jeden samodružný bod;
(b) je elací;
(c) zobrazuje přímku p : X = [1, 0, 0] + t(−2, 1, 0) na q : X = [0, 0, −1] + t(2, −1, 0).
2) Afinní zobrazení f z A3 do A3 je zadáno rovnicemi:
f : x = 2x + 2z + 1
y = 2x + y + 4z
z = −x − z + 2
(a) (3 b.) Vypočtěte vlastní čísla a jim příslušné vlastní vektory afinity f.
(b) (1 b.) Vyšetřete samodružné body afinity f.
(c) (2 b.) Uveďte repér R, ve kterém mají matice afinity f co nejjednodušší možný tvar, a
rovnice afinity vůči tomuto repéru.
3) (4 b.) Základní afinita v A3 je dána rovinou samodružných bodů α : x + 2y − z − 2 = 0 a
párem odpovídajících si bodů P[−1, 1, 0] a P [−2, 0, −1]. Určete rovnice této základní afinity a
zdůvodněte, proč je/není tato základní afinita elací.
Řešení D
1. (a) Neexistuje, protože afinita má právě jeden samodružný bod, pokud jednička není
vlastním číslem.
2. (a) λ1 = 0, u1 = (−1, −2, 1);
λ2,3 = 1, u2 = (0, 1, 0), u3 = (−2, 0, 1);
(b) Bez samodružných bodů.
(c) Počátek je libovolný bod – např. [0, 0, 0] – a bází jsou vektory (−1, −2, 1), (0, 1, 0) a
(−2, 0, 1). Odpovídající rovnice afinity jsou ve tvaru:
f : x = 5
y = y + 10
z = z − 3
3.
f : x = 2x + 2y − z − 2
y = x + 3y − z − 2
z = x + 2y − 2
Zadaná základní afinita není elací, neboť vektor
−−→
PP nepatří do zaměření roviny α.